Chapitre 11  Exercices sur trigonométrie et complexes

11.1  Les polynômes de Tchebychev

11.1.1  L’énoncé

Les polynômes de Tchebychev T_n sont tels que cos(nx)=T_n(cos(x)).
On a ainsi :
T₀(x)=1
T₁(x)=x
T₂(x)=2x²−1

1. Montrer que pour n≥ 1 on a :
   T_n+1(x)=2xT_n(x)−T_n−1(x).
2. Écrire une fonction de n qui renvoie le polynôme T_n, en utilisant la relation T_n+1(x)=2xT_n(x)−T_n−1(x).
3. Écrire une fonction de n qui renvoie le polynôme T_n, en utilisant les nombres complexes et la formule de Moivre.

11.1.2  La solution avec Xcas

Dans Xcas, la fonction tchebyshev1 qui renvoie le nième polynôme de Tchebyshev de 1ière espèce existe. Cela va pouvoir permettre la vérification de vos programmes

1. La relation T_n+1(x)=2xT_n(x)−T_n−1(x) est vraie pour n=1 car T₂(x)=2xT₁(x)−T₀(x)=2x*x−2 On a : cos((n+1)x)=cos(x)*cos(nx)−sin(x)*sin(nx) et
   cos((n−1)x)=cos(x)*cos(nx)+sin(x)*sin(nx)
   donc cos((n+1)x)+cos((n−1)x)=2cos(x)*cos(nx)
   ou encore cos((n+1)x)=2cos(x)*cos(nx)−cos((n−1)x) c’est à dire :
   T_n+1(x)=2xT_n(x)−T_n−1(x)
2. On écrit une fonction Tcheb(n) qui renvoie le polynôme T_n, en utilisant la relation T_n+1(x)=2xT_n(x)−T_n−1(x). :

   Tcheb(n):={
   local j,T0,T1,Tj;
   T0:=1;
   T1:=x;
   pour j de 2 jusque n faire
   Tj:=2*x*T1-T0;
   T0:=T1;
   T1:=Tj;
   fpour;
   return T1;
   }:;
   

   On tape : Tcheb(7)
   On obtient :64*x^7-112*x^5+56*x^3-7*x
3. On écrit une fonction Tchebich(n) qui renvoie le polynôme T_n, en utilisant la formule de Moivre (cos(nx)=re((cos(x)+isin(x))ⁿ)) et l’égalité sin(x)²=1−cos(x)² :

   Tchebich(n):={
   local f;
   f(x,y):=normal(re((x+i*y)^n));
   return f(x,sqrt(1-x^2));
   }:;
   

   On tape : Tchebich(7)
   On obtient :64*x^7-112*x^5+56*x^3-7*x
   Remarque
   On peut vérifier car cette fontion existe dans Xcas, on tape On tape : tchebyshev1(7)
   On obtient :64*x^7-112*x^5+56*x^3-7*x