(I) Chaos déterministe. Questions.

Que veulent dire les mots ``déterministe'' et ``chaos''?

Loi déterministe

• Loi déterministe: si l'état futur et passé $X\left(t\right)$ est déterminé par l'état présent du système $X(0)$, (position et vitesse de toutes les particules), sans hasard, par une formule simple:

  $$\frac{dX}{dt}=V\left(X\right)$$ (1)

  
  

• Exemple: une bille dans un billard parfait à 2 dim.
  La norme de la vitesse $\left\Vert v\right\Vert$ est conservée (car énergie$=\frac{1}{2}mv^{2}=cste$), donc l'état est caractérisé par 3 variables $X\left(t\right)=\left\{ \underbrace{x\left(t\right),y\left(t\right)}_{position},\underbrace{\alpha\left(t\right)}_{direction}\right\}$.
  Loi = trajectoire droite à vitesse constante et réflexion au bord.
  
  $\qquad$
  




• Animations: Billard quasi circulaire avec 1 bille et 100 billes indépendantes:
  
        
  

On observe un mouvement ``régulier'' et ``prévisible''.

Remarques:

• La loi $\frac{dX}{dt}=V\left(X\right)$ se représente par un champ de vecteur $V$ dans l'espace des états $\mathcal{E}=\left\{ X=\left(x,y,\alpha\right)\right\}$ qui est de dim 3, et borné (c'est la ``couche d'énergie'').
  
  
   
  
• Vision au début XIXeme siècle: Il semble que toute la nature soit régie par des lois déterministes.
            Laplace a écrit: ``.... En vertu du déterminisme universel, l'intelligence qui connaîtrait avec une absolue précision la position et la vitesse de tout objet dans la position initiale pourrait calculer l'évolution de l'univers à tout moment du temps passé ou futur.''
   
  
  Des physiciens (dont Laplace) étaient convaincus que:
   
  ``lois physiques déterministes'' $\Longrightarrow$''évènements prévisibles.''
  ``Réversibilité des lois physiques'' $\Longrightarrow$''réversibilité des phénomènes physiques''
  
  
  
• Paradoxalement, si on observe autour de nous: la plupart des phénomènes macroscopiques sont complexes, imprévisibles et irréversibles.
  
  
  

Chaos

d'après le Dictionnaire,

``chaos'' = ``confusion'', ``désordre'', ``imprévisibilité''

 

Question:

peut il y avoir du ``chaos déterministe''?, c'est à dire trajectoire $X\left(t\right)$ "chaotique" bien qu'elle soit déterminée par $\frac{dX}{dt}=V\left(X\right)$ ?
 

Réponse:

• non, si l'espace des états $\mathcal{E}$ est de dimension 2.
  car une trajectoire forme une barrière pour les autres. (Théorème de Poincaré-Bendixson sur les champs de vecteurs en 2 dimensions: l'ensemble limite est soit un point fixe, soit une orbite fermée.).
  Exemple: pendule $X=\left\{ \theta,\omega=\frac{d\theta}{dt}\right\}$

           

 

• oui: si dim$\left(\mathcal{E}\right)\geq3$, il y a du chaos en général (Poincaré fin XIXe, Birkhoff 50', Arnold 60', Smale 60'...)
   
• Exemple: bille dans un billard parfait. dim$\left(\mathcal{E}\right)=3$:

      

Observations:

• Une trajectoire individuelle semble aléatoire, imprévisible mais est réversible en principe.
• Une distribution (ens. de billes) se disperse très vite et évolue vers la distribution d'équilibre uniforme sur $\mathcal{E}$. Cela est ``prévisible'' mais ``irréversible'' (si on oublie les états individuels).
   
  On parle de ``propriété de mélange'' et de ``sensibilité aux conditions initiales''.  (voir + loin).
   
• Remarque: ce ``mélange'' correspond à l'hypothèse de l'ens. microcanonique en phys. statistique, à l'origine des lois de la thermodynamique (Maxwell, Boltzman, fin XIXe) . Les billes indépendantes du billard ci-dessus, sont un modèle de ``gaz parfait''.
  
  
  

Questions

• Comment expliquer en termes précis ces aspects chaotiques? Cette propriété de mélange et l'irréversibilité?
• Description du régime transitoire?

Un modèle de dynamique chaotique: flot hyperbolique

Section de Poincaré:

pour simplifier la description des trajectoires dans un billard, on considère les impacts sur le bord.

Une trajectoire devient une série (déterministe)

$$\left(q_{1},p_{1}\right)\rightarrow\left(q_{2},p_{2}\right)\rightarrow\left(q_{3},p_{3}\right)\ldots$$

C'est comme une coupe de dimension 2, transverse aux trajectoires dans $\mathcal{E}$qui est de dim. 3.

hyperbolicité de la dynamique (sensibilité aux conditions initiales)

Observons une trajectoire et ses trajectoires voisines.

Le linéarisé en $q=0,p=0$ est une matrice hyperbolique

$$M\equiv\left(\begin{array}{cc} e^{\Lambda t} & 0\\ 0 & e^{-\Lambda t}\end{array}\right),\qquad t$$:temps entre 2 impacts

$$\Lambda>0\qquad:$$coef. d'expansion de Lyapounov

$\rightarrow$    Les trajectoires voisines s'écartent comme $\Delta X\left(t\right)\simeq\Delta X\left(0\right)e^{\Lambda t}$.   On dit que la trajectoire a une instabilité hyperbolique.

 

Définition précise d'un système ``chaotique'':

Un champ de Vecteur est uniformément hyperbolique (ou Anosov) si en tout point $X$, il existe des directions stables $E_{s}\left(X\right)$ et instables $E_{u}\left(X\right)$ pour les trajectoires voisines et que le taux d'expansion est strictement positif:

$$\Lambda\left(X\right)>\Lambda_{min}>0,\quad\forall X$$

 

Propriété de ``stabilité structurelle'':

Un champ de vecteur Anosov reste Anosov si il est perturbé.

 

Remarques:

Le billard ci-dessus n'est pas unift hyperbolique, mais ``presque'' (il semble y avoir une grande région de trajectoires hyperboliques mais on ne sait pas démontrer si elles ne sont pas exceptionnelles).

Exemple de dynamiques unift hyperboliques: