\documentclass{article} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{makeidx} \usepackage{times} \usepackage{mathptmx} %Uncomment next line for pdflatex and use includegraphics with eps file % for latex2html don't use the option [width=\textwidth] % check that xfig files are exported magnif 100% \usepackage{ifpdf} \ifpdf \usepackage[colorlinks,pdftex]{hyperref} \else %\usepackage[ps2pdf,breaklinks=true,colorlinks=true,linkcolor=red,citecolor=green]{hyperref} \fi \usepackage[francais]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} %\DeclareGraphicsExtensions{.pdf, .png, .mps, .eps} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \newcommand{\faux}{$\square\;$} \newcommand{\vrai}{$\boxtimes\;$} \newcommand{\itemf}{\item\faux} \newcommand{\itemv}{\item\vrai} %--------------------------------------------- \newtheorem{exo}{Exercice}[section] \makeindex %--------------------------------------------- \begin{document} \vspace*{1cm} \begin{center} {\Huge D\'emarrer en calcul formel}\\[6ex] {\Large R. De Graeve, B. Parisse, B. Ycart}\\[3ex] {\large Universit\'e Joseph Fourier, Grenoble} \end{center} \vskip 2cm {\tt Xcas} est un logiciel libre de calcul formel. Il est t\'el\'echargeable \`a partir de : {\small \begin{verbatim} http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html \end{verbatim} } C'est un \'equivalent de Maple et Mupad, avec lesquels il est largement compatible. Il est possible de param\'etrer {\tt Xcas} pour qu'il accepte les syntaxes de Maple, Mupad ou des calculatrices TI (89, Voyage 200, Nspire CAS). Nous nous limiterons \`a la syntaxe propre \`a \verb|Xcas|. Ce cours d'introduction est destin\'e \`a faciliter la prise en main de {\tt Xcas} par un utilisateur connaissant un peu de math\'ematiques (niveau terminale S, premi\` ere ann\'ee d'universit\'e scientifique), et ayant une pratique minimale de l'outil informatique. Il est hors de question d'illustrer ici toutes les possibilit\'es de {\tt Xcas}. En particulier, nous ne parlerons ni de g\'eom\'etrie interactive, ni de la tortue logo, ni du tableur. Pour une pratique plus avanc\'ee, on se reportera \`a l'aide en ligne et aux diff\'erents documents disponibles \`a partir de la page d'accueil du logiciel. Le but de ce qui suit est d'aider le d\'ebutant en introduisant quelques unes des commandes les plus courantes. Il est conseill\'e de lire ce document apr\`es avoir lanc\'e {\tt Xcas} (sous Windows, cliquer sur le raccourci {\tt xcasfr.bat}, sous linux Gnome, cliquer sur Xcas dans le menu Education ou en tapant depuis un Terminal {\tt xcas \&} puis la touche {\tt enter}, sur Mac en cliquant sur xcas dans le menu Applications), en ex\'ecutant les commandes propos\'ees une par une pour en comprendre l'effet. La table des mati\`eres et l'index sont \`a la fin de ce document, cf. l'appendice \ref{sec:appendice} \section{Pour commencer} \subsection{Interface} % \index{interface} Pour l'instant, vous allez simplement saisir vos premi\`eres commandes. L'interface offre bien d'autres possibilit\'es que vous d\'ecouvrirez ensuite. Elle appara\^\i t comme suit au lancement de {\tt Xcas}. \vskip 2mm \centerline{ \includegraphics[width=\textwidth]{demarr1} %\includegraphics[width=\textwidth]{ecran1} } Vous pouvez la redimensionner. De haut en bas cette interface fait appara\^\i tre~: \begin{itemize} \item[$\bullet$] une barre de menu cliquable~: \verb@Fich@, \verb@Edit@, \verb@Cfg@, \verb@Aide@, \verb@CAS@,\verb@Expression@, \verb@Cmd@,\verb@Prg@, \verb@Graphic@, \verb@Geo@,\verb@Tableur@,\ldots \index{menus} \item[$\bullet$] un onglet indiquant le nom de la session, ou {\tt Unnamed} si la session n'a pas encore \'et\'e sauvegard\'ee (on peut ouvrir plusieurs sessions en parall\`ele et donc avoir plusieurs onglets repr\'esentant ces sessions), \item[$\bullet$] une zone de gestion de la session avec : \begin{itemize} \item un bouton \verb|?| pour ouvrir l'index de l'aide, \item une barre-bouton \verb@Save@ pour sauvegarder la session, \item un bouton affichant la configuration du CAS \verb@Config: exact real ...@ et permettant de la modifier, \item un bouton rouge \verb|STOP| permettant d'interrompre un calcul trop long, \item un bouton \verb|Kbd| pour faire apparaitre un clavier ressemblant \`a celui d'une calculatrice (on peut le voir ci-dessus). Il peut faciliter vos saisies, peut faire afficher une fen\^etre de messages avec touche {\tt Kbd->msg} (ou avec le menu {\tt Cfg->Montrer->msg}) et afficher le bandeau des commandes avec la touche {\tt Kbd->cmds} (ou avec le menu {\tt Cfg->Montrer->bandeau}) \item un bouton \verb|x| pour fermer la session, \end{itemize} \item[$\bullet$] une zone rectangulaire blanche num\'erot\'ee 1 (premi\`ere ligne de commande) dans laquelle vous pouvez taper votre premi\`ere commande (cliquez si n\'ecessaire pour faire apparaitre le curseur dans cette ligne de commande)~: \verb@1+1@, suivi de la touche "Entr\'ee" ("Enter" ou "Return" selon les claviers). Le r\'esultat appara\^it au-dessous, et une nouvelle ligne de commande s'ouvre, num\'erot\'ee 2. \end{itemize} Vous pouvez modifier l'aspect de l'interface et sauvegarder vos modifications pour les utilisations futures (menu \verb@Cfg@). \vskip 2mm Vous n'avez pour l'instant qu'\`a entrer des commandes dans les lignes de commandes successives. Si vous utilisez la version html de ce cours, vous pouvez copier-coller les commandes propos\'ees depuis votre navigateur. Chaque ligne de commande saisie est ex\'ecut\'ee par la touche "Entr\'ee". Essayez par exemple d'ex\'ecuter les commandes suivantes : \begin{verbatim} 1/3+1/4 sqrt(2)^5 solve(a*x^2+b*x+c,x) 50! \end{verbatim} Toutes les commandes sont gard\'ees en m\'emoire. Vous pouvez donc remonter dans l'historique de votre session pour faire afficher \`a nouveau des commandes ant\'erieures avec {\tt Ctrl+$\uparrow$} pour par exemple les modifier. Essayez, par exemple, en modifiant les commandes pr\'ec\'edentes d'ex\'ecuter aussi~: \begin{verbatim} 1/3+3/4 solve(a*x+b*x+c,x) \end{verbatim} On obtient alors \vskip 2mm \centerline{ %\includegraphics[width=\textwidth]{demarr1} \includegraphics[width=\textwidth]{ecran2} } On peut alors voir apparaitre, sur la droite, une barre de scroll permettant de se d\'eplacer dans les niveaux de la session et ici par exemple d'avoir acc\`es au niveau 8. Le menu \verb@Edit@ vous permet de pr\'eparer des sessions plus \'elabor\'ees qu'une simple succession de commandes. Vous pouvez cr\'eer des groupes de lignes de commandes (sections), ajouter des commentaires ou fusionner des niveaux en un seul niveau. % \subsection{Les commandes et l'aide en ligne} % Les commandes sont regroup\'ees par th\`emes dans les menus du bandeau sup\'erieur~: \verb|CAS|, \verb@Expression@,\verb@Cmds@, \verb@Prg@, \verb|Graphic|, \verb@Geo@, \verb@Tableur@, \verb@Phys@, \verb@Scolaire@, \verb@Tortue@. Certains menus sont des menus dit menus "Assistant" parce que les commandes sont class\'ees par th\`eme et sont explicit\'ees (menu {\tt CAS}) ou parce qu'une boite de dialogue vous demande de pr\'eciser les param\`etres de la commande choisie (menu {\tt Tableur$\blacktriangleright$Maths} ou menu {\tt Graphic}).\\ Les autres menus contiennent les noms des commandes : le menu {\tt Cmds} contient toutes les commandes de calcul formel, le menu {\tt Prg} contient toutes les commandes que l'on utilise en programmation, le menu {\tt Geo} contient toutes les commandes de g\'eom\'etrie... Lorsqu'on s\'electionne une commande dans un menu, \begin{itemize} \item soit une boite de dialogue s'ouvre vous permettant de sp\'ecifier les arguments de la commande (par exemple pour tracer une courbe depuis le menu \verb|Graphic| ou pour faire des statistiques depuis le menu {\tt Tableur$\blacktriangleright$Maths}, \item soit la commande est recopi\'ee dans la ligne de commande. Pour connaitre la syntaxe de cette commande, appuyez sur le bouton \verb|?| en haut \`a gauche, ou faites afficher la zone de \verb@Messages@ (en utilisant le menu \verb@Cfg->Montrer->msg@). \\ Vous pouvez aussi : \begin{itemize} \item ouvrir l'index de l'aide \`a la commande s\'electionn\'ee (cela est automatique si on a cocher la case \verb@Aide index automatique@ dans le menu de configuration g\'en\'erale : \verb|Cfg|->\verb|Configuration generale|). Il faut alors cliquer sur le bouton {\tt OK} pour que la commande soit recopi\'ee dans la ligne de commande \`a condition que le curseur soit dans une ligne de commande.\\utoriel.tex Vous pouvez aussi cliquer sur le bouton \verb|Details| pour afficher la page du manuel correspondant \`a la commande dans votre navigateur. \item ouvrir automatiquement la page correspondante du manuel dans votre navigateur, en cochant la case \verb@Aide HTML automatique@ dans le menu de configuration g\'en\'erale (\verb|Cfg|-> \verb|Configuration generale|). \end{itemize} \end{itemize} Le menu \verb@Aide@ contient les diff\'erentes formes d'aide possible~: un guide de l'utilisateur (interface), un guide de r\'ef\'erence (\verb@Manuels->Calcul formel@, aide detaill\'ee sur chaque commande), un \verb@Index@ (liste des commandes class\'ees par ordre alphab\'etique avec une ligne d'entr\'ee permettant de se d\'eplacer facilement) et une recherche par mots clefs. \index{aide en ligne} \index{help@{\verb+help+}} Si vous connaissez d\'ej\`a le nom d'une commande et que vous d\'esirez v\'erifier sa syntaxe (par exemple \verb@factor@), vous pouvez saisir le d\'ebut du nom de commande (disons \verb|fact|) puis taper sur la touche de tabulation (situ\'ee \`a gauche de la touche A sur un clavier fran\c{c}ais) ou cliquer sur le bouton \verb|?| en haut \`a gauche. L'index des commandes appara\^\i t alors dans une fen\^etre, positionn\'e \`a la premi\`ere compl\'etion possible, avec une aide succinte sur chaque commande. Par exemple, vous voulez factoriser un polyn\^ome, vous supposez que le nom de commande commence par \verb|fact|, vous tapez donc \verb|fact| puis la touche de tabulation, vous s\'electionnez \`a la souris \verb|factor| (ou un des exemples) puis vous cliquez sur OK. Vous pouvez aussi saisir \verb@?factor@ pour avoir l'aide succinte en r\'eponse. Si le nom que vous avez saisi n'est pas reconnu, des commandes proches vous sont sugg\'er\'ees. % \subsection{Entrer des commandes} % L'ex\'ecution d'une ligne se fait simplement par la touche "Entr\'ee". Si on ne souhaite pas afficher le r\'esultat, on termine la ligne de commande par \verb|:;| et on valide avec "Entr\'ee". On peut \'editer plusieurs commandes \`a la file avant leur ex\'ecution \`a condition de les s\'eparer par un point-virgule. Au d\'ebut, de nombreuses erreurs proviennent d'une mauvaise traduction des math\'ematiques~: {\tt Xcas} ne peut pas les comprendre telles que vous les \'ecrivez. Votre clavier vous permet de taper $ax^2+bx+c$, mais votre ordinateur ne peut pas comprendre que vous souhaitez \'elever $x$ au carr\'e, le multiplier par $a$, etc\ldots~ Vous devez sp\'ecifier chaque op\'eration, et la syntaxe correcte est \verb@a*x^2+b*x+c@. La multiplication doit \^etre not\'ee par une \'etoile dans les commandes, mais est not\'ee par un point dans les r\'eponses. Nous insistons sur le fait que pour {\tt Xcas}, \verb@ax@ est une variable dont le nom comporte deux lettres, et pas le produit de \verb@a@ par \verb@x@. \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Op\'erations}\\ \hline\hline \verb@+@& addition\\ \verb@-@& soustraction \\ \verb@*@& mutiplication \\ \verb@/@& division\\ \verb@^@& puissance \\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{addition} \index{soustraction} \index{multiplication} \index{division} \index{puissance} Modulo quelques pr\'ecautions, l'\'ecriture des formules est assez directe. Les parenth\`eses ont le sens usuel pour sp\'ecifier l'ordre des op\'erations. Les crochets sont r\'eserv\'es aux listes et aux indices. Les priorit\'es entre op\'erations sont standard (la multiplication est prioritaire sur l'addition, la puissance sur la multiplication). Par exemple~: \index{priorit\'es} \index{parenth\`eses} % \begin{itemize} \item[$\bullet$] \verb|2*a+b| retourne $2\cdot a+b$ \item[$\bullet$] \verb|a/2*b| retourne $\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}$\\ \item[$\bullet$] \verb|a/2/b| retourne $\displaystyle \frac{a}{\displaystyle \frac{2}{b}}$ \item[$\bullet$] \verb|normal(a/2/b)| retourne $\displaystyle \frac{a}{2\cdot b}$ \item[$\bullet$] \verb|a^2*b| retourne $a^2\cdot b$ \end{itemize} Dans le doute, il est toujours prudent de mettre des parenth\`eses pour s'assurer que l'ordre des op\'erations est celui souhait\'e. Les commandes sont num\'erot\'ees, ainsi que les r\'eponses, mais, si vous avez modifi\'e une ligne de commande, celle-ci garde le num\'ero qu'elle avait. On peut rappeler par \verb|ans()| (answer) la r\'eponse pr\'ec\'edente c'est \`a dire la r\'eponse de la derni\`ere commande \'evalu\'ee. \index{ans@{\verb+ans+}} % \section{Les objets du calcul formel} % \subsection{Les nombres} % \index{nombre!exact} \index{nombre!approch\'e} Les nombres peuvent \^etre exacts ou approch\'es. Les nombres exacts sont les constantes pr\'ed\'efinies, les entiers, les fractions d'entiers et plus g\'en\'eralement toute expression ne contenant que des entiers et des constantes, comme \verb|sqrt(2)*e^(i*pi/3)|. Les nombres approch\'es sont not\'es avec la notation scientifique standard~: partie enti\`ere suivie du point de s\'eparation et partie fractionnaire (\'eventuellement suivie de \verb|e| et d'un exposant). Par exemple, \verb|2| est un entier exact, \verb|2.0| est la version approch\'ee du m\^eme entier; \verb|1/2| est un rationnel, \verb|0.5| est la version approch\'ee du m\^eme rationnel. {\tt Xcas} peut g\'erer des nombres entiers en pr\'ecision arbitraire~: essayez de taper \verb|500!| et comptez le nombre de chiffres de la r\'eponse. On passe d'une valeur exacte \`a une valeur approch\'ee par \verb|evalf|, on transforme une valeur approch\'ee en un rationnel exact par \verb|exact| \index{exact@{\verb+exact+}} \index{evalf@{\verb+evalf+}} Les calculs sont effectu\'es en mode exact si tous les nombres qui interviennent sont exacts. Ils sont effectu\'es en mode approch\'e si un des nombres est approch\'e. Ainsi \verb|1.5+1| renvoie un nombre approch\'e alors que \verb|3/2+1| renvoie un nombre exact. \begin{verbatim} sqrt(2) evalf(sqrt(2)) sqrt(2)-evalf(sqrt(2)) exact(evalf(sqrt(2)))*10^9 exact(evalf(sqrt(2)*10^9)) \end{verbatim} \index{sqrt@{\verb+sqrt+}} \index{precision@pr\'ecision} Pour les nombres r\'eels approch\'es, la pr\'ecision par d\'efaut est proche de 14 chiffres significatifs (la pr\'ecision relative est de 53 ou 45 bits pour les r\'eels flottants normalis\'es selon les versions de Xcas). Elle peut \^etre augment\'ee, en donnant le nombre de d\'ecimales d\'esir\'e comme second argument de \verb|evalf|. \begin{verbatim} evalf(sqrt(2),50) evalf(pi,100) \end{verbatim} On peut aussi changer la pr\'ecision par d\'efaut pour tous les calculs en modifiant \index{digits@{\verb+Digits+}} la variable \verb|Digits|. \begin{verbatim} Digits:=50 evalf(pi) evalf(exp(pi*sqrt(163))) \end{verbatim} \index{i@{\verb+i+}} La lettre \verb|i| est r\'eserv\'ee \`a $\sqrt{-1}$ et ne peut \^etre r\'eaffect\'ee~; en particulier on ne peut pas l'utiliser comme indice de boucle. \begin{verbatim} (1+2*i)^2 (1+2*i)/(1-2*i) e^(i*pi/3) \end{verbatim} \index{nombre!complexe} \index{infinity@{\verb+infinity+}} {\tt Xcas} distingue l'infini non sign\'e \verb|infinity| ($\infty$), de \verb|+infinity| ou \verb|inf| ($+\infty$) et de \verb|-infinity| ou \verb|-inf|($-\infty$). \begin{verbatim} 1/0; (1/0)^2; -(1/0)^2 \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Constantes pr\'ed\'efinies}\\ \hline\hline \verb|pi|&$\pi\simeq 3.14159265359$ \\ \verb|e|&$e\simeq 2.71828182846$ \\ \verb|i|&$i=\sqrt{-1}$ \\ \verb|infinity|&$\infty$ \\ \verb|+infinity| ou \verb|inf|&$+\infty$ \\ \verb|-infinity| ou \verb|-inf|&$-\infty$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{e@{\verb+e+}} \index{pi@{\verb+pi+}} % \subsection{Les caract\`eres et les cha\^{i}nes} % \index{caract\`ere} \index{cha\^{i}ne} Une cha\^{i}ne est parenth\'es\'ee par des guillemets ({\tt "}). Un caract\`ere est une cha\^{i}ne ayant un seul \'el\'ement. \begin{verbatim} s:="azertyuiop" size(s) s[0]+s[3]+s[size(s)-1] concat(s[0],concat(s[3],s[size(s)-1])) head(s) tail(s) mid(s,3,2) l:=asc(s) ss:=char(l) string(123) expr(123) expr(0123) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Cha\^{i}nes}\\ \hline\hline \verb|asc|&cha\^{i}ne->liste des codes ASCII \\ \verb|char|&liste des codes ASCII->cha\^{i}ne \\ \verb|size|&nombre de caract\`eres \\ \verb|concat| ou \verb|+| &concat\'enation \\ \verb|mid|&morceau de cha\^{i}ne\\ \verb|head|&premier caract\`ere \\ \verb|tail|&cha\^{i}ne sans le 1ier caract\`ere\\ \verb|string|&nombre ou expression->cha\^{i}ne \\ \verb|expr|&cha\^{i}ne->nombre (base 10 ou 8) ou expression \\ \hline \end{tabular} \end{center}% \subsection{Les variables} % \index{variable!formelle} \index{variable!affect\'ee} On dit qu'une variable est formelle si elle ne contient aucune valeur~: toutes les variables sont formelles tant qu'elles n'ont pas \'et\'e affect\'ees (\`a une valeur). \index{affectation} L'affectation est not\'ee \verb|:=|. Au d\'ebut de la session \verb|a| est formelle, elle devient affect\'ee apr\`es l'instruction \verb|a:=3|, \verb|a| sera alors remplac\'e par 3 dans tous les calculs qui suivent, et \verb|a+1| renverra 4. {\tt Xcas} conserve tout le contenu de votre session. Si vous voulez que la variable \verb|a| apr\`es l'avoir affect\'ee, soit \`a nouveau une variable formelle, il faut la "vider" par \verb|purge(a)|. Dans les exemples qui suivent, les variables utilis\'ees sont suppos\'ees avoir \'et\'e purg\'ees avant chaque suite de commandes. \index{purge@{\verb+purge+}} \vskip 2mm\noindent Il ne faut pas confondre \begin{itemize} \item[$\bullet$] le signe \verb|:=| qui d\'esigne l'affectation \item[$\bullet$] le signe \verb|==| qui d\'esigne une \'egalit\'e bool\'eenne~: c'est une op\'eration binaire qui retourne 1 ou 0 (1 pour true qui veut dire Vrai et 0 pour false qui veut dire Faux) \item[$\bullet$] le signe \verb|=| utilis\'e pour d\'efinir une \'equation. \end{itemize} \index{egalite@\'egalit\'e} \index{equation@\'equation} \begin{verbatim} a==b a:=b a==b solve(a=b,a) solve(2*a=b+1,a) \end{verbatim} \index{assume@{\verb+assume+}} \index{hypoth\`ese} On peut faire certains types d'hypoth\`eses sur une variable avec la commande \verb|assume|, par exemple \verb|assume(a>2)|. Une hypoth\`ese est une forme sp\'eciale d'affectation, elle efface une \'eventuelle valeur pr\'ec\'edemment affect\'ee \`a la variable. Lors d'un calcul, la variable n'est pas remplac\'ee mais l'hypoth\`ese sera utilis\'ee dans la mesure du possible, par exemple \verb|abs(a)| renverra \verb|a| si on fait l'hypoth\`ese \verb|a>2|. \begin{verbatim} sqrt(a^2) assume(a<0) sqrt(a^2) assume(n,integer) sin(n*pi) \end{verbatim} \index{subst@{\verb+subst+}} La fonction \verb|subst| permet de remplacer une variable dans une expression par un nombre ou une autre expression, sans affecter cette variable. \begin{verbatim} subst(a^2+1,a=1) subst(a^2+1,a=sqrt(b-1)) a^2+1 \end{verbatim} {\bf Remarque}~: pour stocker une valeur dans une variable par r\'ef\'erence, par exemple pour modifier une valeur dans une liste (un vecteur, une matrice), sans recr\'eer une nouvelle liste mais en modifiant en place la liste existante, on utilise l'instruction \verb|=<| au lieu de \verb|:=|. Cette instruction est plus rapide que l'instruction \verb|:=|, car elle \'economise le temps de copie de la liste. % \subsection{Les expressions} % \index{expression} Une expression est une combinaison de nombres et de variables reli\'es entre eux par des op\'erations~: par exemple \verb|x^2+2*x+c|. Lorsqu'on valide une commande, {\tt Xcas} remplace les variables par leur valeur si elles en ont une, et ex\'ecute les op\'erations. \begin{verbatim} (a-2)*x^2+a*x+1 a:=2 (a-2)*x^2+a*x+1 \end{verbatim} \index{simplifications automatiques} Certaines op\'erations de simplification sont ex\'ecut\'ees automatiquement lors d'une \'evaluation~: \begin{itemize} \item[$\bullet$] les op\'erations sur les entiers et sur les fractions, y compris la mise sous forme irr\'eductible \item[$\bullet$] les simplifications triviales comme $x+0=x$, $x-x=0$, $x^1=x$\ldots \item[$\bullet$] quelques formes trigonom\'etriques comme $\cos(-x)=\cos(x)$, $\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$, $\tan(\pi/4)=1$\ldots \end{itemize} Nous verrons dans la section suivante comment obtenir plus de simplifications. % \subsection{D\'evelopper et simplifier} % \index{developper@d\'evelopper} \index{simplifier@simplifier} En-dehors des r\`egles de la section pr\'ec\'edente, il n'y a pas de simplification syst\'ematique. Il y a deux raisons \`a cela. La premi\`ere est que les simplifications non triviales sont parfois co\^uteuses en temps, et le choix d'en faire ou non est laiss\'e \`a l'utilisateur~; la deuxi\`eme est qu'il y a en g\'en\'eral plusieurs mani\`eres de simplifier une m\^eme expression, selon l'usage que l'on veut en faire. Les principales commandes pour transformer une expression sont les suivantes~: \begin{itemize} \item[$\bullet$] \index{expand@{\verb+expand+}} \verb|expand|~: d\'eveloppe une expression en tenant compte uniquement de la distributivit\'e de la multiplication sur l'addition et du d\'eveloppement des puissances enti\`eres. \item[$\bullet$] \index{normal@{\verb+normal+}} \index{ratnormal@{\verb+ratnormal+}} \verb|normal| et \verb|ratnormal|~: d'un bon rapport temps d'ex\'ecution-simplification, elles \'ecrivent une fraction rationnelle (rapport de deux polyn\^omes) sous forme de fraction irr\'eductible d\'evelopp\'ee; \verb|normal| tient compte des nombres alg\'ebriques (par exemple comme \verb|sqrt(2)|) mais pas \verb|ratnormal|. Les deux ne tiennent pas compte des relations entre fonctions transcendantes (par exemple comme \verb|sin| et \verb|cos|). \item[$\bullet$] \index{factor@{\verb+factor+}} \verb|factor|~: un peu plus lente que les pr\'ec\'edentes, elle \'ecrit une fraction sous forme irr\'eductible factoris\'ee. \item[$\bullet$] \index{simplify@{\verb+simplify+}} \verb|simplify|~: elle essaie de se ramener \`a des variables alg\'ebriquement ind\'ependantes avant d'appliquer \verb|normal|. Ceci est plus co\^uteux en temps et "aveugle" (on ne contr\^ole pas les r\'e\'ecritures interm\'ediaires). Les simplifications faisant intervenir des extensions alg\'ebriques (par exemple des racines carr\'ees) n\'ecessitent parfois deux appels et/ou des hypoth\`eses (\verb|assume|) pour enlever des valeurs absolues avant d'obtenir la simplification souhait\'ee. \item[$\bullet$] \index{tsimplify@{\verb+tsimplify+}} \verb|tsimplify| essaie de se ramener \`a des variables alg\'ebriquement ind\'ependantes mais sans appliquer \verb|normal| ensuite. \end{itemize} Dans le menu \verb|Expression| du bandeau sup\'erieur, les sous-menus sont des menus de r\'e\'ecriture et contiennent d'autres fonctions, pour des transformations plus ou moins sp\'ecialis\'ees. \begin{verbatim} b:=sqrt(1-a^2)/sqrt(1-a) ratnormal(b) normal(b) tsimplify(b) simplify(b) simplify(simplify(b)) assume(a<1) simplify(b) simplify(simplify(b)) \end{verbatim} \index{convert@{\verb+convert+}} La fonction \verb|convert| permet de passer d'une expression \`a une autre \'equivalente, sous un format qui est sp\'ecifi\'e par le deuxi\`eme argument. \begin{verbatim} convert(exp(i*x),sincos) convert(1/(x^4-1),partfrac) convert(series(sin(x),x=0,6),polynom) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Transformations}\\ \hline\hline \verb|simplify|& simplifier\\ \verb|tsimplify|& simplifier (moins puissant)\\ \verb|normal|& forme normale\\ \verb|ratnormal|& forme normale (moins puissant)\\ \verb|expand|& d\'evelopper\\ \verb|factor|& factoriser\\ \verb|assume|& rajout d'hypoth\`eses\\ \verb|convert|& transformer en un format sp\'ecifi\'e\\ \hline \end{tabular} \end{center} % \subsection{Les fonctions} % De nombreuses fonctions sont d\'ej\`a d\'efinies dans {\tt Xcas}, en particulier les fonctions classiques. Les plus courantes figurent dans le tableau ci-apr\`es; pour les autres, voir le menu \verb|Cmds->Reel->Special|.\\ Sinon l'utilisateur peut d\'efinir ses propre fonctions, par exemple : \begin{itemize} \item D\'efinition d'une fonction d'une variable :\\ {\tt f(x):=x*exp(x)} ou\\ {\tt f:=x->x*exp(x)} ou\\ {\tt f:=unapply(x*exp(x),x)} \item D\'efinition de sa d\'eriv\'ee :\\ {\tt g:=function\_diff(f)} ou \\ {\tt g:=unapply(diff(f(x),x),x)})\\ {\bf ATTENTION} {\tt g(x):=diff(f(x),x)} N'EST PAS VALABLE ! car ce qui est \`a droite de {\tt :=} n'est pas \'evalu\'e lors de la d\'efinition....il faut utiliser {\tt unapply}. \item D\'efinition d'une fonction de 2 variables :\\ {\tt h(r,t):=(r*exp(t),r*t)} ou\\ {\tt h:=(r,t)->(r*exp(t),r*t);} \item D\'efinition \`a partir d'une fonction de 2 variables, d'une fonction qui \`a 1 variable fait correspondre une fonction:\\ {\tt k(t):=unapply(h(r,t),r)}\\ {\bf ATTENTION} Ici {\tt k(t)} est une fonction de la variable {\tt r} qui \`a {\tt r} fait correspondre {\tt h(r,t)}. On a par exemple : {\tt k(1)(2)=(2*exp(1),2)}. L\`a aussi, il faut utiliser {\tt unapply}. \end{itemize} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Fonctions classiques}\\ \hline\hline \verb|abs| & valeur absolue\\ \verb|sign| & signe (-1,0,+1)\\ \verb|max| & maximum\\ \verb|min| & minimum\\ \verb|round| & arrondi \\ \verb|floor| & partie enti\`ere (plus grand entier $\leq$)\\ \verb|frac| & partie fractionnaire\\ \verb|ceil| & plus petit entier $\geq $\\ \hline \verb|re| & partie r\'eelle\\ \verb|im| & partie imaginaire\\ \verb|abs| & module\\ \verb|arg| & argument\\ \verb|conj| & conjugu\'e\\ \verb|affixe| & affixe\\ \verb|coordonees| & coordonn\'ees\\ \hline \verb|factorial ou !| & factorielle\\ \verb|sqrt| & racine carr\'ee\\ \verb|exp| & exponentielle\\ \verb|log| & logarithme naturel\\ \verb|ln| & logarithme naturel\\ \verb|log10| & logarithme en base 10\\ \hline \verb|sin| & sinus\\ \verb|cos| & cosinus\\ \verb|tan| & tangente\\ \verb|cot| & cotangente\\ \verb|asin| & arc sinus\\ \verb|acos| & arc cosinus\\ \verb|atan| & arc tangente\\ \hline \verb|sinh| & sinus hyperbolique\\ \verb|cosh| & cosinus hyperbolique\\ \verb|tanh| & tangente hyperbolique\\ \verb|asinh| & argument sinus hyperbolique\\ \verb|acosh| & argument cosinus hyperbolique\\ \verb|atanh| & argument tangente hyperbolique\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{abs@{\verb+abs+}} \index{valeur absolue} \index{sign@{\verb+sign+}} \index{signe} \index{max@{\verb+max+}} \index{maximum} \index{min@{\verb+min+}} \index{minimum} \index{round@{\verb+round+}} \index{arrondi} \index{floor@{\verb+floor+}} \index{ceil@{\verb+ceil+}} \index{partie enti\`ere} \index{frac@{\verb+frac+}} \index{partie fractionnaire} \index{re@{\verb+re+}} \index{partie r\'eelle} \index{im@{\verb+im+}} \index{partie imaginaire} \index{conj@{\verb+conj+}} \index{conjugu\'e} \index{affixe@{\verb+affixe+}} \index{affixe} \index{coordonn\'ees@{\verb+coordonnees+}} \index{coordonn\'ees} \index{factorial@{\verb+factorial+}} \index{factorielle} \index{sqrt@{\verb+sqrt+}} \index{racine carr\'ee} \index{exp@{\verb+exp+}} \index{log@{\verb+log+}} \index{ln@{\verb+ln+}} \index{logarithme!naturel} \index{logarithme!en base 10} \index{log10@{\verb+log10+}} \index{sin@{\verb+sin+}} \index{sinus} \index{cos@{\verb+cos+}} \index{cosinus} \index{tan@{\verb+tan+}} \index{tangente} \index{tan@{\verb+cot+}} \index{cotangente} \index{sinh@{\verb+sinh+}} \index{sinus!hyperbolique} \index{cosh@{\verb+cosh+}} \index{cosinus!hyperbolique} \index{tanh@{\verb+tanh+}} \index{tangente!hyperbolique} \index{asin@{\verb+asin+}} \index{arc!sinus} \index{acos@{\verb+acos+}} \index{arc!cosinus} \index{atan@{\verb+atan+}} \index{arc!tangente} \index{asinh@{\verb+asinh+}} \index{argument!sinus hyperbolique} \index{acosh@{\verb+acosh+}} \index{argument!cosinus hyperbolique} \index{atanh@{\verb+atanh+}} \index{argument!tangente hyperbolique} Pour cr\'eer une nouvelle fonction, il faut la d\'eclarer \`a l'aide d'une expression contenant la variable. Par exemple l'expression $x^2-1$ est d\'efinie par \verb|x^2-1|. Pour la transformer en la fonction $f$ qui \`a $x$ associe $x^2-1$, trois possibilit\'es existent~: \begin{verbatim} f(x):= x^2-1 f:=x->x^2-1 f:=unapply(x^2-1,x) f(2); f(a^2); \end{verbatim} \index{fonction!d\'efinition d'une} \index{fonction} \index{expression} \index{unapply@{\verb+unapply+}} Si \verb|f| est une fonction d'une variable et \verb|E| est une expression, \verb|f(E)| est une autre expression. Il est essentiel de ne pas confondre fonction et expression. Si on d\'efinit : \verb|E:=x^2-1|, alors la variable \verb|E| contient l'expression $x^2-1$. Pour avoir la valeur de cette expression en $x=2$ il faut \'ecrire \verb|subst(E,x=2)| et non \verb|E(2)| car \verb|E| n'est pas une fonction. Lorsqu'on d\'efinit une fonction, le membre de droite de l'affectation n'est pas \'evalu\'e. Ainsi l'\'ecriture \verb|E:=x^2-1; f(x):=E| d\'efinit la fonction $f: x \mapsto E$ car \verb|E| n'est pas \'evalu\'e. Par contre \verb|E:= x^2-1; f:=unapply(E,x)| d\'efinit bien la fonction $f: x\mapsto x^2-1$ car \verb|E| est \'evalu\'e. \index{fonction!composition des} \index{compos\'ee} On peut ajouter et multiplier des fonctions, par exemple \verb|f:=sin*exp|. Pour composer des fonctions, on utilise l'op\'erateur \verb|@| et pour composer plusieurs fois une fonction avec elle-m\^eme, on utilise l'op\'erateur \verb|@@|. \begin{verbatim} f:=x->x^2-1; (f@f)(2); (f@sqrt)(a); f1:=f@sin f2:=f@f f3:=f@@3 f1(a) f2(a) f3(a) \end{verbatim} % On peut d\'efinir des fonctions de plusieurs variables \`a valeurs dans $\mathbb R$ comme :\\ \verb|f(x,y):=x+2*y| \\ et des fonctions de plusieurs variables \`a valeurs dans $\mathbb R^p$ par exemple :\\ \verb|f(x,y):=(x+2*y,x-y)| % Attention : on peut aussi d\'efinir \verb|f(x,y)| comme un vecteur mais il % faut mettre des accolades. % Par exemple, on tape \verb|f(x,y):={[x+2*y,x-y]}|. Les accolades sont n\'ecessaires car sans elles, {\tt Xcas} comprendrait \verb|[x+2*y,x-y]| comme un programme % ayant deux instructions \verb|x+2*y;| et \verb|x-y;| % et $f$ ne renverrait que la derni\`ere instruction. % \subsection{Listes, s\'equences, ensembles} % \index{liste} \index{sequence@s\'equence} \index{ensemble} {\tt Xcas} distingue plusieurs sortes de collections d'objets, s\'epar\'es par des virgules~: \begin{itemize} \item[$\bullet$] les listes (entre crochets) \item[$\bullet$] les s\'equences (entre parenth\`eses) \item[$\bullet$] les ensembles (entre pourcentage-accolades) \end{itemize} \begin{verbatim} liste:=[1,2,4,2] sequence:=(1,2,4,2) ensemble:=%{1,2,4,2%} \end{verbatim} Les listes peuvent contenir des listes (c'est le cas des matrices), alors que les s\'equences sont plates (un \'el\'ement d'une s\'equence ne peut pas \^etre une s\'equence). Dans un ensemble, l'ordre n'a pas d'importance et chaque objet est unique. Il existe une autre structure, appel\'ee table, dont nous reparlerons plus loin. Il suffit de mettre une s\'equence entre crochets pour en faire une liste ou entre accolades pr\'ec\'ed\'ees de \verb|%| pour en faire un ensemble. On passe d'une liste \`a sa s\'equence associ\'ee par \verb|op|, d'une s\'equence \`a sa liste associ\'ee en la mettant entre crochets ou avec la fonction \verb|nop|. Le nombre d'\'el\'ements d'une liste est donn\'e par \verb|size| (ou \verb|nops|). \index{op@{\verb+op+}} \index{nop@{\verb+nop+}} \index{nops@{\verb+nops+}} \index{size@{\verb+size+}} \index{nombre!d'\'el\'ements} \begin{verbatim} se:=(1,2,4,2) li:=[se] op(li) nop(se) nops(se) %{se%} size([se]) size(%{se%}) \end{verbatim} \index{it\'eration} \index{seq@{\verb+seq+}} \index{makelist@{\verb+makelist+}} Pour fabriquer une liste ou une s\'equence, on utilise des commandes d'it\'eration comme \verb|$| %$ ou \verb|seq| (qui it\`erent une expression) ou \verb|makelist| (qui d\'efinit une liste \`a l'aide d'une fonction). \begin{verbatim} 1$5 k^2 $ (k=-2..2) seq(k^2,k=-2..2) seq(k^2,k,-2..2) [k^2$(k=-2..2)] seq(k^2,k,-2,2) seq(k^2,k,-2,2,2) makelist(x->x^2,-2,2) seq(k^2,k,-2,2,2) makelist(x->x^2,-2,2,2) \end{verbatim} \index{NULL@{\verb+NULL+}} \index{liste!vide} \index{sequence@s\'equence!vide} La s\'equence vide est not\'ee \verb|NULL|, la liste vide \verb|[]|. Pour ajouter un \'el\'ement \`a une s\'equence il suffit d'\'ecrire la s\'equence et l'\'el\'ement s\'epar\'es par une virgule. \index{append@{\verb+append+}} Pour ajouter un \'el\'ement \`a une liste on utilise \verb|append|. On acc\`ede \`a un \'el\'ement d'une liste ou d'une s\'equence gr\^ace \`a son indice mis entre crochets, le premier \'el\'ement \'etant d'indice 0. \begin{verbatim} se:=NULL; se:=se,k^2$(k=-2..2); se:=se,1 li:=[1,2]; (li:=append(li,k^2))$(k=-2..2) li[0],li[1],li[2] \end{verbatim} Les polyn\^omes sont souvent d\'efinis par une expression, mais ils peuvent aussi \^etre repr\'esent\'es par la liste de leurs coefficients par ordre de degr\'e d\'ecroissant, avec comme d\'elimiteurs \verb|poly1[| et \verb|]|. Il existe aussi une repr\'esentation pour les polyn\^omes \`a plusieurs variables. Les fonctions \verb|symb2poly| et \verb|poly2symb| permettent de passer de la repr\'esentation expression \`a la repr\'esentation par liste et inversement, le deuxi\`eme argument d\'etermine s'il s'agit de polyn\^omes en une variable (on met le nom de la variable) ou de polyn\^omes \`a plusieurs variables (on met la liste des variables). \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf S\'equences et listes}\\ \hline\hline \verb|E$(k=n..m)| &cr\'eer une s\'equence\\ \verb|seq(E,k=n..m)| &cr\'eer une s\'equence\\ \verb|[E$(k=n..m)]| & cr\'eer une liste\\ %$ \verb|makelist(f,k,n,m,p)| & cr\'eer une liste\\ \verb|op(li)| & passer de liste \`a s\'equence\\ \verb|nop(se)| & passer de s\'equence \`a liste\\ \verb|nops(li)| & nombre d'\'el\'ements\\ \verb|size(li)| & nombre d'\'el\'ements\\ \verb|sum| & somme des \'el\'ements\\ \verb|product| & produit des \'el\'ements\\ \verb|cumSum| & sommes cumul\'ees des \'el\'ements\\ \verb|apply(f,li)| & appliquer une fonction aux \'el\'ements d'une liste\\ \verb|map(li,f)| & appliquer une fonction aux \'el\'ements d'une liste\\ \verb|map(li,f,matrix)| & appliquer une fonction aux \'el\'ements d'une matrice\\ \verb|poly2symb| & polyn\^ome associ\'e \`a une liste\\ \verb|symb2poly| & coefficients d'un polyn\^ome\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{sum@{\verb+somme+}} \index{somme} \index{product@{\verb+product+}} \index{produit} \index{cumsum@{\verb+cumSum+}} \index{sommes cumul\'ees} \index{apply@{\verb+apply+}} \index{fonction!appliqu\'ee \`a une liste} \index{map@{\verb+map+}} \index{poly2symb@{\verb+poly2symb+}} \index{symb2poly@{\verb+symb2poly+}} \index{liste!des coefficients} % \subsection{Temps de calcul, place m\'emoire} % Le principal probl\`eme du calcul formel est la complexit\'e des calculs interm\'ediaires. Elle se traduit \`a la fois par le temps n\'ecessaire \`a l'ex\'ecution des commandes et par la place m\'emoire requise. Les algorithmes impl\'ement\'es dans les fonctions de {\tt Xcas} sont performants, mais ils ne \index{time@{\verb+time+}} \index{temps de calcul} peuvent pas \^etre optimaux dans tous les cas. La fonction \verb|time| permet de conna\^\i tre le temps d'ex\'ecution d'une commande (si ce temps est tr\`es court, {\tt Xcas} ex\'ecute plusieurs fois la commande pour afficher un r\'esultat plus pr\'ecis). La m\'emoire utilis\'ee appara\^\i t dans les versions Unix dans la ligne d'\'etat (la barre-bouton). Si le temps d'ex\'ecution d'une commande d\'epasse quelques secondes, il est possible que vous ayez commis une erreur de saisie. N'h\'esitez pas \`a interrompre l'ex\'ecution (bouton rouge \verb|STOP| en haut \`a droite, il est conseill\'e de faire une sauvegarde de votre session auparavant). \section{Outils pour l'Analyse} % \subsection{D\'eriv\'ees} % \index{derivee@d\'eriv\'ee!d'une expression} \index{derivee@d\'eriv\'ee!d'une fonction} \index{diff@{\verb+diff+}} \index{functiondiff@{\verb+function_diff+}} La fonction \verb|diff| permet de calculer la d\'eriv\'ee d'une expression par rapport \`a une ou plusieurs de ses variables. Pour d\'eriver une fonction $f$, on peut appliquer \verb|diff| \`a l'expression $f(x)$, mais alors le r\'esultat est une expression. Si on souhaite d\'efinir la fonction d\'eriv\'ee, il faut utiliser \verb|function_diff|. \begin{verbatim} E:=x^2-1; diff(E); f:=unapply(E,x); diff(f(x)); f1:=function_diff(f);f1(x); \end{verbatim} Il ne {\bf faut pas} d\'efinir la fonction d\'eriv\'ee par \verb|f1(x):=diff(f(x))|, car dans cette d\'efinition, \verb|x| aurait deux sens incompatibles~: c'est d'une part la variable formelle de d\'erivation et d'autre part l'argument de la fonction \verb|f1|. D'autre part, cette d\'efinition \'evaluerait \verb|diff| \`a chaque appel de la fonction (car le membre de droite d'une affectation n'est jamais \'evalu\'e), ce qui serait inefficace.\\ Il faut utiliser \verb|f1:=function_diff(f)|, ou \verb|f1:=unapply(diff(f(x)),x)|. La fonction \verb|diff| s'applique \`a n'importe quelle combinaison de variables, et permet de calculer des d\'eriv\'ees partielles successives. \index{derivee@d\'eriv\'ee!partielle} \begin{verbatim} E:=sin(x*y) diff(E,x) diff(E,y) diff(E,x,y)-diff(E,y,x) simplify(ans()) diff(E,x$2,y$3) \end{verbatim} Si le deuxi\`eme argument de \verb|diff| est une liste, une liste de d\'eriv\'ees est retourn\'ee. Par exemple pour calculer le gradient de $\sin(xy)$~: \verb|diff(sin(x*y),[x,y])| (on peut aussi utiliser \verb|grad|). Des commandes particuli\`eres permettent de calculer les combinaisons classiques de d\'eriv\'ees partielles. \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf D\'eriv\'ees}\\ \hline\hline \verb|diff(ex,t)| &d\'eriv\'ee d'une expression par rapport \`a t\\ \verb|function_diff(f)| & fonction d\'eriv\'ee d'une fonction\\ \verb|diff(ex,x$n,y$m)| & d\'eriv\'ees partielles\\ \verb|grad| & gradient\\ \verb|divergence| & divergence\\ \verb|curl| & rotationnel\\ \verb|laplacian| & laplacien\\ \verb|hessian| & matrice hessienne\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{grad@{\verb+grad+}} \index{gradient} \index{divergence@{\verb+divergence+}} \index{divergence} \index{curl@{\verb+curl+}} \index{rotationnel} \index{laplacian@{\verb+laplacian+}} \index{laplacien} \index{hessian@{\verb+hessian+}} \index{matrice!hessienne} % \subsection{Limites et d\'eveloppements limit\'es} % La fonction \verb|limit| calcule les limites finies ou infinies, quand elles existent. On peut demander une limite \`a gauche ou \`a droite \`a l'aide d'un quatri\`eme argument (+1 ou -1). Quand la fonction d\'epend d'un param\`etre, la limite obtenue peut d\'ependre des hypoth\`eses faites, avec la fonction {\tt assume}, sur ce param\`etre. \index{limit@{\verb+limit+}} \index{limite} \index{limite!\`a droite} \index{limite!\`a gauche} \begin{verbatim} limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0,1) limit(1/x,x,0,-1) limit(a/x,x,0,1) assume(a>0) limit(a/x,x,0,1) \end{verbatim} Pour les d\'eveloppements limit\'es, deux fonctions sont disponibles, \verb|series| et \verb|taylor|. La diff\'erence est que l'ordre du d\'eveloppement doit \^etre sp\'ecifi\'e pour \verb|series|, il est \'egal \`a 6 par d\'efaut pour \verb|taylor|. \index{developpement@d\'eveloppement limit\'e} \index{series@{\verb+series+}} \index{taylor@{\verb+taylor+}} L'ordre du d\'eveloppement limit\'e demand\'e est utilis\'e par {\tt Xcas} en interne pour faire ses d\'eveloppements. En cas de simplifications, l'ordre du d\'eveloppement obtenu pourra \^etre inf\'erieur, il faudra alors recommencer le calcul avec un ordre plus grand. L'expression retourn\'ee est constitu\'ee du polyn\^ome de Taylor, plus un reste dans lequel appara\^\i t une fonction \verb|order_size| qui est telle que pour tout $a>0$, $x^a$\verb|order_size|($x$) tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Pour supprimer le reste et ne garder que le polyn\^ome de Taylor, on peut utiliser \verb|convert| avec l'option {\tt polynom}. \begin{verbatim} taylor(1/(x^2+1),0) taylor(1/(x^2+a^2),x=0) series(1/(x^2+1),0,11) series(1/(x^2+1),+infinity,11) series(tan(x),pi/4,3) series(sin(x)^3/((1-cos(x))*tan(x)),0,4) series(sin(x)^3/((1-cos(x))*tan(x)),0,6) series(tan(sin(x))-sin(tan(x)),0,13) convert(ans(),polynom) series(f(x),0,3) g:=f@f; series(g(x),0,2) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Limites et d\'eveloppements limit\'es}\\ \hline\hline \verb|limit(ex,x,a)| & limite en a\\ \verb|limit(ex,x,a,1)| & limite \`a droite en a\\ \verb|limit(ex,x,a,-1)| & limite \`a gauche en a\\ \verb|taylor(ex,a)| & d\'eveloppement limit\'e en $a$ ordre 6\\ \verb|series(ex,a,n)| & d\'eveloppement limit\'e en $a$ ordre $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} % \subsection{Primitives et int\'egrales} % \index{int@{\verb+int+}} \index{primitive} \index{fonction!primitive d'une} \index{integrale@int\'egrale} La fonction \verb|int| calcule une primitive d'une expressionpar rapport \`a $x$ ou par rapport \`a la variable donn\'ee en argument. Si l'expression comporte plusieurs variables, il vaut pr\'eciser la variable d'int\'egration. Si on ajoute deux arguments $a$ et $b$ apr\`es la variable d'int\'egration, on calcule l'int\'egrale sur l'intervalle $[a,b]$. Eventuellement les bornes de l'int\'egrale peuvent \^etre des expressions, ce qui permet de calculer des int\'egrales multiples. \begin{verbatim} int(x^2-1) int(x^2-1,x,-1,1) int(x*y,x) int(x*y,y,0,x) int(int(x*y,y,0,x),x,0,1) \end{verbatim} Pour calculer une int\'egrale, un logiciel de calcul formel recherche une primitive puis l'\'evalue entre les bornes, afin d'obtenir une valeur exacte. Dans certains cas, il est inutile de calculer une primitive, soit parce qu'il n'en existe pas qui s'exprime avec les fonctions \'el\'ementaires, soit parce qu'un calcul num\'erique est plus adapt\'e (par exemple si le temps de calcul de la primitive est trop long, si la fonction pr\'esente des singularit\'es dans l'intervalle d'int\'egration, etc\ldots). Dans ce cas, on demande une valeur approch\'ee en utilisant \verb|evalf|, ou bien on utilise directement la fonction \verb|romberg|, qui est appel\'ee par \verb|evalf|. \index{romberg@{\verb+romberg+}} \begin{verbatim} int(exp(-x^2)) int(exp(-x^2),x,0,10) evalf(int(exp(-x^2),x,0,10)) romberg(exp(-x^2),x,0,10) ans()/sqrt(pi)) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Int\'egrales}\\ \hline\hline \verb|int(E)| &primitive d'une expression\\ \verb|int(E,x,a,b)| & int\'egrale exacte\\ \verb|romberg(E,x,a,b)| & int\'egrale approch\'ee\\ \hline \end{tabular} \end{center} % \subsection{R\'esolution d'\'equations} % \index{equation@\'equation!r\'esolution} Comme pour les int\'egrales on distingue~: \begin{itemize} \item[$\bullet$] la r\'esolution exacte qui renvoie toutes les solutions lorsque c'est possible (par exemple pour certaines \'equations polynomiales ou s'y ramenant) \item[$\bullet$] la r\'esolution approch\'ee qui calcule par un algorithme it\'eratif une valeur proche d'une des solutions. \end{itemize} \index{resolution@r\'esolution!exacte} \index{resolution@r\'esolution!approch\'ee} La r\'esolution exacte s'effectue \`a l'aide de \verb|solve|, dont le premier argument est une \'equation. Le membre de droite est suppos\'e nul s'il n'est pas pr\'ecis\'e. Par d\'efaut \verb|solve| ne retourne pas les solutions complexes. Pour les obtenir, il faut cocher \verb|Complexe| dans la configuration du CAS ({\tt Cfg->Configuration de CAS} ou sur la barre-bouton {\tt Config :exact...})\\ Ex\'ecutez les commandes suivantes avant et apr\`es avoir activ\'e l'option \verb|Complex|. \index{solve@{\verb+solve+}} \begin{verbatim} solve(x^2-a*x+2,x) solve(x^2+2,x) solve(x^3=1,x) \end{verbatim} Les racines exactes sont calcul\'ees pour les polyn\^omes de degr\'e 1 et 2 (les formules de Cardan et Ferrari pour les degr\'es 3 et 4 ne sont pas utilis\'ees, car les solutions obtenues ne sont pas facilement maniables). En degr\'e sup\'erieur, la fonction \verb|solve| affiche un message d'erreur et renvoie une liste vide. Pour les \'equations trigonom\'etriques, les solutions principales sont renvoy\'ees. Pour obtenir toutes les solutions, il faut activer l'option \verb|All_trig_sol|. Comparer les commandes suivantes avec et sans cette option. \begin{verbatim} solve(cos(x),x) solve(cos(x)+sin(x),x) \end{verbatim} La fonction \verb|solve| peut aussi r\'esoudre des syst\`emes d'\'equations. Le premier argument est la liste des \'equations, le second est la liste des variables. \index{syst\`eme!d'\'equations} \begin{verbatim} solve([x^2+y-2,x+y^2-2],[x,y]) \end{verbatim} \index{fsolve@{\verb+fsolve+}} La fonction de r\'esolution approch\'ee est \verb|fsolve|. Elle propose en option diff\'erents algorithmes (menus \verb|Calc->Num_solve_eq | et \verb|Calc->Num_solve_syst|). Le plus c\'el\`ebre est l'algori\-thme de Newton, qui a de multiples variantes. Le principe g\'en\'eral de tous ces algorithmes est de calculer les termes successifs d'une suite qui converge vers une solution de l'\'equation ou du syst\`eme propos\'e. Il faut pour cela choisir selon les cas un point de d\'epart, ou un intervalle de recherche. \begin{verbatim} fsolve((x^5+2*x+1)=0,x,1,newton_solver) newton(x^5+2*x+1,x,1.0) newton(x^5+2*x+1,x,1+i) newton(x^5+2*x+1,x,-1+i) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Equations}\\ \hline\hline \verb|solve(eq,x)| &r\'esolution exacte d'une \'equation\\ \verb|solve([eq1,eq2],[x,y])| &r\'esolution exacte d'un syst\`eme\\ \verb|fsolve(eq,x)| &r\'esolution approch\'ee d'une \'equation\\ \verb|fsolve([eq1,eq2],[x,y])| &r\'esolution approch\'ee d'un syst\`eme\\ \verb|newton| & m\'ethode de Newton\\ \verb|linsolve| & syst\`eme lin\'eaire\\ \verb|proot| & racines approch\'ees d'un polyn\^ome\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{newton@{\verb+newton+}} \index{linsolve@{\verb+linsolve+}} \index{proot@{\verb+proot+}} % \subsection{Equations diff\'erentielles} % \index{equation@\'equation!diff\'erentielle} Comme dans les deux sections pr\'ec\'edentes, on distingue le calcul exact, qui n'est pas toujours possible, du calcul approch\'e. La r\'esolution exacte s'effectue par \verb|desolve|. Les d\'eriv\'ees de la fonction inconnue $y$ peuvent s'\'ecrire $y'$, $y''$, qui sont traduits en \verb|diff(y)|, \verb|diff(diff(y))|. Si on ne sp\'ecifie pas de condition initiale, le r\'esultat est donn\'e en fonction de constantes arbitraires. \begin{verbatim} desolve(y'=y,y) desolve(y''+2*y'+y=0,y) desolve((x^2-1)*y'+2*y=0,y) \end{verbatim} Les conditions initiales sont vues comme des \'equations suppl\'ementaires, qui forment une liste avec l'\'equation diff\'erentielle. \begin{verbatim} desolve([y'=y,y(0)=1],y) desolve([y"+2*y'+y=0,y(0)=1],y) desolve([y"+2*y'+y=0,y(0)=1,y'(0)=1],y) desolve([y"+2*y'+y=0,y(0)=1,y(1)=0],y) desolve([(x^2-1)*y'+2*y=0,y(0)=1],y) desolve((t^2-1)*diff(y(t),t)+2*y(t)=0,y(t)) \end{verbatim} \index{desolve@{\verb+desolve+}} \index{odesolve@{\verb+odesolve+}} La fonction \verb|odesolve| permet de r\'esoudre par des m\'ethodes num\'eriques une \'equation diff\'erentielle $y'=f(x,y)$ passant par un point $(x_0,y_0)$. Par exemple \begin{verbatim} odesolve(sin(x*y),[x,y],[0,1],2) \end{verbatim} permet de calculer $y(2)$ o\`u $y(x)$ est la solution de $y'(x)=\sin(xy)$, telle que $y(0)=1$. La fonction \verb|plotode| repr\'esente graphiquement la solution d'une \'equation diff\'erentielle, \verb|plotfield| repr\'esente le champ des tangentes. La fonction \verb|interactive_odeplot| repr\'esente le champ des tangentes et permet de cliquer sur le graphique pour tracer les solutions passant par les points cliqu\'es. \begin{verbatim} plotfield(sin(x*y),[x,y]) plotode(sin(x*y),[x,y],[0,1]) erase() interactive_plotode(sin(x*y),[x,y]) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Equations diff\'erentielles}\\ \hline\hline \verb|desolve| &r\'esolution exacte\\ \verb|odesolve| &r\'esolution approch\'ee\\ \verb|plotode| &trac\'e de trajectoire\\ \verb|plotfield| &trac\'e d'un champ de vecteurs\\ \verb|interactive_plotode| & interface cliquable\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{plotfield@{\verb+plotfield+}} \index{plotode@{\verb+plotode+}} \index{interactiveplotode@{\verb+interactive_plotode+}} % \section{Outils pour l'Alg\`ebre} \subsection{Arithm\'etique des entiers} % \index{arithm\'etique} Les op\'erations sur les entiers figurent dans le menu \verb|Cmds->Entier|. \index{modulo} Les calculs modulo $p$ se font en utilisant \verb|% p|. Une fois d\'efini un entier modulo $p$, disons \verb|a:=3%5|, tous les calculs seront efffectu\'es dans $\Z/p\Z$~: \verb|a*2| renvoie \verb|1%5| (6 modulo 5), \verb|1/a| renvoie \verb|2%5|, \ldots~ Pour calculer efficacement les puissances modulo $p$, on peut utiliser ce qui pr\'ec\`ede, ou la fonction \verb|powermod| ou \verb|powmod|. \begin{verbatim} a:=3%5 a+12 a^4 powermod(3,4,5) \end{verbatim} \index{powermod@{\verb+powermod+}} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Nombres entiers}\\ \hline\hline \verb|a%p| & $a$ modulo $p$\\ \verb|powmod(a,n,p)| & $a^n$ modulo $p$\\ \verb|irem| &reste de la division euclidienne\\ \verb|iquo| "ient de la division euclidienne\\ \verb|iquorem| "ient et reste\\ \hline \verb|ifactor| & d\'ecomposition en facteurs premiers\\ \verb|ifactors| & liste des facteurs premiers\\ \verb|idivis| & liste des diviseurs\\ \hline \verb|gcd| & plus grand diviseur commun\\ \verb|lcm| & plus petit multiple commun\\ \verb|iegcd| & identit\'e de Bezout\\ \verb|iabcuv| & renvoie $[u,v]$ tels que $au+bv=c$\\ \hline \verb|is_prime| & l'entier est-il premier\\ \verb|nextprime| & prochain entier premier\\ \verb|previousprime| & entier premier pr\'ec\'edent\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{irem@{\verb+irem+}} \index{reste} \index{iquo@{\verb+iquo+}} \index{quotient} \index{iquorem@{\verb+iquorem+}} \index{ifactor@{\verb+ifactor+}} \index{facteurs premiers} \index{ifactors@{\verb+ifactors+}} \index{idivis@{\verb+idivis+}} \index{gcd@{\verb+gcd+}} \index{PGCD} \index{lcm@{\verb+lcm+}} \index{PPCM} \index{iegcd@{\verb+iegcd+}} \index{Bezout} \index{iabcuv@{\verb+iabcuv+}} \index{isprime@{\verb+is_prime+}} \index{nombre!premier} \index{nextprime@{\verb+nextprime+}} \index{previousprime@{\verb+previousprime+}} % \subsection{Polyn\^omes et fractions rationnelles} % \index{polyn\^ome} \index{fraction rationnelle} Les fonctions de traitement des polyn\^omes sont dans le menu \verb|Cmds->Polyn\^omes|. On utilise \verb|normal| ou \verb|expand| pour d\'evelopper, ou plus g\'en\'eralement mettre une fraction sous forme irr\'eductible, et \verb|factor| pour factoriser. \index{normal@{\verb+normal+}} \index{expand@{\verb+expand+}} Le r\'esultat d\'epend du corps de nombres dans lequel on se place. Par d\'efaut il s'agit des rationnels si les coefficients sont exacts ou des r\'eels sinon. Pour les complexes (exacts ou approch\'ees), il faut activer l'option \verb|Complexe| \`a partir du bouton rappelant la configuration \verb| Config:...|. On peut aussi d\'eclarer les coefficients comme des entiers modulo $p$ pour travailler dans $\Z/p\Z$ (commande \verb|%|) ou dans un corps fini (d\'efini par la commande \verb|GF|). Ex\'ecutez les commandes suivantes avant et apr\`es avoir activ\'e l'option \verb|Complexe|. \begin{verbatim} P:=x^4-1 factor(P) gcd(P,x^3-1) divis(P) propfrac(x^4/P) partfrac(4/P) Q:=(x^4+1)%3 factor(Q) G:=GF(2,8,['a','G']) factor(G(a^3)*x^2+1) genpoly(5,3,x) genpoly(2,3,x) genpoly(2*y+5,3,x) \end{verbatim} \index{normal@{\verb+normal+}} \index{expand@{\verb+expand+}} \index{ptaylor@{\verb+ptayl+}} \index{peval@{\verb+peval+}} \index{horner@{\verb+horner+}} \index{genpoly@{\verb+genpoly+}} \index{canonicalform@{\verb+canonical_form+}} \index{coeff@{\verb+coeff+}} \index{poly2symb@{\verb+poly2symb+}} \index{symb2poly@{\verb+symb2poly+}} \index{pcoeff@{\verb+pcoeff+}} \index{degree@{\verb+degree+}} \index{lcoeff@{\verb+lcoeff+}} \index{valuation@{\verb+valuation+}} \index{tcoeff@{\verb+tcoeff+}} \index{partfrac@{\verb+partfrac+}} \index{decomposition@d\'ecomposition en \'el\'ements simples} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Polyn\^omes}\\ \hline\hline \verb|normal| &forme normale (d\'evelopp\'ee et r\'eduite)\\ \verb|expand| &forme d\'evelopp\'ee\\ \verb|ptayl| &forme de Taylor\\ \verb|peval| ou \verb|horner| &\'evaluation en un point par l'algorithme de Horner\\ \verb|genpoly| & polyn\^ome d\'efini par sa valeur en un point\\ \verb|canonical_form| & trin\^ome sous forme canonique\\ \hline \verb|coeff| &(liste des) coefficient(s)\\ \verb|poly2symb| & de l'expression alg\'ebrique \`a la forme symbolique\\ \verb|symb2poly| & de la forme symbolique \`a l'expression alg\'ebrique\\ \verb|pcoeff| &polyn\^ome d\'ecrit par ses racines\\ \hline \verb|degree| °r\'e\\ \verb|lcoeff| &coefficient du terme de plus haut degr\'e\\ \verb|valuation| °r\'e du mon\^ome de plus bas degr\'e\\ \verb|tcoeff| &coefficient du terme de plus bas degr\'e\\ \hline \verb|factor| & d\'ecomposition en facteurs premiers\\ \verb|factors| & liste des facteurs premiers\\ \verb|divis| & liste des diviseurs\\ \verb|collect| & factorisation sur les entiers\\ \hline \verb|froot| & racines avec leurs multiplicit\'es\\ \verb|proot| & valeurs approch\'ees des racines\\ \verb|sturmab| & nombre de racines dans un intervalle\\ \hline \verb|getNum| & num\'erateur d'une fraction rationnelle\\ \verb|getDenom| & d\'enominateur d'une fraction rationnelle\\ \verb|propfrac| & isole partie enti\`ere et fraction propre\\ \verb|partfrac| & d\'ecomposition en \'el\'ements simples\\ \hline \verb|quo| & quotient de la division euclidienne\\ \verb|rem| & reste de la division euclidienne\\ \verb|gcd| & plus grand diviseur commun\\ \verb|lcm| & plus petit multiple commun\\ \verb|egcd| & identit\'e de Bezout\\ \verb|divpc| & division suivant les puissances croissantes\\ \hline \verb|randpoly| & polyn\^ome al\'eatoire\\ \verb|cyclotomic| & polyn\^omes cyclotomiques\\ \verb|lagrange| & polyn\^omes de Lagrange\\ \verb|hermite| & polyn\^omes de Hermite\\ \verb|laguerre| & polyn\^omes de Laguerre\\ \verb|tchebyshev1| & polyn\^omes de Tchebyshev\\ \verb|tchebyshev2| & polyn\^omes de Tchebyshev\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{rem@{\verb+rem+}} \index{reste} \index{quo@{\verb+quo+}} \index{quotient} \index{factor@{\verb+factor+}} \index{facteurs premiers} \index{factors@{\verb+factors+}} \index{divis@{\verb+divis+}} \index{gcd@{\verb+gcd+}} \index{PGCD} \index{lcm@{\verb+lcm+}} \index{PPCM} \index{egcd@{\verb+egcd+}} \index{Bezout} \index{randpoly@{\verb+randpoly+}} \index{polyn\^ome!al\'eatoire} \index{cyclotomic@{\verb+cyclotomic+}} \index{polyn\^ome!cyclotomique} \index{lagrange@{\verb+lagrange+}} \index{polyn\^ome!de Lagrange} \index{hermite@{\verb+hermite+}} \index{polyn\^ome!de Hermite} \index{laguerre@{\verb+laguerre+}} \index{polyn\^ome!de Laguerre} \index{tchebyshev1@{\verb+tchebyshev1+}} \index{polyn\^ome!de Tchebyshev} \index{tchebyshev2@{\verb+tchebyshev2+}} % \subsection{Trigonom\'etrie} % \index{trigonom\'etrie} Le menu \verb|Cmds->R\'eel->Transcendental| contient les fonctions circulaires et hyperboliques ainsi que leurs inverses. Pour lin\'eariser et d\'evelopper on utilise \verb|tlin| et \verb|texpand|. Beaucoup d'autres r\'e\'ecritures sont accessibles \`a partir des menus \begin{itemize} \item[$\bullet$] \verb|Expression->Trigo|~: transformations en $\tan(x/2)$ ({\tt halftan}), transformation des tangentes en sinus et cosinus ({\tt tan2sincos}), \ldots \item[$\bullet$] \verb|Expression->Trigo exp|~: transformation des fonctions trigonom\'etriques en exponentielles par les formules d'Euler ({\tt trig2exp}), transformation des exponentielles en fonctions trigonom\'etriques ({\tt exp2trig}), transformation des exponentielles en puissances ({\tt exp2pow})..., \item[$\bullet$] \verb|Expression->Trigo inv|~: transformation des fonctions inverses \end{itemize} \begin{verbatim} exp2pow(exp(3*ln(x))) exp2trig(exp(i*x)) trig2exp(cos(x)) E:=sin(x)^4+sin(x)^3 El:=tlin(E) texpand(El) tsimplify(E) tsimplify(El) tsimplify(E-El) halftan(E) trig2exp(El) Et:=trigtan(E) tan2sincos(Et) tan2sincos2(Et) tan2cossin2(Et) \end{verbatim} \index{halftan@{\verb+halftan+}} \index{trigtan@{\verb+trigtan+}} \index{tan2sincos@{\verb+tan2sincos+}} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Trigonom\'etrie}\\ \hline\hline \verb|tlin| &lin\'eariser\\ \verb|tcollect| & lin\'eariser et regrouper\\ \verb|texpand| &forme polynomiale\\ \verb|trig2exp| &trigonom\'etrique vers exponentielle\\ \verb|exp2trig| &exponentielle vers trigonom\'etrique\\ \verb|hyp2exp| &hyperbolique vers exponentielle\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{tlin@{\verb+tlin+}} \index{tcollect@{\verb+tcollect+}} \index{texpand@{\verb+texpand+}} \index{trig2exp@{\verb+trig2exp+}} \index{exp2trig@{\verb+exp2trig+}} \index{hyp2exp@{\verb+hyp2exp+}} % \subsection{Vecteurs et matrices} % \index{vecteur} \index{matrice} Un vecteur est une liste de nombres, une matrice est la liste de ses vecteurs lignes. Le produit matriciel est not\'e comme le produit ordinaire \verb|*|. Les vecteurs sont a priori des vecteurs lignes, mais le produit \`a droite par un vecteur ligne est effectu\'e comme si c'\'etait une colonne. En particulier, si \verb|v| et \verb|w| sont deux vecteurs de m\^eme taille, \verb|v*w| retourne leur produit scalaire. \index{produit!matriciel} \begin{verbatim} A:=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] v:=[1,1,1] v*v A*v v*A B:=[[1,1,1],[2,2,2]] A*B B*A A*tran(B) \end{verbatim} A partir d'une fonction qui \`a deux indices $(j,k)$ associe un r\'eel $a(j,k)$, on peut constituer une matrice avec \verb|makemat| ou \verb|matrix|. Pour \verb|makemat| les indices commencent \`a 0, pour \verb|matrix| il commencent \` a 1. \index{makemat@{\verb+makemat+}} \index{matrix@{\verb+matrix+}} \begin{verbatim} makemat((j,k)->j+2*k,3,2) matrix(3,2,(j,k)->j+2*k) \end{verbatim} On peut aussi cr\'eer des matrices par blocs avec la commande \verb|blockmatrix|. \index{blockmatrix@{\verb+blockmatrix+}} \begin{verbatim} A:=makemat((j,k)->j+2*k,3,2) B:=idn(3) blockmatrix(1,2,[A,B]) blockmatrix(2,2,[A,B,B,A]) \end{verbatim} On acc\`ede \`a un \'el\'ement d'une matrice gr\^ace \`a deux indices s\'epar\'es par une virgule et mis entre crochets. Le premier indice est l'indice de la ligne et le deuxi\`eme celui de la colonne. Les indices commencent \`a 0. Par exemple, si \verb|A:=[[0,2],[1,3],[2,4]]| alors \verb|A[2,1]| renvoie \verb|4|. Pour extraire un bloc de la matrice, on utilise des intervalles comme indices~: \verb|A[1..2,0..1]| renvoie le bloc constitu\'e des lignes 1 \`a 2 et des colonnes 0 \`a 1. Notez que les matrices de {\tt Xcas} sont recopi\'ees enti\`erement \`a chaque modification d'un coefficient. Ceci est p\'enalisant si on modifie successivement dans un programme beaucoup de coefficients d'une m\^eme (grande) matrice. \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Vecteurs et matrices}\\ \hline\hline \verb|v*w| &produit scalaire\\ \verb|cross(v,w)| & produit vectoriel\\ \verb|A*B| &produit matriciel\\ \verb|A.*B| &produit terme \`a terme\\ \verb|1/A| &inverse\\ \verb|tran|&transpos\'ee\\ \verb|rank| &rang\\ \verb|det| &d\'eterminant\\ \verb|ker| & base du noyau\\ \verb|image| & base de l'image\\ \verb|idn| &matrice identit\'e\\ \verb|ranm| &matrice \`a coefficients al\'eatoires\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{produit!scalaire} \index{produit!vectoriel} \index{produit!matriciel} \index{produit!terme \`a terme} \index{rank@{\verb+rank+}} \index{det@{\verb+det+}} \index{ker@{\verb+ker+}} \index{image@{\verb+image+}} \index{idn@{\verb+idn+}} \index{ranm@{\verb+ranm+}} \index{matrice!identit\'e} \index{matrice!al\'eatoire} \index{matrice!rang d'une} \index{matrice!noyau d'une} \index{matrice!image d'une} \index{matrice!d\'eterminant d'une} \index{determinant@d\'eterminant} % \subsection{Syst\`emes lin\'eaires} % \index{syst\`eme!lin\'eaire} \index{linsolve@{\verb+linsolve+}} \index{rref@{\verb+rref+}} \index{simult@{\verb+simult+}} La fonction \verb|linsolve| r\'esout une liste d'\'equations lin\'eaires, avec la m\^eme syntaxe que solve. On peut aussi utiliser \verb|simult| pour r\'esoudre plusieurs syst\`emes d'\'equations lin\'eaires qui ne diff\`erent que par leur second membre, en mettant comme premier argument la matrice du syst\`eme et comme second argument la matrice dont la (ou les) colonnes sont le (ou les) second membre(s) des syst\`emes, ou bien \verb|rref| d'argument une matrice obtenue en bordant la matrice du syst\`eme avec lesecond membre ({\tt border(A,tran(b))} si {\tt b} est une matrice colonne). Quand le syst\`eme est impossible, \verb|linsolve| retourne la liste vide, \verb|simult| retourne un message d'erreur, \verb|rref| retourne une matrice dont une des lignes est nulle, sauf le dernier coefficient. Quand le syst\`eme est ind\'etermin\'e, \verb|linsolve| retourne la solution fonction de certaines variables, \verb|simult| retourne seulement une solution, \verb|rref| retourne une matrice dont une ou plusieurs lignes sont nulles. L'exemple ci-dessous concerne le syst\`eme $$ \left\{ \begin{array}{llllllr} x &+& y &+& az&=&1\\ x & +& a y&+& z&=&1 \\ ax & +&y &+& z&=&-2 \end{array}\right. $$ Il a une solution unique pour $a\neq 1$ et $a\neq -2$, il est impossible pour $a=1$ et il est ind\'etermin\'e pour $a=-2$. \begin{verbatim} linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z]) a:=1 linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z]) a:=-2 linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z]) purge(a) A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]] solve(det(A),a) A1:=subst(A,a=1) rank(A1) image(A1) ker(A1) A2:=subst(A,a=-2) rank(A2) image(A2) ker(A2) b:= [1,1,-2] B:=tran(b) simult(A,B) simult(A1,B) simult(A2,B) M:=blockmatrix(1,2,[A,B]) rref(M) rref(border(A,b)) rref(border(A1,b)) rref(border(A2,b)) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Syst\`emes lin\'eaires}\\ \hline\hline \verb|linsolve| & r\'esolution d'un syst\`eme\\ \verb|simult| & r\'esolution simultan\'ee de plusieurs syst\`emes\\ \verb|rref| & r\'eduction de Gauss-Jordan\\ \verb|rank| &rang\\ \verb|det| & d\'eterminant du syst\`eme\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{Gauss-Jordan} % \subsection{R\'eduction des matrices} % \index{diagonalisation} \index{jordan@{\verb+jordan+}} La fonction \verb|jordan| prend en entr\'ee une matrice $A$ et retourne en sortie une matrice de passage $P$ et une forme r\'eduite de Jordan $J$ telles que $P^{-1}A P=J$. Soit $A$ est diagonalisable auquel cas $J$ est diagonale et contient les valeurs propres de $A$ sur la diagonale, soit $A$ n'est pas diagonalisable et $J$ comporte des "1" ou des "0" au-dessus de la diagonale. Pour les matrices exactes et symboliques, seules les valeurs propres calculables par \verb|solve| sont accessibles. Pour des matrices de nombres approch\'es, un algorithme num\'erique est utilis\'e, et il risque d'\'echouer en cas de valeurs propres multiples ou tr\`es proches. La matrice $A$ de l'exemple qui suit a pour valeurs propres doubles 1 et 2. Elle est diagonalisable pour $a=0$, non diagonalisable pour $a\neq 0$. \begin{verbatim} A:=[[1,1,-1,0],[0,1,0,a],[0,-1,2,0],[1,0,1,2] factor(poly2symb(simplify(pcar(A)))) jordan(A) eigenvals(A) eigenvects(A) jordan(subs(A,a=0)) eigenvects(subs(A,a=1)) jordan(evalf(subs(A,a=0))) jordan(evalf(subs(A,a=1))) \end{verbatim} Certaines fonctions, d\'efinies par des s\'eries enti\`eres, s'\'etendent aux matrices d\`es lors que l'on sait calculer leur forme de Jordan. La plus utile est l'exponentielle. \begin{verbatim} A:=[[0,1,0],[0,0,1],[-2,1,2]] jordan(A) exp(A) ln(A) sin(A) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf R\'eduction des matrices}\\ \hline\hline \verb|jordan| & diagonalisation ou r\'eduction de Jordan\\ \verb|pcar| & coefficients du polyn\^ome caract\'eristique\\ \verb|pmin| & coefficients du polyn\^ome minimal\\ \verb|eigenvals| & valeurs propres\\ \verb|eigenvects| & vecteurs propres\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{pcar@{\verb+pcar+}} \index{pmin@{\verb+pmin+}} \index{eigenvals@{\verb+eigenvals+}} \index{eigenvects@{\verb+eigenvects+}} \index{polyn\^ome!caract\'eristique} \index{polyn\^ome!minimal} \index{valeurs propres} \index{vecteurs propres} \index{propre!valeur} \index{propre!vecteur} % \section{Repr\'esentations graphiques} % Pour obtenir une repr\'esentation graphique dans Xcas, il faut saisir une commande dont la sortie est un objet graphique. Pour vous aider \`a effectuer les repr\'esentations graphiques les plus courantes, le menu \verb|Graphic| vous propose des boites de dialogue qui se chargent de cr\'eer une ligne de commande et de le valider pour afficher le graphique souhait\'e. Si vous souhaitez repr\'esenter plusieurs objets graphiques dans une m\^eme repr\'esentation, vous devez s\'eparer les commandes les cr\'eant par un \verb|;|. Vous pouvez aussi cr\'eer une figure (menu \verb|Geo|, \verb|Nouvelle figure|) et utiliser le menu \verb|Geo| pour cr\'eer des objets g\'eom\'etriques. Chaque commande graphique cr\'ee un objet graphique 2-d ou 3-d, qui est traduit en r\'eponse par une image dans la fen\^etre {\tt Xcas}. A droite de cette image, des boutons de zoom \verb|in| et \verb|out| permettent d'agrandir ou de rapetisser la repr\'esentation, des fl\`eches permettent de la d\'eplacer. Les param\`etres par d\'efaut (en particulier les intervalles de repr\'esentation en abscisse et ordonn\'ee) peuvent \^etre chang\'es dans la fen\^etre de configuration graphique accessible depuis le menu \verb|Cfg->Configuration graphique|. \index{ClrGraph@{\verb+ClrGraph+}} \index{effacer@effacer} Notez enfin que les objets graphiques 2-d sont aussi affich\'es dans une fen\^etre appel\'ee \verb|DispG| (Display Graphics) que vous pouvez faire appara\^\i tre par le menu \verb|Cfg->Montrer->DispG| ou avec la commande \verb|DispG|. La diff\'erence est que les graphiques successifs sont trac\'es individuellement dans chaque fen\^etre de r\'eponse, alors qu'ils sont superpos\'es dans la fen\^etre \verb|DispG|. Vous pouvez effacer la fen\^etre \verb|DispG| par la commande \verb|ClrGraph|. \index{affichage graphique} \index{dispg@{\verb+DispG+}} \index{zoom} \subsection{Trac\'es de courbes} % Pour cr\'eer rapidement des trac\'es de courbes simples, il est conseill\'e d'utiliser le menu \verb|Graphic|. L'instruction de trac\'e d'une courbe repr\'esentative de fonction est \verb|plot| avec en param\`etres une expression ou une liste d'expressions dont on veut la repr\'esentation graphique, puis la variable (\'eventuellement on indique l'intervalle de valeurs de la variable). \index{plot@{\verb+plot+}} \index{fonction!graphe d'une} Pour distinguer plusieurs courbes, on peut utiliser un troisi\`eme argument par exemple \verb|couleur=| suivi de la liste des couleurs \`a utiliser. Les couleurs peuvent \^etre cod\'ees par leur nom fran\c{c}ais, leur nom anglais ou leur num\'ero. La fonction \verb|couleur| change la couleur de base pour toutes les fonctions graphiques qui suivent. La fonction \verb|tangent| permet d'obtenir la tangente \`a une courbe en un point. \index{couleur@{\verb+couleur+}} \index{tangente@{\verb+tangente+}} \begin{verbatim} E:=(2*x+1)/(x^2+1);plot(E) plot(E,x=-2..2,color=red) couleur(vert);plot(E,couleur=rouge);tangent(plot(E),0) DispG() plot([sin(x),x,x-x^3/6],x=-2..2,couleur=[rouge,bleu,vert]) erase li:=[(x+k*0.5)^2$(k=-5..5)]:; plot(li,x=-8..8,couleur=[k$(k=0..10)]) \end{verbatim} La fonction \verb|plotparam| permet d'effectuer le trac\'e de $(x(t),y(t))$. Il faut d\'efinir les deux coordonn\'ees comme une seule expression complexe dont $x(t)$ est la partie r\'eelle et $y(t)$ la partie imaginaire. La fonction \verb|plotpolar| trace les courbes en coordonn\'ees polaires. La commande \verb|plotimplicit(f(x,y),x,y)| trace l'ensemble des solutions de $f(x,y)=0$. \begin{verbatim} plotparam(sin(t)^3+i*cos(t)^3,t,0,2*pi) plotparam(t^2+i*t^3,t,-1,1) plotpolar(1/(1-2sin(t/2)),t,0,4*pi) plotpolar(tan(t)+tan(t/2),t,0,2*pi) plotimplicit(x^2+4*y^2-4,x,y) \end{verbatim} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Trac\'es de courbes}\\ \hline\hline \verb|plot| & graphe d'une expression d'une variable\\ \verb|plotfunc| & graphe d'une expression d'1 ou 2 variable(s)\\ \verb|couleur| & choisir la couleur d'un trac\'e\\ \verb|tangent| & tangente \`a une courbe\\ \verb|plotparam| & courbe param\'etrique\\ \verb|plotpolar| & courbe en polaires\\ \verb|plotimplicit| & courbe implicite\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{plotparam@{\verb+plotparam+}} \index{plopolar@{\verb+plotpolar+}} \index{plotimplicit@{\verb+plotimplicit+}} \index{courbe!param\'etrique} \index{courbe!en polaires} \index{courbe!implicite} % \subsection{Objets graphiques 2D} % {\tt Xcas} \'etant aussi un logiciel de g\'eom\'etrie plane, de nombreuses figures peuvent \^etre trac\'ees (dans un \'ecran que l'on obtient avec {\tt Alt+g}) par des commandes du menu \verb|Geo|, par exemple des polygones, des coniques\ldots~ Les arguments de ces commandes sont souvent des points (commande \verb|point|) qui peuvent en g\'en\'eral \^etre saisis directement par leur affixe complexe. Par exemple \verb|cercle(2+3*i,2)| trace le cercle centr\'e au point $(2,3)$, de rayon 2. La commande \verb|legende| permet de placer un texte \`a un endroit, lui aussi sp\'ecifi\'e par un nombre complexe. Les fonctions \verb|polygonplot| et \verb|scatterplot| prennent en entr\'ee une liste d'abscisses et une liste d'ordonn\'ees. \begin{verbatim} lx:=[k$(k=1..10)] ly:=apply(sin,lx) polygonplot(lx,ly) erase scatterplot(lx,ly) polygone_ouvert(lx+i*ly) \end{verbatim} %$ \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Objets graphiques 2D}\\ \hline\hline \verb|legend| & met du texte \`a partir d'un point donn\'e\\ \verb|point| & point donn\'e par son affixe ou 2 coordonn\'ees\\ \verb|segment| & segment donn\'ee par 2 points\\ \verb|droite| & droite donn\'ee par son \'equation ou 2 points\\ \verb|cercle| & cercle donn\'ee par centre et rayon\\ \verb|inter| & intersection de courbes\\ \verb|equation| & \'equation cart\'esienne\\ \verb|parameq| & \'equation param\'etrique\\ \verb|polygonplot| & ligne polygonale\\ \verb|scatterplot| & nuage de points\\ \verb|polygone| & polygone ferm\'e\\ \verb|polygone_ouvert| & polygone ouvert\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{legend@{\verb+legend+}} \index{texte} \index{point@{\verb+point+}} \index{ligne polygonale} \index{polygonplot@{\verb+polygonplot+}} \index{polygone@{\verb+polygone+}} \index{polygoneouvert@{\verb+polygone_ouvert+}} \index{nuage de points} \index{droite@{\verb+droite+}} \index{cercle@{\verb+cercle+}} \index{equation@{\verb+equation+}} \index{parameq@{\verb+parameq+}} \index{inter@{\verb+inter+}} % \subsection{Objets graphiques 3D} % \begin{itemize} \item Pour tracer une surface d\'efinie par l'\'equation $z=f(x,y)$, on utilise la commande \verb|plotfunc|, avec en arguments l'\'equation de la surface et la liste des deux variables. On peut aussi indiquer la plage de variable, et la discr\'etisation. \begin{verbatim} plotfunc(x^2-y^2,[x,y]) plotfunc(x+y^2,[x=-5..5,y=-2..2],xstep=0.5,ystep=0.1, affichage=vert+rempli) \end{verbatim} On obtient une surface en dimension 3. Pour modifier le point de vue, utilisez la souris en-dehors du cube de visualisation ou cliquez dans la figure 3-d, puis utilisez les touches x,X,y,Y,z,Z (rotations par rapport aux axes), + et - pour les zooms, les fl\`eches de direction et page up/down pour changer la fen\^etre de visualisation (la fen\^etre de calcul par d\'efaut est d\'efinie par la configuration graphique si on ne l'a pas indiqu\'ee en param\`etre dans \verb|plotfunc|) \item On peut aussi tracer une surface param\'etr\'ee avec \verb|plotparam| dont le premier argument est une liste de taille 3 contenant les coordonn\'ees du point et les 2 arguments suivants les param\`etres~: \begin{verbatim} plotparam([u,v,u+v],u=-1..1,v=-2..2) \end{verbatim} \item Pour tracer des courbes param\'etr\'ees dans l'espace, on utilise aussi la commande \verb|plotparam| mais avec un seul param\`etre~: \begin{verbatim} plotparam([u,u^2,u^3],u=-1..1) \end{verbatim} \item On peut aussi tracer des objets g\'eom\'etriques 3D dans une figure 3-d que l'on obtient avec {\tt Alt+h}, puis en utilisant des commandes du menu \verb|Geo|, par exemple~: point, droite ,plan, polygone, sphere\ldots \begin{verbatim} plan(z=x+y); droite(x=y,z=y); A:=point(1,2,3); B:=point(2,-1,1); C:=point(1,0,0); plan(A,B,C,couleur=cyan); droite(A,B,affichage=line_width_3) \end{verbatim} \end{itemize} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Objets graphiques 3D}\\ \hline\hline \verb|plotfunc| & surface par \'equation \\ \verb|plotparam| & surface ou courbe param\'etrique\\ \hline\hline \verb|point| & point donn\'e par 3 coordonn\'ees\\ \verb|droite| & droite donn\'ee par 2 \'equations ou 2 points\\ \verb|plan| & plan donn\'e par 1 \'equation ou 3 points \\ \verb|sphere| & sph\`ere donn\'ee par centre et rayon\\ \verb|cone| & cone donn\'e par centre, axe, angle d'ouverture \\ \verb|inter| & intersection \\ \verb|polygone| & polygone \\ \verb|polygone_ouvert| & polygone ouvert\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{espace} \index{plotfunc@{\verb+plotfunc+}} \index{plotparam@{\verb+plotparam+}} \index{point@{\verb+point+}} \index{ligne polygonale} \index{polygonplot@{\verb+polygonplot+}} \index{polygone@{\verb+polygone+}} \index{polygoneouvert@{\verb+polygone_ouvert+}} \index{droite@{\verb+droite+}} \index{plan@{\verb+plan+}} \index{sphere@{\verb+sphere+}} \index{cone@{\verb+cone+}} \index{inter@{\verb+inter+}} \section{Programmation} % \subsection{Le langage} % {\tt Xcas} permet d'\'ecrire des programmes, comme n'importe quel langage de programmation. Voici ses principales caract\'eristiques. \index{langage!fonctionnel} \index{langage!non typ\'e} \index{programmation} \begin{itemize} \item[$\bullet$] C'est un langage fonctionnel. L'argument d'une fonction peut \^etre une autre fonction. Si c'est le cas, on peut soit donner le nom de la fonction argument dans la commande, soit sa d\'efinition~: par exemple \verb|function_diff(f)| ou bien \verb|function_diff(x->x^2)|. \item[$\bullet$] Il n'y a pas de distinction entre programme et fonction~: une fonction renvoie la valeur de la derni\`ere instruction \'evalu\'ee ou ce qui suit le mot r\'eserv\'e \verb|return|. Comme pour tous les environnements de calcul, programmer consiste \`a \'etendre {\tt Xcas} en lui rajoutant les fonctions souhait\'ees. Structurer la programmation consiste \`a hi\'erarchiser les diff\'erentes fonctions qui s'appellent entre elles. \item[$\bullet$] Le langage est non typ\'e. On distingue seulement les variables globales, qui ne sont pas d\'eclar\'ees, et les variables locales, d\'eclar\'ees en d\'ebut de fonction. \end{itemize} \index{table} Dans un programme, lorsqu'on appelle une variable munie d'un indice qui n'est pas affect\'ee \`a une liste, s\'equence ou matrice, c'est une table qui est cr\'e\'ee, et non une liste. Une table est un conteneur d'objets analogue aux listes et aux s\'equences. La diff\'erence est qu'elle peut \^etre indic\'ee par autre chose qu'un entier, par exemple une cha\^\i ne de caract\`eres\ldots~ Si \verb|a| est une variable formelle, la commande \verb|a[4]:=2| cr\'ee une table \verb|a|.\\ Pour que \verb|a| soit une liste, il faut d'abord affecter \verb|a| \`a une liste par exemple \verb|a:=[0$10]| %$ (si la taille de la liste est connue) ou \verb|a:=[]| puis \verb|a[4]:=2|. M\^eme si le langage est non typ\'e, il est donc recommand\'e d'initialiser les variables avant de les utiliser. \vskip 2mm\noindent La syntaxe de d\'eclaration d'une fonction est la suivante. \begin{verbatim} nom_fonction(var1,var2,...):={ local var_loc1, var_loc2,... ; instruction1; instruction2; ... } \end{verbatim} La syntaxe est soit avec des mots clef en fran\c{c}ais soit celle du langage C++. \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Instructions en fan\c{c}ais}\\ \hline\hline affectation& \verb| a:=2;|\\ entr\'ee expression& \verb| saisir("a=",a);| \\ entr\'ee chaine& \verb| saisir_chaine("a=",a);| \\ sortie& \verb| afficher("a=",a);|\\ valeur retourn\'ee& \verb| retourne(a);|\\ arr\^et dans boucle& \verb| break;|\\ alternative& \verb| si alors fsi;| \\ &\verb| si alors sinon fsi;| \\ boucle pour& \verb| pour j de a jusque b faire fpour;|\\ & \verb| pour j de a jusque b pas p faire fpour;|\\ boucle r\'ep\'eter& \verb| repeter jusqua ;|\\ boucle tantque& \verb| tantque faire ftantque;|\\ boucle faire& \verb| faire si break;|\\ &\verb| ffaire;|\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Instructions comme en C++}\\ \hline\hline affectation& \verb| a:=2;|\\ entr\'ee expression& \verb| input("a=",a);| \\ entr\'ee chaine& \verb| textinput("a=",a);| \\ sortie& \verb| print("a=",a);|\\ valeur retourn\'ee& \verb| return(a);|\\ arr\^et dans boucle& \verb| break;|\\ alternative& \verb| if () {};| \\ & \verb| if () {} else {};| \\ boucle pour& \verb| for (j:= a;j<=b;j++) {};|\\ & \verb| for (j:= a;j<=b;j:=j+p) {};|\\ boucle r\'ep\'eter& \verb| repeat until ;|\\ boucle tantque& \verb| while () {};|\\ boucle faire& \verb| do if () break; od;|\\ \hline \end{tabular} \end{center} Pour les tests, une condition est un bool\'een, r\'esultat d'une expression logique, utilisant les op\'erateurs habituels. \vskip 2mm \index{test} \index{if@{\verb+if+}} \index{else@{\verb+else+}} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|l|l||l|l|} \hline \multicolumn{4}{|c|}{\bf Op\'erateurs logiques}\\ \hline\hline \verb+==+& teste l'\'egalit\'e&\verb+!=+& teste la diff\'erence\\ \verb+<+&teste la stricte inf\'eriorit\'e&\verb+>+&teste la stricte sup\'eriorit\'e\\ \verb+<=+&teste l'inf\'eriorit\'e ou l'\'egalit\'e&\verb+>=+&teste la sup\'eriorit\'e ou l'\'egalit\'e\\ \verb+&&, et +&op\'erateur bool\'een infix\'e et&\verb+||, ou+&op\'erateur bool\'een infix\'e ou\\ \verb+vrai+&est le bool\'een true ou 1&\verb+faux+&est le bool\'een false ou 0\\ \verb+non, !+& inverse logique&\verb++&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{et} \index{ou} \index{non} \index{test} \index{if@{\verb+if+}} \index{else@{\verb+else+}} \index{for@{\verb+for+}} \index{boucle} Attention, \verb|i| d\'esigne $\sqrt{-1}$ et ne peut pas \^etre utilis\'e comme variable de boucle. L'instruction \verb|break;| permet de sortir d'une boucle et \verb|continue;| de passer imm\'ediatement \`a l'it\'eration suivante. \index{break@{\verb+break+}} \index{continue@{\verb+continue+}} De nombreuses variantes sont reconnues en particulier en mode de compatibilit\'e avec Maple, Mupad et les TI89/Voyage 200. \index{erreur} On peut capturer des erreurs d'ex\'ecution par \begin{verbatim} try {bloc_erreurs_capturees} catch (variable) {bloc_execute_si_erreur} \end{verbatim} Par exemple : \begin{verbatim} try{A:=idn(2)*idn(3)} catch(erreur) {print("l'erreur est "+erreur)} \end{verbatim} % \subsection{Quelques exemples} % Pour \'ecrire un programme, il est conseill\'e d'ouvrir un \'editeur de programme avec le menu \verb|Prg->Nouveau programme|. Le menu \verb|Prg| de l'\'editeur permet d'entrer facilement les structures de programmation. On peut ensuite sauvegarder le texte du programme ind\'ependamment de la session de travail pour l'utiliser ensuite dans une autre session de travail. Voici un programme qui donne le quotient et le reste de la division euclidienne de 2 entiers en utilisant les fonctions \verb|iquo| qui renvoie le quotient et \verb|irem| qui renvoie le reste (c'est la fonction \verb|iquorem| de {\tt Xcas}). \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf idiv2}\\ \hline\hline \verb+idiv2(a,b):={+ &\verb+idiv2(a,b):={+\\ \verb+ local q,r;+&\verb+ local q,r;+\\ \verb+ if (b!=0) {+&\verb+ si b!=0 alors+\\ \verb+ q:=iquo(a,b);+&\verb+ q:=iquo(a,b);+\\ \verb+ r:=irem(a,b);}+&\verb+ r:=irem(a,b);+\\ \verb+ else {+&\verb+ sinon+\\ \verb+ q:=0;+&\verb+ q:=0;+\\ \verb+ r:=a;+&\verb+ r:=a;+\\ \verb+ }+&\verb+ fsi+\\ \verb+ return [q,r];+&\verb+ retourne [q,r];+\\ \verb+}+&\verb+}+\\ \hline \end{tabular} \end{center} Saisissez cette fonction {\tt idiv2} dans un \'editeur de programme, testez-la (bouton \verb|OK|) puis sauvegardez par exemple sous le nom \verb|idiv2.cxx|. Vous pouvez utiliser cette fonction dans une ligne de commande, en tapant par exemple \verb|idiv2(25,15)|. Vous pourrez utiliser cette fonction dans une autre session {\tt Xcas}, en utilisant la commande \verb|read("idiv2.cxx")| ou en l'ouvrant depuis un \'editeur de programme (et en le validant par OK). Voici maintenant deux versions du calcul du PGCD de deux entiers, une version it\'erative, puis une version r\'ecursive. \index{iteratif} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf pgcd\_iteratif}\\ \hline\hline \verb+pgcdi(a,b):={+ &\verb+pgcdi(a,b):={+\\ \verb+ local r;+&\verb+ local r;+\\ \verb+ while (b!=0) {+&\verb+ tantque b!=0 faire+\\ \verb+ r:=irem(a,b);+&\verb+ r:=irem(a,b);+\\ \verb+ a:=b;+&\verb+ a:=b;+\\ \verb+ b:=r;+&\verb+ b:=r;+\\ \verb+ }+&\verb+ ftantque+\\ \verb+ return a;+&\verb+ retourne a;+\\ \verb+}:;+&\verb+}:;+\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 2mm \index{recursif@r\'ecursif} \vskip 2mm \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf pgcd\_recursif}\\ \hline\hline \verb+pgcdr(a,b):={+ &\verb+pgcdr(a,b):={+\\ \verb+ if (b!=0) return a;+&\verb+ si b!=0 alors retourne a;fsi+\\ \verb+ return pgcdr(b,irem(a,b));+&\verb+ retourne pgcdr(b,irem(a,b));+\\ \verb+}:;+&\verb+}:;+\\ \hline \end{tabular} \end{center} % Il arrive parfois qu'un programme ne fonctionne pas du premier coup comme pr\'evu (!) Il est alors possible de l'ex\'ecuter en mode pas-\`a-pas pour le mettre au point, avec la \index{debug@{\verb+debug+}} commande \verb|debug|. Pour plus de d\'etails consulter le menu \verb|Aide->Interface|. Par exemple, pour le programme \verb|idiv2|, on lance la mise au point en tapant :\\ \verb|debug(idiv2(25,15))|\\ Le d\'ebuggueur affiche automatiquement la valeur des param\`etres \verb|a,b| puis des variables locales \verb|q,r| lors de l'ex\'ecution instruction par instruction avec le bouton \verb|sst|. % \subsection{Style de programmation} % \index{langage!interpr\'et\'e} {\tt Xcas} est interpr\'et\'e et non compil\'e. Plus que le nombre de lignes du programme, c'est le nombre d'instructions r\'eellement ex\'ecut\'ees qui influence le temps de calcul. En r\`egle g\'en\'erale, il est plus rapide de cr\'eer des listes ou des s\'equences que de programmer des boucles. Voici quelques mani\`eres de calculer $5000!$~: comparez leurs temps d'ex\'ecution. \begin{verbatim} 5000! product([n$(n=1..5000)]) product(cumSum([1$5000])) f:=1; (f:=f*n)$(n=2..5000):;f f:=1; for(n:=1;n<=5000;n++) {f:=f*n} f:=1;n:=1; while(n<5000) {n:=n+1; f:=f*n} f:=1; (f:=f*n)$(n=2..5000) \end{verbatim} %$ La rapidit\'e d'ex\'ecution est parfois contradictoire avec la clart\'e du programme, et on doit accepter des compromis. Dans une utilisation courante, le temps de calcul n'est pas r\'eellement un enjeu~: on utilise en g\'en\'eral les langages interpr\'et\'es comme {\tt Xcas} pour tester des algorithmes et r\'ealiser des maquettes. Les applications en vraie grandeur sont cod\'ees dans des langages compil\'es comme C++ (en utilisant par exemple la librarie \verb|giac| pour les fonctions de calcul formel). \pagebreak \section{Des exercices corrig\'es avec {\tt Xcas}} \subsection{Fonction et repr\'esentation graphique (niveau terminale S)} \subsubsection{Exercice 1} On consid\`ere la fonction $f$ de $\mathbb R$-\{3\} dans $\mathbb R$ d\'efinie par : $$f(x)=(x+1)\ln|x-3|$$ \begin{enumerate} \item Calculer la deriv\'ee premi\`ere $f'$ et seconde $f''$ de $f$.\\ En d\'eduire les variations de $f'$. \item Calculer les limites de $f'$ en $-\infty$ et en 3 \`a gauche. \item Montrer que $f'$ s'annule une seule fois en $\alpha$ sur $]-\infty;3[$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0.1. \item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb R$-\{3\} et en d\'eduire les variations de $f$. \item Tracer la courbe $C$ de $f$ dans un rep\`ere orthonorm\'e (unit\'e 1$cm$). \item Calculer l'aire en $cm^2$ de la r\'egion comprise entre $C$, l'axe des abscisses et les droites d'\'equations $x=-1$ et $x=2$. \end{enumerate} {\bf R\'eponses} \begin{enumerate} \item On tape pour d\'efinir la fonction $f$ : \begin{center} \verb| f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))| \end{center} On tape pour d\'efinir la fonction $f'$ : \begin{center} \verb| f1:=function_diff(f):;| \end{center} puis, \begin{center} \verb| f1(x)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)| \end{center} Donc $\displaystyle f'(x)=\ln(|x-3|)+\frac{x+1}{x-3}$.\\ On tape pour d\'efinir la fonction $f''$ : \begin{center} \verb| f2:=function_diff(f1):;| \end{center} puis, \begin{center} \verb| f2(x)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))| \end{center} puis pour simplifier l'\'ecriture, on tape : \begin{center} \verb| normal(f2(x))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| (x-7)/(x^2-6*x+9)| \end{center} ou bien pour factoriser, on tape : \begin{center} \verb| factor(f2(x))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|(x-7)/((x-3)^2)| \end{center} Donc $\displaystyle f''(x)= \frac{x-7}{(x-3)^2}$ {\bf Autre fa\c{c}on}\\ On tape pour d\'efinir la fonction $f$ : \begin{center} \verb| f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))| \end{center} On tape pour calculer $f'(x)$ : \begin{center} \verb| dfx:=diff(f(x)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)| \end{center} Donc $\displaystyle f'(x)=\ln(|x-3|)+\frac{x+1}{x-3}$.\\ Et on tape pour d\'efinir la fonction $f'$ \`a partir de {\tt dfx}: \begin{center} \verb| f1:=unapply(dfx,x);| \end{center} On tape pour calculer $f''(x)$ : \begin{center} \verb| ddfx:=diff(dfx)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))| \end{center} ou pour avoir une \'ecriture factoris\'ee, on tape directement : \begin{center} \verb| ddfx:=factor(diff(dfx))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|(x-7)/((x-3)^2)| \end{center} Donc $\displaystyle f''(x)= \frac{x-7}{(x-3)^2}$\\ Et on tape pour d\'efinir la fonction $f''$ \`a partir de {\tt ddfx}: \begin{center} \verb| f2:=unapply(ddfx,x);| \end{center} Cette fa\c{c}on de faire \`a l'avantage de d\'efinir la fonction $f2=f''$ \`a partir d'une expression simplifi\'ee ou factoris\'ee.\\ {\bf Attention !!!} On ne peut pas \'ecrire par exemple :\\ {\tt g(x):=normal(diff(f(x)))} pour d\'efinir la fonction $g=f'$ mais on doit \'ecrire {\tt g:=unapply(normal(diff(f(x))),x)} car sinon il y a confusion entre $x$ variable de d\'erivation et $x$ variable de la fonction $g$. \item On tape pour avoir la limite de $f'$ en $-\infty$ : \begin{center} \verb| limit(f1(x),x,-infinity)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| +infinity| \end{center} On tape pour avoir la limite de $f'$ en $3^-$ : \begin{center} \verb| limit(f1(x),x,3,-1)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| -infinity| \end{center} \item $f'$ est continue et d\'ecroissante de $+\infty$ \`a $-\infty$ sur $]-\infty;3[$ puisque $f''(x)<0$ sur $]-\infty;3[$. Il existe donc $\alpha$ unique dans $]-\infty;3[$ tel que $f'(\alpha)=0$.\\ On tape pour avoir une valeur approch\'ee de $\alpha$ : \begin{center} \verb| assume(x<3);fsolve(f1(x),x)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| x,0.776592890991| \end{center} Puis, on tape pour enlever l'hypoth\`ese sur $x$ : \begin{center} \verb| purge(x)| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| f1(0.7)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 0.0937786881525| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| f1(0.8)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| -0.0297244578175| \end{center} On a $f1(0.7)>0$ et $f1(0.8)<0$ donc $0.7<\alpha<0;8$. \item Puisque $f''(7)=0$, on tape pour avoir le minimum de $f'$ sur $]3;+\infty[$ : \begin{center} \verb| f1(7)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| ln(4)+2| \end{center} Le minimum de $f'$ sur $]3;+\infty[$ est donc positif.\\ Donc $f'(x)>0$ si $x \in\ ]-\infty;\alpha[\ \cup \ ]3;+\infty[\ $ et $f'(x)<0$ si $x \in\ ]\alpha;3[$.\\ Donc $f$ est croissante sur $\ ]-\infty;\alpha[\ \cup \ ]3;+\infty[\ $ et est d\'ecroissante sur $\ ]\alpha;3[$. \item On cherche les limites de $f$ en $-\infty$, $+\infty$, et en $3$.\\ On tape : \begin{center} \verb| limit(f(x),x,-infinity)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| -infinity| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| limit(f(x),x,+infinity)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| +infinity| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| limit(f(x),x,3)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| -infinity| \end{center} On trace les graphes de $f$ et des deux droites $x=-1$ et $ x=2$, on tape : \begin{center} \verb| plofunc(f(x),x);droite(x=1);droite(x=2)| \end{center} On obtient le trac\'e du graphe de $f$ et le trac\'e des droites $x=-1$ et $x=2$. \item On tape pour trouver l'aire en $cm^2$ : \begin{center} \verb| integrate(f(x),x,-1,2)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 8*ln(4)-12+15/4| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| normal(8*ln(4)-12+15/4))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 8*ln(4)-33/4| \end{center} On tape si on veut faire l'int\'egration par parties : \begin{center} \verb| ibpu((x+1)*ln(abs(x-3)),ln(abs(x-3)))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| [((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)]| \end{center} On tape pour terminer l'int\'egration : \begin{center} \verb| A:=ibpu([((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)],0)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| (-x^2-10*x)/4-15*1/2*ln(abs(x-3))+((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3))| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| preval(A,-1,2)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 8*ln(4)-9/4-6)| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| normal(8*ln(4)-9/4-6))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 8*ln(4)-33/4| \end{center} Donc l'aire cherch\'ee vaut $(8*\ln(4)-33/4) cm^2$; \end{enumerate} \subsubsection{Exercice 2} On consid\`ere la fonction $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ d\'efinie par : $$f(x)=\frac{\exp(x)^2-\exp(x)+1}{\exp(x)^3+\exp(x)}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x \in \mathbb R$, $P(x)=x^4-2x^3+2x^2+1 \geq 1$ \item \'Etudier les variations de $f$ et tracer son graphe. \item Trouver l'\'equation de la tangente au graphe au point d'abscisse $x=0$ \item Calculer $\displaystyle \int_0^x f(t)dt \ $ puis, $\displaystyle \lim_{x->+\infty}\int_0^x f(t)dt $ \end{enumerate} {\bf R\'eponses} \begin{enumerate} \item On tape : \begin{center} \verb| factor(x^4-2x^3+2x^2)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| (x^2+-2*x+2)*x^2| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| canonical_form(x^2-2*x+2)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| (x-1)^2+1| \end{center} Donc pour tout $x \in \mathbb R$, $x^4-2x^3+2x^2=x^2*(x-1)^2+x^2 \geq 0$ \\ donc pour tout $x \in \mathbb R$, $P(x)=x^4-2x^3+2x^2+1 \geq 1$ \item On tape pour calculer la valeur de la d\'eriv\'ee de $f$ en un point : \begin{center}\verb| normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))|\end{center} On obtient : \begin{center}\verb|(-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/| \verb|((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))|\end{center} Le num\'erateur est n\'egatif car il est \'egal \`a $-P(\exp(x))$ et le d\'enominateur est strictement positif car il est \'egal \`a une somme de termes strictement positifs. La fonction $f$ est donc d\'ecroissante.\\ Pour chercher la limite de $f$ en $+\infty$, on tape : \begin{center} \verb| limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 0| \end{center} Pour chercher la limite de $f$ en $-\infty$, on tape : \begin{center} \verb| limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| infinity| \end{center} Pour tracer le graphe de $f$, on tape : \begin{center} \verb| plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)| \end{center} On obtient le graphe de $f$. \item On d\'efinit la fonction $f$, on tape : \begin{center} \verb| f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))| \end{center} On calcule $f(0)$, on tape : \begin{center} \verb| f(0)| \end{center} On obtient $$\frac{1}{2}$$ On d\'efinit la fonction $df$ comme \'etant la d\'eriv\'ee de $f$, on tape : \begin{center} \verb| df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)| \end{center} On calcule $df(0)$, on tape : \begin{center} \verb| df(0)| \end{center} On obtient : $$-\frac{1}{2}$$ L'\'equation de la tangente au point d'abscisse $0$ est donc :\\ $y=df(0)*x+f(0)$ c'est \`a dire $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.\\ ou encore on tape : \begin{center} \verb|equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| y=(1/-2*x+1/2)y=(1/-2*x+1/2)| \end{center} \item On calcule l'int\'egrale : $\displaystyle \int_0^x f(t)dt $\\ On tape : \begin{center} \verb| int(f(t),t,0,x)| \end{center} On obtient : \begin{center}\verb| (ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)*| \verb| 1/2/exp(x)-1/2*ln(2)|\end{center} Puis on calcule : $\displaystyle \lim_{x->+\infty}\int_0^x f(t)dt $, on tape : \begin{center} \verb| limit((ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)| \verb|*1/2/exp(x)-1/2*ln(2),x=+infinity)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| -1/2*ln(2)+1| \end{center} \end{enumerate} \subsection{Calcul de primitives (niveau d\'ebut universit\'e)} \begin{enumerate} \item Calculer $$\int_1^2\frac{1}{x^3+1}dx$$ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| int(1/(x^3+1),x,1,2)| \end{center} On obtient apres simplification (en utilisant \verb| normal} | \begin{center} \verb| (sqrt(3)*ln(2)+pi)*1/3/sqrt(3)| \end{center} Pour v\'erifier, on tape : \begin{center} \verb| partfrac(1/(1+t^3))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)| \end{center} Puis on int\`egre chaque terme s\'epar\'ement... \item D\'ecomposer, sur $\mathbb R$, en \'el\'ements simples : $\displaystyle \frac{t^2}{1-t^4}$.\\ Calculer $\displaystyle \int \frac{t^2}{1-t^4}dt\ $ et $\displaystyle\int \frac{\sin(x)^2}{\cos(2x)}dx$\\ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| partfrac(t^2/(1-t^4))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)| \end{center} On tape : \begin{center} \verb|int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)| \end{center} ou on tape : \begin{center} \verb|int(t^2/(1-t^4),t)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|1/(-2*atan(t))+1/(4*ln(abs(t+1)))+1/(-4*ln(abs(t-1)))| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|-1/2*x-1/-4*ln(abs((tan(1/2*x))^2-2*tan(1/2*x)-1))-| \verb|1/4*ln(abs((tan(1/2*x))^2+2*tan(1/2*x)-1))| \end{center} Ou on tape en lin\'earisant avant d'int\'egrer : \begin{center} \verb|normal(int(tlin(sin(x)^2/cos(2*x))))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))+1/-2*x| \end{center} Ou encore on veut faire le changement de variable $\tan(x)=t$ et on tape pour avoir l'expression en fonction de la tangente, avant d'int\'egrer : \begin{center} \verb|trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|(-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)| \end{center} On fait le changement de variable $x=$atan$(t)$ on tape : \begin{center} \verb|subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))| \end{center} ou on tape \begin{center} \verb|subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))| \end{center} On obtient \begin{center} \verb|integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)| \end{center} Soit, le remplacant $t$ par $\tan(x)$ : \begin{center} \verb|1/-2*atan(tan(x))+1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))| \end{center} \item Calculer $\displaystyle\int \frac{1}{t^2}dt,\ $ $\displaystyle\int \frac{1}{t(t^2+1)}dt,\ $ et $\displaystyle\int \frac{t^2-t+1}{t^4+t^2}dt$\\ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| int(1/t^2,t)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 1/(-t)| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| int(1/(t*(t^2+1)),t)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 1/-2*ln(t^2+1)+1/2*ln((abs(t))^2)| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|1/2*ln(t^2+1)-ln(abs(t))+(-t+1)/(-t)| \end{center} \end{enumerate} \subsection{D\'evelopements limit\'es} \begin{enumerate} \item Donner un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 7 au voisinage de $x=0$ de : $$\sin(\sinh(x))-\sinh(\sin(x))$$ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| series(sin(sinh(x))-sinh(sin(x)),x=0,7)| \end{center} On obtient: \begin{center} \verb| 1/-45*x^7+x^8*order_size(x)| \end{center} \item Donner un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 4 au voisinage de $x=0$ de : $$\frac{\ln(\cos(x))}{\exp(x+x^2)}$$ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| series(ln(cos(x))/exp(x+x^2),x=0,4)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|1/-2*x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+x^5*order\_size(x)| \end{center} La fonction $order\_size$ est telle que, pour tout $\alpha>0$, $x^\alpha order\_size(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers 0 \end{enumerate} \subsection{\'Equations diff\'erentielles} \begin{enumerate} \item Trouver les solutions de l'\'equation diff\'erentielle : $$x(x^2-1)y'+2y=0$$ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=0,y)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|(c\_0*x^2)/(x^2-1)| \end{center} \item Trouver les solutions de l'\'equation diff\'erentielle : $$x(x^2-1)y'+2y=x^2$$ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=x^2,y)| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb|((ln(abs(x))+c\_0)*x^2)/(x^2-1)| \end{center} \end{enumerate} \subsection{Les matrices} \begin{enumerate} \item Soit $M_a=\left[ \begin{array}{ccc} 2a-1 & a & 2a-1\\ a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\ a^2+a-1 & a^2+a-1 & a \end{array} \right]$\\ a) Pour quelles valeurs de $a$, $M_a$ est-elle inversible ?\\ Pr\'eciser son rang lorsqu'elle n'est pas inversible.\\ b) Calculer l'inverse de $M_2$ {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} \verb| M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]] | \end{center} On calcule le d\'eterminant de $M$, on tape : \begin{center} \verb| det(M)| \end{center} On obtient : \begin{center}\verb|2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a|\end{center} Pour avoir l'inverse de $M$ on tape : \begin{center} \verb| inv(M)| \end{center} On obtient : $$ \frac{1}{2a^4-2a^3-2a^2+2a}\left[ \begin{array}{ccc} a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a-1\\ -a^2+1 & -2a^3+a^2+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\ a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1 \end{array} \right] $$ On tape : \begin{center} \verb| solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)| \end{center} On obtient : \begin{center}\verb| [-1,0,1]|\end{center} Donc la matrice est inversible si $a \not\in [-1,0,1]$\\ Ou on tape : \begin{center} \verb| factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)| \end{center} On obtient : \begin{center}\verb|2*(a+1)*a*(a-1)^2|\end{center} On tape : \begin{center} \verb| rank(subst(M,a,-1))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 2| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| rank(subst(M,a,0))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 2| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| rank(subst(M,a,1))| \end{center} On obtient : \begin{center} \verb| 1| \end{center} On tape : \begin{center} \verb| inv(subst(M,a,2))| \end{center} On obtient : $A=\frac{1}{12}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 11 & -7\\ -3 & -9 & 9\\ 5 & -5 & 1 \end{array} \right]$\\ Remarque : pour \'eviter de faire des substitutions on peut d\'efinir la matrice $M$ comme une fonction de $a$, il faut alors \'ecrire : \begin{center} \verb|M(a):={[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]}| \end{center} surtout ne pas oublier \{ et \}.\\ On peut alors taper : \verb|inv(M(2))|. \item Soit $A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a\\ 1 & a & 1\\ a & 1 & 1 \end{array} \right]$\\ Pour quelles valeurs de $a$, $A$ est-elle diagonalisable ? {\bf R\'eponse}~:\\ On tape : \begin{center} {\tt A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]] } \end{center} Pour avoir les valeurs propres de $A$ on tape : \begin{center} {\tt egvl(A)} \end{center} On obtient : $$ {\tt \left[ \begin{array}{ccc} -a+1 & 0 & 0\\ 0 & a+2 & 0\\ 0 & 0 & a-1 \end{array} \right] }$$ ce qui s'\'ecrit : \begin{center}{\tt [[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]}\end{center} Si $a \neq 1$ il y a 3 valeurs propres distinctes $-a+1,a+2,a-1$ et\\ si $a=1$ il y a une valeur propre double ($\lambda=0$) et une valeur propre simple ($\lambda=3$).\\ Puis on cherche la matrice de passage, on tape : \begin{center} {\tt egv(A)} \end{center} On obtient : $$ {\tt \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right] }$$ ce qui s'\'ecrit : \begin{center} {\tt [[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]} \end{center} les vecteurs propres sont les colonnes de cette matrice.\\ Ou on tape pour avoir directement les deux informations, matrice de passage et r\'eduite de Jordan : \begin{center} {\tt jordan(A)} \end{center} On obtient une liste de deux matrices $[P,B]$ ($P$ est la matrice de passage et $B=P^{-1}AP$) : $$ {\tt \left[ \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} -a+1 & 0 & 0\\ 0 & a+2 & 0\\ 0 & 0 & a-1 \end{array} \right] \right]}$$ ce qui s'\'ecrit : \begin{center} {\tt [[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]} \end{center} On remarque qu'en faisant : {\tt a:=1} puis {\tt jordan(A)} \\ les valeurs propres doubles sont regroup\'ees et on obtient : $$ {\tt \left[ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 0\\ 1 & 0 & -3\\ 1 & 3 & 3 \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \right]}$$\\ ce qui s'\'ecrit : \begin{center} {\tt [[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]} \end{center} $A$ est donc diagonalisable quelque soit $a$ et $B=P^{-1}AP$. \end{enumerate} \pagebreak \section{Vrai ou Faux ? (d'un point de vue informatique)} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes affichent la valeur exacte 2~: r\'epondre vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemf \verb|1+1:;| \itemv \verb|3-1| \itemf \verb|1.5+1/2| \itemv \verb|4/2| \itemv \verb|sqrt(4)| \itemf \verb|evalf(sqrt(4))| \itemv \verb|1^(1+1)+1^(1+1)| \itemf \verb|(1+1)^(1+1)| \itemf \verb|1*1^(1+1)| \itemv \verb|1+1*1^1| \itemv \verb|(1+1)*1^(1+1)| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes affectent la valeur exacte 2 \`a la variable \verb|c|~: r\'epondre vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|c:=2:;| \itemv \verb|c:=2| \itemf \verb|c==2| \itemf \verb|c=2| \itemv \verb|c:=4/2| \itemf \verb|c:=3/1.5| \itemv \verb|c:=(2+2)/2| \itemf \verb|c:=(2.0+2)/2| \itemf \verb|c:=2a/a| \itemf \verb|c:=(2*a)/a| \itemv \verb|c:=2*a/a| \itemv \verb|c:=1:; c:=2*c| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes affectent \`a la variable \verb|c| une expression valide~: r\'epondre vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|c:=ab| \itemv \verb|c:=a*b| \itemf \verb|c==a| \itemv \verb|c:= c==a| \itemf \verb|c:=a+(a*b))/2| \itemf \verb|c=a+a*b| \itemv \verb|c:=a/b| \itemf \verb|c->a/b| \itemv \verb|a/b=>c| \itemv \verb|c:=a/0| \itemv \verb|c:=2*a/a| \itemf \verb|c:=1: c:=2*c| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes affectent la valeur $1$ \`a \verb|b|~: r\'epondre vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemf \verb|a:=1:; b=a| \itemv \verb|a:=1:; b:=a| \itemf \verb|a:=1:; b:='a':; a:=3:; b| \itemf \verb|a:=1:; b:="a"| \itemv \verb|b:=a/a| \itemv \verb|b:=a^0| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes retournent la valeur exacte 2~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|1/2^-1| \itemv \verb|a:=2| \itemv \verb|2*a/a| \itemf \verb|sqrt(4*a^2)/a| \itemf \verb|simplify(sqrt(4*a^2)/a)| \itemf \verb|sqrt(4*a^4)/(a*a)| \itemv \verb|simplify(sqrt(4*a^4)/(a*a))| \itemf \verb|expand(sqrt(4*a^4)/(a*a))| \itemv \verb|normal(sqrt(4*a^4)/(a*a))| \itemf \verb|ln(a^2)/ln(a)| \itemv \verb|simplify(ln(a^2)/ln(a))| \itemf \verb|texpand(ln(a^2)/ln(a))| \itemv \verb|normal(texpand(ln(a^2)/ln(a)))| \itemv \verb|-ln(exp(-2))| \itemf \verb|1/exp(-ln(2))| \itemv \verb|exp2pow(1/exp(-ln(2)))| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes d\'efinissent la fonction $f$ qui \`a $x$ associe $x^2$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|f(x):=x^2| \itemv \verb|f(a):=a^2| \itemf \verb|f := x^2| \itemf \verb|f(x):=a^2| \itemv \verb|f := a->a^2| \itemf \verb|f(x):=evalf(x^2)| \itemf \verb|f(x):=simplify(x^3/x)| \itemf \verb|f(x):=simplify(x*x*a/a)| \itemv \verb|E:=x^2:;f:=unapply(E,x)| \itemv \verb|f:=unapply(simplify(x^3/x),x)| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes d\'efinissent la fonction \verb|f| qui au couple $(x,y)$ associe le produit $xy$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemf \verb|f:=x*y| \itemf \verb|f:=x->x*y| \itemv \verb|f:=(a,b)->a*b| \itemv \verb|f(x,y):=x*y| \itemf \verb|f(x,y):=xy| \itemv \verb|f:=((x,y)->x)*((x,y)->y)| \itemf \verb|f:=(x->x)*(y->y)| \itemv \verb|f:=unapply(x*y,x,y)| \itemv \verb|E:=x*y:;f:=unapply(E,x,y)| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes d\'efinissent la fonction \verb|f1| qui \`a $x$ associe $2*x$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemf \verb|f(x):=x^2:; f1(x):=diff(f(x))| \itemf \verb|f1:=diff(x^2)| \itemv \verb|f1:=unapply(diff(x^2),x)| \itemv \verb|f(x):=x^2:; f1:=function_diff(f)| \itemf \verb|f(x):=x^2:; f1:=diff(f)| \itemf \verb|f(x):=x^2:; f1:=diff(f(x))| \itemv \verb|f(x):=x^2:; f1:=unapply(diff(f(x),x),x)| \itemf \verb|f(x):=x^2:; f1:=x->diff(f(x))| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes affectent \`a $A$ l'expression $2*x*y$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|A:=diff(x^2*y)| \itemf \verb|A:=x->diff(x^2*y)| \itemv \verb|A:=diff(x^2*y,x)| \itemf \verb|A:=diff(x^2*y,y)| \itemf \verb|A:=diff(x*y^2,y)| \itemv \verb|A:=normal(diff(x*y^2,y))| \itemv \verb|A:=normal(diff(x^2*y^2/2,x,y))| \itemv \verb|A:=normal(diff(diff(x^2*y^2/2,x),y))| \end{enumerate} }\end{exo} %----------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les lignes de commande suivantes affichent un losange~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|losange(1,i,pi/3)| \itemf \verb|losange((1,0),(0,1),pi/3)| \itemv \verb|losange(point(1,0),point(0,1),pi/3)| \itemf \verb|parallelogramme(0,1,1+i)| \itemv \verb|parallelogramme(0,1,1/2+i*sqrt(3)/2)| \itemv \verb|quadrilatere(0,1,3/2+i*sqrt(3)/2,1/2+i*sqrt(3)/2)| \itemv \verb|polygone(0,1,3/2+i*sqrt(3)/2,1/2+i*sqrt(3)/2)| \itemf \verb|polygonplot(0,1,3/2+i*sqrt(3)/2,1/2+i*sqrt(3)/2)| \itemf \verb|polygonplot([0,1,3/2,1/2],[0,0,sqrt(3)/2,sqrt(3)/2])| \itemf \verb|polygone_ouvert(0,1,3/2+i*sqrt(3)/2,1/2+i*sqrt(3)/2)| \itemv \verb|polygone_ouvert(0,1,3/2+i*sqrt(3)/2,1/2+i*sqrt(3)/2,0)| \end{enumerate} }\end{exo} %----------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les lignes de commande suivantes affichent le cercle unit\'e~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|cercle(0,1)| \itemf \verb|arc(-1,1,2*pi)| \itemv \verb|arc(-1,1,pi), arc(-1,1,-pi)| \itemf \verb|plot(sqrt(1-x^2))| \itemv \verb|plot(sqrt(1-x^2)), plot(-sqrt(1-x^2))| \itemv \verb|plotimplicit(x^2+y^2-1,x,y)| \itemf \verb|plotparam(cos(t),sin(t))| \itemv \verb|plotparam(cos(t)+i*sin(t))| \itemv \verb|plotparam(cos(t)+i*sin(t),t)| \itemv \verb|plotparam(exp(i*t))| \itemf \verb|plotparam(cos(t)+i*sin(t),t,0,pi)| \itemv \verb|plotparam(cos(t)+i*sin(t),t,0,2*pi)| \itemv \verb|plotpolar(1,t)| \itemv \verb|plotpolar(1,t,-pi,pi)| \itemv \verb|plotpolar(1,t,0,2*pi)| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes retournent la liste $[1,2,3,4,5]$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|l:=[1,2,3,4,5]| \itemf \verb|l:=op([1,2,3,4,5])| \itemv \verb|l:=nop(1,2,3,4,5)| \itemf \verb|l:=seq(i,i=1..5)| \itemf \verb|l:=seq(j=1..5)| \itemf \verb|l:=seq(j,j=1..5)| \itemf \verb|l:=seq(j,j,1..5)| \itemv \verb|l:=seq(j,j,1,5)| \itemv \verb|l:=seq(j,j,1,5,1)| \itemv \verb|l:=[seq(j,j=1..5)]| \itemv \verb|l:=nop(seq(j,j=1..5))| \itemf \verb|l:=[k$k=1..5]| \itemv \verb|l:=[k$(k=1..5)]| \itemf \verb|l:=[k+1$(k=0..4)]| \itemv \verb|l:=[(k+1)$(k=0..4)]| \itemv \verb|l:=cumSum([1$5])| \itemf \verb|l:=sort(5,2,3,1,4)| \itemv \verb|l:=sort([5,2,3,1,4])| \itemf \verb|l:=makelist(k,1,5)| \itemv \verb|l:=makelist(x->x,1,5)| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Les commandes suivantes retournent la liste $[1.0,0.5,0.25,0.125,0.0625]$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|0.5^[0,1,2,3,4]| \itemf \verb|2^(-[0,1,2,3,4])| \itemv \verb|2.0^(-[0,1,2,3,4])| \itemv \verb|2^-evalf([0,1,2,3,4])| \itemv \verb|evalf(2^(-[0,1,2,3,4]))| \itemf \verb|seq(2^(-n),n=0..4)| \itemv \verb|evalf([seq(2^(-n),n=0..4)])| \itemf \verb|1/evalf(2^n$(n=0..4))| \itemf \verb|evalf(2^n$(n=0..4))^(-1)| \itemv \verb|[evalf(2^n$(n=0..4))]^(-1)| \itemv \verb|evalf(nop(2^n$(n=0..4))^(-1))| \itemv \verb|a:=[]:; (a:=append(a,0.5^k))$(k=0..4):; a| \itemf \verb|makelist(k->2^(-k),0,4)| \itemv \verb|f:=x->2.0^(-x):; makelist(f,0,4)| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Soit $l$ la liste $[1,0,2,0,3]$. Les lignes de commande suivantes retournent l'entier $10203$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|l*10^[4,3,2,1,0]| \itemf \verb|l*10^[0,1,2,3,4]| \itemv \verb|revlist(l)*10^[0,1,2,3,4]| \itemv \verb|l*seq(10^n,n,4,0,-1)| \itemv \verb|expr(char(sum(l,48)))| \itemv \verb|l*nop(seq(10^n,n=(4..0)))| \itemv \verb|l*10^nop(j$(j=4..0))| \itemf \verb|l*10^(j$(j=4..0))| \itemf \verb|l*10^(j$(j=4..0))| \itemv \verb|l*nop(10^j)$(j=4..0))| \end{enumerate} }\end{exo} %-------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Soit $n$ l'entier $10203$. Les lignes de commande suivantes retournent la liste d'entiers $[1,0,2,0,3]$~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemf \verb|(floor(n/10^k)-floor(n/10^(k+1))*10)$(k=4..0)| \itemv \verb|[(floor(n/10^k)-floor(n/10^(k+1))*10)$(k=4..0)]| \itemf \verb|seq(iquo(n,10^k)-10*iquo(n,10^(k+1)),k=4..0)| \itemv \verb|nop(seq(iquo(n,10^k)-10*iquo(n,10^(k+1)),k=4..0))| \itemv \verb|revlist(convert(n,base,10))| \itemv \verb|sum(asc(string(n)),-48)| \itemf \verb|string(n)| \itemf \verb|mid(string(n),k,1)$(k=0..4)| \itemf \verb|[mid(string(n),k,1)$(k=0..4)]| \itemv \verb|[expr(mid(string(n),k,1))$(k=0..4)]| \end{enumerate} }\end{exo} %----------------------------------------- \begin{exo}{\rm Le polyn\^ome $P=X^4+2X^2+3$ a \'et\'e affect\'e par la commande \verb|P:=X^4+2*X^2+3|. Les lignes de commande suivantes affichent le polyn\^ome r\'eciproque \verb|3*X^4+2*X^2+1|~: vrai ou faux et pourquoi~? \begin{enumerate} \itemv \verb|poly2symb(revlist(symb2poly(P)))| \itemf \verb|X^4*subst(P,X,1/X)| \itemv \verb|normal(X^4*subst(P,X,1/X))| \itemf \verb|normal(subst(P,X,1/X))| \itemv \verb|normal(subst(P/X^4,X,1/X))| \itemv \verb|normal(X^degree(P)*subst(P,X,1/X))| \itemv \verb|getNum(subst(P,X,1/X))| \itemf \verb|f:=unapply(P,X):; part(f(1/X),1)| \itemv \verb|f:=unapply(P,X):; part(normal(f(1/X)),1)| \end{enumerate} }\end{exo} %----------------------------------------- \section{Exercices (niveau universit\'e)} {\it Il y a souvent plusieurs mani\`eres d'obtenir le m\^eme r\'esultat en {\tt Xcas}. On s'efforcera de choisir les solutions les plus compactes. } \vskip 3mm %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm V\'erifier les identit\'es suivantes. \begin{enumerate} \item $(2^{1/3}+4^{1/3})^3-6(2^{1/3}+4^{1/3})=6$ \item $\pi /4 = 4\arctan(1/5)-\arctan(1/239)$ \item $\sin(5x) = 5\sin(x)-20\sin^3(x)+15\sin^5(x)$ \item $(\tan(x)+\tan(y))\cos(x)\cos(y) = \sin(x+y)$ \item $\cos^6(x)+\sin^6(x) = 1-3\sin^2(x)\cos^2(x)$ \item $\ln(\tan(x/2+\pi/4)) = \arg\sinh(\tan(x))$ \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Transformer la fraction rationnelle $$ \frac{x^4+x^3-4x^2-4x}{x^4+x^3-x^2-x} $$ en les fractions suivantes $$ \frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{x^3+x^2-x-1} \;,\quad \frac{x^4+x^3-4x^2-4x}{x(x-1)(x+1)^2} \;,\quad \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+1)}\;, $$ $$ \frac{x^2}{(x-1)(x+1)}-4\frac{1}{(x-1)(x+1)}\;. $$ }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Transformer la fraction rationnelle $$ 2\frac{x^3-yx^2-yx+y^2}{x^3-yx^2-x+y} $$ en les fractions suivantes $$ 2\frac{x^2-y}{x^2-1} \;,\quad 2\frac{x^2-y}{(x-1)(x+1)} \;, $$ $$ 2-\frac{y-1}{x-1}+\frac{y-1}{x+1} \;,\quad 2-2\frac{y-1}{x^2-1}\;. $$ }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On consid\`ere les fonctions $f$ d\'efinies par $$ f(x) = \sqrt{e^x-1} \;,\quad f(x) = \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \;, $$ $$ f(x) = \frac{1}{1+\sin(x)+\cos(x)} \;,\quad f(x) = \frac{\ln(x)}{x(x^2+1)^2} \;. $$ Pour chacune de ces fonctions~: \begin{enumerate} \item Calculer une primitive $F$. \item Calculer $F'(x)$ et montrer que $F'(x)=f(x)$ apr\`es simplifications. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On consid\`ere les int\'egrales d\'efinies $I=\int_a^b f(x)\,dx$ suivantes. $$ \int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}\,dx\,,\; \int_0^1 x\arctan(x)\,dx\,, $$ $$ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos(x)}\,dx\,,\; \int_0^{\pi/2} x^4\sin(x)\cos(x)\,dx\;. $$ Pour chacune de ces int\'egrales~: \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte, puis approch\'ee de l'int\'egrale $I$. \item Pour $n=100$, puis $n=1000$, et pour tout $j=0,\ldots,n$, on pose $x_j=a+j(b-a)/n$, et $y_j=f(x_j)$. Calculer la valeur approch\'ee de l'int\'egrale $I$ par la m\'ethode des rectangles \`a gauche~: $$ I_r = \sum_{j=0}^{n-1} f(x_j)(x_{j+1}-x_j)\;. $$ \item M\^eme question avec la m\'ethode des trap\`ezes~: $$ I_t = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2}(f(x_j)+f(x_{j+1}))(x_{j+1}-x_j)\;. $$ \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On consid\`ere la fonction $f$ qui au couple $(x,y)$ associe $f(x,y)=\cos(xy)$. \begin{enumerate} \item On pose $x_0=y_0=\pi/4$. D\'efinir la fonction qui \`a $(u,v,t)$ associe $$f(x_0+ut,y_0+vt)\;.$$ \item D\'efinir la fonction $g$ qui \`a $t$ associe la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $t$ de la fonction pr\'ec\'edente (d\'eriv\'ee directionnelle). \item Calculer le gradient de la fonction $f$ au point $(x_0,y_0)$, puis le produit scalaire de ce gradient avec le vecteur $(u,v)$. %Comparer avec le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente. Donner ce r\'esultat en fonction de g \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On consid\`ere l'\'equation $x^3-(a-1)x^2+a^2x-a^3=0$ comme une \'equation en $x$. \begin{enumerate} \item Repr\'esenter graphiquement la solution $x$ en fonction de $a$ \`a l'aide de la fonction\\ \verb|plotimplicit|. \item Calculer les trois solutions de l'\'equation, en utilisant \verb|rootof| pour la premi\`ere, en \'eliminant la premi\`ere avec \verb|quo| et en trouvant les deux derni\`eres solutions en r\'esolvant l'\'equation du second degr\'e (utiliser \verb|coeff| pour calculer le discriminant de l'\'equation). \item Repr\'esenter graphiquement chacune des trois racines sur le m\^eme graphique avec une couleur diff\'erente, et pour les valeurs de $a$ telles que ces solutions soient r\'eelles (on pourra utiliser \verb|resultant| pour trouver les valeurs de $a$ pour lesquelles l'\'equation poss\`ede une racine multiple en $x$, ces valeurs sont les bornes possibles des intervalles en $a$ o\`u chacune des racines sont r\'eelles). \item Donner la valeur des solutions pour $a=0,1,2$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On consid\`ere les limites suivantes. $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} \,,\; \lim_{x\rightarrow 0^+} (\sin(x))^{1/x} \,,\; \lim_{x\rightarrow +\infty} (1+1/x)^{x} \,,\; \lim_{x\rightarrow +\infty} (2^x+3^x)^{1/x} $$ Pour chacune d'entre elles~: \begin{enumerate} \item Donner sa valeur exacte. \item Trouver une valeur de $x$ telle que la distance de $f(x)$ \`a la limite soit inf\'erieure \`a $10^{-3}$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Repr\'esenter les fonctions $f$ suivantes, en choisissant l'intervalle des abscisses et des ordonn\'ees, de fa\c{c}on \`a obtenir la repr\'esentation la plus informative possible. \begin{enumerate} \item $f(x)=1/x$. \item $f(x)=e^x$. \item $f(x)=1/\sin(x)$. \item $f(x)=x/\sin(x)$. \item $f(x)=\sin(x)/x$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On consid\`ere la fonction $f(x)=3x^2+1+\frac{1}{\pi^4}\ln((\pi-x)^2)$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que cette fonction prend des valeurs n\'egatives sur $\mathbb{R}^+$. Repr\'esenter la fonction sur l'intervalle $[0,5]$. \item D\'eterminer $\epsilon >0$ tel que {\tt Xcas} donne une repr\'esentation correcte de la fonction sur l'intervalle $[\pi-\epsilon,\pi+\epsilon]$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm~ \begin{enumerate} \item Repr\'esenter la fonction $\exp(x)$ sur l'intervalle $[-1,1]$. Sur ce graphique, tracer aussi les repr\'esentations des polyn\^omes de Taylor de cette fonction en $x=0$, aux ordres $1,2,3,4$. \item M\^eme question pour l'intervalle $[1,2]$. \item Repr\'esenter la fonction $\sin(x)$ sur l'intervalle $[-\pi,\pi]$. Sur le m\^eme graphique, superposer les repr\'esentations des polyn\^omes de Taylor de cette fonction en $x=0$, aux ordres $1,3,5$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Superposer les repr\'esentations suivantes sur le m\^eme graphique, allant de $0$ \`a $1$ en abscisse et en ordonn\'ee. \begin{enumerate} \item La premi\`ere bissectrice ($y=x$). \item Le graphe de la fonction $f~: \;x\mapsto 1/6+x/3+x^2/2$. \item La tangente au graphe de la fonction $f$ au point $x=1$. \item Un segment vertical allant de l'axe des $x$ au point d'intersection de la fonction $f$ et de la premi\`ere bissectrice, et un segment horizontal allant de ce point d'intersection \`a l'axe des $y$. \item Les indications "point fixe" et "tangente", positionn\'ees sur le graphique comme cha\^\i nes de caract\`eres. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Le but de l'exercice est de repr\'esenter sur un m\^eme graphique des familles de fonctions. On choisira le nombre de courbes, l'intervalle de repr\'esen\-tation, les \'echelles en $x$ et $y$ ainsi que le pas de discr\'etisation des abscisses, de fa\c{c}on \`a obtenir la repr\'esentation la plus informative possible. \begin{enumerate} \item Fonctions $f_a(x) = x^ae^{-x}$, pour $a$ allant de $-1$ \`a $1$. \item Fonctions $f_a(x)=1/(x-a)^2$, pour $a$ allant de $-1$ \`a $1$. \item Fonctions $f_a(x)=\sin(ax)$, pour $a$ allant de $0$ \`a $2$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Pour chacune des courbes param\'etr\'ees suivantes, on choisira un intervalle de valeurs du param\`etre assurant une repr\'esentation compl\`ete et suffisamment lisse. \begin{enumerate} \item $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& \sin(t)\\ y(t)&=& \cos^3(t) \end{array} \right. $$ \item $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& \sin(4\,t)\\ y(t)&=& \cos^3(6\,t) \end{array} \right. $$ \item $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& \sin(132\,t)\\ y(t)&=& \cos^3(126\,t) \end{array} \right. $$ \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Le but de l'exercice est de visualiser de diff\'erentes mani\`eres la surface d\'efinie par $z=f(x,y)=x\,y^2$. Ouvrir une fen\^etre de g\'eom\'etrie 3-d. \begin{enumerate} \item Choisir un domaine de repr\'esentation et les pas de discr\'etisation, de mani\`ere \`a obtenir une repr\'esentation informative avec \verb+plotfunc+. \item Cr\'eer un param\`etre $a$ modifiable \`a la souris avec la fonction \verb|assume|. Repr\'esenter la courbe d\'efinie par $z=f(a,y)$, puis faites varier le param\`etre \`a la souris. \item Cr\'eer un param\`etre $b$ modifiable \`a la souris. Repr\'esenter la courbe d\'efinie par $z=f(x,b)$, puis faites varier le param\`etre \`a la souris. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Le but de l'exercice est de visualiser un c\^one de diff\'erentes mani\`eres. \begin{enumerate} \item Repr\'esenter la surface d'\'equation $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$. \item Repr\'esenter la surface param\'etr\'ee d\'efinie par~: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x(u,v)&=& u\,\cos(v)\\ y(u,v)&=& u\,\sin(v)\\ z(u,v)&=& 1-u\;. \end{array} \right. $$ \item En choisisant une valeur de $a$ suffisamment grande, repr\'esenter la courbe param\'etr\'ee d\'efinie par~: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& t\,\cos(a t)\\ y(t)&=& t\,\sin(a t)\\ z(t)&=& 1-t\;. \end{array} \right. $$ \item Repr\'esenter la famille de courbes param\'etr\'ees d\'efinies par~: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& a\,\cos(t)\\ y(t)&=& a\,\sin(t)\\ z(t)&=& 1-a\;. \end{array} \right. $$ \item Repr\'esenter le m\^eme c\^one en utilisant la fonction \verb|cone|. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm ~ \begin{enumerate} \item Engendrer une liste $l$ de $100$ entiers au hasard entre $1$ et $9$. \item V\'erifier que l'ensemble des valeurs de $l$ est contenu dans $\{1,\ldots,9\}$. \item Extraire de la liste $l$ toutes les valeurs $\geq 5$. \item Pour tout $k=1,\ldots,9$, compter combien de valeurs de la liste $l$ sont \'egales \`a $k$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Si $x$ est un r\'eel, la fraction continue \`a l'ordre $n$ de $x$ est une liste $[a_0,\ldots,a_n]$ d'entiers, dont le premier terme $a_0$ est la partie enti\`ere de $x$. Pour tout $n\geq 0$, $a_n$ est la partie enti\`ere de l'inverse de la partie d\'ecimale de $a_{n-1}$. La liste $[a_0,\ldots,a_n]$ est associ\'ee au rationnel $$ u_n = a_0+\frac{1}{\displaystyle{a_1+ \frac{1}{\displaystyle{a_2+\frac{1}{\ddots+\displaystyle{\frac{1}{a_n}}}}}}} $$ Pour $x\in\{\pi,\sqrt{2}, e\}$ et $n\in \{5,10\}$~: \begin{enumerate} \item Calculer $[a_0,\ldots,a_n]$. \item Comparer votre r\'esultat avec celui que donne la fonction \verb|dfc| de {\tt Xcas}. \item Calculer $u_n$, et donner la valeur num\'erique de $x-u_n$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Ecrire (sans utiliser de boucle) les s\'equences suivantes~: \begin{enumerate} \item Nombres de $1$ \`a $3$ par pas de $0.1$. \item Nombres de $3$ \`a $1$ par pas de $-0.1$. \item Carr\'es des $10$ premiers entiers. \item Nombres de la forme $(-1)^n n^2$ pour $n=1,\ldots,10$. \item 10 "0" suivis de 10 "1". \item 3 "0" suivis de 3 "1", suivis de 3 "2",\ldots , suivis de 3 "9". \item "1", suivi de 1 "0", suivi de "2", suivi de 2 "0",\ldots , suivi de "8", suivi de 8 z\'eros, suivi de "9". \item $1$ "$1$" suivi de $2$ "$2$", suivis de $3$ "$3$",\ldots , suivis de $9$ "$9$". \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm ~ \begin{enumerate} \item D\'efinir les polyn\^omes de degr\'e 6 suivants. \begin{enumerate} \item polyn\^ome dont les racines sont les entiers de $1$ \`a $6$. \item polyn\^ome dont les racines sont $0$ (racine triple), $1$ (racine double) et $2$ (racine simple). \item polyn\^ome $(x^2-1)^3$. \item polyn\^ome $x^6-1$. \end{enumerate} % \item Ecrire (sans utiliser la fonction \verb|companion|) la matrice compagnon $A$ associ\'ee \`a chacun de ces polyn\^omes. On rappelle que la matrice compagnon associ\'ee au polyn\^ome~: $$ P=x^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots+a_1x+a_0\;, $$ est~: \begin{equation*} \label{compagnon} A = \left( \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&&\vdots\\ &&&&&\\ \vdots&&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&&\ldots&0&1\\ -a_0&-a_1&&\ldots&&-a_{d-1} \end{array} \right)\;. \end{equation*} \item Calculer les valeurs propres de la matrice $A$. \item Calculer le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm ~ \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice carr\'ee $A$ d'ordre $4$, telle que $a_{j,k}=a$ si $j=k$ et $a_{j,k}=b$ si $j \neq k$, o\`u $a$ et $b$ sont des variables. \item Calculer et factoriser le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. \item D\'eterminer une matrice orthogonale $P$ telle que ${^t\!P} A P$ soit une matrice diagonale. \item Utiliser la question pr\'ec\'edente pour d\'efinir la fonction qui \`a un entier $n$ associe la matrice $A^n$. \item Calculer $A^k$, pour $k=1,\ldots,6$ en effectuant les produits matriciels, et v\'erifier que la fonction d\'efinie \`a la question pr\'ec\'edente donne bien le m\^eme r\'esultat. \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm ~ \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice carr\'ee $N$ d'ordre $6$, telle que $n_{j,k}=1$ si $k=j+1$ et $n_{j,k}=0$ si $k \neq j+1$. \item Calculer $N^p$, pour $p=1,\ldots,6$. \item Ecrire la matrice $A=xI+N$, o\`u $x$ est une variable. \item Calculer $A^p$, pour $p=1,\ldots,6$. \item Calculer $\exp(At)$ en fonction de $x$ et $t$~: $$ \exp(At) = I+\sum_{p=1}^\infty \frac{t^p}{p!} A^p\;. $$ \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Ecrire les fonctions suivantes, sans utiliser de boucle. \begin{enumerate} \item La fonction $f$ prend en entr\'ee un entier $n$ et deux r\'eels $a, b$ et retourne la matrice $A$ dont les termes diagonaux valent $a$, tous les autres termes \'etant \'egaux \`a $b$. \item La fonction $g$ prend en entr\'ee un entier $n$ et trois r\'eels $a, b, c$ et retourne la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ dont les termes diagonaux sont \'egaux \`a $a$, les termes $a_{j,j+1}$ \'egaux \`a $b$ et termes $a_{j+1,j}$ \'egaux \`a $c$, pour $j=1,\ldots,n-1$ (les autres termes sont nuls). \item La fonction $H$ prend en entr\'ee un entier $n$ et retourne en sortie la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ d\'efinie par $a_{j,k} = 1/(j+k+1)$ (matrice de Hilbert). Comparer le temps d'ex\'ecution de votre fonction avec celui de la fonction \verb|hilbert| \item La fonction $V$ prend en entr\'ee un vecteur $x=(x_j)_{j=1,\ldots,n}$ et retourne en sortie la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ d\'efinie par $a_{j,k} = x_k^{j-1}$ (matrice de Vandermonde). Comparer le temps d'ex\'ecution de votre fonction avec celui de la fonction \verb|vandermonde| \item La fonction $T$ prend en entr\'ee un vecteur $x=(x_j)_{j=1,\ldots,n}$ et retourne en sortie la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ d\'efinie par $a_{j,k} = x_{|j-k|+1}$ (matrice de Toeplitz). \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm Ecrire les fonctions suivantes. Toutes prennent en entr\'ee une fonction $f$ (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$), et trois valeurs $x_{min}$, $x_0$ et $x_{max}$ (suppos\'ees telles que $x_{min}\leq x_0 \leq x_{max}$). \begin{enumerate} \item \verb+derive+~: Elle calcule et repr\'esente graphiquement la d\'eriv\'ee de $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$. Elle retourne la une valeur de $f'(x_0)$. \item \verb+tangente+~: Elle repr\'esente la fonction $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$, elle superpose sur le m\^eme graphique la tangente au graphe de $f$ au point $x_0$, et retourne l'\'equation de cette tangente comme un polyn\^ome du premier degr\'e. \item \verb+araignee+~: Elle repr\'esente la fonction $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$, ainsi que la droite d'\'equation $y=x$ (premi\`ere bissectrice). Elle calcule et retourne les $10$ premiers it\'er\'es de $f$ en $x_0$ ($x_1=f(x_0), x_2=f\circ f(x_0), \ldots$). Elle repr\'esente la suite de segments, alternativement verticaux et horizontaux, permettant de visualiser les it\'erations~: segments joignant $(x_0,0)$, $(x_0,x_1)$, $(x_1,x_1)$, $(x_1,x_2)$, $(x_2,x_2)$, \ldots (comparer avec la fonction \verb|plotseq|) \item \verb+newton_graph+~: Elle repr\'esente la fonction $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$. Elle calcule et retourne les dix premiers it\'er\'es de la suite d\'efinie \`a partir de $x_0$ par la m\'ethode de Newton~: $x_1=x_0 -f(x_0)/f'(x_0)$, $x_2=x_1 - f(x_1)/f'(x_1)$ \ldots~ Les valeurs de la d\'eriv\'ee sont approch\'ees. La fonction repr\'esente sur le m\^eme graphique les segments permettant de visualiser les it\'erations~: segments joignant $(x_0,0)$, $(x_0,f(x_0))$, $(x_1,0)$, $(x_1,f(x_1))$, $(x_2,0)$, $(x_2,f(x_2))$,\ldots (comparer avec la fonction \verb|newton|) \end{enumerate} }\end{exo} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{exo}{\rm On note $D$ le carr\'e unit\'e~: $D=]0,1[^2$. Soit $\Phi$ l'application d\'efinie sur $D$ par $$ \Phi(x,y) = (z(x,y),t(x,y))= \left(\frac{x}{1+y}\,,\,\frac{y}{1+x}\right)\;. $$ \begin{enumerate} \item Calculer l'inverse de l'application $\Phi$. \item D\'eterminer et repr\'esenter graphiquement l'image par $\Phi$ du domaine $D$: $\Delta=\Phi(D)$. \item Soit $A(x,y)$ la matrice jacobienne de $\Phi$ en un point $(x,y)$ de $D$, et $B(z,t)$ la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ en un point $(x,y)$ de $\Delta$. Calculer ces deux matrices, v\'erifier que $B(\Phi(x,y))$ et $A(x,y)$ sont inverses l'une de l'autre. \item Soit $J(z,t)$ le d\'eterminant de la matrice $B$. Calculer et simplifier $J(z,t)$. \item Calculer $$ I_1=\iint_D\,\left( \frac{1+x+y}{(1+x)(1+y)} \right)^3 \,dxdy\;. $$ \item Calculer $$ I_2=\iint_\Delta\,(1+z)(1+t)\,dzdt\;, $$ et v\'erifier que $I_1=I_2$. \end{enumerate} }\end{exo} %f(x,y):=(x/(1+y),y/(1+x));S:=solve([z,t]-[f(x,y)],[x,y]); %invf:=unapply(op(S[0]),z,t)) %for (b:=0;b<1;b:=b+0.1){plotparam(a/(1+b)+i*b/(1+a),a=0..1);};DispG(); %plotparam(a/(2)+i/(1+a),a=0..1);plotparam(1/(1+b)+i*b/(2),b=0..1); %normal(int(int((1+x+y)^3/(1+x)^3/(1+y)^3,y,0,1),x,0,1) %normal(2*int(int((1+z)*(1+t),t,z,1/(1+2*z)),z,0,1/2) \newpage \appendix \section{Table des mati\`eres et index} \label{sec:appendice} \tableofcontents %\newpage \printindex \end{document}