Billard plus déformé $\left(a=0.05\right)$

Structure très riche observée.

Elargissement de la zone instable

1000 billes sans interaction mutuelle sur la trajectoire instable

(La section est effacée régulièrement)

Apparition d'ilots réguliers

Un peu partout, il apparait des ilots de ``résonance''.

Exemple: Résonance 5::2 = 5 impacts pour 2 tours.

Infinité de rapports entiers $p::q$ $\Longrightarrow$ Structure fractale

Entre chaque ilot il y a une orbite instable, qui donnera naissance à du chaos.

Des résonances dans le système solaire

Gaps observés dans la répartition des millions d'astéroïdes situés entre mars et Jupiter: gaps de Kirkwood (1866) si période $T$ telle que $T=\frac{p}{q}T_{Jupiter}$ (A cause des instabilités voisines, ils subissent des chocs et se font éjecter).

Gaps dans les anneaux de Saturne: les cailloux de période $T=\frac{p}{q}T_{Titan}$ vont être éjectés à cause des instabilités (chocs avec d'autres cailloux).

Satellites d'Uranus prédits à partir de gaps observés dans les anneaux

Billard déformé $\left(a=0.1-0.2\right)$

Les instabilités se sont rejoint en une vaste ``zone chaotique''.

Il subsiste des ilots de régularité.

Le Billard est chaotique $\left(a=0.2\right)$

10000 billes sans interaction mutuelle sur la trajectoire instable (La section est effacée régulièrement):

Le nuage s'étire et se replie indéfiniment, donc se mélange, comme la pate feuilletée du boulanger; montré par Poincaré 1885.

• Chaque trajectoire est instable. La trajectoire d'une bille est imprévisible au delà d'une date $\tau$ : si imprécision initiale $L_{0}$ , alors $L\left(\tau\right)=\lambda^{\tau}L_{0}=1$ pour $\tau=\log\left(1/L_{0}\right)/\log\lambda$ qui est très court.
   
• Le nuage de particules converge vers une distribution d'équilibre indépendant de la distribution initiale. L'information fuit vers l'infiniment petit. Il y a augmentation du désordre, de l'entropie. Pour décrire l'évolution, on doit utiliser non plus des lois déterministes mais des lois probabilistes, sur l'ensemble chaotique. (Birkhoff , Arnold, Moser, ... 60', Ruelle,... 80')
   

Cela résout le paradoxe du chaos déterministe.

Du chaos dans le système solaire

Exemple: Hypérion, satellite de Saturne qui a une ``forme de cacahuète'' et une rotation propre chaotique,

 

Des études récentes en astronomie (J. Laskar)

montrent que sur une échelle de temps de l'ordre de $\tau=40$ Millions d'années, les trajectoires des planètes (Venus, Terre,Mars,...) sont chaotiques, mais dans des intervalles de distance planète-Soleil, qui ne se rencontrent pas. Cela explique qu'il n'y a pas eu de collisions (sauf au début du système solaire).

 

La climat terrestre (périodes glaciaires)

dépend fortement de la trajectoire de la terre, et est donc chaotique sur une grande échelle de temps.

 

Ce même système solaire

est remarquablement régulier sur des périodes plus courtes, et est à l'origine du développement des sciences chez l'homme (?).