Billard dispersif de Sinaï (1970)
Le billard de Sinaï est un carré avec conditions périodiques au bord (c'est donc un tore
) et contenant des disques. Une bille évolue en ligne droite à vitesse constante et rebondit parfaitement sur le bord des disques. Voir figure
0.1. Elle a donc un comportement déterministe. Mais on observe que le comportement est imprévisible, “chaotique”. Pourquoi?
L'explication heuristique est que les bords du billard sont convexes ce qui implique une «dispersion des trajectoires» après chaque rebond (on caractérisera cela par la sensibilité aux conditions initiales d'Anosov). Voir figure
0.2(a).
Après quelques rebonds seulement, les deux trajectoires initialement très proches peuvent avoir des évolutions très différentes (décorrélées). Sur la figure
0.2(b), on observe une bille (ou nuage de billes indépendantes) avec une incertitude initiale en position de
. Cette incertitude croit exponentiellement et le comportement peut différer notablement après un temps très court (ici 6 rebonds).
La dynamique déterministe engendre donc du hasard. Cela est à l'origine du «chaos déterministe» et de la complexité dans les systèmes dynamiques, et plus généralement de la complexité en physique et dans la nature. Références: Ruelle “Hasard et chaos” [
ruelle_book_hasard_91][
ruelle_book]. Les vidéos de E. Ghys et al. sur le chaos [
ghys_chaos].
Question (très actuelle):
Est-il possible de faire des prédictions sur l'évolution malgré ce hasard ? de comprendre les lois de ce hasard?
0.0.1 Approche probabiliste
Pour répondre à la question ci-dessus, il est nécessaire d'adopter une approche probabiliste. Voici l'idée. Sur la figure
0.3 observons
billes indépendantes avec des conditions initiales très proches
. La distribution des billes peut s'interpréter comme une distribution de probabilité d'une bille initiale. Cette distribution converge vers l'équilibre et diffuse sur le réseau (le billard périodisé sur le plan). Pour cette distribution, on observe un comportement prédictible mais irréversible. Il y a donc une “évolution effective
«prédictible» pour la distribution de probabilité. On introduit la notion d'entropie
pour caractériser cette perte d'information sur la position de la particule au cours du temps.
Question demandée:
Simulation des trajectoires, et observation des propriétés statistiques émergentes.
1 Informations de programmation
1.1 Fonctions
1.1.1 Fonction principale main()
Ecrire une fonction main(), où on définit:
- le nombre de disques dans la zone fondamentale.
- : numéro d'un disque
- : le rayon, : coordonnées du centre du disque . On utlisera la classe vector<double> .
- On note l'”horizon” c'est une majoration de la longueur du segment le plus long qui n'intersecte pas les disques. On ne connait pas à priori. On pose par exemple.
1.1.2 Fonction dessin des disques
Faire une fonction qui dessine les disques dans le carré . Pour cela on fera trois boucles imbriquées: sur , sur et et on dessine un disque en .
1.1.3 Fonction intersection unique
entrée:
, : position et direction de la bille
,: centre et rayon d'un disque
sortie:
test=0 si pas d'intersection, 1 si intersection
dans ce dernier cas, , : position et direction de la bille après le prochain choc et longueur parcourue.
Format:
void intersection( double x1, double x2, double a, double c1, double c2, double R, int &test, double &y1, double &y2, double &b, double &l);
1.1.4 Recherche des intersections avec tous les disques
entrée:
, : position et direction de la bille.
sortie:
test=0 si pas d'intersection, 1 si intersection
dans ce dernier cas, , : position et direction de la bille après le prochain choc et longueur parcourue.
Format:
void recherche_intersec( double x1, double x2, double a, int &test, double &y1, double &y2, double &b, double &l);
1.1.5 Dessin d'une trajectoire
Entrée:
, : position et direction initiales de la bille.
: nombre de rebonds.
Sortie:
Calcul des prochains points de rebond en partant de la condition initiale. Dessin de la trajectoire.