Exemple: ``Le pendule chaotique''

C'est un système déterministe à ``un degré de liberté''.

Etat du pendule = position $\theta$ , vitesse $\frac{d\theta}{dt}$ , position de l'aimant $\alpha$ :   3 variables.

$\qquad\qquad$

Si aimant immobile ($\alpha=0$ ) $\Longrightarrow$ mouvement régulier prévisible

Propriété générale:

Si l'état du système est caractérisé par deux variables $\left(\theta,\frac{d\theta}{dt}\right)$, alors son mouvement est régulier (non chaotique).

Car 

• Une loi déterministe se traduit par un champ de vecteur dans l'espace des états.
   
• Or d'après le théorème de Poincaré-Bendixson sur les champs de vecteurs à 2 dimensions: l'ensemble limite est soit un point fixe, soit une orbite fermée.

Si l'aimant oscille $\Longrightarrow$mouvement chaotique imprévisible.

Mais dans un espace d'états à trois dimensions (ou plus), rien n'empêche à priori des trajectoires ``compliquées''.

Etat du pendule = position $\theta$ , vitesse $\frac{d\theta}{dt}$ , position de l'aimant $\alpha$ :   3 variables.