Dynamique spatio-temporelle
21 octobre 2016
Il est de nombreux problèmes de physique où la variable qui évolue est une fonction sur l'espace (une “onde” ou un “champ”), qui peut représenter en chimie la concentration d'un composé, en mécanique des fluide ce peut être le champ des vitesses, etc.
0.0.1 Modèle de Belousov-Zhabotinsky
(1950)
A un instant (le temps est discret) est une fonction à trois composantes sur le réseau de taille périodisé (indices ):
On va supposer que pour et tout point .
En programation c++,
sont représentés par un objet de la classe
mat.
Evolution:
Pour définir (à l'instant ) à partir de on considère deux opérations successives:
- Moyennisation spatiale: c'est l'opération
où signifie que la somme porte sur le point et ses 4 voisins proches.
Cette opération de moyennisation modélise la “diffusion spatiale” des produits.
Remarque: en programation c++ la périodicité du reseau utilise l'opération modulo: phi1((i+N)%N,(j+N)%N)
- Dynamique ponctuelle sur : en chaque point du réseau, la fonction est modifiée par l'application:
et ensuite on restreint chaque valeur à l'intervalle , c'est à dire que si alors on pose , et si alors on pose .
Remarque: en programmation, on peut utiliser trois nouveaux tableaux et à la fin du calcul, soit:
- on recopie ces tableaux dans ,
- soit la fois suivante on calcule à partir de . (et on alterne ainsi dans la suite), pour éviter une recopie des tableaux.
Remarques:
- Le temps est discret. On effectue une boucle sur . A chaque étape on fait un dessin du tableau par exemple dans un histogramme. Si le calcul est rapide, cela donnera l'impression d'animation. En programmation, pour le dessin, utiliser TH2D.
- On travaille avec 6 tableaux et (sans stocker l'historique des tableaux).
- Au départ, on initialise les tableaux:
- soit avec des valeurs aléatoires: randu
- soit des des valeurs particulieres: zéros partout, 1 à certains endroits...
Vidéos:
Partant d'une fonction tirée au hasard, on observe une convergence vers une trajectoire périodique (cycle limite) avec une structure spatiale en spirales.
Images aux périodes , afin de montrer la convergence vers un cycle limite:
0.0.2 Interprétation du modèle en chimie
représentent les concentrations de 3 composés. On suppose qu'il y a les 3 réactions chimiques suivantes
Dans la réaction (1) on dit que
est un
catalyseur pour la création du composé
., etc. Cela implique que à chaque étape, la variation de concentration est donnée par
donnant la loi de transformation (
0.2). Il y a aussi diffusion spatiale des réactifs modélisée par la formule de moyennisation spatiale (
0.1).
Voir vidéos sur Youtube.
Question demandée:
- Simulation du champ , observation de la dynamique spatio temporelle.
- Essayer de comprendre les mécanismes et modifier/simplifier le modèle.
Autres références