La loi binomiale négative est une distribution de probabilité
discrète. Elle dépend de 2 paramètres : un entier n (le nombre de
succès attendus) et un réel p de ]0,1[ (la probabilité d’un succés).
On la note NegBin(n,p).
Elle permet de décrire la situation suivante : on fait une suite de tirages
indépendants (avec pour chaque tirage, la probabilité p d’avoir un
succès) jusqu’à obtenir n succès.
La variable aléatoire représentant le nombre d’échecs qu’il a fallut avant
d’avoir n succès, suit alors une loi binomiale négative.
Cette loi est aussi connue sous le nom de loi de Pascal en l’honneur de
Blaise Pascal et de loi de Polya, en l’honneur de George Pólya.
negbinomial(n,p,k)=comb(n+k−1,k)*pn*(1−p)k pour k=0,1,2..
La loi se généralise pour deux paramètres r et p, où r peut
prendre des valeurs réelles strictement positives. On a alors :
negbinomial(r,p)= Γ(r+k)/k! Γ(r) pr qk
Remarque
Si on définit comb(n,k) pour n<0 par comb(n,k)=n*(n-1)*..*(n-k-1)/k!, alors
Si X ∈ NegBin(n,p) (n ∈ ℕ et p ∈ [0;1]) alors
Proba(X=k)=pn*(p-1)k*comb(-n,k)
ce qui justifie le nom de loi binomiale négative et qui facilite le calcul de
l’espérance (égale à n(1−p)/p) et de la variance (égale à
n(1−p)/p2).
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient 0.62*0.4 soit: