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Chapitre 8  Un exemple de géométrie dans l’espace

8.1  L’énoncé

Soient OABC un tétraèdre tel que :

Soient I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC
H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC et
D le point défini par OD=HO Montrer :

  1. Les droites OH et AB sont orthogonales
  2. H est l’orthocentre du triangle ABC
  3. Calculer OH
  4. Le tétraèdre ABCD est régulier
  5. Calculer les coordonnées du centre s de la sphère circonscrite à ABCD.

8.2  La solution avec Xcas

8.2.1  La figure

On ouvre un niveau de géométrie 3-d (Alt+h), on choisit comme repère (O;OA,OB,OC) et on tape : 

O:=point([0,0,0]);
A:=point([1,0,0]);
B:=point([0,1,0]);
C:=point([0,0,1]);
pyramide(O,A,B,C);
I:=projection(droite(A,B),C);
segment(C,I,affichage=2+ligne_tiret);
H:=projection(droite(I,C),O);
segment(O,H,affichage=2+ligne_tiret);
segment(O,I);
D:=translation(O-H,O);

On obtient :

8.2.2  Les réponses aux questions

  1. On tape :
    est_orthogonal(droite(A,B),droite(O,H))
    On obtient : 1
    On tape :
    longueur(I,H),longueur(C,H),longueur(C,I)
    On obtient : (sqrt(6))/6,(sqrt(6))/3,(sqrt(6))/2
    On tape :
    equation(droite(C,I))
    On obtient : 1/2*x+(-1)/2*y=0,-1/2*x-1/2*y-1/2*z+1/2=0
    On tape :
    equation(plan(O,C,I))
    On obtient : -1/2*x-(-1)/2*y=0
    On tape :
    B-A,H-O,dot(B-A,H-O)
    On obtient : [-1,1,0],[1/3,1/3,1/3],0
  2. On tape :
    est_equilateral(A,B,C)
    On obtient : 1
    On tape :
    B-C,H-A,dot(B-C,H-A)
    On obtient : [0,1,-1],[(-2)/3,1/3,1/3],0
    On tape :
    est_orthogonal(droite(C,B),droite(A,H))
    On obtient : 1
  3. On tape :
    coordonnees(H)
    On obtient :
    [1/3,1/3,1/3]
    On tape :
    longueur(O,H)
    On obtient : (sqrt(3))/3
  4. On complète la figure en tapant :
    D:=translation(O-H,O);
    segment(D,H,affichage=2+ligne_tiret);
    pyramide(D,A,B,C,affichage=epaisseur_ligne_2)
    On obtient :

    On tape :
    longueur(A,B),longueur(B,C),longueur(C,A)
    On obtient : sqrt(2),sqrt(2),sqrt(2)
    On tape :
    longueur(A,D),longueur(B,D),longueur(C,D)
    On obtient : sqrt(2),sqrt(2),sqrt(2)
  5. On tape, si on sait que le centre s de la sphère circonscrite au tétraèdre régulier ABCD est l’isobarycentre des points A,B,C,D :
    c:=coordonnees(isobarycentre(A,B,C,D))
    On obtient : [1/6,1/6,1/6],0]
    Puis, on tape : s:=point(c)
    Si on ne sait pas que Le centre s de la sphère circonscrite à un tétraèdre régulier ABCD est l’isobarycentre des points A,B,C,D, on tape :
    d:=inter(mediatrice(A,B),mediatrice(A,C));
    s:=inter_unique(mediatrice(A,D),d)
    On obtient : pnt(pnt[point[1/6,1/6,1/6],0])
    Puis, on tape : r:=normal(longueur(A,s))
    On obtient : sqrt(3)/2
    On tape :
    sphere(s,r)
    On obtient :

8.3  La solution en géométrie pure

  1. Montrons que les droites OH et AB sont orthogonales.
    Le triangle ABC est équilatéral car les triangles OAB, OAC, OBC sont des triangles rectangles isocèles égaux.
    on a AB=BC=CA=√2 AB est perpendiculaire à CI car CI est une hauteur (et aussi médiane) du triangle équilatéral ABC. AB est perpendiculaire à OI car OI est une médiane et donc aussi une hauteur du triangle isocèle OAB de sommet O.
    Donc AB est perpendiculaire au plan COI donc AB est perpendiculaire à toutes les droites du plan COI et en particulier à OH.
  2. Montrons que H est l’orthocentre du triangle ABC
    OH est perpendiculaire au plan ABC car orthogonal à AB et à CI qui sont 2 droites de ce plan.
    OA=OB=OC=1 et H est la projection de O sur ABC donc HA=HB=HC.
    H est donc le point de concours des médiatrices du triangle équilatéral ABC donc H est aussi l’orthocentre du triangle ABC.
  3. Calculons OH
    Le triangle COI est rectangle en O, CO=1, CI=√2√3/2=√6/2 et OI=√2/2 donc OH=OI× CO/CI=√3/3
  4. Montrons que le tétraèdre ABCD est régulier.
    DH=2*OH=2√3/3
    CH=2/3CI=√2√3/3
    Le triangle DCH étant rectangle en H on en déduit que :
    DC2=DH2+CH2=(12+6)/9=2 donc DC=√2 On montre de même que DA=√2 et que DB=√2.
    On a donc DA=DB=DC=AB=BC=CA=√2 donc
    le tétraèdre ABCD est régulier.
    Ou bien on fait comme Xcas, on choisit comme repère (O,OA,OB,OC) et on cherche les coordonnés de H dans ce repère.
    H etant le point de concours des médiatrices du triangle équilatéral ABC de cotés √2, on a HI=CI/3 et donc zH=1/3
    H est dans le plan ABC d’équation x+y+z=1 et dans le plan COI d’équation x=y donc xH+yH=2/3 et xH=yH donc H a pour coordonnées [1/3,1/3,1/3].
    On a OD=HO donc D a pour coordonnées [−1/3,−1/3,−1/3].
    On calcule alors DC2=1/9+1/9+(1+1/3)2=2
  5. Calculons le rayon et les coordonnées du centre s de la sphère circonscrite à ABCD.

    On suppose que l’on sait que le centre s de la sphère circonscrite au tétraèdre régulier ABCD est l’isobarycentre des points A,B,C,D.
    4Os=OA+OB+OC+OD donc puisque (1−1/3)/4=1/6
    Os a pour coordonnées : [1/6,1/6,1/6].
    Le rayon est donc r=As=√(25+1+1)/36=√3/2.

    Si on ne sait pas que Le centre s de la sphère circonscrite à un tétraèdre régulier ABCD est l’isobarycentre des points A,B,C,D, on cherche un point s équidisdant de A,B,C,D. s est sur le segment DH car tous les points de ce segment sont équidisdant de A,B,C. On pose Hs=l et on a :
    AH=√2*√3/3*2/3=√6/3 car H est le centre de gravité du triangle équlatéral ABC de coté √2.
    As2=AH2+l2=2/3+l2 car le triangle HAs est rectangle en H.
    DH2=AD2−AH2=2−2/3=4/3 car le triangle HAD est rectangle en H.
    donc Ds2=(DH−l)2=As2=2/3+l2
    2l*DH=2/3 et DH=2/√3=2√3/3
    Hs=l=1/(3DH)=√3/6=DH/4
    s est donc le milieu de OH et r=Ds=3DH/4=√3/2.

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