\documentclass[a4paper,11pt]{book} \textheight 23 cm %\usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{makeidx} \usepackage{times} %\usepackage{mathptmx} %Uncomment next line for pdflatex and use includegraphics with eps file % for latex2html don't use the option [width=\textwidth] % check that xfig files are exported magnif 100% \usepackage{ifpdf} \ifpdf \usepackage[pdftex,colorlinks]{hyperref} \else %\usepackage[ps2pdf,breaklinks=true,colorlinks=true,linkcolor=red,citecolor=green]{hyperref} \usepackage{pst-plot} \fi \usepackage{graphicx} %\def\@evenhead{\thepage\hfill{\footnotesize\textit{\leftmark}}} %\def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage} %\usepackage{hp} %HEVEA\@def@charset{US-ASCII} %\usepackage[utf8]{inputenc}2 \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \newcommand{\atan}{\mbox{atan}} \newcommand{\cir}{\symbol{94}} \newcommand{\note}{\symbol{32}} \title{{\tt Xcas} et les math\'ematiques de troisi\`eme} \makeindex \author{Ren\'ee De Graeve} \begin{document} \maketitle {\bf \centerline{Remerciements}} \vspace{1cm} Je remercie: \begin{itemize} \item Bernard Parisse pour ses pr\'ecieux conseils et ses remarques sur ce texte, \end{itemize} \vfill \copyright\ 2002, 2006 Ren\'ee De Graeve, \verb|renee.degraeve@wanadoo.fr|\\ La copie, la traduction et la redistribution de ce document sur support \'electronique ou papier sont autoris\'es pour un usage non commercial uniquement. L'utilisation de ce document \`a des fins commerciales est interdite sans l'accord \'ecrit du d\'etenteur du copyright. Cette documentation est fournie en l'\'etat, sans garantie d'aucune sorte. En aucun cas le d\'etenteur du copyright ne pourra \^etre tenu pour responsable de dommages r\'esultant de l'utilisation de ce document.\\ Ce document est disponible à l'adresse Internet suivante :\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/castrois.pdf| \newpage {\bf \centerline{Pr\'eface}} \vspace{1cm} Bernard Parisse est Ma\^itre de Conf\'erences à l'Universit\'e de Grenoble I.\\ Il est le d\'eveloppeur du logiciel de calcul formel {\tt giac} et de son interface {\tt Xcas}.\\ La version \`a jour se r\'ecup\`ere sur ;\\ {\tt http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\tilde{ }$parisse/giac.html} \newpage \tableofcontents \newpage \printindex \chapter{Calculs : nombres relatifs, fractions, puissances} \section{Calculs exacts avec {\tt Xcas}}\index{normal} Avec {\tt Xcas}, on fait du calcul exact.\\ Avec {\tt Xcas}, les simplifications ne se font pas automatiquement, seules les parenth\`eses inutiles sont enlev\'ees et les fractions sont simplifi\'ees. Pour avoir la forme simplifi\'ee d'une expression, il faut utiliser la commande {\tt normal}. On remarquera que la r\'eponse se fait dans un \'editeur d'\'equations, ce qui fait que l'on peut mettre en surbrillance chaque sous-arbre de l'expression et agir sur lui \`a l'aide des commandes situ\'ees dans les diff\'erents menus.\\ Pour faire les calculs : \begin{itemize} \item On effectue les calculs mis entre les parenth\`eses, \item On effectue les puissances, \item On effectue les multiplications et les divitions dans l'ordre de gauche \`a droite. \item On effectue les additions et les soustractions dans l'ordre de gauche \`a droite. \end{itemize} \section{Calculs avec des nombres relatifs et avec des puissances} Calculer et \'ecrire chacune des expressions de 2 fa\c{c}ons diff\'erentes (soit en calculant les calculs mis entre les parenth\`eses, soit en effectuant les puissances) : \begin{enumerate} \item $-2+3*4^2/5*6-1$ \item $-2+(3*4)^2/5*6-1$ \item $-2+3*4^2/(5*6)-1$ \item $-2+(3*4)^2/(5*6)-1$ \item $-2+3*4^2/(5*6-1)$ \item $(-2+3*4^2)/5*6-1$ \item $(-2+3*4^2)/(5*6-1)$ \end{enumerate} Avec {\tt Xcas}, \begin{enumerate} \item On tape :\\ {\tt -2+3*4\verb|^|2/5*6-1}\\ ou \\ {\tt -2+(3*16)/5*6-1}\\ On obtient : {\tt 273/5} \item On tape :\\ {\tt -2+(3*4)\verb|^|2/5*6-1}\\ ou \\ {\tt -2+12\verb|^|2/5*6-1}\\ On obtient : {\tt 849/5} \item On tape :\\ {\tt -2+3*4\verb|^|2/(5*6)-1}\\ ou \\ {\tt -2+3*16/30-1}\\ On obtient : {\tt -7/5} \item On tape :\\ {\tt -2+(3*4)\verb|^|2/(5*6)-1}\\ ou \\ {\tt -2+12\verb|^|2/30-1}\\ On obtient : {\tt 9/5} \item On tape :\\ {\tt -2+3*4\verb|^|2/(5*6-1)}\\ ou \\ {\tt -2+3*16/29}\\ On obtient : {\tt (-10)/29} \item On tape :\\ {\tt (-2+3*4\verb|^|2)/5*6-1}\\ ou \\ {\tt (-2+3*16)/5*6-1}\\ On obtient : {\tt 271/5} \item On tape :\\ {\tt (-2+3*4\verb|^|2)/(5*6-1)}\\ ou \\ {\tt (-2+3*16)/29}\\ On obtient : {\tt 46/29} \end{enumerate} \section{Calculs avec des fractions et avec des racines}\index{sqrt}\index{normal}\index{simplify}\index{developper} \begin{enumerate} \item Simplifier ou calculer: \begin{itemize} \item[$\bullet$]$\displaystyle \sqrt{\frac{2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \sqrt{\frac{2+\sqrt 3}{2-\sqrt 3}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{2+\sqrt 3}}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt 2}*\sqrt{2-\sqrt 2}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \sqrt2*\sqrt{2+\sqrt 2}*\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}*\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt 2}}$ \end{itemize} {\bf Solution avec {\tt Xcas}}\\ {\tt sqrt} est la fonction racine carr\`ee.\\ {\tt normal} et {\tt simplify} sont des fonctions qui effectuent des simplifications.\\ {\tt developper} est une fonction qui d\'eveloppe une expression. \begin{itemize} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt normal(sqrt((2+sqrt(2))/(2-sqrt(2)))+\\sqrt((2-sqrt(2))/(2+sqrt(2))))}\\ On obtient : {\tt 2*sqrt(2)}\\ \item[$\bullet$]On tape :\\ {\tt normal(sqrt((2+sqrt(3))/(2-sqrt(3)))+\\sqrt((2-sqrt(3))/(2+sqrt(3))))}\\ On obtient : {\tt 4}\\ \item[$\bullet$]On tape :\\ {\tt normal(sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(2-sqrt(2)))}\\ On obtient : {\tt sqrt(2)}\\ \item[$\bullet$]On tape :\\ {\tt normal(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*(sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))*\\sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))))}\\ On obtient : {\tt 2}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt A:=sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*(sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))*\\sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2))))}\\ {\tt developper(A\verb|^|2)}\\ On obtient :\\ {\tt 2*(sqrt(2)+2)*(sqrt(sqrt(2)+2)+2)*(-(sqrt(sqrt(2)+2))+2)}\\ Puis on met en surbrillance : \\ {\tt (sqrt(sqrt(2)+2)+2)*(-(sqrt(sqrt(2)+2))+2)}\\ et on appuie sur {\tt simplify} du clavier {\tt kbd} de {\tt Xcas}.\\ On obtient :\\ {\tt 2*(sqrt(2)+2)*(-(sqrt(2))+2)}\\ Puis on met en surbrillance : \\ {\tt (sqrt(2)+2)*(-(sqrt(2))+2)}\\ et on appuie sur {\tt simplify} du clavier {\tt kbd} de {\tt Xcas}.\\ On obtient la valeur de {\tt A\verb|^|2}:\\ {\tt 2*2}\\ {\tt A} est positif donc {\tt A} est \'egal \`a {\tt 2} \end{itemize} \item Simplifier ou calculer: \begin{itemize} \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{5}-\frac{1}{2}}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{-2}{3}*(\frac{-3}{-5}+\frac{-5}{6})-\frac{3}{5}*(\frac{-5}{4}-\frac{7}{12})$ \item[$\bullet$] $2\sqrt{45}+3\sqrt{12}-\sqrt{20}-6\sqrt 3$ \item[$\bullet$] $2\sqrt{605}+3\sqrt{3125}-4\sqrt{845}$ \item[$\bullet$] $2\sqrt{25}+3\sqrt{12}-\sqrt{48}$ \end{itemize} \ \\ {\bf Solution avec {\tt Xcas}} \begin{itemize} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt (1/3+3/2)/(4/5-1/2);}\\ On obtient : {\tt 55/9} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt -2/3*(-3/-5+-5/6)-3/5*(-5/4-7/12);}\\ On obtient : {\tt 113/90} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt normal(2*sqrt(45)+3*sqrt(12)-sqrt(20)-6*sqrt(3));}\\ On obtient : {\tt 4*sqrt(5)} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt normal(2*sqrt(605)+3*sqrt(3125)-4*sqrt(845));}\\ On obtient : {\tt 45*sqrt(5)} \end{itemize} \item \'Ecrire avec un d\'enominateur rationnel : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{-2}{3-\sqrt 5}+\frac{3}{5+3\sqrt 5}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{-7}{1+\sqrt 2}-(\frac{3}{2-3\sqrt 2})*(\frac{-7}{4-\sqrt 2})$ \end{itemize} \ \\ {\bf Solution avec {\tt Xcas}} \begin{itemize} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt normal(-2/(3-sqrt(5))+3/(5+ 3*sqrt(5)))}\\ On obtient : {\tt (-(sqrt(5))-45)/20} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt normal(-7/(1+sqrt(2))-(3/(2-3*sqrt(2)))*(-7/(4-sqrt(2))))}\\ On obtient : {\tt (-17*sqrt(2)+11)/2} \end{itemize} \end{enumerate} \section{Identit\'es remarquables} \subsection{$16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}$ est un carr\'e} Montrer que $16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}$ est un carr\'e.\\ On remarquera que 16=5+11 et que l'on peut mettre $\sqrt{5}$ en facteur dans $\sqrt{55-10\sqrt{29}}$.\\ Soient les nombres :\\ $a=\sqrt{5}+\sqrt{22+2\sqrt{5}}$ et\\ $b=\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}$\\ Montrer que $a=b$\\ {\bf Solution}\\ On a :\\ $16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}=5+11-2\sqrt{29}+2*\sqrt{5}*\sqrt{11-2\sqrt{29}}$ \\ Donc :\\ $16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}=(\sqrt{5}+\sqrt{11-2\sqrt{29}})^2$\\ On \'ecrit $b$ en se servant de ce qui pr\'ec\`ede :\\ $b=\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{5}+\sqrt{11-2\sqrt{29}}$\\ On a donc :\\ $(b-\sqrt 5)^2=11+2\sqrt{29}+11-2\sqrt{29}+2\sqrt{11+2\sqrt{29}}\sqrt{11-2\sqrt{29}}$\\ $(b-\sqrt 5)^2=22+2\sqrt{121-4*29}=22+2\sqrt{5}$\\ Donc :\\ $b=\sqrt 5+\sqrt{22+2\sqrt{5}}=a$ \subsection{$10^{21}+1$ est-il premier ?} Soit $n=10^{21}+1$.\\ $n$ est-il premier ?\\ {\bf Solution} On sait que :\\ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$\\ On a donc :\\ $n=10^{21}+1=(10^{7})^3+1$ donc $n$ est divisible par $10^{7}+1$ et\\ $n=(10^7+1)(10^{14}-10^7+1)$\\ On tape :\\ {\tt isprime(10\verb|^|21+1)}\\ On obtient :\\ {\tt faux}\\ On tape :\\ {\tt ifactor(10\verb|^|7+1)}\\ On obtient :\\ {\tt 11*909091}\\ On tape :\\ {\tt ifactor(10\verb|^2|1+1)}\\ On obtient :\\ {\tt 7\verb|^|2*11*13*127*2689*459691*909091} \subsection{R\'esolution de $(x+1)^3=x^3+(x-1)^3$ pour $x\in N$} Trouvers trois entiers successifs tels que le cube du plus grand soit \'egal \`a la somme des cubes des deux autres. {\bf Solution}\\ On note $n-1,\ n, \ n+1$ les trois entiers successifs et on veut r\'esoudre dans $\N$ :\\ $(x+1)^3=x^3+(x-1)^3$ c'est \`a dire :\\ $x^3-6x^2-2=0$.\\ Soit $f(x)=x^3-6x^2-2$.\\ \'Etudions puis tra\c{c}ons le graphe de cette fonction :\\ On voit squ'elle s'annule en un point proche de $x=6$.\\ On tape :\\ {\tt f(x):=x\verb|^|3-6x\verb|^|2-2}\\ {\tt plotfunc(f(x),x=-3..7)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisplo}\\ On tape :\\ {\tt f(6),f(7)}\\ On obtient :\\ {\tt -2,47}\\ $(x+1)^3=x^3+(x-1)^3$ n'a donc pas de solutions dans $\N$ \subsection{R\'esolution de $(x+1)^2=x^3+(x-1)^3$ pour $x\in N$} Trouvers trois entiers successifs tels que le carr\'e du plus grand soit \'egal \`a la somme des cubes des deux autres. {\bf Solution}\\ On note $n-1,\ n, \ n+1$ les trois entiers successifs et on veut r\'esoudre dans $\N$ :\\ $(x+1)^2=x^3+(x-1)^3$ c'est \`a dire :\\ $2x^3-4x^2+x-2=0$.\\ On a :\\ $2x^3-4x^2+x-2=2x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(2x^2+1)$ Comme $2x^2+1>0$ quand $x\in \R$ la seule solution de $(x+1)^2=x^3+(x-1)^3$ est $x=2$.\\ Cette solution est enti\`ere donc les 3 entiers r\'epondant \`a la question sont (1,2,3) et on a bien $3^2=9=2^3+1^3=8+1$ \subsection{$\sqrt 2+\sqrt 3$ est racine d'un polyn\^ôme \`a coefficients entiers} Montrer que $\sqrt 2+\sqrt 3$ est racine d'un polyn\^ôme \`a coefficients entiers.\\ {\bf Solution}\\ On pose :\\ $a=\sqrt 2+\sqrt 3$.\\ On a :\\ $a^2=2+2\sqrt 6+3=5+2\sqrt 6$\\ donc :\\ $(a^2-5)^2=a^4-10a^2+25=4*6=24$ On a donc :\\ $a^4-10a^2+1=0$\\ $\sqrt 2+\sqrt 3$ est donc une racine du polyn\^ôme :\\ $x^4-10x^2+1$ \section{Calculs avec des puissances}\index{factoriser\_entier} Mettre sous forme d'un produit de puissances de nombres premiers \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item[$\bullet$] $15*45^2$ \item[$\bullet$] $21^2*28^2*(-45)^2$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{6^2*20*21}{64*3^3}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{6^2*20*21*28}{64*3^3}$ \end{itemize} \item Le nombre $2^2*6*3^{20}*5^2$ est-il un cube parfait ? \item Quel est le plus petit nombre par lequel il faut multiplier $2*3^2*5$ pour que ce produit soit un cube parfait et un carr\'e parfait. \end{enumerate} {\bf Solution avec {\tt Xcas}}\\ {\tt factoriser\_entier} est une fonction qui factorise les nombres entiers en produit de facteurs premiers \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt (6\verb|^|2*20*21*28)/(2\verb|^|3*40*3\verb|^|3)}\\ On obtient : {\tt 49}\\ On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(49)}\\ On obtient : {\tt 7\verb|^|2}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs il faut appliquer la fonction {\tt factoriser\_entier} au num\'erateur et au d\'enominateur.\\ On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(6\verb|^|2*20*21*28)/factoriser\_entier(2\verb|^|3*40*3\verb|^|3)}\\ On obtient : {\tt 2\verb|^|6*3\verb|^|3*5*7\verb|^|2/(2\verb|^|6*3\verb|^|3*5)}\\ Il reste ensuite \`a simplifier \`a la main ! \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt (6\verb|^|2*20*21*28)/(64*3\verb|^|3)}\\ On obtient : {\tt 245}\\ On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(245)}\\ On obtient : {\tt 5*7\verb|^|2} Pour avoir le d\'etail des calculs il faut appliquer la fonction {\tt factoriser\_entier} au num\'erateur et au d\'enominateur.\\ On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(6\verb|^|2*20*21*28)/factoriser\_entier(64*3\verb|^|3)}\\ On obtient : {\tt 2\verb|^|6*3\verb|^|3*5*7\verb|^|2/(2\verb|^|6*3\verb|^|3)}\\ Il reste ensuite \`a simplifier \`a la main ! \end{itemize} \item On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(2\verb|^|2*6*3\verb|^|20*5\verb|^|2)}\\ On obtient : {\tt 2\verb|^|3*3\verb|^|21*5\verb|^|2}\\ Le nombre $2^2*6*3^{20}*5^2$ n'est pas un cube parfait car la puissabce de 5 n'est pas divisible par 3. \item Pour que $2*3^2*5^3$ soit un cube parfait et un carr\'e parfait, il faut que les puissances de sa d\'ecomposition en facteurs premiers soient des multiples de 6. On tape :\\ {\tt factoriser\_entier((2*3*5)\verb|^|6/(2*3\verb|^|2*5\verb|^|3))}\\ On obtient : {\tt 2\verb|^|5*3\verb|^|4*5\verb|^|3} \end{enumerate} \chapter{Le calcul litt\'eral} \section{Le calcul litt\'eral et exact avec {\tt Xcas}}\index{:=}\index{purge} {\tt Xcas} peut faire des calculs avec des lettres car les variables de {\tt Xcas} sont soit des variables symboliques, soit des variables contenant des expressions.\\ Par exemple si on tape :\\ {\tt a:=3} cela veut dire que l'on stocke 3 dans le variable {\tt a}. Ainsi la lettre {\tt a} sera remplac\'ee dans les calculs par {\tt 3}. \\ Maintenant si on tape :\\ {\tt purge(a)}, cela enl\`eve la valeur stock\'ee dans la variable {\tt a}. Ainsi dans les calculs, la lettre {\tt a} restera {\tt a}.\\ {\tt Xcas} fait du calcul exact : les nombres entiers comme $ 100!$ seront calcul\'es avec tous leurs chiffres et le nombres r\'eels comme $\sqrt 2,\ \frac{2}{3}$ ne seront pas remplac\'es dans les calculs par leurs valeurs approch\'ees. \\ {\bf Attention} \\ {\tt Xcas} ne sous entend pas le signe {\tt *} (sauf si il s'agit du produit d'un nombre et du nom d'une variable), par exemple:\\ en math\'ematiques le produit $x+1$ par $3x+2$ s'\'ecrit $(x+1)(3x+2)$ mais \\ avec {\tt Xcas} on \'ecrit {\tt (x+1)*(3*x+2)} ou {\tt (x+1)*(3x+2)},\\ en math\'ematiques $2mx$ est le produit de 2, de $m$ et de $x$, mais \\ avec {\tt Xcas} ce produit s'\'ecrit {\tt 2*m*x} ou {\tt 2m*x} ou {\tt 2x*m}. \section{Exercices}\index{isprime} \begin{enumerate} \item[$\bullet$]Simplifier : $\displaystyle {(\frac{25}{49})}^2*{(\frac{14}{15})}^3*(\frac{21}{5})$ \item[$\bullet$]Simplifier : $\displaystyle \frac{(a^2b^3c^4)^2}{(a^2b^2c^2)^3}$ \item[$\bullet$] Factoriser $50!$ \item[$\bullet$] Les nombres $123456789,12345678901,12345678923 $ sont-ils premiers ? \\ Dans le cas o\`u ils ne sont pas premiers donner leur d\'ecomposition en facteurs premiers. \end{enumerate} {\bf Solution avec {\tt Xcas}}\\ {\tt isprime} est une fonction qui teste si un nombre est premier en renvoyant {\tt vrai} ou {\tt faux}. \begin{enumerate} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt (25/49)\verb|^|2*(14/15)\verb|^|3*(21/5)}\\ On obtient : {\tt 8/9} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt normal((a\verb|^|2*b\verb|^|3*c\verb|^|4)\verb|^|2/(a\verb|^|2*b\verb|^|2*c\verb|^|2)\verb|^|3)}\\ On obtient : {\tt c\verb|^|2/a\verb|^|2} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(50!)}\\ On obtient : \\ {\tt 2\verb|^|47*3\verb|^|22*5\verb|^|12*7\verb|^|8*11\verb|^|4*13\verb|^|3*17\verb|^|2*\\19\verb|^|2*23\verb|^|2*29*31*37*41*43*47} \item[$\bullet$] On tape :\\ {\tt isprime(123456789)}\\ On obtient : {\tt faux}\\ On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(123456789)}\\ On obtient : {\tt 3\verb|^|2*3607*3803}\\ On tape :\\ {\tt isprime(12345678901)}\\ On obtient : {\tt faux}\\ On tape :\\ {\tt factoriser\_entier(12345678901)}\\ On obtient : {\tt 857*14405693}\\ On tape :\\ {\tt isprime(12345678923)}\\ On obtient : {\tt vrai} \end{enumerate} \section{Les commandes sur les expressions et les \'equations}\index{developper} \index{factoriser}\index{droit}\index{gauche}\index{resoudre}\index{normal}\index{substituer} \begin{center} \begin{tabular}{|ll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Expressions et \'equations}\\ \hline\hline \verb@developper@& renvoie l'expression developp\'ee\\ \verb@factoriser@& renvoie l'expression factoris\'ee\\ \verb@droit@& renvoie le membre de droite d'une \'equation\\ \verb@gauche@& renvoie le membre de gauche d'une \'equation\\ \verb@resoudre@& renvoie la liste des solutions de l'\'equation\\ \verb@normal@& renvoie l'expression simplifi\'ee\\ \verb@substituer@& remplace, dans une expression, une variable par sa valeur \\ \hline \end{tabular} \end{center} \section{Une activit\'e} Soit l'expression $E=(2x-4)^2+x^2-4$. \begin{itemize} \item D\'evelopper et r\'eduire $E$ en indiquant les \'etapes interm\'ediaires \item Factoriser $E$ en indiquant les \'etapes interm\'ediaires \item Calculer $E$ pour $\displaystyle x=0,\frac{1}{2},2$ \item R\'esoudre l'\'equation en $x$ : $E=0$ \item R\'esoudre l'\'equation en $x$ : $E=x-2$ \end{itemize} {\bf Solution avec {\tt Xcas}} On tape \begin{verbatim} E:=(2x-4)^2+x^2-4; normal(E); developper((2x-4)^2)+x^2-4; normal(4*x^2-16*x+16+x^2-4); factoriser(E); factoriser((2x-4)^2); factoriser(x^2-4); factoriser(4*(x-2)^2+(x+2)*(x-2)); substituer(E,x,0); substituer(E,x,1/2); substituer(E,x,2) resoudre(E=0,x); factoriser(E); resoudre(E=x-2,x); factoriser(gauche(E=x-2)-droit(E=x-2)) \end{verbatim} \section{D\'evelopper une expression}\index{developper} {\bf Exercices}\\ D\'evelopper et r\'eduire les expressions : \begin{enumerate} \item $(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$ \item $(a\verb|^|2+a+1)(a\verb|^|2-a+1)-(a\verb|^|2-1)(a\verb|^|4+a\verb|^|2+1)$ \item $bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)+(a-b)(b-c)(c-a)$ \item $a\verb|^|2(b-c)+b\verb|^|2(c-a)+c\verb|^|2(a-b)+(a-b)(b-c)(c-a)$ \end{enumerate} {\bf Solutions} avec {\tt Xcas} \begin{enumerate} \item On tape :\\ {\tt developper((a+b+c)*(a-b)*(b-c)*(c-a))}\\ On obtient :\\ {\tt -b\verb|^|3*c+a\verb|^|3*c-a\verb|^|3*b+b*c\verb|^|3-a*c\verb|^|3+a*b\verb|^|3} \item On tape :\\ {\tt developper((a\verb|^|2+a+1)*(a\verb|^|2-a+1)-(a\verb|^|2-1)*(a\verb|^|4+a\verb|^|2+1))}\\ On obtient :\\ {\tt -a\verb|^|6+a\verb|^|4+a\verb|^|2+2} \item On tape :\\ {\tt normal(b*c*(b-c)+c*a*(c-a)+a*b*(a-b)+(a-b)*(b-c)*(c-a))}\\ On obtient :\\ {\tt 0} \item On tape :\\ {\tt normal(a\verb|^|2*(b-c)+b\verb|^|2*(c-a)+c\verb|^|2*(a-b)+(a-b)*(b-c)*(c-a))}\\ On obtient :\\ {\tt 0} \end{enumerate} \section{Factoriser une expression}\index{factoriser} Par exemple on tape : {\tt (x\verb|^|2-x-2)/(x\verb|^|2+x-6)} et on obtient : %$\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x^2+x-6}$. \begin{center}\includegraphics[width=\textwidth]{factoriser}\end{center} Puis on met en surbrillance $x^2-x-2$ et on clique sur {\tt factoriser} du menu {\tt Reecriture} ou sur {\tt factoriser} du clavier {\tt kbd} et on obtient : \begin{center}\includegraphics[width=\textwidth]{factorise}\end{center} {\bf Exercices}\\ Factoriser : \begin{enumerate} \item $(a+b)^3+(a+b)^2$ \item $a^2+4ab+4b^2-1$ \item $4a^2-4a-4b^2+1$ \item $(4a-1)^2*+(8a+2)(a+5)$ \item $(3a-5)(a+6)+(5-3a)(a-3)+9a-15)$ \item $bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)$ \end{enumerate} {\bf Solutions} avec {\tt Xcas} \begin{enumerate} \item On tape :\\ {\tt factoriser((a+b)\verb|^|3+(a+b)\verb|^|2)}\\ On obtient :\\ {\tt (a+b)\verb|^|2*(a+b+1)} \item On tape :\\ {\tt factoriser(a\verb|^|2+4a*b+4b\verb|^|2-1)}\\ On obtient :\\ {\tt (a+2*b-1)*(a+2*b+1)} \item On tape :\\ {\tt factoriser(4a\verb|^|2-4a-4b\verb|^|2+1)}\\ On obtient :\\ {\tt (2*a-2*b-1)*(2*a+2*b-1)} \item On tape :\\ {\tt factoriser((4a-1)\verb|^|2*+(8a+2)*(a+5))}\\ On obtient :\\ {\tt 2*(a+5)*(4*a-1)\verb|^|2*(4*a+1)} \item On tape :\\ {\tt factoriser((3a-5)*(a+6)+(5-3a)*(a-3)+9a-15))}\\ On obtient :\\ {\tt 12*(3*a-5)} \item On tape :\\ {\tt factoriser(b*c*(b-c)+c*a*(c-a)+a*b*(a-b))}\\ On obtient :\\ {\tt (c-a)*(b-a)*(b-c)} \end{enumerate} \chapter{Arithm\'etique} \section{La division euclidienne dans $\N$}\index{iquorem}\index{iquo}\index{irem} Soient $a \in \N$ et $b\in \N$.\\ On \'ecrit $a=b*q+r$ avec $q \in \N$ et $r\in \N$ qui v\'erifie $0\leq r=b faire a:=a-b; q:=q+1; ftantque retourne [q,a]; }:; \end{verbatim} Dans {\tt Xcas} cette fonction existe d\'ej\`a et s'appelle {\tt iquorem}.\\ On tape :\\ {\tt iquorem(45,7)}\\ On obtient :\\ {\tt [6,3]}\\ En effet $45=6*7+3$\\ Il existe aussi {\tt iquo(a,b)} qui renvoie le quotient {\tt q} de la division euclidienne de $a$ par $b$ et {\tt irem(a,b)} qui renvoie le reste {\tt r} de la division euclidienne de $a$ par $b$.\\ On tape :\\ {\tt iquo(45,7)}\\ On obtient : {\tt 6}\\ On tape :\\ {\tt irem(45,7)}\\ On obtient : {\tt 3}\\ Si $r$={\tt irem}$(a,b)$ est nul, on dit que $a$ est un multiple de $b$ et que $b$ est un diviseur de $a$. \section{Le PGCD}\index{tantque}\index{faire}\index{ftantque}\index{retourne} Le $PGCD(a,b)$ est le plus grand commun diviseur de $a$ et de $b$.\\ Pour calculer le $PGCD(a,b)$ on utilise l'algorithme d'Euclide qui utilise le fait que :\\ si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ alors :\\ $PGCD(a,b)=PGCD(b,r)$.\\ En effet si $a=bq+r$ tous les diviseurs communs \`a $a$ et $b$ sont aussi des diviseurs de $r$ et tous les diviseurs communs \`a $b$ et $r$ sont aussi des diviseurs de $a$.\\ Donc on cherche le $PGCD(b,r)$ et $r faire ftantque} qui teste la condition si est vraie les sont ex\'ecut\'es puis on teste ...et on s'arr\^ete quand devient fausse.\\ {\tt retourne} renvoie la valeur de la fonction (ici renvoie le PGCD(a,b)). \begin{verbatim} PGCD(a,b):={ local r; tantque b>0 faire r:=irem(a,b); a:=b b:=r; ftantque retourne a; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt PGCD(45,30)}\\ On obtient :\\ {\tt 15}\\ On tape :\\ {\tt PGCD(30,45)}\\ On obtient :\\ {\tt 15}\\ On tape :\\ {\tt PGCD(1234567890,12345678)}\\ On obtient :\\ {\tt 18}\\ {\bf Remarque}\\ Lorsque $a0 faire r:=irem(a,b); a:=b b:=r; ftantque retourne p/a; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt PPCM(45,30)}\\ On obtient :\\ {\tt 90}\\ On tape :\\ {\tt PPCM(1234567890,12345678)}\\ On obtient :\\ {\tt 846754313282190}\\ Dans {\tt Xcas} cette fonction existe d\'eja et s'appelle {\tt lcm}.\\ On tape {\tt lcm(45,30)} et on obtient {\tt 90}\\ {\bf Exercice}\\ Soient 2 entiers $a$ et $b$ et un damier rectangulaire de dimension $a\ x\ b$.\\ Le point de départ est un sommet et on avance en ligne droite selon une diagonale de chaque carr\'e. Quand on arrive sur un bord, on rebondit \`a angle droit et on s'arr\^ete quand on atteint un sommet du rectangle.\\ Quel est en fonction de $a$ et $p$ le nombre de carreaux travers\'es ?\\ {\bf Solution}\\ Regardons quelques exemples :\\ $a=b=3$, $n=6,p=3$, $a=6,b=4$ et $a=7,b=4$, on fait les dessins, on obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroislcm}\\ on remarquera que le dernier trajet n'est pas termin\'e...\\ {\bf Cas g\'en\'eral}\\ On fait une sym\'etrie du damier par rapport au bord rencontr\'e de fa\c{c}on que le trajet soit une ligne droite par exemple pour $n=6,p=4$ :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroislcm1}\\ Pour cela on tape : \begin{verbatim} segment(-6+k*i,6+k*i)$(k=-5..7); segment(k-5*i,k+7*i)$(k=-6..6); rectangle(-6-5*i,-5*i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); rectangle(-6-i,-i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); rectangle(-i,6-i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); rectangle(3*i,6+3*i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); segment(-2-i,-3*i,affichage=2); segment(-2-5*i,-3*i,affichage=3); segment(-2-5*i,-6-i,affichage=4); segment(-2-i,i,affichage=2+epaisseur_ligne_2); segment(2+3*i,i,affichage=3+epaisseur_ligne_2); segment(2+3*i,6+7*i,affichage=4+epaisseur_ligne_2); segment(-6-5*i,-2-i,affichage=1+epaisseur_ligne_2); \end{verbatim} Si on a dessin\'e le damier rectangulaire de dimension $a\ x\ n$ avec $a$ en abscisse et $b$ en ordonn\'ee, on remarqre que :\\ on rencontre les bords horizontaux chaque fois que le nombre de carreaux travers\'es est un multiple de $b$ et\\ on rencontre les bords verticaux chaque fois que le nombre de carreaux travers\'es est un multiple de $a$.\\ Donc on arrivera la premi\`ere fois \`a un sommet du rectangle lorsque que le nombre de carreaux travers\'es est le plus petit multiple commun de $a$ et $b$. \section{Arithmogrammes} Un arithmogramme est une op\'eration arithm\'etique dans laquelle les chiffres des nombres en jeu sont repr\'esent\'es par des lettres sachant que 2 lettres distinctes (d'un m\^eme \'enonc\'e) rep\'esentent 2 chiffres distincts. \subsection{Une op\'eration simple} Reconstituer l'op\'eration :\\ \begin{verbatim} E C O L E + E L E V E ----------- L E C O N \end{verbatim} {\bf Les solutions} On note {\tt p,q,r,s} les retenues \'eventuelles qui sont \'egales soit \`a 0 soit \`a 1. Cela donne :\\ \begin{verbatim} p q r s E C O L E + E L E V E ----------- L E C O N \end{verbatim} La lettre {\tt E} apparait plusieurs fois et doit v\'erifier {\tt E}$\neq$ {\tt 0} puisque c'est le premier chiffre du nombre {\tt ECOLE}.\\ On a :\\ {\tt E+E+p=L} et {\tt E+E=10*s+N}.\\ {\tt E+E+p=L} entraine que {\tt E}$\in$ {\tt \{1,2,3,4\}}.\\ ce qui entraine que {\tt s=0} et puisque {\tt N} et {\tt L} sont repr\'esentent des chiffres diff\'erents on en d\'eduit que {\tt p=1} et donc on sait que :\\ {\tt E}$\in$ {\tt \{1,2,3,4\}}, {\tt N=2*E}, {\tt L=2*E+1} (on a bien {\tt 2E,2E+1,E} qui sont diff\'erents).\\ On doit donc r\'esoudre :\\ \begin{verbatim} 1 q r 0 E C O L E + E L E V E ----------- L E C O N \end{verbatim} c'est \`a dire il faut trouver les chiffres qui correspondent aux 6 lettres :\\ {\tt E C O L V N}.\\ Ce qui donne comme \'equations avec {\tt E}$\in$ {\tt \{1,2,3,4\}}:\\ {\tt N=2*E}, {\tt L=2*E+1} et :\\ {\tt L+V=10*r+O}\\ {\tt O+E+r=10*q+C}\\ {\tt C+L+q=10+E}\\ {\tt C+L+q=10+E} donc {\tt C=9-E-q}\\ {\tt O+E+r=10*q+C} donc {\tt O=10*q+9-2*E-r}\\ Comme {\tt 9-2*E-r>=0} on en d\'eduit que {\tt q=0} et donc que {\tt O=9-2*E-r}\\ {\tt L+V=10*r+O} donc \\ {\tt V=10*r-2*E-1+9-2*E-r=9*r+8-4*E}.\\ On a ainsi obtenu toutes les lettres en fonction de {\tt E} :\\ {\tt N=2*E, L=2*E+1, C=9-E, O=9-2*E-r, V=9*r+8-4*E} avec {\tt r=0} ou {\tt r=1}.\\ Si {\tt E=1} alors {\tt r=0} car {\tt V=9*r+4} et donc {\tt N=2}, {\tt L=3}, {\tt C=8}, {\tt O=7} et {\tt V=4}.\\ Si {\tt E=2} alors {\tt L=5}, et {\tt O=5} donc pas de solution.\\ Si {\tt E=3} alors {\tt O=3} donc pas de solution.\\ Si {\tt E=4} alors alors {\tt r=1} car {\tt V=9*r-8} et donc {\tt N=8}, {\tt L=9}, {\tt C=5}, {\tt O=0} et {\tt V=1}.\\ On v\'erifie, on tape :\\ {\tt a:=10000*E+1000*C+100*O+10*L+E;b:=10000*E+1000*L+100*E+10*V+E} {\tt c:=10000*L+1000*E+100*C+10*O+N}\\ {\tt E:=1;N:=2;L:=3;C:=8;O:=7;V:=4}\\ {\tt a,b,a+b,c}\\ On obtient bien {\tt a+b=c} :\\ {\tt (18731,13141,31872,31872)}\\ On tape :\\ {\tt E:=4;N:=8;L:=9;C:=5;O:=0;V:=1}\\ {\tt a,b,a+b,c}\\ On obtient bien {\tt a+b=c} :\\ {\tt (45094,49414,94508,94508)}\\ Il y a donc 2 solutions :\\ 18731+13141=14972 et\\ 45094+49414=94508 \subsection{Une op\'eration ayant 18 solutions} Reconstituer l'op\'eration :\\ \begin{verbatim} R I E N + R I E N ----------- T O U T \end{verbatim} {\bf La mise en oeuvre}\\ Il se trouve que ce probl\`eme a 18 solutions et on peut donc faire travailler la classe par groupe en repartissant les t\^aches de chaque groupe.\\ Pour cela on fait avec toute la classe les premi\`eres d\'eductions \`a partir des \'equations \`a r\'esoudre.\\ Il faut trouver la valeur de 7 lettres diff\'erentes.\\ On note {\tt p,q,r} les retenues \'eventuelles qui sont \'egales soit \`a 0 soit \`a 1. Cela donne :\\ \begin{verbatim} p q r R I E N + R I E N ----------- T O U T \end{verbatim} Comme {\tt 2*N=10*r+T}, on en d\'eduit que {\tt T} est pair.\\ Comme on a {\tt T} est pair et {\tt T=2*R+p}, on en d\'eduit que :\\ {\tt p=0} et {\tt R}$\in$ {\tt \{1,2,3,4\}} \\ Comme {\tt T=2*R=2*N-10*r} on en d\'eduit que :\\ {\tt r=1} (car {\tt R} et {\tt N} doivent \^etre diff\'erents.\\ Donc {\tt T=2*R} et {\tt N=R+5}\\ On doit donc r\'esoudre : \begin{verbatim} 0 q 1 R I E N + R I E N ----------- T O U T \end{verbatim} On peut alors r\'epartir les \'el\`eves en 8 groupes que l'on nommera 10,11,20,21,30,31,40,41: Le groupe 10 doit r\'esoudre l'op\'eration avec {\tt R=1} et {\tt q=0} :\\ \begin{verbatim} 0 0 1 1 I E N + 1 I E N ----------- T O U T \end{verbatim} Le groupe 11 doit r\'esoudre l'op\'eratuion avec {\tt R=1} et {\tt q=1}:\\ \begin{verbatim} 0 1 1 1 I E N + 1 I E N ----------- T O U T \end{verbatim} etc.... {\bf Les solutions} Pour obtenir et pour v\'erifier les solutions obtenues par les \'el\`eves, on va faire un programme qui fera varier {\tt R} de 1 jusque 4. On en d\'eduira {\tt T=2*R} et {\tt N=R+5} On peut encore remarquer que {\tt 2*I+q=O} et donc que :\\ {\tt I} $\in$ {\tt \{0,1,2,3,4\}} et\\ {\tt 2000*R+200*I+20*E+2*R+10=2000*R+100*O+10*U+2*R} c'est \`a dire :\\ {\tt 10*O+U=20*I+2*E+1}\\ Donc on fait varier {\tt I} de 0 jusque 4 et {\tt E} de 0 jusque 9.\\ {\tt O} et {\tt U} sont alors le quotient et le reste de la division euclidienne de {\tt 20*I+2*E+1} par {\tt 10} i .e. \\ {\tt O,U:=iquorem(20*I+2*E+1,10)}\\ On a besoin de pouvoir tester si les valeurs des 7 lettres sont diff\'erentes.\\ On ces valeurs dans une liste {\tt L}, puis on tansforme cette liste en un ensemble {\tt S} et on compare la taille de {\tt L} et de {\tt S}.\\ Comme dans un ensemble il n'y a que des \'el\'ements diff\'erents, si {\tt L} et {\tt S} ont la m\^eme taille les valeurs de {\tt L} sont diff\'erentes et sinon elles ne le sont pas.\\ On \'ecrit : \begin{verbatim} tousdiff(L):={ local S; S:=set[op(L)]; si size(S)==size(L) alors return vrai; sinon return faux; fsi }:; \end{verbatim} On \'ecrit alors : \begin{verbatim} toutourien():={ local R,I,E,N,T,O,U,L,a; L:=NULL; pour R de 1 jusque 4 faire T:=2*R; N:=5+R; pour I de 0 jusque 4 faire pour E de 0 jusque 9 faire a:=1000*R+100*I+10*E+N; O,U:=iquorem(20*I+2*E+1,10); si tousdiff([R,I,E,N,T,O,U]) alors L:=L,[a,2*a]; fsi; fpour; fpour; fpour; return size(L),L; }:; \end{verbatim} On remarque que le programme fait 4*5*10=200 essais.\\ On tape :\\ {\tt toutourien()}\\ On obtient :\\ {\tt 18,[1436,2872],[1476,2952],[1486,2972],}\\ {\tt [2067,4134],[2307,4614],}\\ {\tt [3078,6156],[3148,6296],[3208,6416],[3458,6916],[3478,6956],}\\ {\tt [4069,8138],[4079,8158],[4139,8278],[4179,8358],[4269,8538],}\\ {\tt [4309,8618],[4329,8658],[4359,8718]} \section{DIX$^2$+UN$^2$=CENTUN} On veut r\'esoudre :\\ DIX$^2$+UN$^2$=CENTUN\\ dans laquelle chaque lettre repr\'esente un chiffre de 0 \`a 9.\\ {\bf La solution avec un programme} On \'ecrit : \begin{verbatim} tousdiff(L):={ local S; S:=set[op(L)]; return size(S)==size(L); }:; \end{verbatim} On sait que $d!=0$ et que $u!=0$.\\ On remplace $i$ par $j$ et $e$ par $f$.\\ On va calculer $(100*d+10*j+x)^2+10*u+n)^2$ avec toutes les valeurs possibles pour $d,j,x,u,n$ puis on teste si le r\'esultat peut s'\'ecrire $10^5*c+10^4*f+1000*n+100*t+10*u+n$.\\ On \'ecrit alors : \begin{verbatim} centun():={ local d,j,x,u,n,c,f,t,a,b,rep; rep:=NULL; pour d de 1 jusque 9 faire pour u de 1 jusque 9 faire pour n de 0 jusque 9 faire pour j de 0 jusque 9 faire pour x de 0 jusque 9 faire si tousdiff([d,u,n,j,x]) alors a:=(100*d+10*j+x)^2; b:=(10*u+n)^2; c:=a+b-10*u-n si irem(c,100)==0 alors c:=c/100; si irem(iquo(c,10),10)==n alors t:=irem(c,10); f:=iquo(irem(c-10*n-t,1000),100); c:=iquo(c-100*f-10*n-t,1000); si tousdiff([d,j,x,u,n,c,f,t]) alors rep:=rep,[d,j,x,u,n,c,f,t]; fsi; fsi; fsi; fsi; fpour; fpour; fpour; fpour; fpour; return rep;}:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt centun()}\\ On obtient :\\ {\tt [4,8,0,7,6,2,3,1]}\\ On v\'erifie et on tape :\\ {\tt 480\verb|^|2+76\verb|^|2-236176}\\ On obtient :\\ {\tt 0} \section{Diviseurs et d\'ecomposition en facteurs premiers d'un entier} \subsection{Divisibilit\'e par 11} Montrer que : $10^0=1$,$10^1=11-1$,$100=9*11+1$,$1000=1001-1=11*91-1$\\ Montrer que si $10^{2*p}=a*11+1$ alors $10^{2*p+1}=b*11-1$ et $10^{2*(p+1)}=c*11+1$.\\ En déduire un crit\`ere de divisibilit\'e par 11.\\ {\bf Crit\`ere de divisibilit\'e par 11}\\ Si $10^{2*p}=a*11+1$ on a :\\ $10^{2*p+1}=10*10^{2*p}=(11-1)*(a*11+1)=11*(11*a+1-a)-1$ et \\ $10^{2*(p+2)}=100*10^{2*p}=(9*11+1)*(a*11+1)=11*(9*a*11+a+9)+1$ On en d\'eduit que :\\ les puissances paires de 10 sont des multiples de 11 augment\'es de 1 et\\ les puissances impaires de 10 sont des multiples de 11 diminu\'es de 1.\\ On a donc comme crit\`ere de divisibilit\'e par 11 :\\ Le reste de la division par 11 d'un nombre $n=\sum_{k=0}^Na_k*10^k$ est reste de la division par 11 de la diff\'erence de la somme des $a_{2*p}$ ($p=0..2*${\tt iquo}$(N,2)$) et de la somme des $a_{2*p+1}$ ($p=1..2*${\tt iquo}$(N,2)+1$). On augmente s'il y a lieu la premi\`ere somme d'un multiple de 11 pour que la soustraction soit possible.\\ Par exemple :\\ si $n=a_710^7+a_610^6+a_510^5+a_410^7+a_310^3+a_210^2+a_110^1+a_0$, le reste de la division par 11 de $n$ est : $(a_0+a_2+a_4+a_6)-(a_1+a_3+a_5+a_7)$ ou \\ $11*k+(a_0+a_2+a_4+a_6)-(a_1+a_3+a_5+a_7)$ avec $k\in N$ pour que $0\leq 11*k+(a_0+a_2+a_4+a_6)-(a_1+a_3+a_5+a_7)<11$.\\ {\bf D\'efinition : rang pair, rang impair }\\ Soit un nombre $n$ \'ecrit en base 10 :\\ On dira que les chiffres de rang pair sont : le chiffre des unit\'es, le chiffre des centaines etc...et que les chiffres de rang impair sont : le chiffre des dizaines, le chiffre des milli\`emes etc...\\ Par exemple si $n=245701$, ses chiffres de rang pair sont 1,7,4 et ceux de rang impair sont 0,5,2.\\ {\bf Exercice}\\ Trouver le reste de la division par 11 de 625814, de 29395 de 192738 et de 918372.\\ On a :\\ pour 625814 on a : S1=6+5+1=12 et S0=2+8+4=14 S0-S1=2\\ Le reste de la division de 625814 par 11 est 2.\\ pour 29395 on a : S1=9+9=18 et S0=5+3+2=10 S0+11-S1=3\\ Le reste de la division de 29395 par 11 est 3.\\ pour 192738 on a : S1=1+2+3=6 et S0=8+7+9=24 S0-11-S1=24-11-6=7\\ Le reste de la division de 192738 par 11 est 7.\\ pour 918372 on a : S1=9+8+7=24 et S0=1+3+2=6 S0+22-S1=4 (on remarquera que la somme S0 (resp S1) correspondant \`a 918372 est \'egale \`a la somme S1 (resp S0) correspondant \`a 19273).\\ Le reste de la division de 918372 par 11 est 4.\\ On v\'erifie avec {\tt Xcas}\\ On tape :\\ {\tt irem([625814,29395],11)}\\ On obtient :\\ {\tt [2,3]}\\ On tape :\\ {\tt irem([192738,918372],11)}\\ On obtient :\\ {\tt [7,4]} \subsection{Les entiers pandigitaux} {\bf D\'efinition : entier pandigital}\\ Un entier pandigital (en grec pan=tout) est un nombre de 10 chiffres diff\'erents mais bien s\^ur 0 n'est pas le premier chiffre.\\ {\bf Exercice1}\\ Trouver $N$, le plus grand nommbre pandigital divisible par 11.\\ Le plus grand nommbre qui s'\'ecrit avec 10 chiffres diff\'erents est :\\ $a=9876543210$.\\ Cherchons tout d'abord le reste de la division par 11 de $a=9876543210$.\\ On a : \\ S0=0+2+4+6+8=20 et S1=1+3+5+7+9=25 donc\\ le reste R de la division de $a$ par 11 est R=11+20-25=6. Pour trouver un nombre divisible par 11, il faut avoir :\\ soit S0-S1=11, soit S0-S1=-11\\ En effet puisque S0+S1=45 S0 et S1 sont de parit\'e diff\'erente, on ne peut pas avoir S0-S1=0, ni 22+S0-S1=0, ni S0-S1-22=0 et on ne peut pas avoir S0-S1=33, ni S0-S1=-33 car la valeur minimale de S0 ou de S1 est 0+1+2+3+4=10 et la valeur maximale de S0 ou de S1 est 45-10=35 on a 10-35=-25<=S0-S1<=35-10=25.\\ Pour avoir S0-S1=11 et S0+S1=45 il faut avoir S0=28 et S1=17.\\ Pour avoir S0-S1=-11 et S0+S1=45 il faut avoir S0=17 et S1=28.\\ Pour avoir S0-S1=-11 on doit diminuer S0 de 3 et augmenter S1 de 3 et \\ pour avoir S0-S1=11 on doit augmenter S0 de 8 et diminuer S1 de 3.\\ {\bf Pour avoir S0-S1=-11 :}\\ S0=20-3=17, S1=25+3=28, S0-S1=17-28=-11.\\ on peut le faire soit en \'echangeant un chiffre figurant dans S0 avec un chiffre figurant dans S1, soit en \'echangeant 3 chiffres figurant dans S0 avec trois chiffres figurant dans S1 pour avoir S0=17 et S1=28.\\ on peut par exemple \'echanger :\\ soit 1 avec 4 pour obtenir S0=0+2+1+6+8 et S1=4+3+5+7+9,\\ soit 3 avec 6 pour obtenir S0=0+2+4+3+8 et S1=1+6+5+7+9,\\ soit 5 avec 8 pour obtenir S0=0+2+4+6+5 et S1=1+3+8+7+9.\\ ou encore \'echanger \\ 1 avec 2 et 3 avec 4 et 5 avec 6 pour obtenir S0=0+1+3+5+8 et S1=2+4+6+7+9,\\ 1 avec 2 et 3 avec 4 et 7 avec 8 pour obtenir S0=0+1+3+6+7 et S1=2+4+5+8+9,\\ 1 avec 2 et 5 avec 6 et 7 avec 8 pour obtenir S0=0+1+4+5+7 et S1=2+3+6+8+9,\\ 3 avec 4 et 5 avec 6 et 7 avec 8 pour obtenir S0=0+2+3+5+7 et S1=1+4+6+8+9.\\ {\bf Pour avoir S0-S1=11 :}\\ on doit augmenter S0 de 8 et diminuer S1 de 8 :\\ S0=20+8=28 et S1=25-8=17 S0-S1=28-17=11.\\ Puisque 8=7+1=5+3, on peut par exemple \'echanger :\\ soit 0 avec 7 et 2 avec 3 (ou 4 avec 5, ou 8 avec 9) pour obtenir :\\ S0=7+3+4+6+8 et S1=1+2+5+0+9 (ou S0=7+2+5+6+8 et S1=1+3+4+0+9, ou S0=7+2+4+6+9 et S1=1+3+5+0+8),\\ soit 2 avec 9 et 0 avec 1 (ou 4 avec 5, ou 6 avec 7) pour obtenir S0=1+9+4+6+8 et S1=0+3+5+7+2 (ou S0=0+9+5+6+8 et S1=1+3+4+7+2 ou S0=0+9+4+7+8 et S1=1+3+5+6+2),\\ soit 0 avec 5 et 4 avec 7 (ou 6 avec 9) pour obtenir S0=5+2+7+6+8=28 et S1=1+3+0+4+9=17 (ou S0=5+2+4+9+8 et S1=1+3+0+7+6),\\ soit 2 avec 7 et 0 avec 3 (ou 6 avec 9) pour obtenir S0=3+7+4+6+8 et S1=1+0+5+2+9 (ou S0=0+7+4+9+8 et S1=1+3+5+2+6), \\ soit 4 avec 9 et 0 avec 3 (ou 2 avec 5) pour obtenir S0=3+2+9+6+8 et S1=1+0+5+7+4 (ou S0=0+5+9+6+8 et S1=1+3+2+7+4).\\ On peut ensuite mettre les chiffres constituant S0 (resp S1)\`a n'importe place de rang pair (resp impair).\\ Comment trouver le plus grand nombre ?\\ Il faut \'echanger 2 chiffres aussi petits que possible : ici c'est 1 et 4.\\ En \'echangeant 1 et 4, on a obtenu S0=0+2+1+6+8 et S1=4+3+5+7+9.\\ Pour avoir le plus grand nombre $N$, il suffit d'ordonner en d\'ecroissant les chiffres de rang pair (8,6,2,1,0) et d'ordonner en d\'ecroissant les chiffres de rang impair 9,7,5,4,3.\\ On obtient alors $N=9876524130$.\\ {\bf Exercice2}\\ Trouver $n$ le plus petit entier pandigital divisible par 11.\\ Le plus petit nommbre qui s'\'ecrit avec 10 chiffres diff\'erents est :\\ $b=1023456789$ puisque l'\'ecriture d'un nombre ne commence pas par 0.\\ On a : \\ S0=0+3+5+7+9=24 et S1=1+2+4+6+8=21 donc\\ le reste R de la division de $b$ par 11 est R=S0-S1=24-21=3. Pour trouver un nombre divisible par 11, il faut avoir :\\ soit S0-S1=11, soit S0-S1=-11.\\ Pour avoir S0-S1=11 et S0+S1=45 il faut avoir S0=28 et S1=17.\\ Pour avoir S0-S1=-11 et S0+S1=45 il faut avoir S0=17 et S1=28.\\ Pour avoir S0-S1=11 il faut donc augmenter S0 de 4 et diminuer S1 de 4.\\ Pour avoir S0-S1=-11 il faut donc diminuer S0 de 7 et augmenter S1 de 7.\\ {\bf Pour avoir S0-S1=11 :}\\ Puisque 4=1+3, on peut \'echanger :\\ 5 avec 8 et 3 avec 4 (ou 7 avec 8 et 3 avec 36 ou ce qui est \'equivalent 3 avec 8 et 7 avec 6).\\ {\bf Pour avoir S0-S1=-11 :} pour diminuer S0 de 7 il faut \'echanger :\\ 9 avec 2 (ou 8 avec 1).\\ Pour avoir le plus petit nombre il faut donc \'echanger 8 avec 5 et 4 avec 3.\\ On obtient S0=0+4+8+7+9=28=0+4+7+8+9 et S1=1+2+3+5+6=17.\\ On obtient alors :\\ $n=1024375869$.\\ {\bf Exercice3}\\ Trouver toutes les suites croissantes des chiffres constituant S0 (chiffres de rang pair) et en d\'eduire la suite croissante correspondante des chiffres de S1 (chiffres de rang impair) pour que $n$ soit divisible par 11. On rappelle : le chiffre des unit\'es est de rang 0 (pair), celui des dizaines est de rang 1 (impair) etc.....\\ Combien-y-a-t-il d'entiers pandigitaux divisibles par 11 ?\\ On pose :\\ $n=a_910^9+a_810^8+a_710^7+a_610^6+a_510^5+a410^4+a_410^4+a_310^3+a_210^2+10a_1+a_0$\\ On sait que si $n$ est divisible par 11 on a soit S0=17 et S1=28, soit S1=17 et S0=28.\\ On cherche donc les valeurs de $x_0,x_1,x_2,x_3,x_4$ v\'erifiant :\\ $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=17$ et $0\leq x_0b_2>,..>b_n$ dont des diviseurs d'un nombre entier $p$ v\'erifiant $b_1+b_2+..+b_n=p$ alors :\\ $\displaystyle a_1=\frac{p}{b_1}b_2=\frac{p}{a_2}>,..>b_n=\frac{p}{a_n}$ sont des diviseurs du nombre entier $p$ v\'erifiant $b_1+b_2+..+b_n=p$.\\ {\bf Application} Trouver une solution dans $\N^*$ de $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...\frac{1}{a_{12}}=1$\\ on pourra choisir par exemple $p=120$. \end{enumerate} \subsection{Une solution} \begin{enumerate} \item Pour $n=1$ la seule solution est $a_1=1$ Pour $n=2$, on cherche 2 entiers diff\'erents $a_1$ et $a_2$ qui v\'erifient :\\ $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1$\\ Supposons $a_2>a_1$.\\ $a_1$ est diff\'erent de 1 donc $a_1\geq 2$\\ si $a_1=2$ alors $a_2=2$ cela ne r\'epond pas \`a la question car $a_1=a_2$ .\\ si $a_1\geq 3$ et si $a_2>a_1$ on a :\\ $\displaystyle \frac{1}{a_1}\leq \frac{1}{3}$ et \\ $\displaystyle \frac{1}{a_2}<\frac{1}{a_1}\leq \frac{1}{3}$ donc \\ $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}<\frac{2}{3}<1$\\ Il n'y a pas de solution pour $n=2$\\ Ou bien on \'ecrit :\\ $a_1$ et $a_2$ v\'erifient $a_1+a_2=a_1a_2$ ou encore :\\ $a_1(a_2-1)=a_2$ \\ $a_2$ et $a_2-1$ sont premiers entre eux donc $a_2$ divise $a_1$ ce qui est impossible puisque $a_2>a_1$. Pour $n=3$, on cherche 3 entiers diff\'erents $a_1,\ a_2$ et $a_3$ qui v\'erifient :\\ $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=1$\\ Supposons $a_3>a_2>a_1$.\\ $a_1$ est diff\'erent de 1 on a $a_1\geq 2$\\ si $a_1=2$ et $a_2=3$ on a $\displaystyle 1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{1}{6}$ Donc $(a_1,a_2,a_3)=(2,3,6)$ est une solution de $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=1$\\ Y-a-t-il d'autres solutions ?\\ si $a_1\geq 2$ \\ le cas $a_1=2$ et $a_2=3$ vient d'\^etre \'etudi\'e donc peut-on avoir $a_2\geq 4$ ?\\ si $a_2\geq 4$ alors $a_3$ doit v\'erifier :\\ $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=1\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{a_3}$ ce qui entraine \\ $\displaystyle \frac{1}{4}\leq \frac{1}{a_3}$\\ soit $a_3\leq 4$ cela ne r\'epond pas \`a la question car on n'a pas $a_3>a_2$ puisque $a_3\leq 4\leq a_2$\\ pour $n=3$ il n'y a qu'une seule soluition qui est $(a_1,a_2,a_3)=(2,3,6)$ \item 6 et 28 sont parfaits et 36 n'est pas parfait\\ En effet :\\ 6=1*2*3 et 1+2+3=6\\ 28=4*7 ses diviseurs propres sont donc (1,2,4,7,14) et 1+2+4+7+14=28\\ $36=2^2*3^2$ ses diviseurs propres sont donc (1,2,3,4,6,9,12,18) et\\ 1+2+3+4+6+12+18=55\\ Pour avoir la liste de tous les diviseurs, on utilise la commande {\tt idivis} de {\tt Xcas}.\\ On tape :\\ {\tt idivis(36)}\\ On obtient :\\ {\tt [1,2,3,6]}\\ On tape :\\ {\tt idivis(28)}\\ On obtient :\\ {\tt [1,2,4,7,14,28]}\\ On tape :\\ {\tt idivis(36)}\\ On obtient :\\ {\tt [1,2,3,4,6,9,12,18,36]} \item 6 est parfait car 1+2+3=6 et en divisant cette \'egalit\'e par 6 on obtient :\\ $\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1$\\ 28 est parfait car 1+2+4+7+14=28 et en divisant cette \'egalit\'e par 28 on obtient :\\ $\displaystyle \frac{1}{28}+\frac{1}{14}+\frac{1}{7}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1$\\ Soit un nombre parfait $p$ ayant $n$ diviseurs propres (i.e. $n+1$ diviseurs).\\ Soient $(d_1=1,d_2,..d_n,d_{n+1})$ les $n+1$ diviseurs ordonn\'es par ordre croissant i.e. $1=d_1b_2>b_3>..>b_n$ sont des diviseurs de $p$ v\'erifiant $b_1+b_2+...+b_n=p$ alors \\ $\displaystyle a_1=\frac{p}{b_1}m alors a:=n;n:=m;m:=a;fsi; %d:=gcd(m,n); %m:=m/d;n:=n/d; %L:=floor(k*m/n)$(k=0..n); %S:=sum(L[k+1]-L[k]+1,k=0..n-1)-1; %q,r:=iquorem(m,n); %return S*d, (m+n-1)*d; %}:; %\end{verbatim} \chapter{\'Equations et in\'equations} \section{R\'esoudre $x^2=a$} Si $a<0$ il n'y a pas de solution\\ Si $a=0$ il y a 1 solution qui est $x=0$\\ Si $a>0$ il y a 2 solutions qui sont $x=-\sqrt a$ ou $x=\sqrt a$\\ Avec {\tt Xcas}\\ On tape :\\ {\tt resoudre(x\verb|^|2=-2)}\\ On obtient : {\tt []}\\ On tape :\\ {\tt resoudre(x\verb|^|2=2)}\\ On obtient : {\tt [-sqrt(2),sqrt(2)]}\\ On tape :\\ {\tt resoudre(x\verb|^|2=4+2*sqrt(3))}\\ On obtient : {\tt [-(sqrt(3))-1,sqrt(3)+1]} \section{R\'esoudre une \'equation produit} On sait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteur est nul. Si un \'equation est mise sous la forme d'un produit, elle est donc facilement r\'esoluble.\\ {\bf Exercices} \begin{enumerate} \item R\'esoudre les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $(6x-1)^2+(2x-4)^2=10x(4x-2)$ \item[$\bullet$] $(3x+2)^2+7(3x+2)+5(9x^2-4)=0$ \end{itemize} \item R\'esoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $2mx-1=x+7$ \item[$\bullet$] $(m-1)x+2x-3=m-1$ \end{itemize} \end{enumerate} {\bf Les solutions avec {\tt Xcas}} \begin{enumerate} \item R\'esoudre les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $(6x-1)^2+2x-4)^2=10x(4x-2)$\\ On tape:\\ {\tt resoudre((6x-1)\verb|^|2+(2x-4)\verb|^|2=10x*(4x-2))}\\ On obtient : {\tt [17/8]}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt developper((6x-1)\verb|^|2+(2x-4)\verb|^|2=10x*(4x-2))}\\ On obtient : {\tt 40*x\verb|^|2-28*x+17=(40*x\verb|^|2-20*x)}\\ Donc $8x=17$ i.e. $x=17/8$ \item[$\bullet$] $(3x+2)^2+7(3x+2)+5(9x^2-4)=0$\\ On tape:\\ {\tt resoudre((3x+2)\verb|^|2+7*(3x+2)+5*(9x\verb|^|2-4)=0)}\\ On obtient : {\tt [-2/3,1/18]}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt factoriser((3x+2)\verb|^|2+7*(3x+2)+5*(9x\verb|^|2-4))}\\ On obtient : {\tt (3*x+2)*(18*x-1)}\\ Donc $(3x+2)(18x-1)=0$ si et seulement si $3x+2=0$ ou si $18x-1=0$ i.e. $x=-2/3$ ou $x=1/18$ \end{itemize} \item R\'esoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $2mx-1=x+7$\\ On tape:\\ {\tt resoudre(2*m*x-1=x+7)}\\ On obtient : {\tt [8/(2*m-1)]}\\ {\bf Attention} \\ {\tt Xcas} ne renvoie que le cas g\'en\'eral qui n'est valable ici que si $m\neq 1/2$. \item[$\bullet$] $(m-1)x+2x-3=m-1$\\ On tape:\\ {\tt resoudre((m-1)*x+2x-3=m-1)}\\ On obtient : {\tt [(m+2)/(m+1)]}\\ {\bf Attention} \\ {\tt Xcas} ne renvoie que le cas g\'en\'eral qui n'est valable ici que si $m\neq -1$ \end{itemize} \end{enumerate} \section{R\'esoudre une in\'equation} Dans une in\'equation on peut faire passer un terme d'un membre \`a l'autre \`a condition de changer son signe.\\ Dans une in\'equation on peut diviser ou multiplier les 2 membres d'une in\'equation par un nombre strictement positif sans changer le sens de l'in\'equation et par un nombre strictement n\'egatif en changeant le sens de l'in\'equation.\\ {\bf Exercices} \begin{enumerate} \item R\'esoudre les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $(6x-1)^2+(2x-4)^2=10x(4x-2)$ \item[$\bullet$] $(3x+2)^2+7(3x+2)+5(9x^2-4)=0$ \end{itemize}\item R\'esoudre les in\'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $3(x-1)+7(3x-2)<6(x+1)$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{3x-4}{x-1}>=3$ \end{itemize} \item R\'esoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ les in\'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $m(x-3)>x+2$ \item[$\bullet$] $m(x-1)+(x-3)(x-7)>(x+1)^2$ \end{itemize} \end{enumerate} {\bf Les solutions avec {\tt Xcas}} \begin{enumerate} \item R\'esoudre les in\'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $3(x-1)+7(3x-2)<6(x+1)$\\ On tape :\\ {\tt resoudre(3*(x-1)+7*(3x-2)<6*(x+1))}\\ On obtient : {\tt [x<(23/18)]}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt E:=(3*(x-1)+7*(3x-2)<6*(x+1))}\\ On obtient : {\tt (6*(x+1))>(3*(x-1)+7*(3*x-2))}\\ {\bf Attention}\\ {\tt Xcas} \'ecrit toujours une in\'equation avec le signe {\tt >} ou {\tt >=}.\\ On tape :\\ {\tt developper(gauche(E)-droit(E))}\\ On obtient : {\tt -18*x+23}\\ $-18*x+23>0$ est \'equivalent \`a $23>18x$ donc $x<\frac{23}{18}$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{3x-4}{x-1}>=3$\\ On tape :\\ {\tt resoudre((3*x-4)/(x-1)>=3)}\\ On obtient : {\tt [x<1]}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt E:=(3*x-4)/(x-1)>=3}\\ {\tt factoriser(gauche(E)-droit(E))}\\ On obtient : {\tt -1/(x-1)}\\ $-1/(x-1)>=0$ est \'equivalent \`a $x-1<0$ donc \`a $x<1$ \end{itemize} \item R\'esoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ les in\'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $m(x-3)>x+2$\\ On tape :\\ {\tt purge(m);resoudre(m*(x-3)>x+2,x)} \\ On obtient :\\ {\tt un message disant qu'il faut faire des hypoth\`eses }\\ {\tt sur les param\`etres et donnant la solution de }\\ {\tt l'\'equation correspondante : $(3m+2)/(m-1)$}\\ On tape :\\ {\tt supposons(m>1);}\\ {\tt resoudre(m*(x-3)>x+2,x)}\\ On obtient : {\tt [x>((3*m+2)/(m-1))]}\\ On tape :\\ {\tt supposons(m<1);}\\ {\tt resoudre(m*(x-3)>x+2,x)}\\ On obtient : {\tt [x<((3*m+2)/(m-1))]}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt E:=m*(x-3)>x+2}\\ {\tt developper(gauche(E)-droit(E))}\\ On obtient : {\tt (m-1)*x-3*m-2}\\ Donc $(m-1)*x>3*m+2$ et on termine \`a la main :\\ si $m>1$ alors la solution est $\displaystyle x>\frac{3*m+2}{m-1}$\\ si $m<1$ alors la solution est $\displaystyle x<\frac{3*m+2}{m-1}$\\ si $m=1$ alors $3*m+2=5$ donc il n'y a pas de solution. \item[$\bullet$] $m(x-1)+(x-3)(x-7)>(x+1)^2$\\ On tape :\\ {\tt purge(m);resoudre(m*(x-1)+(x-3)*(x-7)>(x+1)\verb|^|2,x)} renvoie un message donnant la solution de l'\'equation correspondante ici $(m-20)/(m-12)$\\ On tape alors :\\ {\tt supposons(m>12)}\\ {\tt resoudre(m*(x-1)+(x-3)*(x-7)>(x+1)\verb|^|2,x)} \\ On obtient un message et : \\ {\tt [x>((m-20)/(m-12))]}\\ On tape alors :\\ {\tt supposons(m<12)}\\ {\tt resoudre(m*(x-1)+(x-3)*(x-7)>(x+1)\verb|^|2,x)}\\ On obtient un message et :\\ {\tt [x<((m-20)/(m-12))]}\\ Pour avoir le d\'etail des calculs, on tape :\\ {\tt E:=m*(x-1)+(x-3)*(x-7)>(x+1)\verb|^|2}\\ {\tt developper(gauche(E)-droit(E))}\\ On obtient : {\tt (m-12)*x-m+20}\\ Donc $(m-12)*x>m-20$ et on termine \`a la main :\\ si $m>12$ alors la solution est $\displaystyle x>\frac{m-20}{m-12}$\\ si $m<12$ alors la solution est $\displaystyle x<\frac{m-20}{m-12}$\\ si $m=12$ alors $m-20=-8$ donc l'in\'equation est verifi\'ee pour tout $x \in \R$. \end{itemize} \end{enumerate} \section{R\'esoudre une \'equation ou une in\'equation graphiquement}\index{plotfunc}\index{in}\index{inter}\index{droite}\index{abscisse}\index{affichage} Il peut \^etre interressant de visualiser la ou les solutions d'une \'equation ou d'une in\'equation en la rep\'esentant graphiquement.\\ Reprenons les exemples pr\'ec\'edents : \begin{enumerate} \item R\'esoudre les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $(6x-1)^2+(2x-4)^2=10x(4x-2)$ \item[$\bullet$] $(3x+2)^2+7(3x+2)+5(9x^2-4)=0$ \end{itemize} \item R\'esoudre les in\'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $3(x-1)+7(3x-2)<6(x+1)$ \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{3x-4}{x-1}>=3$ \end{itemize} \end{enumerate} {\bf Les solutions graphiques avec {\tt Xcas}} \begin{enumerate} \item R\'esoudre les \'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $(6x-1)^2+(2x-4)^2=10x(4x-2)$\\ On tape :\\ {\tt G1:=plotfunc((6x-1)\verb|^|2+(2x-4)\verb|^|2-10x*(4x-2))}\\ On obtient apr\`es avoir fait un grossissement (cliquez sur {\tt in} et sur {\tt auto}) :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{equagraph1}\\ On tape :\\ {\tt abscisse(inter(G1,droite(y=0)))}\\ On obtient : {\tt [17/8]} \item[$\bullet$] $(3x+2)^2+7(3x+2)+5(9x^2-4)=0$\\ On tape :\\ {\tt G2:=plotfunc((3x+2)\verb|^|2+7*(3x+2)+5*(9x\verb|^|2-4))}\\ puis apr\`es avoir vu que la courbe coupe l'axe des $x$ entre-1 et 1, on tape :\\ {\tt plotfunc((3x+2)\verb|^|2+7*(3x+2)+5*(9x\verb|^|2-4),x=-1..1)}\\ On obtient apr\`es avoir fait un grossissement (cliquez sur {\tt in} et sur {\tt auto}) :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{equagraph2}\\ On tape :\\ {\tt abscisse(inter(G2,droite(y=0)))}\\ On obtient : {\tt [-2/3,1/18]} \end{itemize} \item R\'esoudre les in\'equations : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $3(x-1)+7(3x-2)<6(x+1)$\\ On tape :\\ {\tt d1:=droite(y=3*(x-1)+7*(3x-2),affichage=rouge);}\\ {\tt d2:=droite(y=-6*(x+1),affichage=bleu)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{equagraph3}\\ On tape :\\ {\tt abscisse(inter(d1,d2))}\\ On obtient : {\tt [23/18]}\\ Les points de la droite bleue sont au dessus des points de la droite rouge lorsque $x>23/18$. \item[$\bullet$] $\displaystyle \frac{3x-4}{x-1}>=3$\\ On tape :\\ {\tt plotfunc((3x-4)/(x-1),x,affichage=rouge),droite(y=3,affichage=bleu),\\ droite(x=1,affichage=vert)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{equagraph4}\\ Les points de la la courbe rouge sont au dessus des points de la droite bleue lorsque $x<1$. \end{itemize} \end{enumerate} \chapter{Syst\`emes d'\'equations} \section{R\'esoudre un syst\`eme par substitution}\index{resoudre\_systeme\_lineaire}\index{linsolve} Soit le syst\`eme :\\ $$\left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=8\\ 3x+4y=2 \end{array} \right. $$ La 1-i\`ere \'equation donne :\\ $\displaystyle y=\frac{2x-8}{5}$\\ Donc le syst\`eme est \'equivalent \`a : $\left\{ \begin{array}{lrl} &y&=\displaystyle\frac{2x-8}{5}\\ 3x+&4y&=2 \end{array} \right. $\\ En substituant $y$ dans la deuxi\`eme \'equation, le syst\`eme est \'equivalent \`a :\\ $\left\{ \begin{array}{lrl} &y&=\displaystyle\frac{2x-8}{5}\\ 3x+&4\displaystyle\frac{2x-8}{5}&=2 \end{array} \right. $\\ La 2-i\`eme \'equation donne :\\ $15x+8x-32=10$ \\ $23x=42$\\ $\displaystyle x=\frac{42}{23}$\\ En reportant cette valeur dans la 1-i\`ere \'equation on obtient :\\ $\displaystyle y=\frac{2\frac{42}{23}-8}{5}$\\ $\displaystyle y=\frac{84-8*23}{23*5}=-\frac{4*25}{23*5}-\frac{20}{23}$\\ Le syst\`eme :\\ $\left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=8\\ 3x+4y=2 \end{array} \right. $ admet donc comme solution : $\displaystyle x=\frac{42}{23},y=-\frac{20}{23}$ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt linsolve([2x-5y=8,3x+4y=2],[x,y])}\\ ou bien\\ {\tt resoudre\_systeme\_lineaire([2x-5y=8,3x+4y=2],[x,y])}\\ On obtient :\\ {\tt [42/23,-20/23]}\\ \section{R\'esoudre un syst\`eme par combinaison} La m\'ethode par combinaison consiste \`a \'eliminer une variable en remplacant une \'equation par une combinaison lin\'eaire des 2 \'equations. Par exemple, on \'elimine $x$ dans la 2-i\`eme \'equation en faisant une combinaison des 2 \'equations ce qui donne une nouvelle 2-i\`eme \'equation : le syst\`eme est alors \'equivalent au syst\`eme compos\'e de la 1-i\`ere \'equation et cette nouvelle \'equation.\\ Soit le syst\`eme :\\ $$\left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=8\\ 3x+4y=2 \end{array} \right.$$ On remplace la deuxi\`eme \'equation par la combinaison :\\ 3*1-i\`ere \'equation -2*2-i\`eme \'equation que l'on note :\\ $\left\{ \begin{array}{lr} 2x-5y=8 &\quad |*3\\ 3x+4y=2 &\quad |*-2 \end{array} \right.$ Donc le syst\`eme est \'equivalent \`a :\\ $\left\{ \begin{array}{rrr} 2x&-5y=&8 \\ &-23y=&20 \end{array} \right. $ Donc $\displaystyle y=-\frac{20}{23}$\\ En reportant cette valeur dans la premi\`ere \'equation on obtient :\\ $\displaystyle 2x+5\frac{20}{23}=8$\\ $46x+5*20=8*23$\\ $46x=8*23-100=84$\\ $\displaystyle x=\frac{24}{23}$\\ Le syst\`eme :\\ $\left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=8\\ 3x+4y=2 \end{array} \right. $ admet donc comme solution : $\displaystyle x=\frac{42}{23},y=-\frac{20}{30}$ \section{R\'esoudre un syst\`eme graphiquement}\index{inter\_droite}\index{point}\index{droite}\index{coordonnees}\index{equation} R\'esoudre graphiquement le syst\`eme :\\ $$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=8\\ 3x+4y=2 \end{array} \right.$$ Chacune de ces \'equations prises s\'eparement est l'\'equation d'une droite et admet une infinit\'e de solutions qui sont les coordonn\'ees des points situ\'es sur cette droite.\\ Ce syst\`eme a donc comme solution les coordonn\'ees du point d'intersection des droites d'\'equation :\\ $2x-5y=8$ et $3x+4y=2$.\\ Tra\c{c}ons ces 2 droites :\\ La droite d'\'equation $2x-5y=8$ passe par les points :\\ $A$ de coordonn\'ees $x=4,y=0$ et $B$ de coordonn\'ees $x=-1,y=-2$\\ La droite d'\'equation $3x+4y=2$ passe par les points :\\ $C$ de coordonn\'ees $x=0,y=1/2$ et $D$ de coordonn\'ees $x=2,y=-1$\\ \includegraphics[width=\textwidth]{systgraph}\\ Avec {\tt Xcas}, on tape dans un niveau de g\'eom\'etrie $2d$:\\ {\tt d1:=droite(2x-5y=8)}\\ {\tt d2:=droite(3x+4y=2)}\\ On peut placer les points $A,B,C,D$ en tapant :\\ {\tt A:=point(4)}\\ {\tt B:=point(-1,-2)}\\ {\tt C:=point(0,1/2)}\\ {\tt D:=point(2,-1)}\\ Le point d'intersection de $d_1$ et $d_2$ est obtenu en tapant :\\ {\tt M:=inter\_droite(d1,d2)}\\ {\tt coordonnees(M)}\\ On obtient :\\ {\tt [42/23,-20/23]}\\ On remarquera qu'en faisant juste le dessin sur une feuille de papier, on ne pourra pas en g\'en\'eral, d\'eterminer les valeurs exactes des coordonn\'ees du point d'intersection mais seulement leurs valeurs approch\'ees.\\ {\bf Exercice}\\ Dans un rep\`ere orthonorm\'e $(O,x,y)$ repr\'esenter graphiquement les droites $d_1$ et $d_2$ qui ont comme \'equation respective $2x+y=5$ et $2x-y=3$\\ Soit $A$ le point d'intersection de $d_1$ et $d_2$.\\ D\'eterminer graphiquement les coordonn\'ees de $A$ point d'intersection et v\'erifier le r\'esultat obtenu\\ D\'eterminer l'\'equation de la droite $OA$.\\ {\bf Solution avec {\tt Xcas}}\\ On tape dans un niveau de g\'eom\'etrie $2d$ :\\ {\tt O:=point(0);} {\tt d1:=droite(2x+y=5);}\\ {\tt d2:=droite(2x-y=3);}\\ {\tt A:=inter\_droite(d1,d2)}\\ {\tt d:=droite(0,A,affichage=4);}\\ On obtient : \\ \includegraphics[width=\textwidth]{systgraph2}\\ On tape :\\ {\tt coordonnees(A);}\\ On obtient : {\tt [2,1]}\\ et on v\'erifie que l'on a bien :\\ $2*2+1=5$ et $2*2-1=3$\\ On tape :\\ {\tt equation(d);}\\ On obtient : {\tt y=x/2}\\ On remarque que la somme des 2 \'equations \'elimine $y$. On va donc remplacer la 2-i\`eme \'equation par la somme des 2 \'equations et le syst\`eme est \'equivalent \`a :\\ $2x+y=5$ et $4x=8$ \'equivalent \`a\\ $x=2$ et $4+y=5$ \'equivalent \`a\\ $x=2$ et $y=1$ \\ On tape avec {\tt Xcas} :\\ {\tt resoudre\_systeme\_lineaire([2x+y=5,4+y=5],[x,y])}\\ On obtient : {\tt [2,1]} \section{Exercices se ramenant \`a la r\'esolution d'un syst\`eme}\index{abcuv} \index{legende}\index{evalf}\index{quadrant3} \begin{enumerate} \item On paye une somme de 100 euros avec des $x$ pi\`eces de 2 euros et $y$ billets de 5 euros. Le nombre de pi\`eces et de billet est 26. Calculer le nombre de pi\`eces et le nombre de billets. On donnera une solution \`a l'aide d'une m\'ethode graphique, d'une m\'ethode alg\'ebrique et d'une m\'ethode arithm\'etique.\\ Le probl\`eme est-il possible si le nombre de pi\`eces et le nombre de billets est un nombre entier $m$ quelconque.\\ {\bf M\'ethode graphique} avec {\tt Xcas}\\ On tape :\\ {\tt d1:=droite(x+y=26,affichage=bleu)}\\ {\tt d2:=droite(2x+5y=100):;affichage(d2,vert)}\\ {\tt legende(20*i,"d2",quadrant3,vert)}\\ {\tt A:=inter\_droite(d1,d2)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{systgraph1}\\ On tape :\\ {\tt coordonnees(A)}\\ On obtient :\\ {\tt [10,16]}\\ Donc il y a 10 pi\`eces de 2 euros et 16 billets de 5 euros.\\ {\bf M\'ethode alg\'ebrique} avec {\tt Xcas}\\ On tape :\\ {\tt linsolve([x+y=26,2x+5y=100],[x,y])}\\ On obtient :\\ {\tt [10,16]}\\ Donc il y a 10 pi\`eces de 2 euros et 16 billets de 5 euros.\\ {\bf M\'ethode arithm\'etique}\\ On cherche $x \in \N$ et $y \in \N$ tel que :\\ $x+y=26$ et $2x+5y=100$\\ Pour r\'esoudre $2x+5y=100$ avec des entiers relatifs on cherche une solution particuli\`ere de $2x+5y=100$ et on ajoute la solution g\'en\'erale de $2x+5y=0$ qui est $x=-5k,y=2k$.\\ Pour avoir une solution particuli\`ere de $2x+5y=100$, avec des entiers de $\Z$, avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt abcuv(2,5,100)}\\ On obtient : {\tt [50,0]}\\ Donc $x=50-5k,y=2k$.\\ On veut que $x+y=26$ donc $50-3k=26$ soit $k=8$ donc :\\ $x=50-5*8=40$ et $y=2*8=16$\\ {\bf Soit le système $x+y=m$ et $2x+5y=100$}\\ On a $20\leq m\leq 50$ car :\\ 20 est la valeur minimum de $m$ qui correspond au nombre de billets de 5 euros qu'il faut pour payer 100 euros \\ 50 est la valeur maximum de $m$ qui correspond au nombre de pi\`eces de 2 euros qu'il faut pour payer 100 euros\\ {\bf M\'ethode graphique} avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt assume(m=[0,20,50,1])} {\tt d1:=droite(x+y=m,affichage=bleu)}\\ {\tt d2:=droite(2x+5y=100):;affichage(d2,vert)}\\ {\tt legende(20*i,"d2",quadrant3,vert)}\\ {\tt A:=inter\_droite(d1,d2)}\\ {\tt evalf(coordonnees(A))}\\ Il y a alors un curseur $m$ qui va de 1 en 1 de 20 jusque 50.\\ On peut suivre les valeur de la derni\`ere commande est voir que pour \\ $m=23$ les coordonn\'ees de $A$ sont (5,18),\\ $m=26$ les coordonn\'ees de $A$ sont (5,16),\\ $m=29$ les coordonn\'ees de $A$ sont (15,14), etc..\\ On peut donc conjecturer que $20-m$ doit \^etre un multiple de 3.\\ {\bf M\'ethode alg\'ebrique}\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt linsolve([x+y=m,2x+5y=100],[x,y])}\\ On obtient :\\ {\tt [5/3*m-100/3,-2/3*m+100/3]}\\ On tape :\\ {\tt factoriser([5/3*m-100/3,-2/3*m+100/3])}\\ On obtient :\\ {\tt [5*(m-20)/3,-2*(m-50)/3]}\\ les nombres $x$ et $y$ doivent \^etre des entiers naturels donc $m$ doit satisfaire aux conditions :\\ $m-20\geq 0$, $50-m\leq 0$ et\\ $m-20$ et $m-50$ doivent \^etr e des multiples de 3.\\ Donc $20 \leq m \leq 50$, et $m=20+3*k=50-3*p$ ($k\in \N$ et $p \in \N$)\\ soit $3(k+p)=30$ soit $k+p=10$ ce qui fait que l'on doit avoir :\\ $m=20+3k$ pour $k=0..10$.\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt M:=(20+3k)\$(k=0..10)}\\ On obtient les valeurs de $m$ possibles :\\ {\tt 20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50}\\ On tape :\\ {\tt SM:=([5*(M[k]-20)/3,-2*(M[k]-50)/3,20+3k])\$(k=0..10)}\\ On obtient les solutions $SM[k]$ et les valeurs de $m=M[k]$ correspondantes :\\ {\tt [0,20,20],[5,18,23],[10,16,26],[15,14,29],[20,12,32], [25,10,35], [30,8,38],[35,6,41],[40,4,44],[45,2,47],}\\ {\tt [50,0,50][0,20],[5,18],[10,16],[15,14],[20,12],}\\ {\tt [25,10],[30,8],[35,6],[40,4],[45,2],[50,0]}\\ {\bf M\'ethode arithm\'etique}\\ Si $2x+5y=100$ avec $x \in \N$ et $y\in \N$ c'est que :\\ $x$ est divisible par 5 puisque $2x=100-5y=5(20-y)$ donc $x=5k$\\ $y$ est divisible par 2 puisque $5y=100-2x=2(50-x)$ donc $y=2p$\\ Le syst\`eme devient :\\ $x+y=5k+2p=m$ et $2x+5y=10k+10p=100$ soit \\ $5k+2p=m$ et $p=10-k$\\ $5k+20-2k=m$ et $p=10-k$\\ Donc $m=20+3k=50-3p$ \item Trouver les 2 facteurs d'un produit sachant que l'un est le triple de l'autre et que si on augmentait chacun de 4 le produit augmenterait de 224.\\ {\bf Solution}\\ Soient $x$ et $y$ les 2 facteurs on a :\\ $x=3y$ et $(x+4)(y+4)=xy+224$\\ Puisque $(x+4)(y+4)=xy+4(x+y+4)$, il faut r\'esoudre le syst\`eme :\\ $x=3y$ et $x+y=224/4-4=56-4=52$ ce qui revient \`a r\'esoudre le syst\`eme :\\ $x=3y$ et $3y+y=52$\\ Donc $y=13$ et $x=39$ V\'erifions :\\ $xy=13*39=507$ et $17*43=731$ et on a bien $731-507=224$\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt linsolve([x=3y,(x+4)*(y+4)=x*y+224],[x,y])}\\ On obtient :\\ {\tt [39,13]} \item J'ai trois fois l'age de mon fils et quand mon fils aura l'age que j'ai nous aurons ensemble 104 ans.\\ Quel est mon age et quel est celui de mon fils ?\\ {\bf Solution}\\ Soient $x$ mon age et $y$ celui de mon fils. On a :\\ $x=3y$ et mon fils aura l'age que j'ai dans $x-y$ ans Dans $x-y$ ans j'aurai $x+x-y=2x-y$ ans et mon fils aura $x$ ans. Ensemble on aura donc $2x-y+x=104$\\ Il faut donc r\'esoudre le syst\`eme :\\ $x=3y$ et $3x-y=104$ ce qui revient \`a r\'esoudre le syst\`eme :\\ $x=3y$ et $9y-y=8y=104$\\ Donc $y=104/8=13$ et $x=39$.\\ V\'erifions :\\ Dans $39-13=26$ ans, j'aurai $39+26=65$ ans et mon fils aura $13+26=39$ ans. Ensemble on aura bien $65+39=104$ ans\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt linsolve([x=3y,2x-y+x=104],[x,y])}\\ On obtient :\\ {\tt [39,13]} \end{enumerate} \chapter{Mise en \'equation} \section{Les oeufs} Une fermi\`ere va au march\'e vendre des oeufs dans un panier.\\ Elle les vend ses oeufs \`a 60 centimes l'un.\\ En enlevant ses oeufs du panier elle s'aper\c{c}oit que quatre sont cass\'es.\\ Elle d\'ecide alors de vendre ses oeufs \`a 65 centimes l'un pour que sa recette soit la m\^eme.\\ Combien le panier contenait-il d'oeufs au d\'epart ?\\ {\bf Solution}\\ Soit $x$ le nombre d'oeufs dans le panier au d\'epart. La recette sera donc de en euros de $60*x$\\ \`A l'arriv\'ee le nombre d'oeufs n'est plus que de $x-4$.\\ La recette sera donc de en euros de $0.7*(x-4)$\\ La fermi\`ere a calcul\'e le nouveau prix pour que les 2 recettes soient les m\^emes donc on a :\\ $60*x=65*(x-4)$ donc $5x=65*4$ soit $x=13*4=52$.\\ {\bf Avec Xcas}\\ On tape :\\ {\tt solve(60*x=65*(x-5))}\\ On obtient :\\ {\tt [52]} \section{Les courses} Pour faire ses courses Albert part avec son sac et son porte-monnaie.\\ Il ach\`ete de la viande chez le boucher et d\'epense les 2/5 de l'argent contenu dans son porte-monnaie.\\ Puis, il ach\`ete des fruits et des l\'egumes au march\'e et d\'epense le quart de se qu'il lui reste dans son porte-monnaie.\\ Il ach\`ete ensuite du pain et des gateaux chez le boulanger pour 13.50 euros.\\ Il lui reste alors 9,90 euros dans son porte-monnaie.\\ Quelle somme avait-il au d\'epart ? Combien a-t-il d\'epens\'e chez le boucher ? Combien a-t-il d\'epens\'e au march\'e ? {\bf Solution}\\ Soit $S$ la somme en euros qu'il avait au d\'epart.\\ Chez le boucher il d\'epense $2*S/5$ euros et il lui reste :\\ $S-2*S/5=3*S/5$ euros.\\ Au march\'e il d\'epense $3*S/5*(1/4)=3*S/20$ euros.\\ Chez le boulanger il d\'epense 13.50 euros.\\ Il lui reste alors 9,90 euros\\ Donc on a :\\ $S=2*S/5+3*S/20+13.50+9.90$\\ Ou encore :\\ $S=S(8/20+3/20)+23.40$\\ $S*(1-11/20)=23.40$\\ $S*9/20)=23.40$\\ Donc $S=20*23.40/9=20*2.6=52$ euros.\\ Albert avait donc 52 euros dans son porte-monnaie au d\'epart.\\ Il a depens\'e $52*2/5=20.80$ euros chez le boucher.\\ Il lui reste donc 31.20 euros.\\ Au march\'e il d\'epense $31.20/4=7.80$ euros\\ Chez le boulanger il d\'epense 13.50 euros.\\ Il lui reste alors 9,90 euros\\ Il d\'epense en tout :\\ $20.80+7.80+13.50=42.1$ euros\\ Il lui reste donc bien $52-42.10=9.90$ euros.\\ {\bf Avec Xcas}\\ On tape :\\ {\tt solve(S-2*S/5-(S-2*S/5)/4-13.50=9.90,S)}\\ On obtient :\\ {\tt 52.0} \section{Les aiguilles d'une horloge} \`A quelle heure les aiguilles d'une horloge sont-elles l'une sur l'autre pour la premi\`ere fois apr\`es 12 h ?\\ \`A quelle heure les aiguilles d'une horloge sont-elles perpendiculaires pour la premi\`ere fois apr\`es 3h ?\\ \`A quelle heure les aiguilles d'une horloge sont-elles dans le prolongement l'une de l'autre pour la premi\`ere fois apr\`es 6h ?\\ {\bf Solution}\\ Soit $x$ le temps \'ecoul\'e en heures entre midi et l'instant cherch\'e.\\ Entre midi et l'instant cherch\'e la grande aiguille a fait un tour de plus que la petite aiguille. En une heure la grande aiguille fait 1 tour et la petite aiguille fait $1/12$i\`eme de tour.\\ Donc en $x$ heures la grande aiguille fait $x$ tours et la petite aiguille fait $x/12$i\`eme de tour.\\ On a donc \`a r\'esoudre :\\ $x=1+x/12$\\ ou encore :\\ $11x=12$ soit \\ $x=12/11$ heures.\\ {\bf Avec Xcas}\\ On tape :\\ {\tt solve(x=1+x/12)}\\ On obtient :\\ {\tt [12/11]}\\ Pour transformer 12/11 heures, en heures minutes et secondes soit : \begin{itemize} \item On fait des divisions euclidiennes en utilisant {\tt iquorem}.\\ On tape :\\ {\tt iquorem(12,11)}\\ On obtient :\\ {\tt [1,1]}\\ ce qui signifie que $12=1*11+1$ i.e. que\\ 12/11 h=1 h+(1/11) h\\ 1/11 h=60*1/11 mn\\ On tape :\\ {\tt iquorem(60,11)}\\ On obtient :\\ {\tt [5,5]}\\ ce qui signifie que $60=5*11+5$ i.e. que\\ 60/11 mn=5 mn+(5/11) mn\\ 5/11 mn=60*5/11 s=300/11 s\\ On tape :\\ {\tt iquorem(300,11)}\\ On obtient :\\ {\tt [27,3]}\\ ce qui signifie que $300=27*11+3$ i.e. que\\ 300/11 s=27 s+(3/11) s\\ On tape :\\ {\tt evalf(3/11)}\\ On obtient :\\ {\tt 0.272727272727]}\\ Donc le temps \'ecoul\'e depuis 12h est de 1 h 5 mn 27+3/11 s donc il sera 1 h 5 mn 27+3/11 s $\simeq$ 1 h 5 mn 27.272727272727 s \item On fait des conversions d'unit\'es en utilisant {\tt convert}.\\ On tape :\\ {\tt propfrac(12/11)}\\ On obtient :\\ {\tt 1+1/11}\\ On tape :\\ {\tt convert((1/11)\_h,\_mn)}\\ On obtient :\\ {\tt 5.45454545455\_mn}\\ On tape :\\ {\tt convert(0.45454545455\_mn,\_s)}\\ On obtient :\\ {\tt 27.272727273\_s}\\ On remarquera les erreurs d'arrondis.\\ Donc il sera 1 h 5 mn 27.272727273 s \`a $10^{-10}$ pr\'es quand les aiguilles d'une horloge seront l'une sur l'autre pour la premi\`ere fois apr\`es 12 h.\\ \item On fait un petit programme pour convertir les heures en heures minutes et secondes.\\ {\tt H} est le nombre d'heures \`a convertir, {\tt MN} est le nombre de minutes \`a convertir et {\tt S} est le nombre de secondes \`a convertir, {\tt h}, {\tt mn} et {\tt s} contiennent les valeurs cherch\'ees.\\ On tape : \begin{verbatim} conversion(H):={ local h,MN,mn,S,s; h:=floor(H); MN:=60*(H-h); mn:=floor(MN); S:=60*(MN-mn); s:=floor(S); retourne h+" h "+mn+" mn "+s+" s "+(S-s)+" s "; }:; \end{verbatim} ou bien :\\ On tape : \begin{verbatim} conversion1(H):={ local h,MN,mn,S,s,fs,rs; S:=convert((H) _h,_s); fs:=floor(S); rs:=S-fs; s:=normal(irem(fs,60)); MN:=convert((fs-s),_mn); mn:=normal(irem(float2rational(MN),60)); h:=float2rational((convert(MN-mn,_h))); retourne h,mn,s,rs; }:; conversion2(H):={ local h,MN,mn,S,s,fs,rs; S:=H*3600; fs:=floor(S); rs:=S-fs; s:=irem(fs,60); MN:=iquo(fs-s,60); mn:=irem(MN,60); h:=iquo((MN-mn),60); retourne h+" h "+mn+" mn "+s+" s "+rs+" s "; h,mn,s,rs; }:; \end{verbatim} \end{itemize} On a encore la m\^eme \'equation $x=1+x/12$, si $x$ est le temps \'ecoul\'e en heures entre 3 h et l'instant cherch\'e, la grande aiguille a fait un tour de plus que la petite aiguille.\\ Donc il sera 4 h 5 mn 27+3/11 s quand les aiguilles d'une horloge seront dans le prolongement l'une de l'autre pour la premi\`ere fois apr\`es 3h.\\ On a encore la m\^eme \'equation $x=1+x/12$, si $x$ est le temps \'ecoul\'e en heures entre 6 h et l'instant cherch\'e, la grande aiguille a fait un tour de plus que la petite aiguille.\\ Donc il sera 7 h 5 mn 27+3/11 s quand les aiguilles d'une horloge seront dans le prolongement l'une de l'autre pour la premi\`ere fois apr\`es 6h. \section{Des moutons} Un berger dit : "Si j'avais 14 moutons de plus j'en aurais 2 fois plus que si j'en avais 51 de moins". Combien ce berger a-t-il de moutons ? {\bf Solution}\\ Soit $x$ le nombre de moutons. L'\'enonc\'e dit que :\\ $x+14=2*(x-51)$\\ On tape :\\ {\tt solve(x+14=2*(x-51))}\\ On obtient :\\ {\tt [116]}\\ Le nombre cherch\'e est donc $116$ et on a bien :\\ 116+14=130=2*(116-51)=2*65. 4+9=9*9=81. \section{Un nombre} Un nombre est form\'e de 2 chiffres dont la somme est 9. Si on permute ces 2 chiffres on obtient un nombre qui surpasse de 9 le quadruple du premier.\\ Quel est ce nombre ?\\ {\bf Solution}\\ Soit $a$ le chiffre des dizaines et $b$ le chiffre des unit\'es du nombre cherch\'e.\\ Ce nombre est donc \'egal \`a $10*a+b$ et le nombre obtenu en permutant $a$ et $b$ est donc \'egal \`a $10*b+a$\\ L'enonc\'e dit que :\\ $a+b=9$\\ $10*b+a=4*(10*a+b)+9$ {\bf Avec Xcas}\\ On tape :\\ {\tt linsolve([a+b=9,10*b+a=4*(10*a+b)+9],[a,b])}\\ On obtient :\\ {\tt [1,8]}\\ Le nombre cherch\'e est donc $18$ et on a bient : 18*4+9=9*9=81. \section{Deux facteurs} Trouver les 2 facteurs d'un produit sachant que l'un est le triple de l'autre et que si l'on augmentait chacun de 4 le produit augmenterait de 224. {\bf Solution}\\ Soit $a$ le plus petit facteur et $b$ l'autre facteur.\\ L'\'enonc\'e dit que :\\ $b=3*a$ et \\ $(a+4)*(b+4)=a*b+224$ {\bf Avec Xcas}\\ On tape :\\ {\tt linsolve([b=3*a,(a+4)*(b+4)=a*b+224],[a,b])}\\ On obtient :\\ {\tt [13,39]}\\ On a bien 39=3*13 et \\ (39+4)*(13+4)=39*13+4*52+16=39*13+208+16=39*13++224 \section{Pour chercher} Les entiers de 1 \`a 6 sont plac\'es chacun une et une seule fois dans les cescles ci-dessous.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroic} On suppose que :\\ $A+E+B=B+F+C=C+D+A=S$ Quelles sont les valeurs possibles de $S$ ? Pour chaque valeur de $S$ trouver toutes les solutions.\\ {\bf Solution} On calcule :\\ 1+2+3+4+5+6=6*7/2=21\\ $2(A+B+C)+D+E+F=3S$ $A+B+C+D+E+F=21$ Donc :\\ $s_1=A+B+C=3S-21=3(S-7)$\\ On doit avoir :\\ $6=1+2+3\leq s_1=A+B+C\leq 4+5+6=15$ et $A+B+C$ divisible par 3 et par $S-7$ $A+B+C+D+E+F=21$ est divisible par 3 donc\\ $s_2=D+E+F=21-s_1$ est aussi divisible par 3.\\ Les valeurs possibles de $(s_1,s_2)$ sont :\\ $(6,15),(9,12),(12,9),(15,6)$\\ Les valeurs possibles de $S=(2s_1+s_2)/3$ sont donc :\\ $(2*6+15)/3=9,(2*9+12)/3=10,(2*12+9)=11,(2*15+6)=12$\\ Lorqu'on a trouv\'e une solution on peut en d\'eduire 5 autres solutions :\\ par permutations circulaires dans le sens direct puis par sym\'etrie AEBFCD->CDAEBF->BFCDAE\\ AECDBF->BFAECD->CDBFAE\\ On consid\`era dans la suite ces 6 soluitons comme \'etant \'egales.\\ Cherchons les solutions possibles pour $S=9$.\\ Si $S=9$ on a $s_1=6$ et $s_2=15$ donc :\\ $A+B+C=1+2+3=6$ et $E+F+D=15$\\ Si $A=1$ $B=2$ $C=3$ alors :\\ $A+E+B=3+E=9$ donc $E=6$\\ $B+F+C=5+F=9$ donc $F=4$\\ $C+D+A=4+D=9$ donc $D=5$ \\ Pour $S=9$ on a comme solution $(A,B,C,D,E,F)=(1,2,3,5,6,4)$. Cherchons les solutions possibles pour $S=10$.\\ Si $S=10$ on a $s_1=9$ et $s_2=12$ donc :\\ $A+B+C=1+2+6=1+3+5=2+3+4=9$ et $E+F+D=12$\\ Si $A=1$ $B=2$ $C=6$ alors :\\ $A+E+B=10=3+E$ donc $E=7$ impossible\\ Si $A=1$ $B=3$ $C=5$ alors :\\ $A+E+B=4+E=10$ donc $E=6$ \\ $B+F+C=8+F=10$ donc $F=2$\\ $C+D+A=6+D=10$ donc $D=4$\\ Si $A=2$ $B=3$ $C=4$ alors :\\ $A+E+B=5+E=10$ donc $E=5$ \\ $B+F+C=7+F=9$ donc $F=2=A$ impossible\\ Pour $S=10$ on a comme solution $(A,B,C,D,E,F)=(1,3,5,4,6,2)$. Cherchons les solutions possibles pour $S=11$.\\ Si $S=11$ on a $s_1=12$ et $s_2=9$ donc :\\ $A+B+C=1+5+6=2+4+6=3+4+5=12$ et $E+F+D=9$\\ Si $A=1$ $B=5$ $C=6$ alors $A+E+B=6+E=11$ donc $E=5=B$ impossible\\ Si $A=2$ $B=4$ $C=6$ alors :\\ $A+E+B=6+E=11$ donc $E=5$ $B+F+C=10+F=11$ donc $F=1$\\ $C+D+A=8+D=11$ donc $D=3$ Si $A=3$ $B=4$ $C=5$ alors :\\ $A+E+B=7+E=12$ donc $E=5=C$ impossible\\ Pour $S=11$ on a comme solution $(A,B,C,D,E,F)=(2,4,6,3,5,1)$. Cherchons les solutions possibles pour $S=12$.\\ Si $S=12$ on a $s_1=15$ et $s_2=6$ donc :\\ $A+B+C=4+5+6=15$ et $E+F+D=6$\\ Si $A=1$ $B=5$ $C=6$ alors :\\ $A+E+B=6+E=11$ donc $E=5=B$ impossible\\ Si $A=4$ $B=5$ $C=6$ alors :\\ $A+E+B=9+E=12$ donc $E=3$\\ $B+F+C=11+F=12$ donc $F=1$\\ $C+D+A=10+D=12$ donc $D=2$\\ Pour $S=12$ on a comme solution $(A,B,C,D,E,F)=(4,5,6,2,3,1)$. Il y a donc 4 solutions diff\'erentes :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroic1}\\ Pour faire le dessin on tape pour {\tt p:=0} (resp 14,-10*i,14-10*i), en modifiant la valeur des l\'egendes : \begin{verbatim} A:=cercle(p,1); B:=cercle(8+p,1); C:=cercle(4+p+i*sqrt(3)*4,1); D:=cercle(2+i*sqrt(3)*2+p,1); E:=cercle(4+p,1); F:=cercle(6+i*sqrt(3)*2+p,1); segment(1+p,3+p); segment(5+p,7+p); segment(1/2+i*sqrt(3)/2+p,3/2+i*sqrt(3)*3/2+p); segment(15/2+i*sqrt(3)/2+p,13/2+i*sqrt(3)*3/2+p); segment(11/2+i*sqrt(3)*5/2+p,9/2+i*sqrt(3)*7/2+p); segment(5/2+i*sqrt(3)*5/2+p,7/2+i*sqrt(3)*7/2+p); legende(-0.5+p,"1"); legende(7.5+p,"2"); legende(3.5+p+i*sqrt(3)*4,"3"); legende(1.5+p+i*sqrt(3)*2,"5"); legende(3.5+p,"6"); legende(5.5+p+i*sqrt(3)*2,"4"); \end{verbatim} \chapter{Notion de fonction}\index{subst}\index{:=} Il ne faut pas confondre expression et fonction. Une expression est une combinaison de nombres et de variables reli\'es par des op\'erations alors qu'une fonction associe \`a une variable une expression. Par exemple, \verb|a:=x^2+2*x+1| définit une expression et \verb|b(x):=x^2+2*x+1| définit une fonction. On obtient la valeur de l'expression \verb|a| en 0, avec \verb|subst(a,x=0)| et la valeur de la fonction \verb|b| en 0, avec \verb|b(0)|. \section{Image d'un nombre par une fonction}\index{\$} Soit $f$ est une fonction de $\R$ dans $\R$. Cela veut dire que pour tout $a$ dans $\R$ $f$ associe le nombre $f(a)$ de $\R$. On dit que $f(a)$ estv l'image de $qa$ par $f$.\\ {\bf Exemple}\\ Soit $f(x)=x^3-3x+2$. Trouver l'image des nombres -2,-1,0,1,2 Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt f(x):=x\verb|^|3-3x+2}\\ {\tt f(k)\$(k=-2..2)}\\ On obtient les valeurs de $f(-1),f(0),f(1),f(2)$ :\\ {\tt 0,4,2,0,4}\\ Factoriser $f(x)$.\\ $f(x)$ s'annule pour $x=1$ et pour $x=-2$ donc $(x-1)$ et $(x+2)$ sont des facteurs de $f(x)$.\\ Donc $f(x)=(x-1)*(ax^2+bx+c)=x^3-3x+2$\\ On en d\'eduit par identification que $a=1$, $c=-2$ et $b-a=0$ donc :\\ $f(x)=(x-1)(x^2+x-2)$\\ $x^2+x-2$ s'annule lorsque $x=-2$ donc ;\\ $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ d'o\`u :\\ $f(x)=(x-1)^2(x+2)$\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt factoriser(f(x))}\\ On obtient :\\ {\tt (x-1)\verb|^|2*(x+2)} \section{Ant\'ec\'edent(s) d'un nombre par une fonction}\index{resoudre} Les ou l'ant\'ec\'edent(s) d'un nombre $b$ par une fonction $f$ sont les nombres $a$ tels que $f(a)=b$.\\ {\bf Exemple}\\ Soit $f(x)=x^3-3x+2$.\\ Trouver les ant\'ec\'edent(s) des nombres 0,2,4.\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt solve(f(x)=0,x)}\\ On obtient :\\ {\tt [-2,1]}\\ On tape :\\ {\tt solve(f(x)=2,x)}\\ On obtient :\\ {\tt [-(sqrt(3)),0,sqrt(3)]}\\ On tape :\\ {\tt resoudre(f(x)=4,x)}\\ On obtient :\\ {\tt [-1,2]} \section{Graphe d'une fonction}\index{plotfunc} Le graphe d'une fonction est l'ensemble des points de coordonn\'ees $x,f(x)$ dans un rep\`ere $Oxy$ {\bf Exemple}\\ Soit $f(x)=x^3-3x+2$.\\ Tracer le graphe de $f$ sur l'intervalle [-3,3].\\ On tape :\\ {\tt plotfunc(f(x),x=-3..3))}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{graphef} \chapter{Fonctions lin\'eaires et affines}\index{droite} Une fonction lin\'eaire r\'eelle est une fonction de la forme $f(x)=ax$ avec $x\in \R$ et $a\in \R$\\ Une fonction affine r\'eelle est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ avec $x\in \R$, $a\in \R$ et $b\in \R$ \\ \section{Repr\'esentation d'une fonction lin\'eaire} Soit un rep\`ere orthonorm\'e $Oxy$.\\ La repr\'esentation graphique d'une fonction lin\'eaire $f(x)=ax$ est une droite passant par l'origine $O$ du rep\`ere et qui a comme de pente $a$. On dit que cette droite a pour \'equation $y=ax$\\ Avec {\tt Xcas}, on ouvre un niveau de g\'eom\'etrie 2d (Alt+g).\\ On clique sur {\tt Edit} de ce niveau et on choisit {\tt Ajouter param\`etre}.\\ Une boite de dialogue pr\'eremplie s'ouvre : on valide avec {\tt OK} et on obtient au niveau 1 comme ligne de commande :\\ {\tt assume(a=[0,-5,5,0.1])}\\ cela provoque la mise en place d'un curseur (sous le pav\'e situ\'e \`a droite de l\'ecran graphique) qui permet de changer les valeurs de {\tt a}.\\ On tape :\\ {\tt droite(y=a*x)}\\ Puis on fait bouger le curseur.\\ On obtient : \\ {\tt Le graphe de la droite d'\'equation $y=ax$ pour diff\'erentes valeurs de $a$}. \section{Repr\'esentation d'une fonction affine} Soit un rep\`ere orthonorm\'e $Oxy$.\\ La repr\'esentation graphique d'une fonction affine $f(x)=ax+b$ est une droite de pente $a$ passant par le point $B$ de coordonn\`ees $0,b$ On dit que cette droite a pour \'equation $y=ax+b$\\ Avec {\tt Xcas}, on ouvre un niveau de g\'eom\'etrie 2d (Alt+g).\\ On clique sur {\tt Edit} de ce niveau et on choisit {\tt Ajouter param\`etre}.\\ Une boite de dialogue pr\'eremplie s'ouvre : on valide avec {\tt OK} et on obtient au niveau 1 comme ligne de commande :\\ {\tt assume(a=[0,-5,5,0.1])}\\ cela provoque la mise en place d'un curseur (sous le pav\'e situ\'e \`a droite de l\'ecran graphique) qui permet de changer les valeurs de {\tt a}.\\ On refait la m\^eme chose ou on recopie la commande pour avoir au niveau 2 {\tt assume(b=[0,-5,5,0.1])}\\ cela provoque la mise en place d'un curseur (sous le pav\'e situ\'e \`a droite de l\'ecran graphique) qui permet de changer les valeurs de {\tt b}.\\ On tape :\\ {\tt droite(y=a*x+b)}\\ Puis on fait bouger le curseur {\tt a} et le curseur {\tt b}.\\ On obtient : \\ {\tt Le graphe de la droite d'\'equation $y=ax+b$ pour diff\'erentes valeurs de $a$ et de $b$}\\ \section{Repr\'esentation graphique des solutions $(x,y)$ de l'\'equation $ax+by+c=0$} On suppose que soit $b\neq 0$ soit $b=0$ et $a\neq 0$\\ Si $b\neq 0$, l'\'equation $ax+by+c=0$ est \'equivalente \`a l'\'equation $\displaystyle y=-\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}$.\\ Donc si $b\neq 0$, les points de coordonn\'ees $(x,y)$ de l'\'equation $ax+by+c=0$ se trouvent sur la droite d'\'equation $\displaystyle y=-\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}$.\\ Si $b= 0$ et $a\neq 0$, a l'\'equation $ax+by+c=0$ est \'equivalente \`a l'\'equation $ax+c=0$.\\ Puisque $a\neq 0$, l'\'equation $ax+by+c=0$ est \'equivalente \`a l'\'equation $\displaystyle x=-\frac{c}{a}$. Les points de coordonn\'ees $(x,y)$ de l'\'equation $\displaystyle x=-\frac{c}{a}$ ont tous la m\^eme abscisse et se trouvent donc sur une droite parall\`ele \`a l'axe des $y$ et qui a pour \'equation $\displaystyle x=-\frac{c}{a}$.\\ Donc l'\'equation d'une droite est de la forme $ax+by+c=0$ ce qui repr\'esente \`a la fois les droites parall\`eles \`a l'axe des $y$ (quand $b=0$) et les droites d'\'equation de la forme $y=mx+p$ (avec $\displaystyle m=-\frac{a}{b}$ et $\displaystyle p=-\frac{c}{b}$ quand $b\neq 0$). \section{Fonction affine d\'efinie par 2 points} Soit une droite passant par le point $A$ de coordonn\'ees $a_1,a_2$ et par le point $B$ de coordonn\'ees $b_1,b_2$. On cherche l'\'equation de cette droite.\\ Si $a_1\neq b_1$ l'\'equation de cette droite peut s'\'ecrire $y=ax+b$.\\ On cherche alors $a$ et $b$ qui sont solution du syst\`eme :\\ $a_2=a_1a+b$ et $b_2=b_1a+b$ \\ On tape :\\ {\tt droite(point(1,2),point(3,-1))}\\ On obtient :\\ {\tt le dessin de la droite passant par les points (1,2) et (3,-1)}\\ On tape :\\ {\tt equation(droite(point(1,2),point(3,-1)))}\\ On obtient :{\tt y=(-3*x/2+7/2)}\\ On tape :\\ {\tt droite(point(1,2),point(3,2))}\\ On obtient :\\ {\tt le dessin de la droite parall\`ele \`a l'axe des $y$ passant par le point (0,2)}\\ On tape :\\ {\tt equation(droite(point(1,2),point(3,2)))}\\ On obtient :{\tt y=2}\\ On tape :\\ {\tt droite(point(1,2),point(1,3))}\\ On obtient :\\ {\tt le dessin de la droite parall\`ele \`a l'axe des $x$ passant par le point (1,0)}\\ On tape :\\ {\tt equation(droite(point(1,2),point(1,3)))}\\ On obtient :{\tt x=1}\\ On tape :\\ {\tt equation(droite(point(a1,a2),point(b1,b2)))}\\ On obtient :{\tt y=((a2-b2)*1/(a1-b1)*x+(a1*b2-a2*b1)/(a1-b1))}\\ qui est bien s\^uer valable que si $a_1\neq b_1$ ! \section{Fonction affine d\'efinie par 1 point et sa pente}\index{pente} \noindent On tape :\\ {\tt equation(droite(point(1,2),pente=-1))}\\ On obtient :{\tt y=(-x+3)}\\ On tape :\\ {\tt equation(droite(point(0,b),pente=a))}\\ On obtient :{\tt y=(a*x+b)}\\ On tape :\\ {\tt equation(droite(point(b1,b2),pente=a))}\\ On obtient : {\tt y=(-a*b1+b2+a*x)} \section{Reproduction d'un tableau de Piet Mondrian} Piet Mondrian est un peintre hollandais (1872 -1944). Longtemps peintre de vaches et de prairies, il a cr\'e\'e vers 1917 le n\'eo-plasticisme.\\ Voici le tableau \`a reproduire :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{mondrian1}\\ Et voici la suite d'instructions : \begin{verbatim} rectangle(6i,1+6i,2,affichage=rempli+3); rectangle(1+0.8i,3+0.8i,1/10,affichage=rempli+4); rectangle(9/2+i,6.33+i,0.8,affichage=rempli+1); segment(1+0.8i,3+0.8i, affichage=epaisseur_ligne_4);; segment(1+1*i,3+1*i, affichage=epaisseur_ligne_4);; segment(5i/2,8+5i/2,affichage=epaisseur_ligne_4);; segment(3,3+8*i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(5i,8+5i,affichage=epaisseur_ligne_4);; segment(6i,8+6i,affichage=epaisseur_ligne_4);; segment(1,1+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(2,2+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(5/2,5/2+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(3,3+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(9/2,9/2+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(19/3,19/3+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(20/3,20/3+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(23/3,23/3+8i,affichage=epaisseur_ligne_3); segment(9/2+i,20/3+i,affichage=epaisseur_ligne_3); segment(9/2+0.2i,20/3+0.2i,affichage=epaisseur_ligne_3); segment(4i,8+4i,affichage=epaisseur_ligne_4);; rectangle(23/3+0.8*i,8+0.8*i,6/10,affichage=rempli+1); segment(23/3+0.8i,8+0.8i, affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(23/3+1*i,8+1*i, affichage=epaisseur_ligne_3);; segment(23/3,23/3+8i,affichage=epaisseur_ligne_3);; carre(0,8); \end{verbatim} \chapter{Proportions} \section{Grandeurs proportionnelles} On dit que $y$ et $x$ sont proprotionnels si $y/x$ est \'egales \`a une constante $a$ qui s'appelle le coefficient de proportionnalit\'e.\\ Par exemple le prix $y$ d'un tissu est proportionnel \`a sa longueur $x$.\\ {\bf Exercice}\\ Un pain de 400g est vendu dans un supermarch\'e 0.85 euros.\\ Sur l'\'etiquette il est marqu\'e : Prix au kilo 1.89 euros. \begin{itemize} \item Si ce prix au kilo \'etait exact quel devrait \^etre le prix de ce pain de 400g? \item Si ce prix au kilo \'etait exact quel devrait \^etre le poids de ce pain qui coute 0.85 euros ? \item Quel est le prix r\'eel au kilo ? \end{itemize} {\bf Solution} \begin{itemize} \item 1 kilo=1000 grammes et 400 grammes=0.4 kilo.\\ Si 1 kilo coute 1.89 euros cela veut dire que le prix $y$ en euros est proportionnel au poids $x$ du pain en kilo et que le coefficient de proportionnalit\'e vaut 1.89 et on a $y=1.89*x$\\ Donc un pain 400grammes=0.4 kilos doit couter :\\ 1.89*0.4=0.756 euros, soit environ 0.76 euros. \item si le prix $y$ vaut 0.85 euros c'est que le poids $x$ de ce pain v\'erifie la relation $0.85=1.89*x$ donc :\\ $x=0.85/1.89=0.449735449735$\\ Le poids de ce pain devrait \^etre d'environ 450 grammes. \item Le prix r\'eel au kilo est \'egal \`a $y/x$ c'est \`a dire \`a :\\ 0.85/0.4=2.125 euros. \end{itemize} \section{Pourcentage} \subsection{Devis HT et TTC} Un artisan doit faire un devis qu'il estime \`a 500 euros HT (hors taxes).\\ A combien se monte le devis avec la TVA si celle-ci est de 19.6\%.\\ {\bf Solution}\\ Le montant de la TVA est :\\ 500*19.6*0.01=500*0.196=98 Le montant TTC est donc:\\ 500+98 =598 euros\\ ou bien directement; le montant TTC est :\\ 500*1.196=598 euros\\ Un artisan a fait un devis d'un montant de 600 euros TTC (avec la TVA).\\ A combien se monte le devis HT (hors taxes) si la TVA est de 19.6\% ? si la TVA est de 7\% ?\\ {\bf Solution}\\ Si la TVA est de 19.6\%, le montant HT est donc de :\\ 600/1.196=501.67 euros.\\ Si la TVA est de 7\%, le montant HT est donc de :\\ 600/1.07=560.74 euros. \subsection{Placement sur un livret} On place sur un livret la somme de 10000 euros \`a un taux annuel d'int\'er\^et de 2.5\% (net d'imp\^ots de de taxes).\\ Les int\'er\^ets \'etant vers\'es sur le livret, quelle somme a-t-on obtenue au bout d'un an sur le livret? \\ Au bout d'un an, par combien la somme initiale a-t-elle \'et\'e multipli\'ee ?\\ Quelle somme a-t-on obtenue au bout de 2 ans ? 5 ans ? \\ {\bf Solution}\\ Au bout d'un an, on a 10000*2.5/100= 10000*0.025=250 euros d'int\'er\^ets donc au total on a sur le livret : 10000+10000*0.025=10000*1.025=10250 euros.\\ Au bout d'un an, la somme initiale a-t-elle \'et\'e multipli\'ee par 1.025.\\ Au bout de 2 ans, on a 10250*0.025=256.25 euros d'int\'er\^ets donc au total on a sur le livret : 10250+256.25=10506.25 euros ou encore \\ le total se monte \`a $10000*1.025*1.025=10000*1.025^2=10506.25$ euros.\\ Au bout de 5 ans, on a $10000*1.025^5=11314.08$ euros sur le livret.\\ On place sur un livret la somme de $S$ euros \`a un taux annuel d'int\'er\^et de $t*0.01$ (net d'imp\^ots de de taxes).\\ Quelle somme a-t-on obtenue au bout d'un an ? \\ Les int\'er\^ets \'etant vers\'es sur le compte, ils rapportent aussi des int\'er\^et.\\ Quelle somme a-t-on obtenue au bout de $n$ ans ? \\ \noindent Au bout d'un an on a : $S*(1+t*0.01)$ euros\\ Au bout de $n$ ans on a : $S*(1+t*0.01)^n$ euros\\ \chapter{Statistiques} \section{S\'erie statistique donn\'ee par une liste}\index{count\_eq}\index{\$} \index{alea}\index{pour}\index{NULL}\index{fpour}\index{jusque}\index{append} \index{diagramme\_batons}\index{histogramme}\index{count\_eq} On jette 2 d\'es cubiques non pip\'es et on note la somme obtenue dans une liste {\tt R}.\\ Simuler ce jet 25 fois de suite \`a l'aide de {\tt Xcas}.\\ Calculer les fr\'equences de chaque issue et construire l'histogramme (i.e. le diagramme en b\^atons) correspondant.\\ Simuler ce lancer 40 fois de suite \`a l'aide du tableur de {\tt Xcas}.\\ Simuler ce lancer 1000 fois de suite \`a l'aide de {\tt Xcas}.\\ Calculer les fr\'equences de chaque issue et constriure le diagramme en b\^atons correspondant.\\ Avec {\tt Xcas}, on tape dans une ligne de commande :\\ {\tt R:=[]; pour j de 1 jusque 25 faire R:=append(L,alea(6)+alea(6)+2);fpour;}\\ ou bien on tape :\\ {\tt R:=[(alea(6)+alea(6)+2)\$(k=1..25)]}\\ En effet {\tt alea(6)} renvoie un nombre choisi al\'eatoirement parmi les nombres {\tt 0,1,2,3,4,5} donc {\tt alea(6)+1} renvoie un nombre choisi al\'eatoirement parmi les nombres {\tt 1,2,3,4,5,6}.\\ {\bf Attention} \\ {\tt alea(6)+alea(6)+2} n'est pas \'egal \`a {\tt 2*alea(6)+2} et n'est pas \`egal non plus \`a {\tt alea(11)+2}.\\ Puis on utilise {\tt count\_eq(k,R)} qui compte le nombre d'\'el\'ements de la liste {\tt R} égaux à {\tt k} pour {\tt k} allant de 0 \`a 12 et on tape :\\ {\tt [count\_eq(k,R)\$(k=0..12)]}\\ Ou bien on tape directement :\\ {\tt L:=[0\$ 13]} cela cr\'ee une liste form\'ee de 13 z\'eros.\\ {\tt R:=NULL;}\\ cela cr\'ee une s\'equence vide\\ {\tt pour j de 1 jusque 25 faire k:=alea(6)+alea(6)+2;R:=R,k;L[k]:=L[k]+1;fpour;}\\ cela effectue 25 jets de 2 d\'es et on cr\'ee la s\'equence {\tt R} qui donne la suite des r\'esultats et la liste {\tt L} qui compte dans {\tt L[k]} le nombre de fois que {\tt k} a \'et\'e obtenu.\\ {\tt R:=[R];}\\ cela transforme la s\'equence {\tt R} en une liste.\\ On obtient par exemple pour {\tt R}:\\ {\tt [7,8,8,3,10,5,9,4,2,7,9,6,5,10,7,7,6,6,7,4,4,4,9,5,8]}\\ On obtient alors pour {\tt L}:\\ {\tt [0,0,1,1,4,3,3,5,3,3,2,0,0]}\\ Les frequences sont donc {\tt L/25}. On obtient \\ {\tt [0,0,1/25,1/25,4/25,3/25,3/25,1/5,3/25,3/25,2/25,0,0]}\\ On tape :\\ {\tt histogramme([[k,L[k]]\$(k=0..12)])}\\ Ou on tape :\\ {\tt histogramme(R,0.5,1)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troishist}\\ ou bien on tape :\\ {\tt diagramme\_batons([[k,L[k]]\$(k=0..12)])}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troisbat}\\ {\bf Avec le tableur}\\ On ouvre le tableur avec par exemple avec :\\ {\tt Alt+t}\\ ou avec le menu :\\ {\tt Tableur->Nouveau tableur}\\ qui propose 40 lignes de 0 \`a 39. On appuie donc sur {\tt OK}.\\ Dans {\tt A} on met les nombres entiers 0,1..39 :\\ pour cela on met dans {\tt A0} : {\tt 0} et dans {\tt A1} : {\tt =A0+1} \\ puis on s\'electionne {\tt A1} et on tape {\tt Ctrl+d} pour remplir vers le bas.\\ Dans {\tt B} on met le r\'esultat des 40 jets :\\ pour cela on met dans {\tt B0} : {\tt alea(6)+alea(6)+2}\\ puis on s\'electionne {\tt B0} et on tape {\tt Ctrl+d} pour remplir vers le bas.\\ Dans {\tt C2} on va mettre le nombre de fois qu'il y a 2 dans {\tt B} et dans {\tt C3} on mettre le nombre de fois qu'il y a 3 dans {\tt B} etc...\\ Pour cela, on tape dans {\tt C2} :{\tt =count\_eq(A2,[\$B\$0:\$B\$39])} puis on s\'electionne {\tt C2} et on tape {\tt Ctrl+d} pour remplir vers le bas.\\ Dans le menu {\tt Maths} du tableur, on s\'electionne :\\ {\tt stats-1d->diagramme\_batons} et on met {\tt A2:A12,C} dans plage de cellule et {\tt D0} comme cellule cible.\\ On obtient dans {\tt D0} : {\tt =diagramme\_batons([[2,1],...[12,0]])} \\ et sous le tableur (ou \`a c\^ot\'e si on a d\'ecoch\'e {\tt Paysage}) le graphique :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trisbatab}\\ {\bf Pour 1000 lancers},\\ on tape directement dans une ligne de commande :\\ {\tt LL:=[0\$ 13]}\\ {\tt pour j de 1 jusque 1000 faire \\ k:=alea(6)+alea(6)+2;LL[k]:=LL[k]+1;fpour;}\\ On obtient :\\ {\tt [0,0,33,62,78,100,146,168,124,110,95,55,29]}\\ Les 2 premiers 0 signifient que le score obtenu en jetant 2 d\'es n'est jamais nul et jamais \'egal \`a 1, puis 33 signifie que 2 a \`et\'e obtenu 33 fois lorsqu'on a fait 1000 lancers etc...\\ Les fr\'equences sont donc {\tt LL/1000}\\ On obtient \\ {\tt [0,0,33/1000,31/500,39/500,1/10,73/500,21/125,31/250,\\ 11/100,19/200,11/200,29/1000]}\\ On tape :\\ {\tt evalf(LL/1000,3)}\\ On obtient :\\ {\tt [0.0,0.0,0.033,0.062,0.078,0.1,0.146,0.168,0.124,\\ 0.11,0.095,0.055,0.029]}\\ On tape :\\ {\tt histogramme([[k,LL[k]]\$(k=0..12)])}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troishist1}\\ On peut aussi utiliser :\\ {\tt =diagramme\_batons([[k,LL[k]]\$(k=0..12)])}\\ {\bf Calcul \`a la main les fr\'equences th\'eoriques}\\ Il y a en tout $6^2=36$ possibilit\'es.\\ Calculons parmi ces 36 possibilit\'es combien ont comme somme 2, ont comme somme 3,...,ont comme somme 12 : \begin{itemize} \item 2 est obtenu si on a fait (1,1) donc 1 fois \item 3 est obtenu si on a fait (1,2) ou (2,1) donc 2 fois \item 4 est obtenu si on a fait (1,3), (2,2) ou (3,1) donc 3 fois \item 5 est obtenu si on a fait (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1) donc 4 fois \item 6 est obtenu si on a fait (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) ou (5,1) donc 5 fois \item 7 est obtenu si on a fait (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) ou (6,1) donc 6 fois \item 8 est obtenu si on a fait (2,6), (3,5), (4,4) (5,3) ou (6,2) donc 5 fois \item 9 est obtenu si on a fait (3,6), (4,5) (5,4) ou (6,3) donc 4 fois \item 10 est obtenu si on a fait (4,6) (5,5) ou (6,4) donc 3 fois \item 11 est obtenu si on a fait (5,6) ou (6,5) donc 2 fois \item 12 est obtenu si on a fait (6,6) donc 1 fois \end{itemize} On v\'erifie (1+2+3+4+5)*2+6=36\\ Les fr\'equences th\'eoriques de 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 sont donc:\\ {\tt 1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36 } On tape :\\ {\tt evalf([1/36,1/18,1/12,1/9,5/36,1/6,5/36,1/9,1/12,1/18,1/36],3)}\\ On obtient :\\ {\tt [0.028,0.056,0.083,0.111,0.139,0.167,0.139,0.111,0.083,0.056,0.028]} \section{S\'erie statistique donn\'ee par un tableau ou un graphique} \section{Pour r\'efl\'echir : un paradoxe de Simpson} On veut comparer 2 techniques ($A$ et $B$) pour l'ablation des calculs r\'enaux. Pour cela on compare le r\'esultat de 350 interventions faites avec la technique $A$ et de 350 interventions faites avec la technique $B$. On a obtenu :\\ - avec la technique $A$ il y a 273 reussites totales,\\ - avec la technique $B$ il y a 289 reussites totales,\\ Trouver le pourcentage de reussite concernant chacune des 2 techniques.\\ Pourtant si on prend en compte la grosseur des calculs, on obtient :\\ - sur les 350 patients op\'er\'es avec la technique $A$ il avait 263 gros calculs avec 192 reussites et 87 petits calculs avec 81 reussites,\\ - sur les 350 patients op\'er\'es avec la technique $B$ il avait 80 gros calculs avec 55 reussites et 270 petits calculs avec 234 reussites.\\ Trouver le pourcentage de reussite concernant les gros calculs pour chacune des 2 techniques.\\ Trouver le pourcentage de reussite concernant les petits calculs pour chacune des 2 techniques.\\ Pourquoi les r\'esultats trouv\'es sont-ils paradoxaux? {\bf Solution} Le pourcentage de reussite de la technique $A$ est de $273/350=78\%$ et \\ le pourcentage de reussite de la technique $B$ est de $289/350\simeq 826\%$.\\ La technique $B$ semble meilleure que la technique $A$ puisque :\\ $.826\%\geq 78\%$\\ Pour les gros calculs :\\ Le pourcentage de reussite de la technique $A$ est de $192/263=73\%$ et \\ le pourcentage dereussite de la technique $B$ est de $55/80\simeq 69\%$.\\ Cette fois les r\'esultats sont invers\'es :\\ Pour les gros calculs, la technique $A$ semble meilleure que la technique $B$ puisque : $.73\%\geq 69\%$\\ Pour les petits calculs :\\ Le pourcentage de reussite de la technique $A$ est de $81/87=93\%$ et \\ le pourcentage dereussite de la technique $B$ est de $234/270\simeq 87\%$.\\ Cette fois les r\'esultats sont encore invers\'es :\\ Pour les petits calculs, la technique $A$ semble meilleure que la technique $B$ puisque : $.93\%\geq 87\%$\\ {\bf Conclusion} Pour avoir un r\'esultat fiable, il faudrait avoir le m\^eme nombre de patients ayant des gros (resp petits) calculs qui soient op\'er\'es avec destechniques diff\'erentes et comparer alors les pourcentage de reussite.\\ Par exemple, si on op\`ere, avec une technique, un seul patient, si c'est une reussite peut-on dire que le pourcentage de reussite est de $100\%$ ?\\ Il semble ici que la technique $A$ est plut\^ot r\'ealis\'ee pour les gros calculs et la technique $B$ est plut\^ot r\'ealis\'ee pour les petits calculs car cette technique est peut-\^etre moins lourde pour la patient... \chapter{Probabilit\'es} \section{\'Equiprobabilit\'e}\index{alea}\index{rand}\index{min}\index{max}\index{trier} On jette 3 d\'es \`a 6 faces. On suppose que ces 3 d\'es ne sont pas pip\'es (i.e. il y a \'equiprobabilit\'e d'obtenir chaque face)\\ On ordonne par ordre croissant les 3 valeurs obtenues : $m,d,M$.\\ $A$ gagne si $M-md$.\\ On peut faire cela avec un programme en utilisant les fonctions :\\ {\tt alea} ou {\tt rand}, {\tt max} et {\tt min} de {\tt Xcas} :\\ {\tt a:=rand(6)+1;b:=rand(6)+1;c:=rand(6)+1;} donne les 3 valeurs obtenues\\ {\tt M:=max(a,b,c); m:=min(a,b,c);} calcule le maximum {\tt M} et le minimum {\tt m} de ces 3 valeurs,\\ {\tt d:=a+b+c-M-m;} calcule le terme m\'edian puisque $M+d+m=a+b+c$.\\ {\bf Remarque}\\ $M-mL2 alors S1:=S1+1; sinon S2:=S2+1; fsi; fpour; return(S1,S2,evalf(S1/2000,S2/2000)); }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt jeu(1)}\\ On obtient :\\ {\tt 670,1330,0.335,0.665}\\ On tape :\\ {\tt jeu(2)}\\ On obtient :\\ {\tt 672,1328,0.336,0.664}\\ On tape :\\ {\tt jeu(3)}\\ On obtient :\\ {\tt 658,1342,0.329,0.671}\\ On tape :\\ {\tt jeu(4)}\\ On obtient :\\ {\tt 659,1341,0.3295,0.6705}\\ {\bf Variante1 : le jeu1}\\ Pour chacun des choix cherchons l'esp\'erance du gain $G(j,k)$ du joueur jouant avec le d\'e $de_j$ quand sont adversaire joue avec le d\'e $de_k$.\\ Si $X_j$ est la variable al\'eatoire \'egale \`a la valeur du lancer du $de_j$ Pour le jeu avec $de1$ et $de2$, le $de$2 gagne. Voici les esp\'erances des gains :\\ $E(G(1,2))=5*P(X1=5\cap X_2=2)=5/2*2/3=5/3$\\ $E(G(2,1)=2*P((X_1=1\cap X_2=2)+6*(X_2=6)=2*1/2*2/3+6*1/3=8/3$\\ Pour le jeu avec $de2$ et $de3$, le jeu est \'equitable. Voici les esp\'erances des gains :\\: $E(G(2,3))=6*P(X2=6)=6/3=2$\\ $E(G(3,2)=3*P((X_2=2)=3*2/3=2$\\ Pour le jeu avec $de3$ et $de4$, le $de4$ gagne. Voici les esp\'erances des gains :\\ $E(G(3,4))=3*P(X_4=0)=3*1/3=1$\\ $E(G(4,3)=4*P((X_4=4)=4*2/3=8/3$\\ Pour le jeu avec $de4$ et $de1$, le $de1$ gagne. Voici les esp\'erances des gains :\\ $E(G(4,1))=4*P(X_4=4\cap X_1=1))=4*2/3*1/2=4/3$\\ $E(G(1,4)=1*P(X_4=0\cap X_1=1)+5*P((X_1=5)=1/3*1/2+5*1/2=8/3$\\ Pour le jeu avec $de3$ et $de1$, le $de1$ gagne. Voici les esp\'erances des gains :\\ $E(G(3,1))=3*P(X_1=1)=3*1/2=3/2$\\ $E(G(1,3)=5*P(X_1=5)=5*1/2=5/2$\\ Pour le jeu avec $de4$ et $de2$, le $de2$ gagne. Voici les esp\'erances de gain :\\ $E(G(4,2))=4*P(X_4=4\cap X_2=2))=4*2/3*2/3=16/9$ $E(G(2,4)=2*P(X_4=0\cap X_2=2)+6*P((X_2=6)=2*1/3*2/3+6*1/3=22/9$\\ Si votre adversaire choisi :\\ le $de1$ il faut encore choisir le $de2$,\\ le $de2$ il faut encore choisir le $de3$ et alors le jeu est \'equitable,\\ le $de3$ il faut encore choisir le $de4$, \\ le $de4$ il faut encore choisir le $de1$,\\ On peut simuler ce jeu avec {\tt Xcas}, on tape : \begin{verbatim} lancer(n):={ switch(n){ case 1:{si rand(2)==0 alors return 5; sinon return 1; fsi;break;} case 2:{si rand(3)==2 alors return 6; sinon return 2; fsi;break;} case 3:{return 3;break;} case 4:{si rand(3)==0 alors return 0; sinon return 4; fsi;break;} }; }:; jeu1(a,b):={ local S1,S2,j,L1,L2; //b:=a+1; si b==5 alors b:=1; fsi; S1:=0; S2:=0; pour j de 1 jusque 2000 faire L1:=lancer(a); L2:=lancer(b); si L1>L2 alors S1:=S1+L1; sinon S2:=S2+L2; fsi; fpour; return(S1,S2,evalf(S1/2000,S2/2000)); }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt jeu1(1,2),[5/3,8/3]}\\ On obtient :\\ {\tt 3275,5486,1.6375,2.743, [1.66666666667,2.66666666667]}\\ On tape :\\ {\tt jeu1(2,3),[2,2]}\\ On obtient :\\ {\tt 4020,3990,2.01,1.995,[2,2]}\\ On tape :\\ {\tt jeu1(3,4),[1,8/3.]}\\ On obtient :\\ {\tt 2073,5236,1.0365,2.618,[1,2.66666666667]}\\ On tape :\\ {\tt jeu1(4,1),[4/3.,8/3.]}\\ On obtient :\\ {\tt 2596,5423,1.298,2.7115,[1.33333333333,2.66666666667]}\\ On tape :\\ {\tt jeu1(3,1),[3/2.,5/2.]}\\ On obtient :\\ {\tt 3096,4840,1.548,2.42,[1.5.,2.5]}\\ On tape :\\ {\tt jeu1(4,2),[16/9.,22/9.]}\\ On obtient :\\ {\tt 3624,4744,1.812,2.372,[1.77777777778,2.44444444444]} {\bf Variante2 : le jeu2}\\ On joue avec 2 d\'es : le joueur $A$ joue avec les d\'es $de1$ et $de3$ et le joueur $B$ joue avec les d\'es $de2$ et $de4$.\\ On peut simuler ce jeu avec {\tt Xcas}, on tape : \begin{verbatim} lancer(n):={ switch(n){ case 1:{si rand(2)==0 alors return 5; sinon return 1; fsi;break;} case 2:{si rand(3)==2 alors return 6; sinon return 2; fsi;break;} case 3:{return 3;break;} case 4:{si rand(3)==0 alors return 0; sinon return 4; fsi;break;} }; }:; jeu2():={ local SA,SB,j,LA,LB,GA,GB; SA:=0; SB:=0; GA:=0; GB:=0; pour j de 1 jusque 2000 faire LA:=lancer(1)+lancer(3); LB:=lancer(2)+lancer(4); si LA>LB alors SA:=SA+1; GA:=GA+LA; sinon SB:=SB+1; GB:=GB+LB; fsi; fpour; return(SA,SB,evalf(SA/2000,SB/2000),GA,GB,evalf(GA/2000,GB/2000)); }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt jeu2()}\\ On obtient :\\ {\tt [969,1031,0.4845,0.5155],[6944,8090,3.472,4.045]}\\ On tape :\\ {\tt jeu2()}\\ On obtient :\\ {\tt [993,1007,0.4965,0.5035],[7076,7854,3.538,3.927]}\\ Si on fait le calcul, le jeu est \'equitable lorsque celui qui fait le meilleur score augmente son total de 1 point ($1/9+7/18=1/2$, $5/18+4/18=1/2$) et sinon le gagnant est $B$ car :\\ $E(GA)=4*(1/2*2/9)+8*(1/2*7/9)=32/9 \simeq 3.55555555556$ et\\ $E(GB)=6*(1/2*5/9)+10*2/9=35/9 \simeq 3.88888888889$ \section{La loterie "illico SOLITAIRE" et le tableur} La loterie "illico SOLITAIRE" consiste \`a acheter, pour 2 euros, un ticket faisant partie d'un bloc de 750 000 tickets. Pour ce bloc il y a : \begin{verbatim} 100000 lots de 2 euros 83000 lots de 4 euros 20860 lots de 6 euros 5400 lots de 12 euros 8150 lots de 20 euros 400 lots de 150 euros 15 lots de 1000 euros 2 lots de 15000 euros \end{verbatim} Calculer \`a l'aide de {\tt Xcas} :\\ La probabilit\'e de gagner une somme sup\'erieure ou \'egale \`a 500 euros Mettre les donn\'ees dans le tableur de {\tt Xcas} et faites apparaitre : \begin{itemize} \item le nombre de tickets gagnants \item la valeur en euros de tous les tickets gagnants \item la moyenne des gains \item le pourcentage de tickets gagnants \end{itemize} Combien avez-vous de chances de gagner ? (gagner signifiant avoir un lot sup\'erieur \`a sa mise)\\ Ce jeu vous parait-il \'equitable ?\\ {\bf La solution}\\ Dans la colonne $A$ on met le nombre de tickets gagnants et dans la colonne $B$ la valeur en euros de ces tickets.\\ On tape donc dans $A_0$ 100000 et dans $B0$ 2 etc...\\ Le nombre de tickets gagnant est la somme : $A_0+A_1+... A_{10}$. Pour cela on remplit la colonne $C$ et on met :\\ dans $C_0$ : $A_0$\\ dans $C_1$ : $=C_0+A_1$\\ et on remplit vers le bas.\\ En $C_7$ on lit 217827, ce qui repr\'esente le nombre de tickets gagnants.\\ Pour avoir la somme des lots de tous les tickets gagnants, on remplit la colonne $D$ et on met :\\ dans $D_0$ : $A_0*B_0$\\ dans $D_1$ : $=D0+A_1*B_1$\\ et on remplit vers le bas.\\ En $D_7$ on lit 989960, ce qui repr\'esente la valeur en euros de tous les tickets gagnants.\\ La moyenne des gains est \'egale \`a : \\ 989960/750000.=1.31994666667 euros\\ Le pourcentage de tickets gagnants est \'egale \`a :\\ {\tt evalf(217827/750000)} soit 0.290436.\\ Ce pourcentage est sup\'erieur \`a 0.25 donc il y a plus d'une chance sur 4 d'avoir un ticket gagnant. MAIS, il y a 100000 tickets gagnants de 2 euros, soit des tickets qui repr\'esentent pour le parieur un gain nul ! \\ Donc le pourcentage de tickets gagnants un lot sup\'erieur \`a sa mise est \'egale \`a :\\ {\tt evalf(117827/750000)} soit 0.157102666667.\\ On peut donc dire que le parieur \`a 15.7102666667 chances sur 100 de gagner plus que sa mise de 2 euros.\\ Celui qui organise cette loterie, si il vend tous les tickets du bloc, gagne :\\ {\tt 750000*2- 989960} soit 510040 euros !\\ Soit $X$ la variable al\'eatoire \'egale au gain possible.\\ $X$ peut prendre les valeurs :\\ -2 avec une probabilit\'e de $1-217827/750000=177391/250000$\\ 0 avec une probabilit\'e de $100000/750000=2/15$\\ 2 avec une probabilit\'e de $83000/750000=83/750$\\ 4 avec une probabilit\'e de $20860/750000=1043/37500$\\ 10 avec une probabilit\'e de $5400/750000=9/1250$\\ 18 avec une probabilit\'e de $8150/750000=163/15000$\\ 148 avec une probabilit\'e de $ 400/750000=1/1875$\\ 998 avec une probabilit\'e de $15 /750000=1/50000$\\ 14998 avec une probabilit\'e de $2/750000=1/375000$\\ Donc l'esp\'erance de $X$ est donc \'egale \`a :\\ $E(X)=-2*177391/250000+2*83/750+4*1043/37500+10*9/1250+18*163/15000+ 148*1/1875+998*1/50000+14998*1/375000=-12751/18750\simeq -0.680053333333$ Donc l'esp\'erance de gain est une perte de 0.68 euros.\\ 0n retrouve le r\'esultat pr\'ec\'edent puisque on mise 2 euros et que la moyenne des gains est \'egale \`a 989960/750000 euros ($\simeq 1.31994666667$) euros, soit une perte moyenne (989960/750000-2)=-12751/18750 euros soit environ de -0.68 euros. \section{La loterie "CAS-H illico" et le tableur} La loterie "CAS-H illico" consiste \`a acheter, pour 5 euros, un ticket faisant partie d'un bloc de 15 000 000 tickets. Pour ce bloc il y a : \begin{verbatim} 1560000 tickets gagnants de 5 euros 1760000 tickets gagnants de 10 euros 375000 tickets gagnants de 20 euros 112500 tickets gagnants de 50 euros 112500 tickets gagnants de 100 euros 3750 tickets gagnants de 500 euros 1800 tickets gagnants de 1000 euros 40 tickets gagnants de 5000 euros 5 tickets gagnants de 10000 euros 3 tickets gagnants de 100000 euros 3 tickets gagnants de 500000 euros \end{verbatim} Calculer \`a l'aide de {\tt Xcas} :\\ La probabilit\'e de gagner une somme sup\'erieure ou \'egale \`a 500 euros Mettre les donn\'ees dans le tableur de {\tt Xcas} et faites apparaitre : \begin{itemize} \item le nombre de tickets gagnants \item la valeur en euros de tous les tickets gagnants \item la moyenne des gains \item le pourcentage de tickets gagnants \end{itemize} Voici la publicit\'e de la loterie "CAS-H illico" :\\ "Plus d'1 chance sur 4 de gagner !"\\ Qu'en pensez-vous ?\\ Ce jeu vous parait-il \'equitable ?\\ {\bf La solution}\\ Dans la colonne $A$ on met le nombre de tickets gagnants et dans la colonne $B$ la valeur en euros de ces tickets.\\ On tape donc dans $A_0$ 1560000 et dans $B0$ 5 etc...\\ Le nombre de tickets gagnant est la somme : $A_0+A_1+... A_{10}$. Pour cela on remplit la colonne $C$ et on met :\\ dans $C_0$ : $A_0$\\ dans $C_1$ : $=C_0+A_1$\\ et on remplit vers le bas.\\ En $C_{10}$ on lit 3925601, ce qui repr\'esente le nombre de tickets gagnants.\\ Pour avoir la somme des lots de tous les tickets gagnants, on remplit la colonne $D$ et on met :\\ dans $D_0$ : $A_0*B_0$\\ dans $D_1$ : $=D0+A_1*B_1$\\ et on remplit vers le bas.\\ En $D_{10}$ on lit 55500000, ce qui repr\'esente la valeur en euros de tous les tickets gagnants.\\ La moyenne des gains est \'egale \`a : \\ 55500000/15000000=37/10=3.7 euros\\ Le pourcentage de tickets gagnants est \'egale \`a :\\ {\tt evalf(3925601/15000000)} soit 0.261706733333.\\ Ce pourcentage est sup\'erieur \`a 0.25 donc il y a plus d'une chance sur 4 d'avoir un ticket gagnant. MAIS, il y a 1560000 tickets gagnants de 5 euros, soit des tickets qui repr\'esentent pour le parieur un gain nul ! \\ Puisque 1-0.261706733333=0.738293266667, on peut donc dire que le parieur \`a 73.8293266667 chances sur 100 de perdre 5 euros\\ Puisque 1560000/15000000.=0.104, on peut donc dire que le parieur \`a 10.4 chances sur 100 de ne rien gagner et de ne rien perdre.\\ Le pourcentage de tickets gagnants une somme sup\'erieure strictement \`a 5 euros est \'egale \`a :\\ {\tt evalf((3925601-1560000)/15000000)} soit 0.157706733333.\\ On peut donc dire que le parieur \`a 15.7706733333 chances sur 100 de gagner plus que sa mise de 5 euros.\\ Celui qui organise cette loterie, si il vend tous les tickets du bloc, gagne :\\ {\tt 15000000*5-55500000} soit 19500000 euros !\\ Soit $X$ la variable al\'eatoire \'egale au gain possible.\\ $X$ peut prendre les valeurs :\\ -5 avec une probabilit\'e de $1-3925601/15000000=11074399/15000000$\\ 0 avec une probabilit\'e de $1560000/15000000=13/125$\\ 5 avec une probabilit\'e de $1760000/15000000=44/375$\\ 15 avec une probabilit\'e de $375000/15000000=1/40$\\ 45 avec une probabilit\'e de $112500/15000000=3/400$\\ 95 avec une probabilit\'e de $112500/15000000=3/400$\\ 495 avec une probabilit\'e de $ 3750/15000000=1/4000$\\ 995 avec une probabilit\'e de $1800 /15000000=3/25000$\\ 4995 avec une probabilit\'e de $40/15000000=1/375000$\\ 9995 avec une probabilit\'e de $5/15000000=1/3000000$ 99995 avec une probabilit\'e de $3/15000000=1/5000000$\\ 499995 avec une probabilit\'e de $3/15000000=1/5000000$\\ Donc l'esp\'erance de $X$ est donc \'egale \`a :\\ $E(X)=-5*11074399/15000000+5*44/375+15*1/40+45*3/400+95*3/400+ 495*1/4000+995*3/25000+4995*1/375000+9995*1/3000000+99995*1/5000000+ 499995*1/5000000=-13/10$ Donc l'esp\'erance de gain est une perte de 1.30 euros.\\ 0n retrouve le r\'esultat pr\'ec\'edent puisque on mise 5 euros et que la moyenne des gains est \'egale \`a 3.7 euros, soit une perte moyenne de -1.30 euros. \section{La loterie "500000 CARATS illico" et le tableur} La loterie "500000 CARATS illico" consiste \`a acheter, pour 5 euros, un ticket faisant partie d'un bloc de 8 016 000 tickets. Pour ce bloc il y a 2 055 464 tickets gagnants : \begin{verbatim} 704300 tickets gagnants de 5 euros 1030000 tickets gagnants de 10 euros 200000 tickets gagnants de 15 euros 40000 tickets gagnants de 50 euros 80160 tickets gagnants de 100 euros 1000 tickets gagnants de 1000 euros 2 tickets gagnants de 10000 euros 2 tickets gagnants de 500000 euros \end{verbatim} Calculer \`a l'aide de {\tt Xcas} :\\ La probabilit\'e de gagner une somme sup\'erieure ou \'egale \`a 500 euros Mettre les donn\'ees dans le tableur de {\tt Xcas} et faites apparaitre : \begin{itemize} \item le nombre de tickets gagnants \item la valeur en euros de tous les tickets gagnants \item la moyenne des gains \item le pourcentage de tickets gagnants \end{itemize} Voici la publicit\'e de la loterie "CAS-H illico" :\\ "Une chance sur 4 de gagner !"\\ Qu'en pensez-vous ?\\ Ce jeu vous parait-il \'equitable ?\\ {\bf La solution}\\ Dans la colonne $A$ on met le nombre de tickets gagnants et dans la colonne $B$ la valeur en euros de ces tickets.\\ On tape donc dans $A_0$ 704300 et dans $B0$ 5 etc...\\ Le nombre de tickets gagnant est la somme : $A_0+A_1+... A_{10}$. Pour cela on remplit la colonne $C$ et on met :\\ dans $C_0$ : $A_0$\\ dans $C_1$ : $=C_0+A_1$\\ et on remplit vers le bas.\\ En $C_{10}$ on lit 2055464, ce qui repr\'esente le nombre de tickets gagnants.\\ Pour avoir la somme des lots de tous les tickets gagnants, on remplit la colonne $D$ et on met :\\ dans $D_0$ : $A_0*B_0$\\ dans $D_1$ : $=D0+A_1*B_1$\\ et on remplit vers le bas.\\ En $D_7$ on lit 28857500, ce qui repr\'esente la valeur en euros de tous les tickets gagnants.\\ La moyenne des gains est \'egale \`a : \\ 28857500/8016000=37/10=3.59998752495 euros\\ Le pourcentage de tickets gagnants est \'egale \`a :\\ {\tt evalf(2055464/8016000)} soit 0.256420159681.\\ Ce pourcentage est sup\'erieur \`a 0.25 donc il y a plus d'une chance sur 4 d'avoir un ticket gagnant. MAIS, il y a 704300 tickets gagnants de 5 euros, soit des tickets qui repr\'esentent pour le parieur un gain nul ! \\ Puisque 1-0.256420159681=0.743579840319, on peut donc dire que le parieur \`a 74.3579840319 chances sur 100 de perdre 5 euros\\ Puisque 704300/8016000.=0.0878617764471, on peut donc dire que le parieur \`a 8.78 chances sur 100 de ne rien gagner et de ne rien perdre.\\ Le pourcentage de tickets gagnants une somme sup\'erieure strictement \`a 5 euros est \'egale \`a :\\ {\tt evalf((2055464-704300)/8016000)} soit 0.168558383234.\\ On peut donc dire que le parieur \`a 16.8558383234 chances sur 100 de gagner plus que sa mise de 5 euros.\\ Celui qui organise cette loterie, si il vend tous les tickets du bloc, gagne :\\ {\tt 8016000*5-28857500} soit 40080000-28857500=11222500 euros !\\ Soit $X$ la variable al\'eatoire \'egale au gain possible.\\ $X$ peut prendre les valeurs :\\ -5 avec une probabilit\'e de $1-2055464/8016000=745067/1002000$\\ 0 avec une probabilit\'e de $704300/8016000=7043/80160$\\ 5 avec une probabilit\'e de $1030000/8016000=515/4008$\\ 10 avec une probabilit\'e de $200000/8016000=25/1002$\\ 45 avec une probabilit\'e de $40000/8016000=5/1002$\\ 95 avec une probabilit\'e de $80160/8016000=1/100$\\ 995 avec une probabilit\'e de $1000/8016000=1/8016$\\ 9995 avec une probabilit\'e de $2/8016000=1/4008000$ 499995 avec une probabilit\'e de $2/8016000=1/4008000$\\ Donc l'esp\'erance de $X$ est donc \'egale \`a :\\ $E(X)=-5*745067/1002000+5*515/4008+10*25/1002+45*5/1002+95*1/100+ 995*1/8016+9995*1/4008000+499995*1/4008000=-22445/16032\simeq -1.4$ Donc l'esp\'erance de gain est une perte de 1.40 euros.\\ 0n retrouve le r\'esultat pr\'ec\'edent puisque on mise 5 euros et que la moyenne des gains est \'egale \`a 3.59998752495 euros euros, soit une perte moyenne de -1.40 euros. \section{Pour comprendre l'\'ecart type} \subsection{Un exercice} Le comit\'e des f\^etes d'un village veut organiser une loterie en \'emettant 1000 billets \`a 2 euros.\\ {\bf A}\\ Le comit\'e des f\^etes h\'esite entre 3 possibilit\'es quand aux lots possibles :\\ \begin{enumerate} \item il y a 10 billets qui gagnent 102 euros \item il y a 43 billets qui gagnent 3,4,..32,33,33,34,...44 euros \item il y a 100 billets qui gagnent 10.2 euros \end{enumerate} Soient $X_1,X_2,X_3$ les variables al\'eatoires \'egales au gain (en euros) du joueur qui ach\'ete 1 billet pour chacune des 3 possibilit\'es.\\ Pour chacune des 3 possibilit\'es calculer la moyenne et l'\'ecart type de cette variable al\'eatoire.\\ {\bf B}\\ Apr\`es un sondage Le comit\'e des f\^etes d\'ecide d'opter pour la premi\`ere solution :\\ sur 1000 billets \`a 2 euros il y a 10 billets qui gagnent 102 euros.\\ \begin{enumerate} \item 2 amis d\'ecident d'acheter ensemble 2 billets et de se partager les gains car ils estiment qu'il auront plus de chances de gagner. Est-ce vrai ?\\ Soit $X_4$ la variable al\'eatoire \'egales au gain (en euros) d'un des 2 amis. Calculer la moyenne et l'\'ecart type de cette variable al\'eatoire $X_4$. \item m\^eme question pour $n$ ($n=2..1000)$ amis d\'ecident d'acheter ensemble $n$ billets et de se partager les gains \item Les comit\'es des f\^etes de 100 villages organisent le m\^eme type de loterie: 1000 billets de 2 euros avec 10 lots de 102 euros. Un habitant d'un village voisin d\'ecide de miser : \begin{itemize} \item 20 euros\\ A-t-il inter\^et \`a acheter les billets de loterie d'un m\^eme village ou des billets de loterie de villages tous diff\'erents ? Calculer pour chacun des cas la moyenne et l'\'ecart type de ces gains. \item 200 euros\\ M\^eme question. Faire un graphique qui compare les probabilit\'e d'avoir $k$ ($k=0..10$) billets gagnants sur les 100 billets achet\'es. \end{itemize} \end{enumerate} \subsection{La solution de A} \begin{itemize} \item il y a 10 billets qui gagnent 102 euros $X_1$ peut prendre 2 valeurs :\\ -2 avec la probabilit\'e de 99/100 ou \\ 100 (102-2=100) avec la probabilit\'e de 1/100 $simeq$ 0.01.\\ Donc pour calculer la moyenne $m_1=E(X_1)$, on tape :\\ {\tt m1:=-2*99/100+100*1/100}\\ On obtient :\\ {\tt -49/50}$\simeq$ {\tt -0.98}\\ Donc pour calculer l'\'ecart type $\sigma(X_1)$, on tape :\\ {\tt sqrt((-2-m1)\verb|^|2*99/100+(100-m1)\verb|^|2*1/100)}\\ On obtient :\\ {\tt 7650*sqrt(11)/2500}$\simeq$ {\tt 10.1488718585} \item il y a 43 billets qui gagnent 3,4,..32,33,33,34,...44 euros $X_2$ peut prendre 43 valeurs :\\ -2 avec la probabilit\'e de 957/1000 ou \\ 1,2..30 avec la probabilit\'e de 1/1000\\ 31 (33-2=31) avec la probabilit\'e de 2/1000\\ 32..42 avec la probabilit\'e de 1/1000\\ Donc pour calculer la moyenne $m_2=E(X_2)$, on tape :\\ {\tt m2:=-2*957/1000+sum(n,n=1..30)*1/1000+31*2/1000+\\ sum(n,n=32..42)*1/1000}\\ On obtient :\\ {\tt -49/50}$\simeq$ {\tt -0.98}\\ Donc pour calculer l'\'ecart type $\sigma(X_2)$, on tape :\\ {\tt sqrt((-2-m2)\verb|^|2*957/1000+sum((n-m2)\verb|^|2,n=1..30)*1/1000+\\ (31-m2)\verb|^|2*2/1000+sum((n-m2)\verb|^|2,n=32..42)*1/1000)}\\ On obtient :\\ {\tt 25*sqrt(73534)/1250}$\simeq$ {\tt 5.42343064858} \item il y a 100 billets qui gagnent 10.2 euros $X_3$ peut prendre 2 valeurs : \\ -2 avec la probabilit\'e de 9/10 ou\\ 8.2 (10.2-2=8.2) avec la probabilit\'e de 1/10 Donc pour calculer la moyenne $m_3=E(X_3)$, on tape :\\ {\tt m3:=-2*9/10+8.2*1/10}\\ On obtient :\\ {\tt -0.98}\\ Donc pour calculer l'\'ecart type $\sigma(X_3)$, on tape :\\ {\tt sqrt((-2-m3)\verb|^|2*9/10+(8.2-m3)\verb|^|2*1/10)}\\ On obtient :\\ {\tt 3.06} \end{itemize} On remarque que dans les 3 cas les moyennes sont les m\^emes mais par contre les \'ecarts types sont diff\'erents : ils sont de plus en plus petits au fur et \`a mesure que l'on a plus de chances d'avoir un billet gagnant en effet \`a moyenne \'egale si on a plus de chances d'avoir un billet gagnant c'est que le gain est plus petit et donc l'\'ecart des gains \`a la moyenne est plus petit car l'\'ecart type r\'esume les \'ecarts entre chaque r\'esultat possible et la valeur moyenne.\\ Dans tous les 3 cas la vente de tous les billets rapportera au comit\'e des f\^etes la somme de 980 euros. Mais que faut-il pr\'ef\'erer peu de gros lots ou beaucoup de petits lots ? \`A vous de choisir !!!!\\ \subsection{La solution de B} Sur 1000 billets \`a 2 euros il y a 10 billets qui gagnent 102 euros.\\ \begin{enumerate} \item 2 amis d\'ecident d'acheter ensemble 2 billets et de se partager les gains.\\ Soit $X_4$ la variable al\'eatoire\'egale au gain obtenu par l'un d'eux, $X_4$ peut prendre les valeurs :\\ \begin{itemize} \item -2 avec la probabilt\'e :\\ {\tt comb(990,2)/comb(1000,2)}$\simeq$ 0.98009009009 \item (102-4)/2=49 avec la probabilt\'e :\\ {\tt comb(990,1)*comb(10,1)/comb(1000,2)}$\simeq$ 0.0198198198198 \item 100 avec la probabilt\'e :\\ {\tt comb(10,2)/comb(1000,2)}$\simeq$ 9.00900900901e-05 \end{itemize} Donc pour $n=2$\\ En misant 2 euros on a une chance de gagner en se mettant \`a 2, avec une probabilit\'e de 0.0199099099099 (au lieu de 0.01) mais le gain risque d\^etre moins important ! Pour calculer la moyenne $m_4=E(X_4)$, on tape :\\ {\tt m4:=(-2*comb(990,2)+49*comb(990,1)*comb(10,1)+\\ 100*comb(10,2))/comb(1000,2)}\\ On obtient encore la m\^eme moyenne :\\ {\tt -49/50}$\simeq$ -0.98\\ Pour calculer l'\'ecart type $\sigma(X_4)$, on tape :\\ {\tt sqrt(((-2-m4)\verb|^|2*comb(990,2)+(49-m4)\verb|^|2*comb(990,1)*\\comb(10,1)+(100-m4)\verb|^|2*comb(10,2))/comb(1000,2))}\\ On obtient :\\ {\tt 850*sqrt(609279)/92500}$\simeq$ 7.17274345342.\\ \item $n$ amis d\'ecident d'acheter ensemble $n$ billets et de se partager les gains.\\ Ce qu'il faut comprendre c'est que si $n$ ($n\leq 1000$) parieurs d\'ecident de partager le gain provenant des $n$ billets de cette loterie, l'esp\'erance de gain d'un joueur sera toujours de -0.98 (c'est \`a dire une perte de -0.98 euros) mais l'\'ecart type sera de plus en plus petit au fur et \`a mesure que $n$ augmente : le cas limite \'etant $n=1000$ avec un gain s\^ur de -0.98 euros et donc un \'ecart type nul. {\bf La solution de B pour $n=2..1000$ avec un programme}\\ On doit regarder 3 cas diff\'erents : \begin{itemize} \item $1<=n<=10$\\ Dans ce cas le nombre $p$ de billets gagnants peut \^etre $0,1..n$ \item $11<=n<=990$\\ Dans ce cas le nombre $p$ de billets gagnants peut \^etre $0,1..10$ \item $991<=n<=1000$\\ Dans ce cas le nombre $p$ de billets gagnants peut \^etre $n-990..10$ \end{itemize} On tape pour calculer dans chacun de ces cas la moyenne et l'\'ecart type de la variable al\'eatoire \'egale au gain d'un parieur :\\ \begin{verbatim} msigma(n):={ local p,m,sigma2; m:=0; sigma2:=0; si n<=10 alors pour p de 0 jusque n faire m:=m+(102*p-2*n)/n*comb(990,n-p)*comb(10,p)/comb(1000,n); fpour; pour p de 0 jusque n faire sigma2:=sigma2+((102*p-2*n)/n-m)^2*comb(990,n-p)* comb(10,p)/comb(1000,n); fpour; sinon si n<=990 alors pour p de 0 jusque 10 faire m:=m+(102*p-2*n)/n*comb(990,n-p)*comb(10,p)/comb(1000,n); fpour; pour p de 0 jusque 10 faire sigma2:=sigma2+((102*p-2*n)/n-m)^2*comb(990,n-p)* comb(10,p)/comb(1000,n); fpour; sinon pour p de n-990 jusque 10 faire m:=m+(102*p-2*n)/n*comb(990,n-p)*comb(10,p)/comb(1000,n); fpour; pour p de n-990 jusque 10 faire sigma2:=sigma2+((102*p-2*n)/n-m)^2*comb(990,n-p)* comb(10,p)/comb(1000,n); fpour; fsi; fsi; retourne [m,sqrt(sigma2)]; }:; \end{verbatim} Pour $n$ fix\'e, on appelle $mn$ la moyenne et $sn$ l'\'ecrat type et on trace les points d'abscisse $n$ et d'ordonn\'ee $sn/mn$ (c'est le coefficient de dispersion) : \begin{verbatim} gmsigma():={ local L,n,msn,mn,sn; L:=NULL; pour n de 1 jusque 1000 faire msn:=msigma(n);mn:=evalf(msn[0]);sn:=evalf(msn[1]); L:=L,point(n,sn/mn,affichage=1); fpour; retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt gmsigma()}\\ On obtient le coefficient de dispersion en fonction de $n$ :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{ecartype}\\ \item Les comit\'es des f\^etes de 100 villages organisent le m\^eme type de loterie : 1000 billets de 2 euros avec 10 lots de 102 euros. \begin{itemize} \item Un habitant d'un village voisin d\'ecide de miser 20 euros\\ Si il ach\`ete 10 billets de la loterie du m\^eme village :\\ Soit $X_5$ la variable al\'eatoire \'egale au gain du parieur.\\ $X_5$ a 11 valeurs possibles qui sont : $102*k-20$ pour $k=0..10$\\ Chacune de ces valeurs a une probabilit\'e \`egale \`a :\\ {\tt comb(10,k)*comb(990,10-k)/comb(1000,10)} pour $k=0..10$\\ On tape :\\ {\tt V5:=[(102*k-20)\$(k=0..10)]}\\ On obtient:\\ {\tt [-20,82,184,286,388,490,592,694,796,898,1000]}\\ On tape :\\ {\tt P5:=[(comb(10,k)*comb(990,10-k)/comb(1000,10))\$(k=0..10)]}\\ On obtient pour {\tt evalf(P5,4)} :\\ {\tt [0.904,0.09215,0.0038,8.248e-05,1.027e-06,7.505e-09,3. 172e-11,7.345e-14,8.363e-17,3.758e-20,3.796e-24]}\\ La moyenne $m_5$ vaut :\\ {\tt moyenne(V5,P5)} soit {\tt -49/5}\\ L'\'ecart type $\sigma_5$ vaut :\\ {\tt ecart\_type(V5,P5)} soit {\tt 2805*sqrt(111)/925}$\simeq$ 31.948658137 Si il ach\`ete 10 billets de la loterie de 10 villages diff\'erents :\\ Chaque billet \`a une probabilit\'e de 1/100 d\^etre gagnant car les 10 tirages sont ind\'ependants : il s'agit alors de la loi binomiale $B(10,1/100)$. Soit $X_6$ la variable al\'eatoire \'egale au gain du parieur.\\ $X_6$ a 11 valeurs possibles : les m\^emes que $X_5$ et donc :\\ {\tt V6:=V5}\\ Chacune de ces valeurs a une probabilit\'e \`egale \`a :\\ {\tt binomial(10,k,1/100)=comb(10,k)*(1/100)\verb|^|k*(99/100)\verb|^|(10-k)} On tape pour vair la probabilit\'e des 11 premi\`eres valeurs :\\ {\tt P6:=[binomial(10,k,1/100)\$(k=0..10)]}\\ On obtient pour {\tt evalf(P5,4)} :\\ {\tt [0.9044,0.09135,0.004152,0.0001118,1.977e-06,2.396e-08, 2.017e-10,1.164e-12,4.41e-15,9.9e-18,1e-20]} La moyenne $m_6$ vaut :\\ {\tt moyenne(V6,P6)} soit {\tt -49/5}\\ L'\'ecart type $\sigma_6$ vaut :\\ {\tt ecart\_type(V6,P6)} soit {\tt 765*sqrt(110)/250}$\simeq$ 32.093550754\\ \item Un habitant d'un village voisin d\'ecide de miser 200 euros\\ Il ach\`ete 100 billets de la loterie du m\^eme village :\\ Soit $X_7$ la variable al\'eatoire \'egale au gain du parieur.\\ $X_7$ a 11 valeurs possibles qui sont : $102*k-200$ pour $k=0..10$\\ Chacune de ces valeurs a une probabilit\'e \`egale \`a :\\ {\tt comb(10,k)*comb(990,100-k)/comb(1000,100)} pour $k=0..10$\\ On tape :\\ {\tt V7:=[(102*k-200)\$(k=0..10)]}\\ On obtient:\\ {\tt [-200,-98,4,106,208,310,412,514,616,718,820]}\\ On tape :\\ {\tt P7:=[(comb(10,k)*comb(990,100-k)/comb(1000,100))\$(k=0..10)]}\\ On obtient pour {\tt evalf(P7,4)} :\\ {\tt [0.3469,0.3894,0.1945,0.05691,0.01081,0.001391,0.0001229,7.359e-06,2.858e-07,6.499e-09,6.572e-11]}\\ La moyenne $m_7$ vaut :\\ {\tt moyenne(V7,P7)} soit {\tt -98}\\ L'\'ecart type $\sigma_7$ vaut :\\ {\tt ecart\_type(V7,P7)} soit {\tt 102*sqrt(1221)/37}$\simeq$ 96.3288287235 Si il ach\`ete 100 billets de la loterie de 100 villages diff\'erents :\\ Chaque billet \`a une probabilit\'e de 1/100 d\^etre gagnant car les 100 tirages sont ind\'ependants : il s'agit alors de la loi binomiale $B(100,1/100)$. Soit $X_8$ la variable al\'eatoire \'egale au gain du parieur.\\ $X_8$ a 101 valeurs possibles car chaque billet peut gagner (bien que peu probable !) :\\ {\tt V8:=[(102*k-200)\$(k=0..101)]:;}\\ Chacune de ces valeurs a une probabilit\'e \`egale \`a :\\ {\tt binomial(100,k,1/100)} On tape :\\ {\tt P8:=[binomial(100,k,1/100)\$(k=0..101)]:;}\\ On obtient pour les 14 premi\`eres valeurs approch\'ees de {\tt evalf(P8,4)} :\\ {\tt [0.366,0.3697,0.1849,0.061,0.01494,0.002898,0.0004635,6.286e-05,7.382e-06,7.622e-07,7.006e-08,5.79e-09,4.338e-10,2.966e-11]]} La moyenne $m_8$ vaut :\\ {\tt moyenne(V8,P8)} soit {\tt -98}\\ L'\'ecart type $\sigma_8$ vaut :\\ {\tt ecart\_type(V8,P8)} soit {\tt 765*sqrt(11)/25}$\simeq$ 101.488718585\\ On compare les probabilit\'es d'avoir $k=0..10$ billets gagnants.\\ On tape :\\ {\tt [point(V7[k],P7[k],affichage=epaisseur\_point\_2)\$(k=0..10), point(V8[k],P8[k],affichage=1+point\_plus+epaisseur\_point\_2)\\ \$(k=0..10)]}\\ On obtient en rouge la loi binomiale :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{ecartbi} \end{itemize} \end{enumerate} %\section{Arbre pour mod\'eliser une exp\'erience al\'eatoire} %\chapter{Th\'eor\`eme de Thal\'es} %\section{Calcul d'une longueur} %\section{D\'emontrer que 2 droites sont parall\`eles} \chapter{Trigonom\'etrie-Angles-Polygones} \section{Longueur d'un c\^ot\'e d'un triangle rectangle}\index{pa2b2}\index{longueur}\index{segment}\index{triangle}\index{polygone}\index{plotparam} \subsection{Exercice 0} Soientt un rectangle $ABCD$ v\'erifiant $AB=10$ unit\'es et $BC=5$ unit\'es et $P$ le point tel que $5*\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{BC}$ La diagonale $AC$ coupe la parall\`ele \`a $AB$ passant par $P$ en $M$.\\ Calculer $AM$.\\ On fait la figure avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt rectangle(0,10,1/2)}\\ {\tt A:=point(0);B:=point(10)}\\ {\tt C:=point(10,5);D:=point(0,5)}\\ {\tt P:=point(10,3)}\\ {\tt s:=segment(A,C)}\\ {\tt d:=droite(y=3)}\\ {\tt M:=inter\_unique(s,d)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroispytag}\\ {\bf La solution}\\ On a :\\ $AM =\frac{3}{5}AC$\\ Il suffit donc de calculer $AC$ avec le th\'eor\`eme de Pythagore. On a :\\ $AC^2=AB^2+BC^2=100+25=125=25*5$\\ Donc :\\ $AC=5\sqrt 5$\\ Donc :\\ $AM=3\sqrt 5$ \subsection{Exercice 1} On peut montrer que si $p$ est un nombre premier qui a 1 comme reste lorsqu'on le divise par 4 alors il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $p=a^2+b^2$.\\ {\bf Application}\\ $p=61$, $p=153$.\\ Factoriser $n=388$ et d\'ecomposer $n$ en une somme de 2 carr\'es.\\ Construire avec un compas le triangle $ABC$ tel que $BC=a=\sqrt{388}$, , $AC=b=\sqrt{61}$, $AB=c=\sqrt{153}$.\\ D\'eterminer l'aire de $ABC$.\\ Inventer un exercice semblable \`a celui la.\\ {\bf La solution}\\ On v\'erifie que 61 et 153 sont premiers et ont 1 comme reste lorsqu'on les divise par 4 :\\ \begin{itemize} \item 61 n'est pas divisible par 2,3,5,7 et comme $11^2=121>61$ on en d\'eduit que 61 est un nombre premier.\\ 0n a : 61=4*15+1 \item 153 n'est pas divisible par 2,3,5,7,11 et comme $13^2=169>153$ on en d\'eduit que 153 est un nombre premier.\\ 0n a : 153=4*38+1 \end{itemize} On trouve par tatonnement que :\\ $61=25+36=5^2+6^2$\\ $153=9+144=3^2+12^2$\\ Ou bien on utilise la fonction {\tt pa2b2} de {\tt Xcas} qui fait cette d\'ecomposition. {\tt pa2b2(p)} renvoie la liste $[a,b]$ tel que $p=a^2+b^2$ On tape {\tt pa2b2(61)} et on obtient {\tt [6,5]}\\ On tape {\tt pa2b2(153)} et on obtient {\tt [12,3]}\\ On factorise 388, on tape :\\ {\tt factoriser\_entier(388)} et on obtient {\tt 2\verb|^|2*97}\\ On v\'erifie que 97 est premier et a 1 comme reste lorsqu'on le divise par 4 : 97 n'est pas divisible par 2,3,5,7 et comme $11^2=121>97$ on en d\'eduit que 97 est un nombre premier.\\ On a : 97=4*24+1.\\ Donc 97 se d\'ecompose en une somme de 2 carr\'es.\\ On trouve par tatonnement que :\\ $97=16+81=4^2+9^2$\\ Ou bien on tape {\tt pa2b2(97)} et on obtient {\tt [9,4]}\\ Donc $388=4*(4^2+9^2)=8^2+18^2$\\ Pour construire le triangle $ABC$, on sait d'apr\`es le th\'eor\`eme de Pythagore et les r\'esultats pr\'ec\'edent que : $BC=a=\sqrt{388}$ est l'hypoth\'enuse d'un triangle rectangle de c\^ot\'es de longueur 8 et 18,\\ $AC=b=\sqrt{61}$ est l'hypoth\'enuse d'un triangle rectangle de c\^ot\'es de longueur 5 et 6,\\ $AB=c=\sqrt{153}$ est l'hypoth\'enuse d'un triangle rectangle de c\^ot\'es de longueur 3 et 12.\\ On remarque que 8=5+3 et que 18=6+12, d'o\`u la construction dans un niveau de g\'eom\'etrie $2d$ : \begin{verbatim} B:=point(18); C:=point(0,8); A:=point(6,3); K:=point(3*i); J:=point(6); triangle (A,B,C); segment(A,6,affichage=2); segment(A,point(0,3),affichage=2); \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troistri}\\ On tape pour v\'erifier :\\ {\tt longueur2(B,C),longueur2(A,C),longueur2(A,B)}\\ On obtient :\\ {\tt 388,61,153}\\ L'aire du triangle $ABC$ se calcule facilement par diff\'erence :\\ aire de $OBC$ est \'egale \`a 18*8/2=72.\\ aire de $KAC$ est \'egale \`a 5*6/2=15.\\ aire de $OBAK$ est \'egale \`a 3*6+3*12/2=3*12=36.\\ Donc l'aire du triangle $ABC$ est \'egale \`a 72-15-36=21.\\ On v\'erifie avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt aire(triangle(A,B,C))}\\ On obtient :\\ {\tt 21}\\ Pour faire un exercice de m\^eme style, il faut choisir d'avoir la m\^eme configuration pour la construction du triangle $ABC$.\\ Par exemple, on choisit $B$ sur l'axe des $x$ et $C$ sur l'axe des $y$ tels que :\\ $OB=2+8=10$, $OC=1+5=6$.\\ Soient $A$ le point de coordonn\'ees (2,1) et $K$ le point de coordonn\'ees (0,1).\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troistri1}\\ On a alors :\\ $BC^2=100+36=136$\\ $AC^2=4+25=29$\\ $AB^2=1+64=65$\\ Les c\^ot\'es du triangle $ABC$ ont donc pour longueur :\\ $BC=\sqrt{136}$, $AC=\sqrt{29}$, $AB=\sqrt{65}$\\ On a :\\ aire de $OBC$ est \'egale \`a 10*6/2=30.\\ aire de $KAC$ est \'egale \`a 5*2/2=5.\\ aire de $OBAK$ est \'egale \`a 1*(2+8/2)=6.\\ Doncet l'aire du triangle $ABC$ est \'egale \`a 30-5-6=19. \subsection{Exercice 2} Soient dans le plan, un rectangle $ABCD$ et un point $M$ \`a l'int\'erieur du rectangle.\\ Les parall\`eles aux c\^ot\'es du rectangle passant par $M$ coupent :\\ $AB$ en $P$, $BC$ en $Q$, $CD$ en $R$ et $AD$ en $S$.\\ On pose $a=AP$, $b=PB$, $c=AS$ et $d=SD$.\\ Calculer $MA^2$, $MB^2$, $MC^2$. $MD^2$ en fonction de $a,b,c,d$\\ Calculer $MC^2$ en fonction de $MA^2$, $MB^2$, $MD^2$.\\ {\bf Application num\'erique :}\\ On donne $MA=9$, $MB=7$ et $MD=6$\\ Calculer $MC$\\ On veut d\'eterminer les rectangles $ABCD$ ayant cette propri\'et\'e \`a savoir $MA=9$, $MB=7$ $MC=2$ et $MD=6$ pour un point $M$ du plan $ABC$.\\ Pour cela on note :\\ $x=a^2$, $y=b^2$, $z=c^2$ et $t=d^2$.\\ D\'eterminer le syst\`eme lin\'eaire que v\'erifie $x,y,z,t$\\ R\'esoudre ce syst\`eme lin\'eaire avec {\tt Xcas}.\\ Construire un rectangle $ABCD$ ayant cette propri\'et\'e.\\ {\bf La solution}\\ On ouvre un niveau de g\'eom\'etrie 2-d.\\ On tape :\\ \begin{verbatim} A:=point(0); B:=point(5); C:=point(5+i*3); D:=point(i*3); polygone(A,B,C,D); M:=point(4+i); P:=point(4); R:=point(4+3*i); S:=point(i); Q;=point(5+i); segment(A,M); segment(B,M); segment(C,M); segment(D,M); segment(P,R); segment(S,Q); segment(A,P,affichage=1), point(2,legend="a",affichage=1) segment(B,P,affichage=2), point(4.5,legend="b",affichage=2) segment(A,S,affichage=4), point(i/2,legend="c",affichage=4) segment(D,S,affichage=5), point(i*2,legend="d",affichage=5) \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troisrect}\\ On a d'apr\`es Pythagore :\\ $AM^2=a^2+c^2$\\ $BM^2=b^2+c^2$\\ $CM^2=b^2+d^2$\\ $DM^2=a^2+d^2$\\ Donc :\\ $AM^2+CM^=a^2+c^2+b^2+d^2$\\ $BM^2+DM^2=b^2+c^2+a^2+d^2$\\ Donc $AM^2+CM^=BM^2+DM^2$\\ On en d\'eduit :\\ $CM^2=BM^2+DM^2-AM^2$ On remarquera que cette relation est enore valable si $M$ se trouve \`a l'ext\'erieur du rectangle $ABCD$.\\ Application num\'erique :\\ $CM^2=49+36-81=4$ Donc $CM=2$\\ Soit maintenant un rectangle $ABCD$ et un point $M$ du plan $ABC$.\\ Les parall\`eles aux c\^ot\'es du rectangle passant par $M$ coupent :\\ $AB$ en $P$, $BC$ en $Q$, $CD$ en $R$ et $AD$ en $S$.\\ On pose $a=AP$, $b=PB$, $c=AS$ et $d=SD$.\\ On a d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede :\\ $AM^2=a^2+c^2=81$\\ $BM^2=b^2+c^2=49$\\ $CM^2=b^2+d^2=4$\\ $DM^2=a^2+d^2=36$\\ c'est \`a dire si $x=a^2,y=b^2,z=c^2,t=d^2$:\\ x+z=81\\ y+z=49\\ y+t=4\\ x+t=36\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt resoudre\_systeme\_lineaire([x+z=81,y+z=49,y+t=4,x+t=36],[x,y,z,t])} On obtient :\\ {\tt [-t+36,-t+4,t+45,t]}\\ Si on choisit $d^2=t=1$ i.e, $d=1$, on en d\'eduit $a^2=35,b^2=3,c^2=46$\\ Donc le rectangle $ABCD$ a pour c\^ot\'e :\\ $AB=a+b=\sqrt{35}+\sqrt 3$ et\\ $AD=\sqrt{46}+1$\\ Le point $M$ a pour coordonn\'ees $(\sqrt{35},\sqrt{46})$.\\ On tape \begin{verbatim} M:=point(sqrt(35),sqrt(46)); A:=point(0); B:=point((sqrt(35)+sqrt(3)); C:=point((sqrt(35)+sqrt(3)+i+i*sqrt(46))); D:=point(i+i*sqrt(46)); polygone(A,B,C,D); segment(A,M); segment(B,M); segment(C,M); segment(D,M); \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castrois1}\\ On tape :\\ {\tt longueur(M,A)}\\ On obtient :\\ {\tt 9}\\ On tape :\\ {\tt longueur(M,B)}\\ On obtient :\\ {\tt 7}\\ On tape :\\ {\tt longueur(M,D)}\\ On obtient :\\ {\tt 6}\\ On tape :\\ {\tt longueur(M,C)}\\ On obtient :\\ {\tt 2}\\ Ou bien on utilise $t$ comme param\`etre ($t$ varie entre 0 et 4 pour que $y=b^2$ soit positif). On a $a^2=-36-t,b^2=4-t,c^2=45+t,d^2=t$ donc on tape \begin{verbatim} supposons(t=[1,0,4,0.1]); M:=point(sqrt(36-t),sqrt(45+t)); A:=point(0); B:=point(sqrt(36-t)+sqrt(4-t)); C:=point(sqrt(36-t)+sqrt(4-t)+i*sqrt(t)+i*sqrt(45+t)); D:=point(i*sqrt(t)+i*sqrt(45+t)); polygone(A,B,C,D); segment(A,M); segment(B,M); segment(C,M); segment(D,M); longueur(M,A); longueur(M,B); longueur(M,C); longueur(M,D); plotparam(affixe(M),t=0..4); \end{verbatim} $M$ a comme coordonn\'ees $a,b$.\\ On a $a^2+c^2=81$ et $a^2=(36-t),c^2=(45+t)=-a^2+81$.\\ donc $M$ se trouve sur l'arc $M_0M_1$ du cercle de centre $A$ et de rayon 9. avec $M0$ de coordon\'ees $(6,3\sqrt 5)$ et $M1$ de coordonn\'ees $(4\sqrt 2,7)$. \section{Exercice 3} On consid\`ere la figure form\'ee de 3 carr\'es :\\ \includegraphics[width=8cm]{castroistrig}\\ Soient $a=\overbrace{CAD}$ et $b=\overbrace{CBD}$.\\ Que vaut $a+b$ ? On cherchera une solution trigonom\'etrique et g\'eom\'etrique.\\ {\bf Solution trigonom\'etrique}\\ On a :\\ $\displaystyle \tan(a)=\frac{1}{3}<1$ et $\displaystyle a<\frac{\pi}{2}$ donc $\displaystyle a<\frac{\pi}{4}$\\ $\displaystyle \tan(b)=\frac{1}{2}<1$ et $\displaystyle b<\frac{\pi}{2}$ donc $\displaystyle b<\frac{\pi}{4}$\\ donc\\ $\displaystyle a+b<\frac{\pi}{2}$\\ On a :\\ $\displaystyle \tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$\\ $\displaystyle \tan(a)+\tan(b)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$\\ $\displaystyle 1-\tan(a)*\tan(b)=1-\frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$\\ Donc $\tan(a+b)=1$.\\ On a :\\ $\tan(a+b)=1$ et $\displaystyle a+b<\frac{\pi}{2}$ entraine que $\displaystyle a+b=\frac{\pi}{4}$\\ On tape dans un niveau de g\'eom\'etrie :\\ {\tt A:=point(0)}\\ {\tt B:=point(1)}\\ {\tt C:=point(3)}\\ {\tt D:=point(3+i)}\\ {\tt simplify(angle(A,C,D)+angle(B,C,D))}\\ On obtient : {\tt 1/4*pi}\\ {\bf Solution g\'eom\'etrique}\\ On consid\`ere les points :\\ {\tt P:=point(3+3*i)}\\ {\tt Q:=point(2+4*i}\\ Soit $M$ l'intersection de $AP$ et $DQ$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistrig1}\\ Montrer que $\displaystyle \widehat{CAP}=\frac{\pi}{4}$ et que le triangle $DAM$ est rectangle en $D$.\\ Montrer que $M$ est le milieu de $DQ$. En d\'eduire que $2*MD=AM$\\ Montrer que le triangle $AMD$ est semblable au triangle $BCD$. En d\'eduire que $b=\widehat{DAM}$ et que $\displaystyle a+b=\frac{\pi}{4}$.\\ En effet :\\ On a $AP$ a pour pente 1 donc $\displaystyle \widehat{CAP}=\frac{\pi}{4}$\\ On a $AD$ a pour pente $\displaystyle \frac{1}{3}$ et $DQ$ a pour pente -3 donc $AD$ et $DQ$ sont perpendiculaires (puisque $\displaystyle -3*\frac{1}{3}=-1$).\\ $M$ a pour coordon\'ees $\displaystyle \frac{5}{2};\frac{5}{2}$ donc $M$ est le milieu de $DQ$ et $2DM=DQ$.\\ $AD=DQ$ car ce sont les hypoth\'enuses de 2 triangles rectangles egaux. donc\\ $2DM=AD$\\ Les triangles rectangles $BCD$ et $ADM$ sont donc semblables et donc $b=\widehat{DAM}$.\\ On a donc montrer que $\displaystyle \frac{\pi}{4}=\widehat{CAD}+\widehat{DAM}=a+b$.\\ On tape : {\tt angle(B,C,D)==angle(AD,P)}\\ On obtient : {\tt vrai} \chapter{Des calculs d'aires} \section{Aire d'une couronne circulaire} Soit une couronne circulaire de rayons $r$ et $R$ ($R>r$).\\ On sait qu'une corde du cercle de rayon $R$ qui est tangente au cercle de rayon $r$ a pour longueur 8 unit\'es.\\ Calculer l'aire de cette couronne.\\ La couronne peut avoir plusieurs dimensions :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire6} Mais son aire est toujours la m\^eme , en effet : Si $O$ est le centre commun aux 2 cercles et si $T$ est le point de tangence, on a :\\ $OA=R$, $OT=r$ et $AT=TB=4$.\\ D'apr\`es le th\'eor\`eme de Pythagore on a :\\ $R^2=r^2+4^2$ donc $R^2-r^2=16$\\ L'aire de la couronne est donc :\\ $\pi R^2-\pi r^2=16\pi$ \section{Recouvrir une table rectangulaire avec une nappe ronde} Peut-on recouvrir une table rectangulaire de 180 cm x 90 cm avec une nappe ronde de 200 cm de diam\`etre ?\\ Essayons :\\ Soit $R$ le rectangle repr\'esentant la table et $N$ le cercle de rayon 100 repr\'esentant la nappe. Il faut placer $N$ de fa\c{c}on que la longueur de 180 cm de $R$ soit une corde de $N$.\\ Faisont une figure, on tape :\\ {\tt A:=point(-90);}\\ {\tt B:=point(90)}\\ {\tt O:=point(0)}\\ {\tt R:=rectangle(A,B,1/2,D,C)}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire7}\\ Le centre $I$ du cercle $N$ doit donc \^etre sur l'axe des $x$ et comme d'apr\`es Pythagore on a $OI^2+OB^2=IB^2=100^2$ on a :\\ $OI^2=100^2-OB^2=100^2-90^2=1900$\\ Donc $0I=10\sqrt{19}\simeq 43.5889894354$.\\ On tape :\\ {\tt I:=point(10*sqrt(19)*i);}\\ Le point $C$ est-il \`a l'ext\'erieur du cercle $N$ ? Calculons $IC^2$, on tape :\\ {\tt normal(longueur2(I,C)]}\\ On obtient :\\ {\tt -1800*sqrt(19)+18100} On tape :\\ {\tt evalf(longueur(I,C)-longueur(I,B))}\\ On obtient :\\ {\tt 1.26194695752}\\ Donc les points $C$ et $D$ se trouvent \`a l'ext\'erieur de la nappe.\\ On peut aussi, pour des raisons de sym\'etrie placer le centre de $N$ au centre de la table i.e. au point de coordonn\'ees $(0,45)$.\\ Dans ce cas, les 4 points $A,B,C,D$ se trouve \`a l'ext\'erieur de $N$ en effet on tape :\\ {\tt evalf(longueur(i*45,B))}\\ On obtient :\\ {\tt 100.623058987}\\ Donc les 4 points $A,B,C,D$ se trouve \`a l'ext\'erieur et \`a 0.623 cm du bord de la nappe ! \section{L'aire d'un sentier} Dans un jardin de 10 m\`etres sur 5 m\`etres, on veut faire un sentier de 2 m\`etres de large comme sur la figure ci-dessous.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire0}\\ Calculer l'aire de ce sentier i.e. l'aire du parall\'elogramme vert.\\ Avec {\tt Xcas} :\\ l'aire du parall\'elogramme vert et \'egale `a $2OA$ m\`etres carr\'es.\\ Il faut don calculer $OA$. Posons $OM=x$ et $ON=a$.\\ On a :\\ $MA^2=(10-x)^2+25$ (th de Pythagore) $x^2=4+a^2$\\ $tan(angle(O,M,N)=\frac{5}{10-x}=\frac{2}{a}=\frac{2}{\sqrt{x^2-4}}$\\ Donc :\\ $\frac{25}{(10-x)^2}=\frac{4}{x^2-4}$\\ On tape :\\ {\tt solve(25/(10-x)\verb|^|2=4/(x\verb|^|2-4))}\\ On obtient :\\ {\tt [-50/7,10/3]}\\ Donc $OM=x=10/3$ car $OM>0$\\ En effet l'\'equation est :\\ $4(10-x)^2=25x^2-100$ \\ En simplifiant, l'\'equation est:\\ $21x^2+80x-500=0$\\ Il reste \`a r\'esoudre cette \'equation du 2nd degr\'e :\\ $\Delta'=1600+21*500=12100=110^2$ donc la solution positive est :\\ $x=(-40+110)/21=70/21=10/3$\\ On a donc $MA^2=(10-10/3)^2+25$.\\ On tape :\\ {\tt (10-10/3)\verb|^|2+25)}\\ On obtient $MA^2$ :\\ {\tt 625/9}\\ Donc $MA=25/3$\\ L'aire du sentier est donc : 50/3 m\`etres carr\'es. \section{L'aire d'un secteur circulaire}\index{cercle} Soit un carr\'e $ABCD$ tel que $AB=1$.\\ On trace l'arc de cercle $BD$ de centre $A$ et de rayon $1$ et l'arc de cercle $AC$ de centre $B$ et de rayon $1$.\\ Ces 2 arcs se coupent en $F$ et d\'eterminent les 4 r\'egions ci-dessous dans le carr\'e $ABCD$ :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{airearc}\\ Calculer l'aire de chacune de ces r\'egions.\\ Pour faire le dessin, on a tap\'e : \begin{verbatim} carre(0,1,affichage=vert+rempli); cercle(0,1,pi/3,pi/2,affichage=1+rempli); cercle(1,1,pi/2,2*pi/3,affichage=3+rempli); cercle(0,1,0,pi/3,affichage=4+rempli); cercle(1,1,2*pi/3,pi,affichage=4+rempli); \end{verbatim} \includegraphics[width=\textwidth]{airearc1}\\ La somme de l'aire bleue et de l'aire du triangle \`equilat\`eral $ABF$ est \'egale \`a 2 fois l'aire d'un secteur angulaire d'angle $\pi/3$ et de rayon 1.\\ L'aire d'un secteur angulaire d'angle $\pi/3$ et de rayon 1 est \'egale \`a :\\ $\pi/6$\\ L'aire du triangle \`equilat\`eral $ABF$ est \'egale \`a :\\ $\sqrt 3/4$\\ L'aire bleue est donc \'egale \`a :\\ $2*\pi/6-\sqrt 3/4=\pi/3-\sqrt 3/4$\\ On tape :\\ {\tt evalf(pi/3-sqrt(3)/4)}\\ On obtient l'aire bleue:\\ {\tt 0.614184849304}\\ L'aire rouge est \'egale \`a l'aire jaune et c'est aussi la difference entre l'aire du secteur angulaire d'angle $\pi/2$ et de rayon 1 avec l'aire bleue. L'aire rouge est donc \'egale \`a $\pi/4-\pi/3+\sqrt 3/4=\sqrt 3/4-\pi/12$.\\ On tape :\\ {\tt evalf(-pi/12+sqrt(3)/4)}\\ On obtient l'aire rouge ou l'aire jaune:\\ {\tt 0.171213314093}\\ L'aire verte est \'egale \`a la difference entre l'aire du carr\'e et la somme de l'aire rouge de l'aire jaune et de l'aire bleue.\\ L'aire verte est donc \'egale \`a :\\ $1-(-\pi/6+\sqrt 3/2+\pi/3-\sqrt 3/4)=1-\pi/6-\sqrt 3/4$.\\ On tape :\\ {\tt evalf(1-pi/6-sqrt(3)/4)}\\ On obtient l'aire verte:\\ {\tt 0.0433885225095} \section{Exercice 1} On consid\`ere un carr\'e de c\^ot\'e 1 cm et les cercles de centre les sommets du carr\'e et de rayon 1 unit\'e. On consid\`ere les intersections $A$, $B$, $C$, $D$ de ces cercles qui se trouvent \`a l'int\'erieur du carr\'e selon la figure ci-dessous : Calculer l'aire de la surface en rouge. \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire} \ \\ Soit $K$ le centre du carr\'e.\\ On va calculer l'aire bleue en faisant la diff\'erence entre l'aire du secteur angulaire $O,D,A$ et l'aire des 2 triangles $O,D,K$ et $O,K,A$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire1}\\ $A$ a pour coordonn\'ees (1/2,$\sqrt 3/2$) $D$ a pour coordonn\'ees ($\sqrt 3/2$,1/2) donc l'angle $\widehat{DOA}=\pi/6$ et l'aire du secteur $ODA$ vaut :\\ $\pi/12$ cm$^2$.\\ $K$ a pour coordonn\'ees (1/2,1/2).\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire2}\\ Les triangles $ODK$ et $OAK$ sont sym\'etriques par rapport \`a $OK$.\\ $KD=\sqrt 3-1)/2$, donc l'aire de $ODK$ vaut $KD*1/2*1/2=(\sqrt 3-1)/8$.\\ Donc l'aire bleue vaut :\\ ($\pi/12-(\sqrt 3-1)/4$) cm$^2$.\\ L'aire rouge vaut donc :\\ $\pi/3-\sqrt 3+1)\simeq0.315146743628$ cm$^2$.\\ On peut v\'erifier avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt c:=cercle(0,1,pi/6,pi/3)}\\ {\tt aire(c)}\\ On obtient :\\ {\tt pi/12}\\ On tape :\\ {\tt D:=point(sqrt(3)/2+i/2)}\\ {\tt K:=point(1/2+i/2)}\\ {\tt aire(0,D,K)}\\ On obtient :\\ {\tt (-1+sqrt(3))/8}\\ On tape :\\ {\tt normal(4*(aire(c)+2*aire(0,D,K)))}\\ On obtient l'aire rouge cherch\'ee en cm$^2$:\\ {\tt -sqrt(3)+1+1/3*pi}\\ {\bf Remarque}\\ On peut aussi faire un calcul d'int\'egrale.\\ On tape pour calculer 4 fois l'aire bleue cm$^2$ :\\ {\tt normal(4*int(int(1,y,1/2,sqrt(1-x\verb|^|2)),x,1/2,sqrt(3)/2))}\\ On obtient :\\ {\tt -(sqrt(3))+1+1/3*pi} \section{Exercice2} Soit un carr\'e $ABCD$ de c\^ot\'e 5 cm.\\ Soient $I$, $J$, $K$, $L$ les milieux de $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. On joint chaque sommet au milieu du c\^ot\'e oppos\'e, pour former le quadrilat\`ere $MNPQ$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire4}\\ Montrer que $MNPQ$ est un carr\'e et calculer son aire.\\ \ \\ Le quadrilat\`ere $AICK$ est un parall\'elogramme puisque :\\ $AI=KC=AB/2$ et $AI$ et $KC$ sont parall\`eles.\\ Donc $AK$ est parall\`ele \`a $IC$ et $AK=IC$.\\ De m\^eme $BJDL$ est un parall\'elogramme \'egal \`a $AICK$ donc :\\ $BL$ est parall\`ele \`a $JD$ et $BL=JD$.\\ Donc $MNPQ$ est un parall\'elogramme puisque ses c\^ot\'es sont parall\`eles 2 \`a 2.\\ Considerons les triangles rectangles $ABL$ et $DAK$ : ils sont \'egaux puisque :\\ $AB=AD$ et $AL=DK=AB/2$ donc $\widehat{LBA}=\widehat{KAD}$.\\ $\widehat{BAK}+\widehat{KAD}=\pi/2$ donc $\widehat{BAK}+\widehat{LBA}=\pi/2$\\\ cela prouve que le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ puisque :\\ $\widehat{AMB}+\widehat{BAK}+\widehat{ABL}=\pi$ on a $\widehat{AMB}=\pi/2$\\ Donc $MNPQ$ est un rectangle (parall\'elogramme ayant 1 angle droit.\\ Consid\'erons le triangle rectangle $ABM$.\\ $I$ est le milieu de $AB$, $NI$ est parall\`ele \`a $AM$ donc :\\ $N$ est le milieu de $MB$ et $2IN=AM$ donc $MN=NB$.\\ Consid\'erons le triangle rectangle $ADQ$.\\ $L$ est le milieu de $AD$, $LM$ est parall\`ele \`a $DQ$ donc :\\ $M$ est le milieu de $AQ$ et $LM=AD/2=AM/2$ donc $AM=MQ$.\\ De m\^eme $Q$ est le milieu de $DP$ et $P$ est le milieu de $CN$.\\ On a donc puisque $MN=MQ$ : $NB=MN=AM=MQ$ i.e $2AM=MN=2DQ$\\ Les triangles rectangles $AMB$ et $DQA$ sont \'egaux ($AB=AD$ et $\widehat{BAK}=\widehat{BAM}=\widehat{KAD}=\widehat{QAD}$) Donc on a : $AM=2MN=AD=2MQ$ donc $MNPQ$ est un carr\'e.\\ Considerons $N_1$ le sym\'etrique de $N$ par rapport \`a $I$.\\ \includegraphics[width=10cm]{castroisaire5}\\ $NN1=2IN=AM=MN=NB=AN_1$ donc le quadrilat\`ere $AN_1NM$ est un carr\'e \'egal au carr\'e $MNPQ$ et dont l'aire est \'egale \`a l'aire du triangle $ABM$.\\ Les triangles $ABM$, $BCN$, $CDP$et $DAQ$ sont egaux et ils ont la m\^eme aire que le carr\'e $MNPQ$.\\ L'aire da $ABCD$ est de 25 cm$^2$ et elle est \'egale \`a 5 fois l'aire de $MNPQ$ donc l'aire de $MNPQ$est de 5 cm$^2$. \section{Exercice3} Dans une prairie, un paysan a attach\'e sa ch\`evre par 2 cordes de 5 m\`etres de long. Ces 2 cordes sont attach\'ees respectivement \`a 2 piquets plant\'es \`a 5 m\`etres l'un de l'autre.\\ Quelle est la surface de prairie que peut brouter la ch\`evre.\\ {\bf Solution}\\ On fait un dessin avec {\tt Xcas}.\\ On tape dans un niveau de g\'eom\'etrie :\\ {\tt A:=point(0)}\\ {\tt B:=point(5,affichage=quadrant4)}\\ {\tt ca:=cercle(A,5):;ca}\\ {\tt cb:=cercle(B,5):;cb}\\ {\tt C1:=inter\_unique(ca,cb)}\\ {\tt C2:=inter\_unique(ca,cb,[C1])}\\ {\tt ab:=arc(C2,C1,2*pi/3)}\\ {\tt aa:=arc(C1,C2,2*pi/3,affichage=quadrant2)}\\ {\tt affichage([aa,ab],2+rempli)}\\ {\tt C2:=C2}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire8}\\ Il faut donc calculer l'aire de la surface verte qui repr\'esente la prairie que peut brouter la ch\`evre.\\ Cette aire est le double de l'aire de la surface jaune :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisaire9}\\ On calcule l'aire du secteur angulaire $AC_2C_1$ (surface rouge+jaune). Ce secteur angulaire a comme angle au centre $2\pi/3$ donc sont aire vaut :$5^2\pi/3$.\\ On tape :\\ {\tt aire(ab)}\\ On obtient :\\ {\tt 25*pi/3}\\ On calcule l'aire du triangle $AC_2C_1$ (surface rouge). Cette aire est \'egale \`a l'aire du triangle \'equilat\'eral $ABC_1$ donc elle vaut : $5^2\sqrt 3/4$.\\ On tape :\\ {\tt aire(triangle(A,C2,C1))}\\ On obtient :\\ {\tt sqrt(3)*1/4*25}\\ L'aire de la surface jaune vaut donc $25\pi/3-25\sqrt 3/4=25(4\pi/-3\sqrt 3)/12$\\ Donc la ch\`evre peut brouter $100\pi/-75\sqrt 3)/6\simeq 30.7092424652\ m^2$.\\ On tape :\\ {\tt 2*(aire(ab)-aire(triangle(A,C2,C1)))}\\ On obtient :\\ {\tt (-75*sqrt(3)+100*pi)/6}$\simeq 30.7092424652\ m^2$ \section{Aire d'une intersection de 2 triangles} {\bf Rappel} Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ v\'erifiant $AB=h$, $AC=2c$ et $BC=c$ ($ABC$ est la moiti\'e d'un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e $2c$ d\'ecoup\'e selon une hauteur de longueur $h$). Son aire est \'egale \`a : $$ch/2=c^2\sqrt 3/2=h^2\sqrt 3/6$$ Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ v\'erifiant $AC=2a$ et $BC=a$ ($ABC$ est la moiti\'e d'un triangle \'equilat\'eral d\'ecoup\'e selon une hauteur).\\ Soit $A_1B_1C_1$ le transform\'e de $ABC$ par une rotation de centre $B$ et d'angle $pi/3$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{cas3aire}\\ Montrer que $B_1$ est confondu avec $C$.\\ Montrer que $A_1C_1$ est perpendiculaire \`a $AB$.\\ Montrer que $DCC_1$ est \'equilat\'eral.\\ Montrer que $D$ est le milieu de $AC$\\ Montrer que $DF$ est perpendiculaire \`a $AC$.\\ D\'eterminer l'aire de $CDEF$ qui est l'intersection de ces 2 triangles.\\ {\bf Solution}\\ \\ \ \includegraphics[width=\textwidth]{cas3aire1}\\ Dans la rotation de centre $B$ et d'angle $\pi/3$, $B$ se transforme en $B$ et dans la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$, $B$ se transforme en $C$, donc $B$ se transforme en $C$ donc $B_1=C$.\\ Dans la rotation de centre $B$ et d'angle $\pi/3$, la droite $d=AC$ se transforme en une droite $d_1$ et on a $(d,d1)=\pi/3$ donc $d1$ est perpendiculaire \`a $AB$ et dans la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$, $d_1$ se transforme en $d_1$, donc la droite $d=AC$ se transforme en $d_1$=droite $A_1C_1$. Donc $A_1C_1$ est perpendicuaire \`a $AB$.\\ Puisque $DA_1$ est perpendiculaire \`a $AB$ on a :\\ $\widehat{ADA_1}=\pi/3=\widehat{CDC_1}$ Puisque $\widehat{DC_1C}=\pi/3$, le triangle $DCC_1$ a 2 angles \'egaux \`a $\pi/3$ donc le triangle $DCC_1$ est \'equilat\'eral.\\ Le triangle $DCC_1$ est \'equilat\'eral donc :\\ $CC_1=a=DC=DC_1=AC/2=A_1B$ et $\widehat{C_1CD}=\pi/3$ donc $\widehat{DCA_1}=\pi/6$\\ Le triangle $AFC$ est isoc\`ele de sommet $F$, $D$ est le milieu de $AC$ donc $FD$ qui est une m\'ediane de ce triangle isoc\`ele est aussi une hauteur.\\ Le triangle rectangle $DFC$ est la moiti\'e d'un triangle \'equilat\'eral de hauteur $a$ donc son aire vaut : $a^2\sqrt 3/6$.\\ Le triangle rectangle $DEF$ est la moiti\'e d'un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e de hauteur $a/2$ (puisque $D$ est le milieu de $AC$ et que $DE$ est parall\`ele \`a $BC$, $E$ est le milieu de $AB$ et $DE=CB/2=a/2$ donc son aire vaut : $(a^2\sqrt 3/6)/4=a^2\sqrt 3/24$.\\ Le polygone $CDEF$ a donc pour aire : $$a^2\frac{\sqrt 3}{6}+a^2\frac{\sqrt 3}{24}=a^2\frac{5\sqrt 3}{24}$$ Avec {\tt Xcas}\\ On fait la figure, on tape : \begin{verbatim} supposons(a=[4,0,5,0.1]); A:=point(-a*sqrt(3)); B:=point(0); C:=point(i*a,affichage=quadrant1); A1:=translation(i*a, rotation(B,pi/3,A)); C1:=translation(i*a, rotation(B,pi/3,C)); triangle(C,C1,A1); triangle(C,A,B)); D:=inter_unique(segment(A,C),segment(C1,A1)); E:=inter_unique(segment(A,B),segment(C1,A1)); F:=inter_unique(segment(A,B),segment(C,A1)); angle(A1,C,D,"pi/6"); angle(C,A,F,"pi/6"); angle(C,C1,C+(F-C)/3,""); angle(B,F,B+(C-B)/2,""); angle(A,F,D,"pi/6"); angle(E,D,E+(A-E)/2,""); polygone(C,D,E,F,affichage=1+rempli); D:=D;E:=E;F:=F; angle(C,A,F,"pi/6"); B1:=point(i*a,affichage=quadrant4)); segment(D,F); angle(D,C,C1,"pi/3"); angle(C1,D,C,"pi/3"); angle(D,D+(A-D)/3,F,""); d1:=rotation(B,pi/3,droite(A,C)); \end{verbatim} On v\'erifie.\\ On tape :{\tt longueur(D,E)}\\ On obtient : {\tt a/2}\\ On tape :{\tt aire(polygone(C,D,F))}\\ On obtient : {\tt (sqrt(3))/6*a\verb|^|2}\\ On tape : {\tt aire(polygone(D,E,F))}\\ On obtient : {\tt (sqrt(3))/24*a\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt aire(polygone(C,D,E,F))}\\ On obtient : \\ {\tt 5*sqrt(3)/24*a\verb|^|2} \section{Aire d'un hexagone et d'un dod\'ecagone} Soit $H$ un hexagone de centre $O$ et de c\^ot\'e $AB$ avec $OA=0B=AB=2a$. Soit $A_1$ (resp $B_1$) le transform\'e de $A$ (resp B) dans la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/6$.\\ On construit l'hexagone $H_1$ de centre $O$ et de c\^ot\'e $A_1B_1$.\\ Montrer que $D=H_1\cap H$ est un dod\'ecagone r\'egulier de centre $0$.\\ Calculer l'aire de ce dod\'ecagone $D$.\\ {\bf Solution}\\ Soit $M$ (resp $N$) l'intersection de $A_1B_1$ avec $AB$ (resp avec $BC$).\\ \includegraphics[width=\textwidth]{cas3aire2}\\ Soit $K$ (resp $K_1$) la projection de $O$ sur $AB$ (resp' $A_1B_1$).\\ Les triangles rectangles $A_1KM$, $BK_1M$ et $BK_1N$ sont \'egaux \`a la moiti\'e d'un triangle \'equilat\'eral car on a :\\ $KA_1=OA_1-OK=2a-a\sqrt 3=a(2-\sqrt 3)=OB-OK_1=K_1B$.\\ Donc $KM=MK_1=KA_1\sqrt 3=2a\sqrt 3-3a=a(2\sqrt 3-3)$.\\ Donc $OM$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{KOK_1}=\pi/6$ et \\ $ON$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BOB_1}=\pi/6$.\\ Donc $\widehat{MON}=\pi/6=2\pi/12$ Donc $D$ est un dod\'ecagone inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $OM$.\\ Cherchons $S_D$ l'aire de $D$.\\ On a :\\ $OM^2=KM^2+OK^2=a^2(2\sqrt 3-3)^2+3a^2=a^2(24-12\sqrt 3)=a^2(3\sqrt 2-\sqrt 6)^2$.\\ Donc $OM=a(3\sqrt 2-\sqrt 6)$.\\ L'aire $S_T$ du triangle $MBN$ vaut :\\ $S_T=MN*BK_1/2=MK_1*BK_1=a^2(2\sqrt 3-3)*(2-\sqrt 3)=a^2(7\sqrt 3-12)$.\\ L'aire $S_H$ de l'hexagone $H$ vaut $S_H=6a^2\sqrt 3$.\\ On a donc $2S_D=2S_H-12S_T$ soit\\ $S_D=S_H-6S_T=a^2(6\sqrt 3-42\sqrt 3+72)=36a^2(2\sqrt 3-1)$.\\ Avec {\tt Xcas}\\On fait la figure, on tape : \begin{verbatim} supposons(a=[4,0,5,0.1]); H:=hexagone(0,2*a,C):;H;C:=C; O:=point(a+i*a*sqrt(3)); H1:=rotation(O,pi/6,H):;H1; A:=point(0); B:=point(2*a); A1:=rotation(O,pi/6,A); B1:=rotation(O,pi/6,B); M:=inter_unique(segment(A,B),segment(A1,B1)):;; N:=inter_unique(segment(C,B),segment(A1,B1)); isopolygone(M,N,12,affichage=1+rempli); M:=affichage(M,quadrant1); O:=O; segment(O,A);segment(O,A1); segment(O,B);segment(O,B1);; K:=projection(segment(A,B),O); K1:=projection(segment(A1,B1),O); cercle(O,2*a); angle(O,O+2*(A1-O),M,"pi/12"), angle(O,O+3*(M-O),B,""); angle(O,B+2*(B-O),N,""), angle(O,N+2*(N-O),B1,""); affichage(angle(O,M,N,"pi/6"),2); segment(O,M,affichage=2+ligne_tiret_pointpoint); segment(O,N,affichage=2+ligne_tiret_pointpoint); \end{verbatim} On v\'erifie.\\ On tape :\\ {\tt aire(isopolygone(M,N,12)}\\ On obtient :\\ {\tt (-36*sqrt(3)+72)*a\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt longueur(O,M)}\\ On obtient :\\ {\tt -a*sqrt(6)+3*a*sqrt(2)}\\ On retrouve l'aire d'un dod\'ecagone inscrit dans un cercle de rayon $R$:\\ $12R^2\sin(\pi/6)/2=3R^2$.\\ On tape :\\ {\tt 3*longueur2(O,M)}\\ On obtient :\\ {\tt 36*(2-sqrt(3))*a\verb|^|2} \chapter{Pour chercher} \section{D\'ecoupage} Combien peut-on d\'ecouper de rectangles de 5 cm sur 3 cm dans un carton rectangulaire de 22 cm sur 17 cm ?\\ M\^eme question si on veut utiliser un massicot.\\ M\^eme question si le carton rectangulaire est de 22 cm sur 11 cm.\\ {\bf Une Solution avec des dessins}\\ Pour le carton rectangulaire de 22 cm sur 17 cm, on obtient 24 morceaux, avec une perte minimum de 14 cm$^2$ (14<3*5)\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisdec1}\\ ou encore de fa\c{c}on \`a ce que le d\'ecoupage soit encore valable pour le carton de 22 cm sur 11 cm (il suffit d'' enlever le rectangle du bas de largeur 6 cm. on obtient alors 16 morceaux, avec une perte de 2 cm$^2$)\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisdec2}\\ Si on veut utiliser un massicot : on obtient 23 morceaux pour le carton de 22 cm sur 17 cm avec une perte de 29 cm$^2$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisdec}\\ ce d\'ecoupage est encore valable pour le carton de 22 cm sur 11 cm :\\ en enlevant le rectangle du bas de largeur 6 cm. on obtient alors 15 morceaux avec une perte de 17 cm$^2$.\\ \section{Le billard} Soient 2 r\'eels $a$ et $b$ et un billard rectangulaire $ABCD$ est de dimension $a\ x \ b$ ($AB=a$ et $DC=b$).\\ Une boule de rayon n\'egligeable est lanc\'ee de $A$ selon une trajectoire rectiligne. Cette boule heurte le c\^ot\'e $DC$ en un point $M$.\\ Apr\`es ce choc la trajectoire de la boule se fait selon le sym\'etrique de $AM$ par rapport \`a la perpendiculaire en $M$ \`a $DC$.\\ Pour quelles positions de $M$ les 4 rebonds ont lieu dans l'ordre sur $DC$, $CB$, $BA$, $AD$ lorsque $a=6$ et $b=4$ puis dans le cas g\'en\'eral ?\\ {\bf Solution} On fait une simulation avec {\tt Xcas} lorsque $a=6$ et $b=4$ on tape : \begin{verbatim} segment(k*i,12+k*i)$(k=-5..7); segment(6+k-5*i,6+k+7*i)$(k=-6..6); rectangle(-5*i,6-5*i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); rectangle(-i,6-i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); rectangle(6-i,12-i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); rectangle(6+3*i,12+3*i,2/3,affichage=epaisseur_ligne_2); A:=point(-5*i); B:=point(6-5*i); C:=point(6-i); D:=point(-i); a1:=point(3*i); b1:=point(6+3*i); a2:=point(12+3*i); d2:=point(12-i); c3:=point(6+7*i); d3:=point(7*i+12); supposons(m=[1.3,,6,0.1]); M:=point(m-i); d:=droite(A,M):; N:=inter_unique(d,droite(x=12)); segment(A,N); segment(C,D,affichage=1+epaisseur_ligne_2); segment(C,b1,affichage=1+epaisseur_ligne_2); segment(a2,b1,affichage=1+epaisseur_ligne_2); segment(a2,d3,affichage=1+epaisseur_ligne_2); M1:=point(4-i) \end{verbatim} $a_1$ et $b_1$ sont les sym\'etriques de $A$ et $B$ par rapport \`a $DC$,\\ $a_2$ et $d_2$ sont les sym\'etriques de $a1$ et $D$ par rapport \`a $b1C$,\\ $c_3$ et $d_3$ sont les sym\'etriques de $C$ et $d_2$ par rapport \`a $b_1a_2$.\\ Le segment $AN$ doit couper les segment $DC$, $Cb1$, $b1,a2$ er $d3a2$ qui sont en rouge sur la figure :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisbill}\\ Pour $a=6$ et $b=4$, si $M_1$ est l'intersection de $Ad3$ avec $DC$, il faut que $M$ soit sur $M_1C$ avec $DM_1=4$.\\ Dans le cas g\'en\'eral on fait les sym\'etries ci dessus.\\ Dans le rep\`ere d'origine $A$ dont l'axe des $x$ est port\'e par $AB$ et l'axe des $y$ est port\'e par $AD$,\\ la droite $Ad3$ a pour \'equation $y=3bx/2a$ et elle coupe $DC$ en $M_1$\\ la droite $Aa2 $ a pour \'equation $y=bx/a$ et elle coupe $DC$ en $C$ $M_1$ a pour coordonn\`ees $x=2a/3$ et $y=b$.\\ il faut que $M$ soit sur le segment $M_1C$ pour que les 4 rebonds aient lieu dans l'ordre sur $DC$, $CB$, $BA$, $AD$. \section{Un petit probl\`eme sur la sym\'etrie} En 2 points $A$ et $B$ diam\'etralement oppos\'es d'une piste cyclable circulaire, deux cyclistes {\tt Albert} et {\tt Benoit} partent en m\^eme temps \`a la rencontre l'un de l'autre : {\tt Albert} parcourt la piste dans le sens des aiguilles d'une montre \`a la vitesse constante $v_A$ et {\tt Benoit} va dans le sens inverse \`a la vitesse constante $v_B$. Quand ils se rencontrent en un point $C$, ils s'arr\^etent et {\tt Albert} annonce qu'il a fait 7 km.\\ Ils repartent ensuite : {\tt Albert} toujours \`a la vitesse constante $v_A$ et dans le sens des aiguilles d'une montre et {\tt Benoit} \`a la vitesse constante $v_B$ et dans le sens inverse. Quand ils se rencontrent en un point $D$, ils s'arr\^etent et {\tt Benoit} annonce qu'il a fait 4 km.\\ D\'eterminer la longueur de la circonf\'erence de la piste cyclable.\\ D\'eterminer la longueur parcourue par {\tt Albert} et par {\tt Benoit}.\\ M\^eme question si la piste a la forme d'une ellipse et si les points de d\'epart $A$ et $B$ sont sym\'etriques par rapport au centre de l'ellipse.\\ {\bf Pour trouver}\\ R\'epondre \`a l'une des questions : \begin{enumerate} \item Si quand ils sont en $C$, ils rebroussent chemin o\`u se trouve alors leur nouveau point de rencontre $C_1$ ? \item Si dans les m\^emes conditions ({\tt Albert} parcourt la piste dans le sens des aiguilles d'une montre \`a la vitesse constante $v_A$ et {\tt Benoit} va en sens inverse \`a la vitesse constante $v_B$), {\tt Albert} et {\tt Benoit} partent en m\^eme temps d'un m\^eme point $M$.\\ Quand {\tt Albert} a fait 7 km, {\tt Albert} se trouve en $P$ et {\tt Benoit} se trouve en $Q$. Trouver la position du point $Q$ par rapport \`a $P$.\\ Quand {\tt Albert} fait 7 km de plus, {\tt Albert} se trouve en $N$. O\`u se trouve le point $N$ ? O\`u se trouve {\tt Benoit} ? \item r\'epondre au probl\`eme pos\'e. \end{enumerate} {\bf Une solution}\\ Il est important de faire des dessins !!!! \begin{enumerate} \item Si ils rebroussent chemin, quand {\tt Albert} aura fait 7 km, {\tt Albert} sera \`a nouveau en $A$ et {\tt Benoit} sera \`a nouveau en $B$. On se trouve dans la m\^eme situation qu'au d\'ebut, puisque seul le sens des parcourts a chang\'e.\\ \includegraphics[width=12cm]{pistecycl1}\\ Albert se retrouve en $A$ et l'arc $AC$ (en rouge) a comme longueur 7 km.\\ Donc quand {\tt Albert} fait \`a nouveau 7 km (en vert), {\tt Albert} et {\tt Benoit} se rencontreront on un point $C_1$ sym\'etrique de $C$ par rapport \`a $AB$.\\ On sait que l'arc $CC_1$ a pour longueur 4 km et donc l'arc $CB$ a pour longueur 2 km.\\ La circonf\'erence de la piste est donc de 7+7+4=18 km. \item Si {\tt Albert} et {\tt Benoit} partent en m\^eme temps d'un m\^eme point $M$, lorsque {\tt Albert} se trouve en $P$, il a fait 7 km et {\tt Benoit} se trouve au point $Q$ diam\`etralement oppos\'e \`a $P$.\\ \includegraphics[width=12cm]{pistecycl2}\\ Selon l'\'enonc\'e, lorsque {\tt Albert} fait \`a nouveau 7 km, {\tt Albert} et {\tt Benoit} se rencontreront en $N$ sym\'etrique de $M$ par rapport \`a la droite $PQ$. Puisque l'arc $MN$ a pour longueur 4 km, l'arc rouge $MP$ a pour longueur 7 km, l'arc vert $PN$ a pour longueur 7 km, la circonf\'erence a donc pour longueur 18 km. \item Voici le dessin du probl\`eme initial :\\ \includegraphics[width=12cm]{pistecycl3}\\ {\tt Albert} et {\tt Benoit} se rencontrent en $C$ (arc $AC$=7 km)\\ Puis quand {\tt Albert} se trouve en $A_2$ (arc $A_2C$=7 km), {\tt Benoit} se trouve en $B_2$ (arc $CB_2$=arc $BC$) avec $A_2$ et $B_2$ diam\'etralement oppos\'es. On est donc dans la m\^eme sitiation qu'au d\'epart.\\ Puis {\tt Albert} et {\tt Benoit} se rencontrent en $D$ (arc $A_2D$=7 km et arc $DC$=4 km)\\ Quand {\tt Albert} et {\tt Benoit} se rencontrent en $D$, {\tt Albert} a fait 21 km et {\tt Benoit} a fait 8 km. \\ La difficult\'e provient de ce que {\tt Albert} fait 2 fois l'arc $AD$.\\ On a l'arc $AC$ a pour longueur 7 km et l'arc $CD$ a pour longueur 4 km.\\ Mais on sait que : arc $BC$=arc $CB_2$= arc $B_2D$. Donc l'arc $BC$ a pour longueur 2 km. On en d\'eduit que la demi-circonf\'erence a pour longueur 7+2=9 km\\ Donc la piste circulaire a pour longueur 18 km. \end{enumerate} \section{Les nombres triangulaires} \subsection{D\'efinition} Si avec des oranges (ou des boulets de canons) on forme une pile triangulaire en mettant $n$ oranges sur la base puis $n-1$ oranges en quinconse etc... jusqu'\`a avoir 1 seule orange sur la derni\`ere ligne, alors le nombre d'oranges empil\'ees et le nombre triangulaire $T(n)$, par exemple :\\ $T(0)=0$, $T(1)=1$, $T(2)=2+1=3$, $T(3)=3+2+1=6$ etc...\\ \subsection{Des exercices faciles \`a chercher} \begin{enumerate} \item Calculer $T(4)..T(7)$ \item Trouver la valeur de $T(n)$ en fonction de $n$. \item Calculer le 36i\`eme nombre triangulaire. \item Monter que la somme de 2 nombres triangulaires successifs est un carr\'e (i.e $T(n)+T(n+1)=a^2$) :\\ pour $n=1$ on a $T(1)+T(2)=1+3=4=2^2$,\\ pour $n=2$ on a $T(2)+T(3)=3+6=9=3^2$ etc ... \item Montrer que $8*T(n)+1=b^2$ :\\ pour $n=1$ on a $8*1+1=9=3^2$, pour $n=2$ on a $8*3+1=25=5^2$ etc... \item Montrer que 55,5050, 500500, 50005000, ..$5*10^{2*p+1}+5*10^{p}$ sont des nombres triangulaires : on cherchera la valeur de $n$ tel que :\\ $T(n)=5*10^{2*p+1}+5*10^{p}$. \item Montrer que $ T(n+1)^2-T(n)^2=(n+1)^3$ \end{enumerate} {\bf Une solution}\\ \begin{enumerate} \item On a :\\ $T(4)=T(3)+4=6+4=10$, $T(5)=10+5=15$, $T(6)=15+6=21$, $T(7)=21+7=28$\\ et en g\'en\'eral si la base contient $n+1$ oranges la rang\'ee suivant aura $n$ oranges et sera la base de la pile $T(n)$.\\ Donc $T(n+1)=T(n)+n+1$. \item Calculons $T(n)$.\\ On a :\\ $T(n)=n+T(n-1)=n+(n-1)+T(n-2)=...=n+(n-1)+....+2+T(1)$ On a :\\ $T(n)=n+(n-1)+...+(\ 2)+1$ et\\ $T(n)=1+(\ 2)+...+(n-1)+n$ \\ en ajoutant ces 2 sommes termes \`a terme on obtient :\\ $2T(n)=(n+1)+(n-1+2)+...(2+n-1)+(n+1)$\\ Donc $2T(n)$ est la somme de $n$ termes \'egaux \`a $n+1$ donc : $$T(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$ On v\'erifie pour $n=7$ on a $T(7)=7*8/2=28$\\ \item Pour calculer $T(36)$, il suffit d'appliquer la formule :\\ $T(n)=0+1+2+3+...+n=\sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ pour $n=36$.\\ On obtient : $T(36)=36*37/2=18*37=666$ \item Calculons $T(n)+T(n+1)$.\\ $T(n)+T(n+1)=\frac{n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}$\\ Donc $T(n)+T(n+1)=(n+1)^2$ \item Calculons $8T(n)+1$.\\ $8T(n)+1=8\frac{n(n+1)}{2}+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$\\ On a bien $8*T(7)+1=224+1=225=15^2$.\\ On peut aussi voir cette relation graphiquement :\\ \begin{verbatim} \end{verbatim} On tape pour faire un escalier de $n$ marches de dimension $|s|$\`a partir du point d'affixe $z$ qui monte vers la droite ($s>0$) ou vers la gauche ($s<0$): \begin{verbatim} escalier(z,n,s):={ local j,L; L:=NULL; pour j de 1 jusque n faire L:=L,segment(z,z+abs(s)*i); z:=z+abs(s)*i; L:=L,segment(z,z+s*1); z:=z+s*1; fpour; retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt escalier(1/2,3,1);}\\ {\tt escalier(-1/2,3,-1);}\\ {\tt escalier(2,3,1/2);}\\ {\tt escalier(-2,3,-1/2);}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisesc}\\ On tape pour visualiser la formule $8*T(n)+1=b^2$ avec $n=5$ et $b=2*5+1=11$:\\ \begin{verbatim} papier_quadrille(1,pi/2,1,x=-5..6,y=-5..6); carre(0,1,affichage=1+rempli); segment(-1,6,affichage=1+epaisseur_ligne_3); segment(-5+i,2+i,affichage=1+epaisseur_ligne_3); segment(1-i,1+6*i,affichage=1+epaisseur_ligne_3); segment(-5*i,2*i,affichage=1+epaisseur_ligne_3); affichage(escalier(-5-5*i,5,1), 1+epaisseur_ligne_3); affichage(escalier(5-5*i,5,-1), 1+epaisseur_ligne_3); affichage(escalier(i,5,-1), 1+epaisseur_ligne_3); affichage(es:=escalier(1,5,1), 1+epaisseur_ligne_3); carre(-5-5*i,6-5*i,affichage=1+epaisseur_ligne_3); affichage([es,segment(6+5*i,6),segment(6,1)],0+epaisseur_ligne_3); \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisesc1}\\ \item Montrons que 55,5050, ..$5*10^{2*p+1}+5*10^{p}$ sont des nombres triangulaires.\\ Pour montrer que 55 est un nombre triangulaire, on cherche si il existe un entier $n$ tel que $n(n+1)/2=55$.\\ $n$ doit v\'erifier :\\ $n(n+1)=110=11*10$ donc $n=10$ est solution. On a donc $55=T(10)$\\ Pour 5050, on cherche \`a r'esoudre :\\ $n(n+1)=5050*2=10100=100*101$ donc $n=10$ est solution.\\ On a donc $5050=T(100)$\\ Plus g\'en\'eralement on cherche \`a r'esoudre :\\ $n(n+1)=2*(5*10^{2*p+1}+5*10^{p})=10^{2*p+2}+10^{p+1}=10^{p+1}(10^{p+1}+1)$\\ donc $n=10^{p+1}$ est solution.\\ On a donc $5*10^{2*p+1}+5*10^{p}=T(10^{p+1})$\\ On v\'erifie :\\ Pour $55$ $p=0$ et $55=T(10^1)$, pour $5050$ $p=1$ et $55=T(10^2)$ \item Montrons que $T(n+1)^2-T(n)^2=(n+1)^3$.\\ On a :\\ $\displaystyle T(n+1)^2-T(n)^2=\frac{(n+1)^2(n+2)^2-n^2(n+1)^2}{4}=(n+1)^2\frac{(n+2)^2-n^2}{4}=((n+1)^2(n+1)=(n+1)^3$ \end{enumerate} \subsection{Pour chercher : tout entier est-il la somme de nombres triangulaires distincts ?} Le math\'ematicien Karl friedrich Gauss (1777-1855) a montr\'e que :\\ "Tout nombre est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires"\\ L'exercice propos\'e ici est de savoir quels sont les entiers qui sont la somme de nombres triangulaires distincts.\\ La r\'eponse est OUI pour les entiers $n>33$.\\ C'est ce qu'il faut d\'emontrer ! Pour cela on cherchera dans un premier temps quels sont les entiers $n\leq 45$ qui sont la somme de nombres triangulaires distincts.\\ Puis on montrera que les entiers $n\leq T(12)=78$ sont la somme de nombres triangulaires distincts.\\ Enfin on montera par r\'ecurrence que :\\ tous les entiers $n>33$ sont la somme de nombres triangulaires distincts.\\ On tape :\\ {\tt (n*(n+1)/2)\$ (n=0..15)}\\ On obtient :\\ {\tt 0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120}\\ Les nombres triangulaires pour $0 \leq n \leq 15$ sont :\\ 0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120)\\ On voit que :\\ 2,5,8,12,23,33 ne peuvent pas \^etre a somme de nombres triangulaires distincts.\\ En effet :\\ les seuls nombres triangulaire inf\'erieurs \`a 2 sont 0, 1\\ les seuls nombres triangulaire inf\'erieurs \`a 5 sont 0, 1, 3\\ les seuls nombres triangulaire inf\'erieurs \`a 8 sont 0, 1, 3, 6\\ les seuls nombres triangulaire inf\'erieurs \`a 12 sont 0, 1, 3, 6, 10 et\\ 1+3+6=10<10+1<12<10+3\\ les seuls nombres triangulaire inf\'erieurs \`a 23 sont 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 et \\ 10+1+3+6=20<15+6+1=21+1=22<23<21+3=24\\ les seuls nombres triangulaire inf\'erieurs \`a 33 sont 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 et\\ 28+3+1=21+10+1=15+10+6+1=32<33<15+10+6+3)34\\ On remarquera que pour tout $p\in \N^*$ on a :\\ si $n=T(p)$ (resp $n=1+T(p)$) on a $n=T(0)+T(p)$ (resp $n=T(1)+T(p)$) donc $n$ est la somme de nombres triangulaires diff\'erents.\\ Dans la suite de la d\'emonstration, on n'\'etudiera que les entiers $n$ qui ne sont pas des nombres triangulaires ou des nombres triangulaires plus 1.\\ On a $0=T(0)$\\ $1=T(1)$\\ $2=2*T(1)$ pas distinct\\ $3=0+3=T(0)+T(2)$\\ $4=1+3=T(1)+T(2)$\\ $5=2*T(1)+T(2)$ pas distinct\\ $6=0+6=T(0)+T(3)$ $7=1+6=T(1)+T(3)$\\ $8=2*T(1)+T(3)$ pas distinct\\ $9=3+6=T(2)+T(3)$\\ $10=0+10=T(0)+T(4)$\\ $11=1+10=T(1)+T(4)$\\ $12=2*T(1)+T(4)$ pas distinct\\ $13=3+10=T(2)+T(4)$\\ $14=1+3+10=T(1)+T(2)+T(4)$\\ $15=0+15=T(0)+T(5)$\\ $16=1+15=T(1)+T(5)$\\ $17=1+6+10=T(1)+T(3)+T(4)$\\ $18=3+15=T(2)+T(5)$\\ $19=1+3+15=T(1)+T(2)+T(5)$\\ $20=1+3+6+10=T(1)+T(2)+T(3)+T(4)$\\ $21=0+21=T(0)+T(6)$\\ $22=1+21=T(1)+T(6)$\\ $23=2*T(1)+T(6)$ pas distinct\\ $24=3+21=T(2)+T(6)$\\ $25=10+15=T(4)+T(5)$\\ $26=1+10+15=T(1)+T(4)+T(5)$\\ $27=6+21=T(3)+T(6)$\\ $28=0+28=T(0)+T(7)$\\ $29=1+28=T(1)+T(7)$\\ $30=3+6+21=T(2)+T(3)+T(6)$\\ $31=3+28=T(2)+T(7)$\\ $32=1+3+28=T(1)+T(2)+T(7)$\\ $33=2*T(1)+T(2)+T(7)$ pas distinct\\ $34=6+28=T(3)+T(7)$\\ $35=1+6+28=T(1)+T(3)+T(7)$\\ $36=0+36=T(0)+T(8)$\\ $37=1+36=T(1)+T(8)$\\ $38=10+28=T(4)+T(7)$\\ $39=3+36=T(2)+T(8)$\\ $40=1+3+36=T(1)+T(2)+T(8)$\\ $41=3+10+28=T(2)+T(4)+T(7)$\\ $42=1+3+28=T(1)+T(2)+T(7)$\\ $43=1+6+36=T(1)+T(3)+T(8)$\\ $44=6+10+28=T(3)+T(4)+T(7)$\\ $45=0+45=T(0)+T(9)$\\ Montrons que si $n>33$ alors $n$ est la somme de nombres triangulaires diff\'erents.\\ On note pour $p\in \N$, $P(p)$ la propri\'et\'e : si $n\in \N$ et $3312$, on a $n=T(p-3)+d$ avec $34<3p-2 12$ on a $4p-36$.\\ Donc $d$ v\'erifie l'hypoth\`ese de r\'ecurrence donc $d$ est la somme de nombres triangulaires diff\'erents et strictement inf\'erieurs \`a $T(p-3)$.\\ Donc $n=T(p-3)+d$ est la somme de nombres triangulaires diff\'erents. \end{itemize} \end{itemize} On a donc montr\'e qui si $p\geq 12$ tout entier $n>33$ est la la somme de nombres triangulaires diff\'erents.\\ Donc \`a part les entiers $2,5,8,12,23,33$, tout entier est la somme de nombres triangulaires diff\'erents. \section{Combien de morceaux ?} On coupe un gateau circulaire avec un couteau. Chaque coup de couteau se fait selon une droite$n$ coups Combien de moceaux peut-on faire en coupant ce gateau circulaire avec $n$ coups de couteau ? {\bf Une solution}\\ On sait qu'avec 1 coups de couteaux on peut faire 2 morceaux.\\ On sait qu'avec 2 coups de couteaux on peut faire 4 morceaux.\\ Pour $n=3$ la r\'eonse est 7.\\ Pour $n=4$ la r\'eonse est 11.\\ Faites un dessin repr\'esentant pour $n=3$ les 7 morceaux.\\ Faites un dessin repr\'esentant pour $n=4$ les 11 morceaux.\\ Si le gateau est tres gros combien de morceaux avec $n$ coups de couteau ?\\ Pour $n=1$ on a 2 morceaux, \\ Pour $n=2$, on partage ces 2 morceaux en 2 donc $n=4$\\ Pour $n=3$, le 3i\`eme coup de couteau va couper les 2 coupures pr\'ec\'edentes selon 2 points et traverse 3 r\'egions qui sont donc coup\'ees en 2 : cela donne 2*3+(4-3)=7 morceaux.\\ \includegraphics[width=8cm]{coupure3}\\ Pour $n=4$, le 4i\`eme coup de couteau va couper les 3 coupures pr\'ec\'edentes selon 3 points et traverse 4 r\'egions qui sont donc coup\'ees en 2 : cela donne 2*4+(7-4)=11 morceaux\\ \includegraphics[width=8cm]{coupure4}\\ Pour $n=5$, le 5i\`eme coup de couteau va couper les 4 coupures pr\'ec\'edentes selon 4 points et traverse 5 r\'egions qui sont donc coup\'ees en 2 : cela donne donc 2*5+(11-5)=16 morceaux\\ \includegraphics[width=8cm]{coupure5}\\ De fa\c{c}on g\'en\'erale on a :\\ $c(n)=2*n+(c(n-1)-n)=c(n-1)+n$ avec $c(1)=2$ Donc $c(n)=n+(n-1)+...+3+2+c(1)=n(n+1)/2+1=(n^2+n+2)/2$ On tape :\\ {\tt ((n\verb|^|2+n+2)/2)\$(n=1..20)}\\ On obtient :\\ {\tt 2,4,7,11,16,22,29,37,46,56,67,79,92,106,121,137,154,172,191,211} \chapter{G\'eom\'etrie 2d} \section{Cercle et Arc de cercle} Voici les commandes de {\tt Xcas} qui permettent de faire un cercle :\\ {\tt cercle} ou {\tt circle} permet de d\'efinir un cercle et un arc de cercle. {\tt arc} permet de d\'efinir un arc par 2 points et son angle au centre. Si on veut dessiner un cercle {\tt cercle} ou {\tt circle} a 1 ou 2 arguments : \begin{itemize} \item son \'equation.\\ Par exemple {\tt cercle((x-1)\verb|^|2+(y-2)\verb|^|2=1)} \item son centre et son rayon le centre \'etant un point et le rayon un nombre r\'eel.\\ Par exemple : {\tt cercle(point(1,2),1)} \item son diam\`etre : les arguments sont alors 2 points.\\ Par exemple : {\tt cercle(point(1,2),point(0,3))} \end{itemize} Si on veut dessiner un arc de cercle $AB$ on utilise : \begin{enumerate} \item {\tt cercle} ou {\tt circle} a 4 arguments \begin{itemize} \item son centre, son rayon et les angles aux centres des points $A$ et $B$ (les arguments sont alors un point (pour le centre), 3 nombres r\'eels pour le rayon et les 2 angles au centre). C'est l'axe d\'efinit par le diam\`etre qui d\'etermine l'origine pour la mesure des angles au centre.\\ Par exemple : {\tt cercle(point(1,2),1,pi/4,pi/2)} \item son diam\`etre et les angles aux centres des points $A$ et $B$ (les arguments sont alors 2 points et 2 nombres r\'eels).\\ Par exemple : {\tt cercle(point(1,2),point(0,3),pi/6,2pi/3)}\\ {\bf Attention}\\ {\tt cercle(point(0,3),point(1,2),pi/6,2pi/3)} et {\tt cercle(point(1,2),point(0,3),pi/6,2pi/3)} sont des arcs sym\'etriques par rapport au diam\`etre \end{itemize} \item {\tt arc} avec 3,4 ou 5 arguments \begin{itemize} \item les 3 arguments sont 2 points qui sont les extr\'emit\'es de l'arc et l'angle au centre.\\ Par exemple : {\tt arc(point(1,2),point(0,3),pi/2)} \item avec 4 ou 5 arguments, on rajoute le nom d'1 ou 2 variables qui donneront le centre et le rayon du cercle contenant cet arc.\\ Par exemple : {\tt arc(point(1,2),point(0,3),pi/2,C)} dessinne l'arc et le point {\tt C} qui est le centre du cercle supportant l'arc ({\tt coordonnees(C)} renvoie {\tt [0,2]}) ou\\ {\tt arc(point(1,2),point(0,3),pi/2,C,r)} dessinne l'arc et le point {\tt C} qui est le centre du cercle supportant l'arc ({\tt coordonnees(C)} renvoie {\tt [0,2]}) et {\tt r} renvoie {\tt 1}. \end{itemize} \end{enumerate} {\bf Remarque}\\ On peut rajouter un dernier argument aux commandes tr\'ec\'edentes pour g\'erer l'affichage par exemple :\\ {\tt cercle(point(1,2),point(0,3),pi/6,2pi/3,affichage=rempli+4)}\\ {\tt arc(point(1,2),point(0,3),pi/2,affichage=rempli+1)} \section{Reproduction d'un tableau de Robert Delaunay} Voici Disque de Robert Delaunay reproduit avec {\tt Xcas}:\\ \includegraphics[width=\textwidth]{delaunay} \begin{verbatim} cercle(0,7,0,pi/2,affichage=rempli+192); cercle(0,6,0,pi/2,affichage=rempli+123); cercle(0,5,0,pi/2,affichage=rempli+88); cercle(0,4,0,pi/2,affichage=rempli+192); cercle(0,3,0,pi/2,affichage=rempli+95); cercle(0,2,0,pi/2,affichage=rempli+195); cercle(0,1.5,0,pi/2,affichage=rempli+172); cercle(0,7,pi/2,pi,affichage=rempli+160); cercle(0,6,pi/2,pi,affichage=rempli+88); cercle(0,5,pi/2,pi,affichage=rempli+7); cercle(0,4,pi/2,pi,affichage=rempli+164); cercle(0,3,pi/2,pi,affichage=rempli+236); cercle(0,2,pi/2,pi,affichage=rempli+208); cercle(0,1.5,pi/2,pi,affichage=rempli+172); cercle(0,7,pi,3pi/2,affichage=rempli+88); cercle(0,6,pi,3pi/2,affichage=rempli+232); cercle(0,5,pi,3pi/2,affichage=rempli); cercle(0,4,pi,3pi/2,affichage=rempli+132); cercle(0,3,pi,3pi/2,affichage=rempli+7); cercle(0,2,pi,3pi/2,affichage=rempli+93); cercle(0,1.5,pi,3pi/2,affichage=rempli+220); cercle(0,7,3pi/2,pi*2,affichage=rempli+128); cercle(0,6,3pi/2,pi*2,affichage=rempli+7); cercle(0,5,3pi/2,pi*2,affichage=rempli); cercle(0,4,3pi/2,pi*2,affichage=rempli+24); cercle(0,3,3pi/2,pi*2,affichage=rempli+94); cercle(0,2,3pi/2,pi*2,affichage=rempli+117); cercle(0,1.5,3pi/2,pi*2,affichage=rempli+216); \end{verbatim} \section{Un dessin r\'ecursif} Soit un carr\'e de c\^ot\'e $2*n$. On r\'ealise sur ce carr\'e le dessin suivant :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{carres1}\\ le carr\`e dessin\'e en pointill\'e a comme c\^ot\'e $n$ et le bord est constitu\'e de triangles rectangles isoc\`eles de c\^ot\'e $n/2$.\\ On fait ensuite le m\^eme dessin sur le carr\'e en pointill\'e etc ...\\ Voici par exemple le carr\'e lorsque l'on a reproduit le dessin 4 fois :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{carres2}\\ Voici le programme (on ne dessine que les triangles rouges) :\\ \begin{verbatim} carres(n):={ local L; L:=NULL; si n>0.5 alors L:=L,triangle(n/2,n,n/2+i*n/2,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(n/2*(1+i),n+i*n/2,n+i*n,affichage=rempli+1); L:=L, triangle(n/2*(1+i),n/2+i*n,i*n,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(i*n/2,i*n,i*n/2-n/2,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(i*n/2*(1+i),i*n-n/2,-n+i*n,affichage=rempli+1); L:=L, triangle(i*n/2*(1+i),i*n/2-n,-n,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(-n/2,-n,-n/2-i*n/2,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(-n/2*(1+i),-n-i*n/2,-n-i*n,affichage=rempli+1); L:=L, triangle(-n/2*(1+i),-n/2-i*n,-i*n,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(-i*n/2,-i*n,-i*n/2+n/2,affichage=rempli+1); L:=L,triangle(-i*n/2*(1+i),-i*n+n/2,n-i*n,affichage=rempli+1); L:=L, triangle(-i*n/2*(1+i),-i*n/2+n,n,affichage=rempli+1); L:=L,carres(n/2); fsi; return L}:; \end{verbatim} Puis on fait le fond bleu avec :\\ {\tt carre(-8*(1+i),8*(1-i),affichage=rempli+4)}\\ On tape:\\ {\tt carre(-8*(1+i),8*(1-i),affichage=rempli+4),carres(8)} et on obtient le dessin ci-dessus. \section{Le trap\`eze}\index{quadrilatere} \subsubsection{Longueur du segment joignant les milieux des c\^ot\'es non parall\`eles et aire d'un trap\`eze} Soient $ABD$ un trap\`eze : $AB//DC$ ,$AB=a,DC=b$), $M$ le milieu de $AD$, $N$ le milieu de $BC$ et les parall\`eles $AB$ et $DC$ sont distantes de $h$. \begin{itemize} \item Calculer la longueur du segment $MN$ en fonction de $a$ et $b$. \item Calculer l'aire du trap\`eze en fonction de $a$ et $b$ et $h$. \item Faire un dessin qui montre ces r\'esultats d'un coup d'{\oe}il. \end{itemize} On fait les dessins :\\ la figure 1 est obtenue en tra\c{c}ant un trap\`eze et son sym\'etrique par rapport \`a $M$ et on obtient un parall\'elogramme dont 2 c\^ot\'es parall\'eles sont de longueur $2MN$ distant de $h$,\\ la figure 2 est obtenue en tra\c{c}ant les segments perpendiculaires \`a $AB$ passant par $M$ et $N$ et on obtient un rectangle dont les c\^ot\'es ont pour longueur $MN$ et $h$ \\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapaire}\\ On montre facilement que $\displaystyle MN=\frac{a+b}{2}$ et que l'aire du trap\`eze vaut $\displaystyle h(\frac{a+b}{2})$.\\ En effet :\\ la figure 1 est obtenue en tracant un trap\`eze et son sym\'etrique par rapport \`a $M$ ce qui forme un parall\'elogramme donc $2MN=a+b$. L'aire du trap\`eze est \'egale \`a l'aire du parall\'elogramme et vaut donc $\displaystyle h(\frac{a+b}{2})$.\\ la figure 2 on a $MN=AB-x-y=CD+x+y$ o\`u $x$ (resp $y$) sont les longueurs des segments en bleu (resp vert). Donc $2*MN=AB-x-yCD+x+y=AB+CD=a+b$.\\ L'aire du trap\`eze est \'egale \`a l'aire du rectangle et vaut donc $\displaystyle h(\frac{a+b}{2})$. \subsubsection{Pavage avec un trap\`eze} %voir pythagores.xws Soit un trap\`eze $ABCD$ rectangle en $A$ et v\'erifiant : $AB=2DC=2AD$.\\ On dira que ce trap\`eze est \`a droite si $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=+\pi/2$ et qu'il est \`a gauche si $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=-\pi/2$ \begin{itemize} \item Avec {\tt Xcas}, \'ecrire une fonction {\tt trapd(A,B)} (resp {\tt trapg(A,B)}) qui \'etant donn\'e {\tt A} et {\tt B} dessine le trap\`eze \`a droite (resp \`a gauche) {\tt ABCD} (on pourra dans un premier temps suppos\'e que le segment $AB$ est horizontal, dans un deuxi\`eme temps que le segment $AB$ est horizontal ou vertical et dans un troisi\`eme temps (trop difficile pour la classe de troisi\`eme) que le segment $AB$ est quelconque.\\ \item Pour faire le dessin avec {\tt Xcas}, en colorant la surface de ces trap\`ezes, modifier les fonctions pr\'ec\'edentes en {\tt trapdr(A,B,c)} et {\tt trapgr(A,B,c)} pour que \'etant donn\'e {\tt A} et {\tt B} ces fonctions dessinent le trap\`eze {\tt ABCD} \`a droite et le trap\`eze \`a gauche) dont la surface est de couleur {\tt c} (on pourra dans un premier temps suppos\'e que le segment $AB$ est horizontal etc...).\\ \item Lorsque $ABCD$ est un trap\`eze \`a droite trouver un pavage de $ABCD$ par 4 trap\`ezes de m\^eme dimension \`a savoir 3 trap\`ezes rectangles \`a droite et 1 trap\`eze rectangle \`a gauche. \item m\^eme question lorsque $ABCD$ est un trap\`eze \`a gauche. \item Faire le dessin de ces pavages avec {\tt Xcas} en utilisant {\tt trapd(A,B)} et {\tt trapg(A,B)}. \item Modifier {\tt trapd(A,B)} (resp {\tt trapg(A,B)}) en supposant que le segment $AB$ est horizontal ou vertical.\\ \item La chambre d'un trap\'eziste a la forme d'un rectangle $ABCD$ $AB=4.5m$ et $AD=3m$. Il veut paver sa chambre avec 4 trap\`ezes rectangles de couleur diff\'erentes (\`a droite ou \`a gauche). Donner lui un ou plusieurs exemple de pavages. \item \'Ecrire une fonction {\tt trapd2(A,B)} et {\tt trapg2(A,B)} qui \'etant donn\'e {\tt A} et {\tt B} ($AB$ horizontal ou vertical) dessine le trap\`eze {\tt ABCD} dans lequel les 4 trap\`ezes formant le pavage sont eux aussi pav\'es par 4 trap\`ezes. \item Paver la chambre du trap\'eziste avec 4*4=16 trap\`ezes \`a droite ou \`a gauche en utilisant trapg2(A,B). Donnerlui un ou plusieurs exemple de pavages. \end{itemize} {\bf La solution}\\ \begin{itemize} \item On suppose que $AB$ est horizontal, on tape : \begin{verbatim} trapd(A,B):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; D:=point(a1,a2+(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2+(b1-a1)/2); retourne quadrilatere(A,B,C,D); }:; trapg(A,B):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; D:=point(a1,a2-(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2-(b1-a1)/2); retourne quadrilatere(A,B,C,D); }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt trapd(0,10),trapg(20,10)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapedg} \item Avec des trap\`ezes remplis avec la couleur $c$ : \begin{verbatim} trapdr(A,B,c):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; D:=point(a1,a2+(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2+(b1-a1)/2); retourne quadrilatere(A,B,C,D,affichage=rempli+c); }:; trapgr(A,B,c):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; D:=point(a1,a2-(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2-(b1-a1)/2); retourne quadrilatere(A,B,C,D,affichage=rempli+c); }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt trapdr(0,10,1),trapgr(20,10,2)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapedgr} \item Le pavage du trap\`eze droit (on suppose que $AB$ est horizontal) avec 4 trap\`ezes non rempli et rempli.\\ On remarquera qu'il est inutile de tracer le trap\`eze pour lequel les bases sont verticales. \begin{verbatim} pavaged(A,B):={ local a1,a2,b1,b2,E,F,G,L; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; L:=trapd(A,B); G:=milieu(A,B); L:=L,trapd(G,B); E:=point(a1+(b1-a1)/4,a2+(b1-a1)/4); F:=point(a1+3*(b1-a1)/4,a2+(b1-a1)/4); L:=L,trapd(E,F); L:=L,trapg(G,A); retourne L; }:; pavagedr(A,B,c1,c2,c3,c4):={ local a1,a2,b1,b2,E,F,G,L; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; L:=trapdr(A,B,c1); G:=milieu(A,B); L:=L,trapdr(G,B,c2); E:=point(a1+(b1-a1)/4,a2+(b1-a1)/4); F:=point(a1+3*(b1-a1)/4,a2+(b1-a1)/4); L:=L,trapdr(E,F,c3); L:=L,trapgr(G,A,c4); retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt pavaged(0,10),pavagedr(point(12),point(25),1,2,3,4)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{pavagedr} \item Le pavage du trap\`eze gauche (on suppose que $AB$ est horizontal) avec 4 trap\`ezes non rempli et rempli.\\ On remarquera qu'il est inutile de tracer le trap\`eze pour lequel $AB$ est vertical. \begin{verbatim} pavageg(A,B):={ local a1,a2,b1,b2,E,F,G,L; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; L:=trapg(A,B); L:=L,trapg(milieu(A,B),B); E:=point(a1+(b1-a1)/4,a2-(b1-a1)/4); F:=point(a1+3*(b1-a1)/4,a2-(b1-a1)/4); L:=L,trapg(E,F); G:=point(a1+(b1-a1)/2,a2) L:=L,trapd(G,A); retourne L; }:; pavagegr(A,B,c1,c2,c3,c4):={ local a1,a2,b1,b2,E,F,G,L; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si b2!=a2 alors retourne "AB n'est pas horizontal"; fsi; L:=trapgr(A,B,c1); G:=milieu(A,B); L:=L,trapgr(G,B,c2); E:=point(a1+(b1-a1)/4,a2-(b1-a1)/4); F:=point(a1+3*(b1-a1)/4,a2-(b1-a1)/4); L:=L,trapgr(E,F,c3); L:=L,trapdr(G,A,c4); retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt pavageg(10,0),pavagegr(point(22),point(12))}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{pavagegr} \item On suppose que $AB$ est horizontal ou vertical, on tape : \begin{verbatim} trapdv(A,B):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si (a1!=b1 et b2!=a2) alors retourne "AB n'est ni horizontal ni vertical"; fsi; si (a2==b2) alors D:=point(a1,a2+(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2+(b1-a1)/2); sinon D:=point(a1-(b2-a2)/2,a2); C:=point(a1-(b2-a2)/2,a2+(b2-a2)/2); fsi retourne quadrilatere(A,B,C,D); }:; trapdvr(A,B,coul):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si (a1!=b1 et b2!=a2) alors retourne "AB n'est ni horizontal ni vertical"; fsi; si (a2==b2) alors D:=point(a1,a2+(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2+(b1-a1)/2); sinon D:=point(a1-(b2-a2)/2,a2); C:=point(a1-(b2-a2)/2,a2+(b2-a2)/2); fsi retourne quadrilatere(A,B,C,D,affichage=rempli+coul); }:; trapgv(A,B):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si (a1!=b1 et b2!=a2) alors retourne "AB n'est ni horizontal ni vertical"; fsi; si (a2==b2) alors D:=point(a1,a2-(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2-(b1-a1)/2); sinon D:=point(a1+(b2-a2)/2,a2); C:=point(a1+(b2-a2)/2,a2+(b2-a2)/2); fsi retourne quadrilatere(A,B,C,D); }:; trapgvr(A,B,coul):={ local a1,a2,b1,b2,D,C; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si (a1!=b1 et b2!=a2) alors retourne "AB n'est ni horizontal ni vertical"; fsi; si (a2==b2) alors D:=point(a1,a2-(b1-a1)/2); C:=point(a1+(b1-a1)/2,a2-(b1-a1)/2); sinon D:=point(a1+(b2-a2)/2,a2); C:=point(a1+(b2-a2)/2,a2+(b2-a2)/2); fsi retourne quadrilatere(A,B,C,D,affichage=rempli+coul); }:; \end{verbatim} \item On peut r\'e\'ecrire les fonctions pavages lorsqu'on suppose $AB$ horizontal ou vertical.\\ On tape pour avoir le pavage droit avec 4 trap\`ezes rempli avec les couleurs $c1,c2,c3,c4$ : \begin{verbatim} pavagedvr(A,B,c1,c2,c3,c4):={ local a1,a2,b1,b2,E,F,G,L; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si (b2!=a2 et a1!=b1) alors retourne "AB n'est ni horizontal ni vertical"; fsi; G:=milieu(A,B); L:=trapdvr(G,B,c2); L:=L,trapgvr(G,A,c4); si (a2==b2) alors L:=L,trapdvr(point(a1,a2+(b1-a1)/2),A,c1); E:=point(a1+(b1-a1)/4,a2+(b1-a1)/4); F:=point(a1+3*(b1-a1)/4,a2+(b1-a1)/4); L:=L,trapdvr(E,F,c3); sinon L:=L,trapdvr(point(a1-(b2-a2)/2,a2),A,c1); E:=point(a1-(b2-a2)/4,a2+(b2-a2)/4); F:=point(a1-(b2-a2)/4,a2+3*(b2-a2)/4); L:=L,trapdvr(E,F,c3); fsi; retourne L; }:; \end{verbatim} On tape pour avoir le pavage droit avec 4 trap\`ezes rempli avec les couleurs $c1,c2,c3,c4$ : \begin{verbatim} pavagegvr(A,B,c1,c2,c3,c4):={ local a1,a2,b1,b2,E,F,G,L; a1:=abscisse(A); b1:=abscisse(B); a2:=ordonnee(A); b2:=ordonnee(B); si (b2!=a2 et a1!=b1) alors retourne "AB n'est ni horizontal ni vertical"; fsi; G:=milieu(A,B); L:=trapgvr(G,B,c2); L:=L,trapdvr(G,A,c4); si (a2==b2) alors L:=L,trapgvr(point(a1,(a1-b1)/2),A,c1); E:=point(a1+(b1-a1)/4,a2-(b1-a1)/4); F:=point(a1+3*(b1-a1)/4,a2-(b1-a1)/4); L:=L,trapgvr(E,F,c3); sinon L:=L,trapgvr(point(a1+(b2-a2)/2,a2),A,c1); E:=point(a1+(b2-a2)/4,a2+(b2-a2)/4); F:=point(a1+(b2-a2)/4,a2+3*(b2-a2)/4); L:=L,trapgvr(E,F,c3); fsi; retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt pavagedvr(0,10*i,1,2,3,4),pavagegvr(2,2+10i,1,2,3,4)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{pavagedgv} \item \begin{verbatim} trapezist4(c1,c2,c3,c4):={ local L; L:=trapgvr(3,0,c1); L:=L,trapdvr(3*i,0,c2); L:=L,trapdvr(4.5,4.5+3*i,c3); L:=L,trapgvr(1.5+3*i,4.5+3*i,c4); retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt trapezist4(1,2,3,4)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapezist4}\\ une autre possibilit\'e : \begin{verbatim} trapeziste4(c1,c2,c3,c4):={ local L; L:=trapdvr(0,3,c1); L:=L,trapdvr(4.5+1.5*i,1.5+1.5*i,c2); L:=L,trapgvr(3*i,3+3*i,c3); L:=L,trapgvr(4.5+1.5*i,1.5+1.5*i,c4); retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt trapeziste4(1,2,3,4)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapesiste4} \item Pavage avec 16 trap\`ezes \begin{verbatim} trapezist16(c1,c2,c3,c4):={ local L; L:=pavagegvr(3,0,c2,c3,c1,c4); L:=L,pavagedvr(3*i,0,c4,c1,c2,c3); L:=L,pavagedvr(4.5,4.5+3*i,c1,c4,c3,c2); L:=L,pavagegvr(1.5+3*i,4.5+3*i,c3,c2,c4,c1); retourne L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt trapezist16(1,2,3,4)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapeze16} \item Un exemple de pavage d'un carr\'e avec 24 trap\`ezes \begin{verbatim} tapis(c1,c2,c3,c4):={ local L; L:=pavagedvr(0,3,c1,c2,c3,c4); L:=L,pavagedvr(4.5,4.5+3*i,c1,c2,c3,c4); L:=L,pavagedvr(4.5+4.5*i,1.5+4.5*i,c1,c2,c3,c4); L:=L,pavagedvr(4.5*i,1.5*i,c1,c2,c3,c4); L:=L,trapgvr(2.25+2.25*i,3.75+2.25*i,c1); L:=L,trapgvr(2.25+2.25*i,2.25+3.75*i,c2); L:=L,trapgvr(2.25+2.25*i,0.75+2.25*i,c1); L:=L,trapgvr(2.25+2.25*i,2.25+0.75*i,c2); L:=L,trapgvr(3+1.5*i,3,c4),trapgvr(3+3*i,4.5+3*i,c4); L:=L,trapgvr(1.5+3*i,1.5+4.5*i,c4); L:=L,trapgvr(1.5+1.5*i,1.5*i,c4); return L; }:; \end{verbatim} On tape :\\ {\tt tapis(1,2,3,4)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{traptapis} On tape :\\ {\tt tapis(161,172,183,194)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapetap} \end{itemize} \subsubsection{In\'egalit\'es entre les c\^ot\'es d'un trap\`eze} Soit un trap\`eze $MNPQ$ ayant comme petite base $MN=a$, comme grande base $PQ=b$ ($a\leq b$) et comme autres c\^ot\'es $NP=c$ et $MQ=d$.\\ Quelles in\'egalit\'es doivent v\'erifier $a,b,c,d$ pour que $a,b,c,d$ soient les c\^ot\'es d'un trap\`eze $MNPQ$ de petie base $MN=a$ et de grande base $PQ=b$ ($a\leq b$) ?\\ {\bf Avec la g\'eom\'etrie}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{trapeze1}\\ Soit $R$ tel que $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{NP}$. $MNPR$ est donc un parall\'elogramme de c\^ot\'es $a$ et $c$ et $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR}$ donc $QR=b-a$.\\ $MRQ$ est un triangle de c\^ot\'es : $MR=c$, $QR=b-a$ et $MQ=d$.\\ On peut toujours tracer un parall\'elogramme de c\^ot\'es $a$ et $c$ mais on ne peut tracer un triangle de c\^ot\'es $c$, $b-a$ et $d$ si et seulement si : $|d-c|0$, cela est \'equivalent \`a :\\ $-2c(b-a)<\ d^2-a^2-b^2-c^2+2ba\ <2c(b-a)$ ou encore :\\ $a^2+b^2+c^2-2ba-2cb+2ca0$ et $b-a+c>0$ :\\ $|b-a-c|0$ tel que :\\ $ABCD$ et $DCEF$ soient semblables avec $DC=k*AB$\\ $DCEF$ et $FGHA$ soient semblables avec $DC=k*GF$\\ Quelles sont les conditions pour que cela soit possible ? Les trap\`ezes $ABCD$ et $DCEF$ sont semblables donc il existe $k$ tel que :\\ $DC=k*AB$, $EF=k*CD$ et $CE=k*BC$.\\ Les trap\`ezes $DCEF$ et $FGHA$ sont semblables de rapport $k$ donc :\\ $HA=k*GF$ et $GF=k*CE$.\\ Posons $a=AB$ et $b=BC$ on a :\\ $CD=ka$, $GF=k^2a$, $HA=k^3a$ et $CE=kb$ et $GH=k^2b$.\\ Donc $AB=a$, $GE=2k^2a$, $HB=(1+k^3)a$, $BE=(1+k)b$ et $GH=k^2b$.\\ Donc puisque $HBEG$ est un carr\'e on a :\\ $GE=HB$ donc $1+k^3=2k^2$, $BE=HG$ donc $1+k=k^2$ et\\ $GE=HG$ donc $2k^2a=k^2b$ i.e. $b=2a$.\\ On tape :\\ {\tt solve(1+k\verb|^|3=2k\verb|^|2,k)}\\ On obtient :\\ {\tt [(-(sqrt(5))+1)/2,1,(sqrt(5)+1)/2]}\\ On tape :\\ {\tt solve(1+k=k\verb|^|2,k)}\\ On obtient :\\ {\tt [(-(sqrt(5))+1)/2,(sqrt(5)+1)/2]}\\ Donc pour que cela soit possible il faut que :\\ $b=2a$ et $\displaystyle k=\frac{1+\sqrt 5}{2}$ (on trouve pour $k$ le nombre d'or !).\\ On tape : \begin{verbatim} k:=(1+sqrt(5))/2; A:=point(3+4i,affichage=quadrant2); B:=point(4+4i,affichage=quadrant1); C:=point(4+2i,affichage=quadrant1); D:=point(4-k+2i,affichage=quadrant2); E:=point(4+(2-2*k)*i,affichage=quadrant1); F:=point(4-k^2+(2-2*k)*i,affichage=quadrant2); G:=point(4-2*k^2+(2-2*k)*i,affichage=quadrant2); H:=point(4-2*k^2+4*i,affichage=quadrant2); polygone(H,B,E,G); segment(C,D); segment(A,F); est_carre(H,B,E,G); \end{verbatim} On obtient la figure ci-dessus et {\tt est\_carre(H,B,E,G)} renvoie {\tt 1}.\\ Un exemple de pavage :\\ \includegraphics[width=10.5cm]{trapezes1} \section{Le bassin et la piscine} {\bf Les Bassins} %bassin.xws Voici 4 bassins $B-0,B_1,B_2,B_3$. Ils sont form\'es par un arc de cercle de rayon $r$ et d'angle au centre $a_0=2\pi$, $a_1=5\pi/3$, $a_2=3\pi/2$, $a_3=4\pi/3$ et on ferme les 3 derniers par un segment :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{bassin}\\ Calculer les aires $S_k$ de 4 bassins $B_k$ ($k=1,2,3$) en fonction de $r$.\\ Sur une bande de terre de largeur $a$, on veut implanter l'un de ces bassins (cf la figure ci-dessous).\\ \includegraphics[width=\textwidth]{bassin1}\\ Calculer pour chaque bassin la valeur de $r$ en fonction de $a$. Calculer en fonction de $a$ les aires $A_k$ de 4 bassins $B_k$ ($k=1,2,3$).\\ 0n suppose maintenant que $a=3$. \\ Quel est alors le bassin qui a la plus grande surface ?\\ Montrer que $B_3$ est inscrit dans un rectangle de largeur 3 et de longueur 4. On coupe alors les bassins $Bk$ ($k=0,1,2,3$) selon leur axe de sym\'etrie et on accole chacune des ces moiti\'es \`a un rectangle de fa\c{c}on \`a ce que chaque bassin soit inscrit dans un rectangle de largeur 3 et de longueur 4.\\ Calculer alors l'aire de ces nouveaux bassins $C_k$ ($k=0,1,2,3$)\\ Quel est alors le bassin $C_k$ ($k=0,1,2,3$) qui a la plus grande surface ?\\ {\bf Calcul \`a la main}\\ Pour calculer les aires des bassins, il faut connaitre l'aire d'un secteur angulaire et l'aire d'un triangle.\\ L'aire d'un triangle equilat\'eral de c\^ot\'e $r$ est $\sqrt 3 r^2/4$.\\ L'aire d'un triangle rectangle isoc\`ele de c\^ot\'es $r,r,r\sqrt 2$ est $r^2/2$.\\ L'aire d'un triangle isoc\`ele d'angle $2\pi/3,\pi/6,\pi/6$, de c\^ot\'es $r,r,r\sqrt 3$ est $\sqrt 3 r^2/4$.\\ On a :\\ $S_0=\pi r^2$\\ $S_1=5\pi r^2/6+\sqrt 3 r^2/4$\\ $S_2=3\pi r^2/4+r^2/2$\\ $S_3=2\pi r^2/3+\sqrt 3 r^2/4$\\ Pour calculer les rayons des bassins implant\'es sur une bande de terre de largeur $a$, on doit r\'esoudre les \'equations :\\ $a=2*r_0$ donc $r_0=a/2$\\ $a=r_1+r_1\sqrt 3/2$ donc $r_1=2a/(2+\sqrt 3)=2a(2-\sqrt 3)$\\ $a=r_2+r_2\sqrt 2/2$ donc $r_2=2a/(2+\sqrt 2)=a(2-\sqrt 2)$\\ $a=r_3+r_3/2$ donc $r_3=2a/3$\\ Les aires $A_k$ ($k=1,2,3$) des diff\'erents bassins sont donc :\\ $A_0(a)=\pi a^2/4$ $A_1(a)=5\pi r_1^2/6+\sqrt 3 r_1^2/4=4a^2(2-\sqrt 3)^2(5\pi/6+\sqrt 3/4)=a^2(7-4\sqrt 3)(10\pi/3+\sqrt 3) $\\ $A_2(a)=3\pi r_2^2/4+r_2^2/2=a^2(2-\sqrt 2)^2(3\pi/4+1/2)=(3\pi/2+1) a^2(3-\sqrt 2)$\\ $A_3(a)=2\pi r_3^2/3+\sqrt 3 r_3^2/4=4a^2/9(2\pi /3+\sqrt 3/4)=a^2(8\pi /27+\sqrt 3/9)$\\ Puis, on fait un calcul approch\'e avec {\tt Xcas}. {\bf Calcul avec {\tt Xcas}}\\ Pour le bassin $B_0$ son aire $S_0=\pi r^2$/ Pour les bassins $B_k$ ($k=1,2,3$), on cherche les coordonn\'ees des segments $A_kB_k$ qui ferment les bassins $B_k$.\\ Avec {\tt Xcas}, on tape pour faire le dessin :\\ {\tt assume(r=[1,-5,5,0.1])}\\ {\tt B0:=cercle(point(-5,0),r)}\\ {\tt B1:=cercle(-5/2,r,-pi/3,4*pi/3),\\ segment(-5/2+r*(-1/2-i*sqrt(3)/2),-5/2+r*(1/2-i*sqrt(3)/2))}\\ {\tt B2:=cercle(0,r,-pi/4,5*pi/4),\\ segment(r*(-sqrt(2)/2*(1+i)),r*(sqrt(2)/2*(1-i)))}\\ {\tt B3:=cercle(5/2,r,-pi/6,7*pi/6),\\ segment(5/2+r*(-sqrt(3)/2-i/2),5/2+r*(sqrt(3)/2-i/2))}\\ Pour calculer les aires, on tape :\\ {\tt S0:=aire(cercle(point(-5,0),r))}\\ On obtient :\\ {\tt pi*r\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt S1:=aire(cercle(-5/2,r,-pi/3,4*pi/3))+aire(triangle(\\ -5/2,-5/2+r*(-1/2-i*sqrt(3)/2),-5/2+r*(1/2-i*sqrt(3)/2)))}\\ On obtient :\\ {\tt 5*pi*r\verb|^|2/6+(sqrt(3))/4*r\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt S2:=aire(cercle(0,1,-pi/4,5*pi/4))+aire(triangle(\\ 0,r*(-sqrt(2)/2*(1+i)),r*(sqrt(2)/2*(1-i))))}\\ On obtient :\\ {\tt 3*pi*r\verb|^|2/4+1/2*r\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt S3:=aire(cercle(5/2,r,-pi/6,7*pi/6))+aire(triangle(\\ 5/2,5/2+r*(-sqrt(3)/2-i/2),5/2+r*(sqrt(3)/2-i/2)))}\\ On obtient :\\ {\tt 2*pi*r\verb|^|2/3+(sqrt(3))/4*r\verb|^|2}\\ Calcul des diff\'erents rayons.\\ On tape :\\ {\tt r0:=normal(solve(a=2*r,r))}\\ On obtient :\\ {\tt a/2}\\ On tape :\\ {\tt r1:=op(normal(solve(a=r+r*sqrt(3)/2,r)))}\\ On obtient :\\ {\tt (-2*sqrt(3)+4)*a}\\ On tape :\\ {\tt r2:=op(normal(solve(a=r+r*sqrt(2)/2,r)))}\\ On obtient :\\ {\tt (-(sqrt(2))+2)*a}\\ On tape :\\ {\tt r3:=op(normal(solve(a=r+r/2,r)))}\\ On obtient :\\ {\tt 2*a/3}\\ On tape :\\ {\tt A0:=evalf(subst(S0,r=r0))*a\verb|^|2}\\ On obtient :\\ {\tt 0.785398163397*a\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt A1:=evalf(subst(S1,r=r1))*a\verb|^|2}\\ On obtient :\\ {\tt 0.876209667375*a\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt evalf(subst(S2,r=r2))*a\verb|^|2}\\ On obtient :\\ {\tt A2:=0.980091001933*a\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt A3:=evalf(factoriser(subst(S3,r=r3))*a\verb|^|2)}\\ On obtient :\\ {\tt 1.12329235746*a\verb|^|2}\\ Donc :\\ $A_0\simeq 0.785398163397a^2$\\ $A_1\simeq 0.876209667375a^2$\\ $A_2\simeq 0.980091001933a^2$\\ $A_3\simeq 1.12329235746a^2$\\ Si $a=3$ on a alors :\\ $A_0\simeq 7.06858347057$\\ $A_1\simeq 7.88588700637$\\ $A_2\simeq 8.8208190174$\\ $A_3\simeq 10.1096312171$\\ Le bassin $C_0$ est constitu\'e de 2 demi-cercles de rayon 3/2 et d'un rectangle de c\^ot\'es 1 et 3.\\ Donc son aire vaut :\\ $9\pi/4+3 \simeq A_0+3 \simeq 10.0685834706$\\ Le bassin $C_1$ est constitu\'e de 2 demi-cercles de rayon :\\ $r_1=6(2-\sqrt 3)\simeq 1.60769515459$ et \\ d'un rectangle de c\^ot\'es $4-2r_1\simeq 0.784609690826$ et 3.\\ Donc son aire vaut :\\ $(5*\pi/6+\sqrt 3/4)*r1^2+3*(4-2*r1)\simeq A_1+3*0.784609690826\simeq 10.2397160788$\\ Le bassin $C_2$ est constitu\'e de 2 demi-cercles de rayon :\\ $r_2=3(2-\sqrt 2)\simeq 1.75735931288$ et \\ d'un rectangle de c\^ot\'es $4-2r_2\simeq 0.485281374239$ et 3.\\ Donc son aire vaut :\\ $3\pi r_2^2/4+r_2^2/2+3(4-2r_2)\simeq A_2+3*0.485281374239\simeq 10.2766631401$\\ Le bassin $C_3$ est le m\^eme que $B_3$.\\ Donc son aire vaut : $2\pi/3*2^2+\sqrt 3 \simeq 10.1096312171$\\ Dans ce cas le bassin le plus grand est $C_2$\\ {\bf La piscine}\\ Monsieur X veut faire une piscine s'inscrivant dans un rectangle de largeur $2$ unit\'es et de longueur $6$ unit\'es mais il veut que les 2 bords les plus petits soient arrondis.\\ On lui propose les 4 solutions $P_k$ ($k=0,1,2,3$) suivantes : \\ on coupe chaque bassin $Bk$ ($k=0,1,2,3$) selon son axe de sym\'etrie et on accole chacune des ces moiti\'es \`a un rectangle.\\ Voici les 4 propositons :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{bassin01}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{bassin23}\\ Dessiner ces 4 piscines avec {\tt Xcas} et calculer l'aire de ces 4 piscines.\\ Est-ce que l'aire de la plus grande piscine correspond \`a l'aire du plus grand bassin ? L'aire de la piscine $P_k$ est \'egale \`a la somme de l'aire du bassin $B_k$ et de l'aire du rectangle de largeur $a=2$ et de longueur $3a-2r_k=2(3-r_k)$. On tape :\\ {\tt a:=2}\\ On tape :\\ {\tt evalf(A0+2*(6-2*r0))}\\ On obtient :\\ {\tt 11.1415926536}\\ On tape :\\ {\tt evalf(A1+4*(3-r1))}\\ On obtient :\\ {\tt 11.2176515906}\\ On tape :\\ {\tt evalf(A2+4*(3-r2))}\\ On obtient :\\ {\tt 11.2340725067}\\ On tape :\\ {\tt evalf(A3+4*(3-r3))}\\ On obtient :\\ {\tt 11.1598360965}\\ $P_2$ est la plus grande piscine et elle correspond \`a l'aire du bassin $B_2$. En effet lorsque l'aire des bassins augmente, l'aire du rectangle int\'erieur diminue...donc on ne peut rien dire \`a priori. \section{Le puzzle des triangles de m\^eme aire} \subsection{Pour un cas particulier} Soit $ABC$ un triangle quelconque et soit $M$ le mileu de $BC$.\\ Comment faire un puzzle qui permet de reconstituer soit le triangle $AMC$, soit le triangle $MBC$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri} {\bf Solution} On remarque que cela est possible car les 2 triangles ont la m\^eme aire. On va faire un puzzle qui a 2 pi\`eces.\\ Soient $N$ le milieu de $BC$ et $P$ le milieu de $AC$.\\ D'apr\`es le th\'eor\`eme des milieux on a :\\ $MN$ est parall\`ele \`a $AC$ et $MP$ est parall\`ele \`a $BC$ \\ $MN=AC/2=AP=PC$ et $MP=BC/2=NB=NC$\\ Donc les triangles $AMP$ et $MBN$ sont \'egaux (ils ont 3 c\^ot\'es \'egaux) et \\ les triangles $PMC$ et $CMN$ sont \'egaux (ils ont 3 c\^ot\'es \'egaux).\\ D'o\`u le puzzle :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri1} {\bf Exercice }\\ On partage $AB$ en trois parties \'egales.Faire un puzzle qui permet de reconstituer les 3 triangles ainsi d\'etermin\'es.\\ Soient $ABC$ un triangle quelconque et 2 points $M$, $N$ du segment $AB$ tels que le $AM=MN=NB$.\\ Comment faire un puzzle qui permet de reconstituer soit le triangle $AMC$, soit le triangle $MNC$, soit le triangle $NBC$.\\ On fabrique les 2 pi\`eces qui permet de reconstituer les 2 triangles $AMC$ et $MNC$ en coupant selon les traits rouges issus de $M$ et selon le segment $CM$.\\ On fabrique les 2 pi\`eces qui permet de reconstituer les 2 triangles $MNC$ et $NBC$ en coupant selon les traits verts issus de $N$ et selon le segment $CN$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri2}\\ Dans le triangles $MNC$ le trait vert et le trait rouge se coupent en $I$ : le trait vert coupe les 2 pi\`eces rouges en 2 morceaux : ce qui donne un puzzle de 4 pi\`eces.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri3}\\ \subsection{Pour 2 triangles de m\^eme aire et ayant un c\^ot\'e de m\^eme longueur} On dispose ces 2 triangles selon les 2 triangles $ABC$ et $ADB$ avec $D$ et $C$ de part et d'autre du segment $AB$. Soit $M$ le point d'untesection de $AB$ et de $CD$.\\ Comme ces 2 triangles ont m\^eme aire, les hauteurs issues de $C$ et de $D$ sont \'egales et donc $C$ et $D$ sont sym\'etriques par rapport \`a $M$.\\ On consid\`ere le triangle $ADC$ : $M$ est le milieu de $CD$.\\ On est donc d'apr\`es l'exercice pr\'ec\'edent avec 2 pi\`eces on peut r\'ealiser soit le triangle $AMC$, soit le triangle $ADM$. De m\^eme, si on consid\`ere le triangle $BCD$ : $M$ est le milieu de $CD$. On est donc d'apr\`es l'exercice pr\'ec\'edent avec 2 autres pi\`eces on peut r\'ealiser soit le triangle $BCM$, soit le triangle $BMD$.\\ Avec ces 4 pi\`eces on peut donc reconstituer soit le triangle $ABC$, soit le triangle $ADB$.\\ \includegraphics[width=8cm]{castroistri4}\\ {\bf Remarque} Les 2 pi\`eces bleues sont sym\'etriques par rapport au milieu de $AM$, les 2 pi\`eces vertes sont sym\'etriques par rapport au milieu de $MB$ alors que les 2 pi\`eces rouges et 2 pi\`eces jaunes sont obtenues par translation.\\ On peut donc recoller la pi\`ece jaune et la pi\`ece rouge pour obtenir un puzzle de 3 pi\`eces :\\ \includegraphics[width=8cm]{castroistri0} \subsection{Pour 2 triangles de m\^eme aire} Soient $ABC$ et $BDF$ 2 triangles de m\^eme aire.\\ Pour faire les pi\`eces du puzzle qui permet de preconstituer soit le triangle $ABC$, soit le triangle $BDF$, on va se ramener au cas pr\'ec\'edent( triangles de m\^eme avec une base commune). Pour cela on construit le triangle $BAM$ ayant m\^eme aire que $ABC$ : on trace la parall\`ele $d_0$ \`a $AB$ passant par $C$ , puis sa sym\'etrique $d_1$ par rapport \`a $AB$. $M$ est alors l'intersection (la plus proche de $A$) du cercle de centre $B$ et de rayon $BD$ avec $d_1$.\\ On sait donc faire les pi\`eces d'un puzzle (de 3 ou 4 pi\`eces) qui permet de r\'ealiser soit $ABC$ soit $BAM$.\\ Ensuite, on transforme $BAM$ par la rotation de centre $B$ et d'angle $\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BD}$ qui transforme $M$ en $D$ et $A$ en $N$.\\ Les triangles $BDN$ et $BDF$ ont $BD$ en commun et ils ont la m\^eme aire, donc on sait faire les pi\`eces d'un puzzle (de 3 ou 4 pi\`eces) qui permet de r\'ealiser soit $BDN$ soit $BDF$.\\ Il suffit ensuite de d\'ecouper les pi\`eces voici ce d\'ecoupage si on a choisi de faire 4 pi\`eces \`a chaque \'etape :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri5}\\ Voici le puzzle de 12 pi\`eces :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri6}\\ Voici le puzzle de 5 pi\`eces si on a choisi de faire 3 pi\`eces \`a chaque \'etape :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroistri7}\\ \section{Le puzzle de l'{\oe}uf} On construit un {\oe}uf que l'on partage en 9 morceaux : parmi ces 9 morceaux il y a 2 morceaux sym\'etriques, 3 morceaux en 2 exemplaires et un morceau tout seul. On tape : \begin{verbatim} r:=5; A:=point(-r); B:=point(r,affichage=quadrant4); cercle(0,r,-pi,0); I:=point(i*r*(3-sqrt(2)),affichage=quadrant2); J:=point(-i*r); H:=point(i*r); cercle(B,2*r,3*pi/4,pi);; C:=point(r+2*r*exp(3*i*pi/4),affichage=quadrant2); cercle(A,2*r,0,pi/4);; D:=point(-r+2*r*exp(i*pi/4),affichage=quadrant1); cercle(H,r*(2-sqrt(2)),pi/4,3*pi/4); E:=point(r*i*(1-sqrt(2))); F:=point(-r*(1-sqrt(2)),affichage=quadrant4); G:=point(r*(1-sqrt(2))); segment(A,B); segment(B,C); segment(A,D); segment(E,F); segment(E,G); segment(I,J); \end{verbatim} On obtient : \includegraphics[width=\textwidth]{oeuf} Cet {\oe}uf est form\'e par du demi-cercle inf\'erieur de diam\`etre $AB=10$ et de 3 arcs de cercle.\\ Soit $HJ$ le diam\`etre perpendiculaire \`a $AB$ ($HJ=AB$).\\ Les 3 arcs de cercle sont : \begin{itemize} \item l'arc $CA$ est sur le cercle de centre $B$ et de rayon $AB$ et a comme angle au centre $\pi/4$ \item l'arc $BD$ est sur le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ et a comme angle au centre $\pi/4$, \item l'arc $DC$ est sur le cercle de centre $H$ et de rayon $HD$ et a comme angle au centre $\pi/2$. \end{itemize} Le point $E$ est sur $HJ$ et $JE=HD$ Les points $F$ et $G$ sont sur $AB$ et $EF=EG=EJ=HD$ On demande :\\ \begin{itemize} \item Calculer $HD$. \item Calculer $FG$. \item Calculer $AF$ et $GB$. \item R\'ealiser cette figure sur du carton et d\'ecouper les pi\`eces du puzzle. \item Chaque \'el\`eve r\'ealise avec ces pi\`eces une figure ayant la forme d'un oiseau. \item Chaque \'el\`eve repr\'esente avec {\tt Xcas} son oiseau (en forme pleine) ainsi que la fa\c{c}on dont il a \'et\'e fabriqu\'e (on doit voir les 9 pi\`eces qui le constitue). \end{itemize} {\bf Une solution} On va num\'eroter ces pi\`eces et les d\'efinir avec {\tt Xcas} :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{oeufn}\\ Pour cela on rajoute des l\'egendes \`a la figure ci-dessus. \begin{verbatim} legende(0.7+6.6*i,1,rouge); legende(-0.7+6.6*i,1,quadrant2,rouge); legende(-2.5+4.6*i,2,rouge); legende(2.5+4.6*i,3,quadrant2,rouge); legende(-1.5+1.6*i,4,quadrant2,rouge); legende(1.5+1.6*i,4,rouge); legende(-2.5-2.6*i,5,rouge); legende(2.5-2.6*i,5,quadrant2,rouge); legende(-0.2-0.9*i,6,rouge); \end{verbatim} Pour chaque pi\`ece, on aura 4 param\`etres $a,r,t,c$:\\ $a$ donne la position de la pi\`ece, $r$ est le rayon de l'{\oe}uf, $t$ est l'angle qui donne l'orientation de la pi\`ece et $c$ qui donne la couleur de la pi\`ece.\\ Pour les pi\'ece 1, 3, 5 qui contiennentt un arc de cercle $AB$ (arc $AB$ positif) $a$ sera le centre $O$ de cet arc et $t$ sera l'angle que fait $OA$ avec l'axe des $x$.\\ Pour la pi\'ece 4 qui contiennentt un arc de cercle $AB$ (arc $AB$ positif) $a$ sera le centre $O$ de cet arc et $pi-t$ sera l'angle que fait $OB$ avec l'axe des $x$.\\ Pour les pi\`eces qui sont des triangles rectangles isoc\`ele $ABC$ direct ($AB=AC$), $a$ sera l'affixe du sommet $C$ et $t$ sera l'angle que fait $CA$ avec l'axe des $x$.\\ On tape :\\ \begin{verbatim} piece1(a,r,t,c):=affichage(cercle(a,r*(2-sqrt(2)),t,t+pi/4),rempli+c):; piece3(a,r,t,c):={ local L,j; L:=point(a+2*r*exp(i*t)); pour j de 1 jusque 5 faire L:=L,point(a+2*r*exp(i*j*pi/20.)*exp(i*t)); fpour; L:=L,point(a+r*(1+i)*exp(i*t)); return affichage(polygone(L),rempli+c); }:; piece2(a,r,t,c):={ local L,j; L:=point(a-2*r*exp(i*t)); pour j de -1 jusque -5 pas -1 faire L:=L,point(a+2*r*exp(i*pi+i*j*pi/20.)*exp(i*t)); fpour; L:=L,point(a+r*(-1+i)*exp(i*t)); return affichage(polygone(L),rempli+c); }:; piece4(a,r,t,c):=triangle(a,a+r*exp(i*t),a+r*(1+i)*exp(i*t), affichage=rempli+c):; piece5(a,r,t,c):={ local L,j; L:=point(a+r*exp(i*t)); pour j de 1 jusque 10 faire L:=L,a+r*exp(i*j*pi/20.)*exp(i*t); fpour; L:=L,a+r*(sqrt(2)-1)*i*exp(i*t),a+r*(sqrt(2)-1)*exp(i*t); return affichage(polygone(L),rempli+c); }:; piece6(a,r,t,c):=triangle(a,a+r*(2-sqrt(2))*exp(i*t),a+r*(2-sqrt(2))*(1+i)*exp(i*t),affichage=rempli+c):; \end{verbatim} On tape : \begin{verbatim} piece2(5,5,0,6); piece3(-5,5,0,3); piece1(5*i,5,pi/4,1); piece1(5*i,5,pi/2,2); piece4(-5,5,0,4); piece4(5*i,5,-pi/2,5); piece6(-5*(sqrt(2)-1),5,-pi/4,0); piece5(0,5,-pi/2,2); piece5(0,5,pi,1); \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{oeufc}\\ Voici 2 exemples d'oiseaux... \begin{verbatim} oiseau1(a,r):={ local L; L:= piece4(a,r,3*pi/4,5); L:= L,piece3(r/sqrt(2)*(-1+i)+2*i*r*(2-sqrt(2))-2*r*i,r,pi/4,3); L:= L,piece1(r/sqrt(2)*(-1+i)+r*i*(2-sqrt(2)),r,pi/2,93); L:= L,piece2(r/sqrt(2)*(-1+i)+2*r*i,r,3*pi/4,6); L:= L,piece5(r/sqrt(2)*(-1+i)+r*i,r,pi,1); L:= L,piece5(r/sqrt(2)*(-1+i)+r*i-sqrt(2)*r,r,0,2); L:= L,piece1(r/sqrt(2)*(-1+i)+r*i-r,r,3*pi/4,101); L:= L,piece4(r/sqrt(2)*(-1+i)+r*i*(2-sqrt(2))+r*sqrt(2),r,-pi/8,4); L:= L,piece6(r/sqrt(2)*(-1+i)+r*i*(2-sqrt(2))+3*r- r*sqrt(2)+i*i*(2-sqrt(2)),r,pi/8,0); return L; }:; \end{verbatim} Puis : {\tt oiseau1(0,5)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{oeufo1}\\ On tape : \begin{verbatim} oiseau2(a,r,b):={ local L; L:= piece4(a,r,3*pi/4,5); L:=L,piece4(a+r*sqrt(2)/2*(-3+i),r,-pi/4,4); L:=L,piece6(a+(3*sqrt(2)-4)/2*(-1+i)*r,r,pi/2,0); L:=L,piece1(a-(3*sqrt(2)-4)/2*r+i*r/sqrt(2),r,-pi/2,101); L:=L,piece2(a-(3*sqrt(2)-4)/2*r+i*r/sqrt(2)-i*r*sqrt(2),r,-pi/4,6) L:=L,piece5(a-(3*sqrt(2)-4)/2*r+i*r/sqrt(2)+r*(sqrt(2)-1)/sqrt(2)*(-1+i), r,-pi/4,2); L:=L,piece1(a-(3*sqrt(2)-4)/2*r+i*r/sqrt(2)+(-1+i)*r*(1-1/sqrt(2))+ r*(1+i)/sqrt(2),r,-pi,93); L:=L,piece5(a+r*(-1+i)*sqrt(2)/2+r*(1+i)+(sqrt(2)-1)*r,r,pi/2,1); si b==0 alors L:=L,piece3(a+r*(-1+i)*sqrt(2)/2+r*(1+i)+r*(sqrt(2)-1)-i*r,r,pi/4,3); sinon L:=L,piece3(a+r*(-1+i)*sqrt(2)/2+r*(1+i)-(1+i)*r,r,0,3); fsi; return(L); }:; \end{verbatim} Puis :\\ {\tt oiseau2(0,3,1),oiseau2(15,5,0)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{oeufo2} \section{Trouver le maximum d'une longueur} Soient $ABC$ un triangle quelconque et un point $M$ distinct de $A$, $B$ et $C$. On note $P$ et $Q$ les projections orthogonales de $A$ respectivement sur $MB$ et $MC$.\\ O\`u placer le point $M$ pour que la longueur $PQ$ soit maximum ?\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisM0}\\ {\bf Solution}\\ Le point $P$ se trouve sur le cercle $c_1$ de diam\`etre $AB$ et\\ le point $Q$ se trouve sur le cercle $c_2$ de diam\`etre $AC$.\\ On cherche donc le maximum de $PQ$ lorsque $P$ est sur $c_1$ et $Q$ sur $c_2$.\\ Si $I$ est le milieu de $AB$, $I$ est le centre de $c_1$ et \\ si $J$ est le milieu de $AC$, $J$ est le centre de $c_2$.\\ La construction du cercle $c$ tangent \`a $c_1$ (en $P_1$) et tangent \`a $c_2$ (en $Q_1$) et contenant $c_1$ et $c_2$ donne la solution $M1$ :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisM} On tape : \begin{verbatim} A:=point([-4,'affichage'=0]); B:=point([2,0,'affichage'=0]); C:=point([1.2,3.2,'affichage'=0]); T:=triangle(A,B,C,affichage=2):;T; c1:=cercle(A,B,affichage=1+epaisseur_ligne_2); c2:=cercle(A,C,affichage=1+epaisseur_ligne_2); I:=milieu(A,B); J:=milieu(A,C); d2:=droite(I,J):;d2; Q:=inter_unique(c2,d2,Q); P1:=inter_unique(c1,d2,P); cercle(P1,Q1,affichage=4+epaisseur_ligne_2); droite(Q1,C,affichage=2+epaisseur_ligne_2), droite(P1,B,affichage=2+epaisseur_ligne_2); M1:=inter_unique(droite(Q1,C), droite(P1,B)); segment(A,Q1,affichage=1); segment(A,P1,affichage=1); \end{verbatim} \section{Les rotations} Soient 3 cercles concentriques de rayons 2,4,5 et un point $A$ sur le cercle de rayon 5.\\ Construire les triangles \'equilat\`eraux directs $ABC$ avec $B$ sur le cercle de rayon 2 et $C$ sur le cercle de rayon 4 et les triangles \'equilat\`eraux direct $ABC$ avec $B$ sur le cercle de rayon 4 et $C$ sur le cercle de rayon 2.\\ {\bf Solution}\\ Soient $c_1$ le cercle de rayon 2 et $c_1$ le cercle de rayon 4.\\ Si le triangle $ABC$ est \'equilat\'eral direct, si $B$ est sur $c_1$ et $C$ sur $c_2$ alors $C$ est l'image de $B$ par la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\pi/3$. Soient $cc_1$ est le transform\'e de $c_1$ par $r$ et $cc_2$ est l'image de $c_1$ par la rotation $r1$ de centre $A$ et d'angle $-\pi/3$, on a alors :\\ $C$ est sur $c_2$ et sur $cc_1$ et $B$ est sur $c_1$ et sur $cc_2$ ce qui donne sur la figure les triangles $ABC$ et $AB_1C_1$.\\ Si on choisit $B$ en $B2$ sur $c_2$, on obtient les triangles $AB_2C_2$ et $AB_3C_3$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{castroisrot}\\ On tape : \begin{verbatim} c1:=cercle(0,2); c2:=cercle(0,4); cercle(0,5); A:=point(-5); cc1:=rotation(A,pi/3,c1); cc2:=rotation(A,-pi/3,c2); B:=inter_unique(c1,cc2); C:=inter_unique(c2,cc1); B1:=inter_unique(c1,cc2,[B]); C1:=inter_unique(c2,cc1,[C]); T:=triangle(A,B,C):;; T1:=triangle(A,B1,C1):;; cc3:=rotation(A,pi/3,c2); cc4:=rotation(A,-pi/3,c1); B2:=inter_unique(c2,cc4); C2:=inter_unique(c1,cc3); T2:=triangle(A,B2,C2):;; B3:=inter_unique(c2,cc4,[B2]); C3:=inter_unique(c1,cc3,[C2]); T3:=triangle(A,B3,C3):;; affichage(T,1+epaisseur_ligne_2); affichage(T1,2+epaisseur_ligne_2); affichage(T2,3+epaisseur_ligne_2); affichage(T3,4+epaisseur_ligne_2); \end{verbatim} \section{Exercice} Dans un tissu rectangulaire on peut d\'ecouper la forme suivante constitu\'ee de 6 demi-cercles de diam\`etre les c\^ot\'es d'un hexagone de longueur 8 cm :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{cas3geo}\\ Quelle est la dimension du tissu ?\\ Quelle est le p\'erim\`etre et l'aire de la forme d\'ecoup\'ee ?\\ {\bf Solution}\\ Soient :\\ $O$ le centre de l'hexagone, $I$ (resp $J$, $K$) les milieu de $AF$ (resp $AB$, $BC$) et $H$ l'intersection de $OJJ$ avec le cercle de diam\`etre $AB$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{cas3geo1}\\ Les c\^ot\'es de l'hexagone ont pour longueur 8 cm donc :\\ le triangle $OAB$ est \'equilat\`eral de c\^ot\'e 8 cm et sa hauteur $OJ$ vaut donc $4\sqrt 3$ cm.\\ Les demi-cercles ont pour rayon 4cm donc $OH=4\sqrt 3+4=4(\sqrt 3+1)$ cm.\\ La longueur du rectangle est donc $8(\sqrt 3+1)\simeq 21.856406$ cm $AB$ et $FC$ sont parall\`eles (car $ABCDEF$ est un hexagone) et puisque $I$ est le milieu $AF$ et $K$ est le milieu $BC$, $IK$ est parall\`ele \`a $FC$ et on a $IK=3*4=12$ cm.\\ La largeur du rectangle est donc $4+IK+4=20$ cm Les dimensions du tissu sont donc : $$20x8(\sqrt 3+1)$$ Le p\'erim\`etre de la forme d\'ecoup\'ee est \'egal au p\'erim\`etre de 3 cercles de rayon 4 cm, soit $3*2\pi*4=24\pi$ cm\\ L'aire de la forme d\'ecoup\'ee est \'egal \`a l'aire de l'hexagone plus l'aire de 3 cercles de rayon 4 cm, soit : $3*8*4*\sqrt 3+3*\pi*4^2=96\sqrt 3+3*\pi*16\simeq 317.07332$ cm$^2$ \chapter{G\'eom\'etrie dans l'espace} \section{Le t\'etra\`edre r\'egulier}\index{tetraedre}\index{sommets}\index{plan}\index{projection}\index{aire} \subsection{Travail pr\'eparatoire} Faire d\'ecouper par chaque \'el\`eve dans du papier 4 triangles \'equilat\'eraux \'egaux de c\^ot\'e $a=3cm$.\\ R\'eunir 3 de ces triangles (qu'on nomme $S1AB$, $S2BC$ et $S3CA$) de fa\c{c}on \`a r\'eunir $S1,S2,S3$ en $S$ et d'obtenir une pointe de sommet $S$ et de base $ABC$ (les 3 triangles seront reunis selon $SA,SB,SC$) :\\ on obtient un t\'etra\`edre dont la face est $ABC$ manquante. Cette face manquante peut \^etre combl\'ee par le 4-i\`eme triangle \'equilat\'eral $ABC$. Fixer ce 4-i\`eme triangle aux 3 autres et projeter $S$ en $H$ sur cette face $ABC$. Les questions :\\ \begin{enumerate} \item O\`u se trouvent $H$ ? \item Calculer $AH$,$BH$,$CH$,$SH$. \item Calculer l'angle que font les faces $SAB,SBC,SCA$ avec la face $ABC$. \item Calculer le volume de ce t\'etra\`edre r\'egulier en fonction de $a=AB$. \item Ouvrir maintenant la pointe coupant $SA,SB,SC$ pour obtenir une figure plane ($S$ va redevenir 3 points $S1,S2,S3$). Qu'obtient-on ? \item O\`u se trouvent alors les points $A, B, C$ ? \item Que d\'ecrivent les points $S1,S2,S3$ lorsque l'on replie le triangle $S1S2S3$ pour former le t\'etra\`edre $SABC$. \end{enumerate} Si $B1$ est la projection de $S3$ sur $AC$, on a :\\ $S3B1=a\sqrt 3/2$, $B1H=a\sqrt 3/6$ et \\ $SH^2=SB1^2-B1H^2=3a^2/4-3a^2/36=2a^2/3$ L'angle $b$ que font les faces entre elles a donc pour tangente :\\ $\tan(b)=SH/B1H=a\sqrt 2/\sqrt 3/(a\sqrt 3/6)=6\sqrt 2/3=2\sqrt 2$ \subsection{V\'erification et calculs avec {\tt Xcas}}\index{milieu}\index{rotation} On ouvre un niveau de g\'eom\'etrie 3d. On choisit de construire un t\'etra\`edre de c\^ot\'e $3$. \begin{enumerate} \item On tape : \begin{verbatim} A:=point(0,0,0); B:=point(3,0,0); C:=point(3/2,sqrt(3)*3/2,0); T:=tetraedre(A,B,C):;T; S:=sommets(T)[3]; H:=projection(plan(A,B,C),S); normal(coordonnees(H)) \end{verbatim} On obtient pour $H$ : {\tt [3/2,(sqrt(3))/2,0]} \item On tape :\\ {\tt normal(longueur(A,H),longueur(B,H),longueur(C,H))}\\ On obtient : {\tt sqrt(3),sqrt(3),sqrt(3)}\\ On tape :\\ {\tt normal(longueur(S,H))}\\ On obtient : {\tt sqrt(6)} \item On tape :\\ {\tt angle(plan(S,A,B),plan(A,B,C))}\\ On obtient : {\tt acos(1/3)} \item On tape pour avoir le volume du t\'etra\`edre $T$\\ {\tt normal(1/3*longueur(S,H)*aire(triangle(A,B,C)))}\\ On obtient : {\tt 9*sqrt(3)/4} \item On tape : \begin{verbatim} A:=point(0,0,0); B:=point(3,0,0); C:=point(3/2,sqrt(3)*3/2,0); T:=tetraedre(A,B,C):;T; S:=sommets(T)[3]; S1:=rotation(droite(A,B),pi-acos(1/3),S); S2:=rotation(droite(B,C),pi-acos(1/3),S); S3:=rotation(droite(C,A),pi-acos(1/3),S); triangle(S1,S2,S3); \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=10cm]{tetraedre} \item On tape :\\ {\tt normal(coordonnees(milieu(S1,S3))-coordonnees(A))}\\ On obtient : {\tt [0,0,0]}\\ ou on tape :\\ {\tt normal(coordonnees(milieu(S1,S3)))==normal(coordonnees(A))}\\ On obtient : {\tt 1} c'est \`a dire {\tt vrai}\\ On tape :\\ {\tt normal(coordonnees(milieu(S1,S2))-coordonnees(B))}\\ On obtient : {\tt [0,0,0]}\\ On tape :\\ {\tt normal(coordonnees(milieu(S2,S3))-coordonnees(C))}\\ On obtient : {\tt [0,0,0]} \end{enumerate} {\bf Remarque}\\ Si on veut avoir les r\'esultats en fonction de $a$ il faut ajouter le param\`etre $a$ avec {\tt Edit} du niveau de g\'eom\'etrie 3d puis ajouter param\`etre en mettant par exemple que $a$ varie de 0 \`a 5 et en mettant $a= 3$ ce qui donne comme niveau 1 :\\ {\tt assume(a=[3,0,5,0.1])} puis on modifie fes d\'efinitions :\\ {\tt B:=point(a,0,0);}\\ {\tt C:=point(a/2,a*sqrt(3)/2,0);} \\ les longueurs sont alors multipli\'ees pas $a/3$ et le volume par $a^3/27$. \subsection{Faire une animation avec {\tt Xcas}}\index{rotation}\index{milieu} \index{animation}\index{seq} Faire une animation qui montre comment en pliant un triangle \'equilat\'eral, on obtient un t\'etra\'edre r\'egulier. On pose $a=6$ et on a $\tan(b)=2\sqrt 2$ donc $b=\atan(2\sqrt 2)\simeq 1.23$ $S1$ subit une rotation d'un angle allant de 0 \`a $\pi-b\simeq 1.91$.\\ On note $MNP$ le triangle $S1S2S3$ et on note $S1$ le transform\'e de $M$ par la rotation d'axe $AB$ etc ...\\ Faire attention \`a l'orientation de l'axe de la rotation !!!\\ On tape :\\ \begin{verbatim} tetreganim(t):={ local S1,S2,S3,A,B,C,c,K,M,N,P; M:=point(0,0,0):; N:=point(6,0,0):; P:=point(3,3*sqrt(3),0):; triangle(M,N,P); A:=milieu(M,P); B:=milieu(M,N); C:=milieu(N,P); S1:=rotation(droite(B,A),t,M); S2:=rotation(droite(C,B),t,N); S3:=rotation(droite(A,C),t,P); retourne [affichage(triangle(S1,A,B),1+rempli), affichage(triangle(S2,C,B),2+rempli), affichage(triangle(S3,A,C),4+rempli)]; }:; \end{verbatim} Puis, on tape dans des lignes de commandes (WX-=-3,WX+=7 et les autre-5 et +5): {\tt L1:=seq([tetreganim(t)],t=0..1.91,0.1):;}\\ {\tt L2:=seq([tetreganim(t)],t=1.91..0,-0.1):;}\\ {\tt animation(L1,L2)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{tetrareg} \section{Le t\'etra\`edre non r\'egulier ayant 4 faces \'egales} On veut plier une feuille triangulaire pour en faire un t\'etra\`edre.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troisgeo33}\\ Cela est-il toujours possible ?\\ \subsection{Travail pr\'eparatoire} Soit un triangle $ABC$. On veut le plier pour en faire un t\'etra\`edre $MNPQ$. On veut plier le triangle $ABC$ pour amener $A,B,C$ en le sommet $Q$.\\ Si cela est possible on aura :\\ $MA=MB=MQ$ si $M$ est le point de pliure sur $AB$,\\ $NB=NC=NQ$ si $N$ est le point de pliure sur $BC$,\\ $PA=PC=PQ$ si $P$ est le point de pliure sur $AC$.\\ Donc le triangle $MNP$ est le triangle qui joint les milieux des c\^ot\'es du triangle $ABC$.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troisgeo0}\\ Peut-on toujours amener $A,B,C$ en le sommet $Q$ ?\\ Regardons tout d'abord en g\'eom\'etrie plane les propri\'et\'es de la figure form\'ee par $ABC$ et $MNP$.\\ Soient $J$ le sym\'etrique de $B$ par rapport \`a $MN$ et $K$ le sym\'etrique de $C$ par rapport \`a $PN$ (cela revient \`a r\'ealiser les plis $MN$ et $PN$).\\ Montrer que \begin{itemize} \item le triangle $MNP$ a ses c\^ot\'es parall\`eles aux c\^ot\'es de $ABC$, \item $MN=AC/2$, $NP=AB/2$ et $MP=BC/2$, \item $J$ est le pied de la hauteur de $ABC$ issue de $B$ \item $K$ est le pied de la hauteur de $ABC$ issue de $C$ \end{itemize} Regardons maintenant en g\'eom\'etrie dans l'espace o\`u se d\'eplacent les points $S2$ et $S3$ ($S2$ (resp $S3$) est le nom de $B$ (resp $C$)) quand on fait le pliage.\\ \begin{itemize} \item Montrer que $S2$ et $S3$ sont sur la sph\`ere de diam\`etre $BC$ (i.e. centre $N$ et rayon $BC/2$), \item Montrer que $S2$ est aussi sur une 2i\`eme sph\`ere. Laquelle ? \item Montrer que $S3$ est aussi sur une 3i\`eme sph\`ere. Laquelle ? \item Lorsque l'on plie selon $MN$, on fait subir au point $S2$ une rotation. Quel est l'axe de cette rotation ? \item En d\'eduire que $S2$ d\'ecrit un cercle de centre le milieu de $BJ$.\\ Ce cercle est l'intersection de 2 sph\`eres lesquelles ? Montrer que le plan de ce cercle est le plan perpendiculaire en $J$ \`a $AC$. \item Lorsque l'on plie selon $PN$, on fait subir au point $S3$ une rotation. Quel est l'axe de cette rotation ? \item En d\'eduire que $S2$ d\'ecrit un cercle de centre le milieu de $CK$.\\ Ce cercle est l'intersection de 2 sph\`eres lesquelles ? Montrer que le plan de ce cercle est le plan perpendiculaire en $K$ \`a $AB$. \item le probl\`eme sera possible si les cercles que d\'ecrivent $S2$ et $S3$ se coupent, c'est \`a dire si les plans de ces 2 cercles se coupent en dehors de la sph\`ere de diam\`etre $BC$. Qu'est-ce que cela signifie pour l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ ? \item Qu'est-ce que cela signifie pour les angles du triangle $ABC$ ? \end{itemize} Lorsqu'on plie la feuille selon $MN$, que d\'ecrit le point $B$ ? Lorsqu'on plie la feuille selon $NP$, que d\'ecrit le point $C$ ? $C$ d\'ecrit un cercle de diam\`etre $CK$ situ\'e dans le plan perpendiculaire \`a $NP$.\\ Ce cercle est la base d'un c\^one d'axe $NP$ et de demi-angle au sommet l'angle $\widehat{CNP}=\widehat{CBA}$.\\ $B$ d\'ecrit un cercle de diam\`etre $BH$ situ\'e dans le plan perpendiculaire \`a $NM$.\\ Ce cercle est la base d'un c\^one d'axe $NM$ et de demi-angle au sommet l'angle $\widehat{BNM}=\widehat{BCA}$.\\ Ces cercles se coupent-ils ?\\ On a si $BC=a$ et $AC=b$ : $HB=a*\sin(C)$ et $CK=b\sin(A)$\\ Si $\widehat A +\widehat C >\widehat B$ les 2 cercles se coupent.\\ Comme $\widehat A +\widehat C +\widehat B=\pi$ on en d\'eduit que l'on doit avoir $\widehat B <\pi/2$\\ de m\^eme on montre que l'on doit avoir $\widehat C <\pi/2$ et $\widehat A <\pi/2$. Donc le probl\`eme est possible si le triangle de d\'epart n'a que des angles aigus.\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troisgeo1} \subsection{Les relations dans un triangle $ABC$}\index{circonscrit}\index{cercle} Avant de faire une animation, on va rappeler les relations qui relient les hauteurs, le rayon $R$ du cercle circonscrit et l'aire $S$ aux 3 cot\'es $a,b,c$ du triangle $ABC$.\\ {\bf Rappel}\\ Soit un triangle $ABC$.\\ On note $h_a$ (resp $h_b,h_c$) la hauteur issue de $A$ (resp $B,C$),\\ $H$ l'orthocentre de $ABC$\\ $A_1$ le pied de la hauteur issue de $A$\\ $A_2$ le milieu de $AA_1$\\ $M$ (res $N,P$) les milieux de $AB$ (resp $BC,AC$)\\ $R$ le rayon du cercle circonscrit\\ $O$ le centre du cercle circonscrit et\\ $S$ l'aire du triangle $ABC$.\\ Si $a$ (resp $b,c$) repr\'esente la longueur du c\^ot\'e $BC$ (resp $AC,AB$), on pose $\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ on a alors :\\ $O$ est l'intersection des m\'ediatrices de $AB$ et $BC$,\\ %(ici point de coordonn\'ees (3.0,1.03571428571)\\ $H$ est le transform\'e de $O$ par l'homoth\'etie de centre $G$ et de rapport -2.\\ %(ici point de coordonn\'ees 5.0,1.42857142857) $\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$\\ $\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$ $AA_1=h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$\\ $AH=2ON=2\sqrt{R^2-a^2/4}=\sqrt{4R^2-a^2}$\\ $\displaystyle A_2H=AH-\frac{h_a}{2}=\sqrt{4R^2-a^2}-\frac{S}{a}$\\ Si on plie le triangle selon $MP$, $MN$ et $NNP$ afin de reunir les points $A,B,C$ en $S$ de fa\c{c}on \`a former le t\'etra\`edre $SMNP$, alors $A$ se projette en $H$ orthocentre de $ABC$.\\ Si $a_1$ est l'angle de la face $AMP$ avec la face $MNP$ on a :\\ $\displaystyle \cos(a_1)=2HA_2/AA_1=a*HA_2/S=\frac{a\sqrt{4R^2-a^2}}{S}-1= \frac{a^2\sqrt{4b^2c^2-4S^2}}{2S^2}-1$\\ De m\^eme si $b_1$ (resp $c1$) est l'angle de la face $BNP$ (resp $CMP$) avec la face $MNP$ on a :\\ $\displaystyle \cos(b_1)=\frac{b^2\sqrt{4a^2c^2-4S^2}}{2S^2}-1$\\ $\displaystyle \cos(c_1)=\frac{c^2\sqrt{4a^2b^2-4S^2}}{2S^2}-1$\\ La hauteur du t\'etra\`edre est alors : \\ $\displaystyle h=AA_2\sin(a_1)=\frac{S}{a}\sin(a_1)$\\ Pour faiire une animation on a besoin de connaitre les angles $a_1,b_1,c_1$.\\ On fait calculer ces angles par {\tt Xcas} avec les formules ci-dessus.\\ On tape :\\ {\tt c:=longueur(A,B);b:=longueur(A,C);a:=longueur(C,B);p:=(a+b+c)/2}\\ On obtient :\\ {\tt 6,6.10327780787,3.64005494464,7.87166637625}\\ On tape :\\ {\tt S:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));2*S/c;R:=a*b*c/4/S;sqrt(4*R\verb|^|2-c\verb|^|2)}\\ On obtient :\\ {\tt 10.5,3.5,3.17375236615,2.07142857143}\\ On tape :\\ {\tt a1:=acos(-1+a\verb|^|2*sqrt(c\verb|^|2*b\verb|^|2-4*S\verb|^|2)/(2*S\verb|^|2));pi-a1}\\ On obtient :\\ {\tt 0.638952150388,2.5026405032}\\ On tape :\\ {\tt b1:=acos(-1+b\verb|^|2*sqrt(c\verb|^|2*a\verb|^|2-4*S\verb|^|2)/(2*S\verb|^|2));pi-b1}\\ On obtient :\\ {\tt 1.55719046484,1.58440218875}\\ On tape :\\ {\tt c1:=acos(-1+c\verb|^|2*sqrt(a\verb|^|2*b\verb|^|2-4*S\verb|^|2)/(2*S\verb|^|2));pi-c1}\\ On obtient :\\ {\tt 1.3860741241,1.75551852949}\\ On tape :\\ {\tt h:=S/a*sin(a1)}\\ On obtient :\\ {\tt 1.72022779697}\\ Le sommet du t\'etra\`edre est donc :\\ {\tt Q:= point(5.0,1.42857142857,1.72022779697)} On tape :\\ {\tt angle(plan(Q,M,P),plan(M,N,P))}\\ On obtient $\pi-a_1$:\\ {\tt 2.5026405032}\\ On tape :\\ {\tt angle(plan(Q,P,M),plan(M,N,P))}\\ On obtient $a_1$:\\ {\tt 0.638952150388} \subsection{R\'ealisation d'une animation du pliage} \begin{verbatim} animtriABC(t):={ local A,B,C,M,N,P,S1,S2,S3; A:=point(0,0,0):; B:=point(6,0,0); C:=point(5,3.5,0); triangle(A,B,C); M:=milieu(A,B); N:=milieu(B,C); P:=milieu(A,C); S1:=rotation(droite(M,P),t,A); S2:=rotation(droite(N,M),t*1.58/2.5,B); S3:=rotation(droite(P,N),t*1.76/2.5,C); retourne triangle(M,P,S1),triangle(N,M,S2),triangle(N,P,S3); }:; \end{verbatim} Puis, on tape : {\tt L1:=seq([animtriABC(t)],t=0..2.5,0.1):;}\\ {\tt L2:=seq([animtriABC(t)],t=2.5..0,-0.1):;}\\ {\tt affichage(Q,1+epaisseur\_point\_2),animation(L1,L2)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{troisgeo34} \chapter{Compl\'ements} \section{Le tableur de {\tt Xcas}} On va utiliser le tableur sur un exemple.\\ {\bf L'\'enonc\'e}\\ Au 1ier janvier 2010, $A$ veut emprunter 120000 euros. Les int\'er\^ets de cet emprunt ont un taux de 3.8 \% si la dur\'ee du pr\^et est inf\'erieur ou \'egale \`a 15 ans et un taux de 4 \% l'an si la dur\'ee du pr\^et est entre 15 et 20 ans.\\ Le remboursement du pret se fait annuellement : 1ier remboursement 1ier janvier 2011, 2nd remboursement 1ier janvier 2012 etc...).\\ Sachant que $A$ souhaite un remboursement annuel \'egal \`a 9600 euros (soit 800 euros par mois), quel sera dans ce cas le taux de son emprunt et en combien de temps le pr\^et sera-t-il rembourser ?\\ Donner le co\^ut de l'emprunt.\\ Trouver par essais-erreurs le montant du remboursement annuel minimum pour pouvoir b\'en\'eficier du taux de 3.8\%.\\ Calculer alors le co\^ut de l'emprunt dans ce cas.\\ On ouvre un niveau de tableur (Alt+t) :\\ Dans $A_0$, on tape 120000\\ Dans $B_0$, on tape 0.038\\ Dans $C_0$, on tape 9600\\ Dans $A_1$, on tape $=A_0+A_0*\$B\$0-\$C\$0$\\ puis on recopie cette formule vers le bas on trouve en $A_j$ les sommes \`a rembourser au d\'ebut de la $j$i\`eme ann\'ee.\\ On a $A_{17}$ =2595.92037452 ce qui veut dire qu'au 1ier janvier 2027 il reste encore \`a rembourser=2595.92 euros donc au 1ier janvier 2028 il faudra encore rembourser :\\ 2595.92037452*1.038=2694.56534875$\simeq$ 2694.57 euros (ou encore $A_{18}$ =-6905.43465124 donc au 1ier janvier 2028 il faudra encore rembourser 9600-6905.43465124=2694.56534876$\simeq$ 2694.57 euros).\\ Donc le taux applicable dans ce cas est de 4\%. \\ On modifie la valeur de $B_0$ on remplace 0.38 par 0.04.\\ On obtient alors :\\ $A_{17}$ =6251.94053315 ce qui veut dire qu'au 1ier janvier 2027 (apres 17 remboursements de 9600 euros) il reste encore \`a rembourser=6251.94 euros donc au 1ier janvier \`a la fin de l'ann\'ee 2028 il faudra encore rembourser 6251.94053315*1.04=6502.01815448$\simeq$ 6502.02 euros (ou encore $A_{18}$ =-3097.98184553 donc au 1ier janvier de l'ann\'ee 2028 il faudra encore rembourser 9600-3097.98184553=6502.01815447$\simeq$ 6502.02 euros).\\ Le co\^ut de l'emprunt est donc :\\ 17*9600+6502.02-120000=49702.02 euros\\ Le banquier offre un taux de 3.8 \% si la dur\'ee du pr\^et est inf\'erieur ou \'egale \`a 15 ans.\\ On fait des essais en augmentant le montant du remboursement la valeur de la case $A_{15}$ (somme qui reste due au bout de 15 ans i.e apr\`es 15 remboursements) soit n\'egative.\\ On trouve que pour un remboursement annuel de 10643 euros (soit environ 887 euros par mois) $A_{15}$=-9.06558396714.\\ Le montant des int\'er\^ets est donc de :\\ 10643*15-9.06558396714-120000=39635.934416$\simeq$ 39635.93 euros \end{document}