Chapitre 3  Le théorème de 1968

3.1  Le théorème

Soit un triangle quelconque ABC. On construit sur les côtés du triangle ABC les carrés directs CBDE, ACGF et BAKH, puis les parallélogrammes DBHJ et GCEL.

Remarque : si ABC est direct les carrés sont à l’extérieur du triangle.
On a la propriété suivante : Le triangle AJL est isocèle rectangle direct.

3.2  La figure

Pour faire la figure, on tape les instructions suivantes qui se trouvent dans le fichier th1968.xws :

A:=point(-4,-1);
B:=point(-2,-1);
C:=point(-3.5,0);
triangle(A,B,C);
carre(B,A,K,H);
carre(C,B,D,E);
carre(A,C,G,F);
J:=H+D-B;
polygone(D,B,H,J,affichage=bleu);
L:=E+G-C:;legend(L,"L",quadrant2;
polygone(C,G,L,E,affichage=bleu);
triangle(A,J,L,affichage=rouge);

3.3  Une démonstration géométrique

On suppose que le triangle ABC est direct car la figure est plus lisible.
On fait des constructions supplémentaires et on tape :

B1:=translation(B-H,B);
B2:=translation(C-B,B1);
segment(B1,B);
segment(B1,L);
segment(B1,D);
segment(C,L);

On remarque que B2 est confondu avec L puisque les triangles B1BD et LCE sont égaux au triangle ABC en effet :
- le triangle B1BD est le transformé du triangle ABC par rotation de centre B et d’angle -pi/2, et
- le triangle LCE est le transformé du triangle ABC par la composition de la rotation de centre C et d’angle -pi/2 et de la translation de vecteur E-C.
La rotation de centre A et d’angle pi/2 transforme H en B1 et HJ en B1B2.
Donc la rotation de centre A et d’angle pi/2 transforme J en B2.
Donc, puisque B2 est confondu avec L, la rotation de centre A et d’angle pi/2 transforme J en L
Donc le triangle AJL est isocèle rectangle direct.

3.4  Une démonstration avec les complexes

Soit a=affixe(A), b=affixe(B), c=affixe(C)
On a :
j=affixe(J)=b+i*(a-b)-i*(c-b)=b+i(a-c)
l=affixe(L)=c+i*(b-c)-i*(a-c)=c+i(b-a)
On a donc :

L’égalité l-a=i*(j-a) prouve que L se déduit de J par la rotation de centre A et d’angle pi/2.

3.5  La démonstration du théorème avec Xcas

On suppose que le point A est à l’origine du repère et que le point B est le point d’affixe 2. Le point C a comme affixe a+ib, avec a et b quelconques.
Pour faire la figure on suppose que a=−1 et que b=−1.
On tape les instructions suivantes qui se trouvent dans le fichier th1968d.xws :

assume(a=-3.5);
assume(b=0);
A:=point(-4,-1);
B:=point(-2,-1);
C:=point(a,b);
T1:=couleur(carre(B,A,K,H),vert);
T2:=couleur(carre(C,B,D,E),vert);
T3:=couleur(carre(A,C,G,F),vert);
J:=H+(D-B); 
P1:=couleur(polygone(D,B,H,J),rouge);
L:=E+(G-C);
P2:=couleur(polygone(L,E,C,G),rouge);
p:=normal((affixe(J)-affixe(A))/(affixe(L)-affixe(A)));
normal(longueur2(A,L)-longueur2(A,J));
normal(angle(A,J,L));

On obtient -i, 0 et pi/2 comme résultats des 3 dernières commandes :