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Résumés (liste presque complète) :
Evelyne
Barbin : Des courbes et des lettres : la
théorie de Leibniz
Dans les années 1630, les
mathématiciens critiquent les Anciens pour leurs démonstrations géométriques
par l’absurde sur les courbes et ils introduisent des « méthodes
d’invention » pour trouver les tangentes et les quadratures. Leibniz prend
connaissance de ces méthodes lors de ses séjours à Paris dans les
années 1672-1676 et il veut suppléer aux défauts de la méthode cartésienne avec
sa « nouvelle méthode » de 1684. Nous exposerons l’édification d’une
théorie des courbes par Leibniz dans les années 1690, en insistant sur le rôle
qu’y jouent les problèmes inverses des tangentes (trouver une courbe
connaissant une propriété de ses tangentes), les problèmes
physico-mathématiques et enfin le problème des enveloppes (trouver une courbe
tangente à une famille de courbes), et en analysant la structuration de la
théorie leibnizienne. Cet exposé se veut un hommage à Guy Wallet, en
particulier pour sa contribution sur Leibniz en 1980 dans le premier ouvrage de
la Commission inter-IREM Épistémologie, intitulé La rigueur et le calcul.
Eric Benoît :
Perturbations singulières d’équations différentielles : où
les utiliser ? comment ? dans quel but ?
Nous allons explorer
(superficiellement) ce domaine, depuis les questions posées par les
« ingénieurs » jusqu’aux théories les plus abstraites
utilisées par les mathématiciens et les théories encore plus
fondamentales sur les infiniment petits, avec un retour après coup
sur les résultats mathématiques utilisables par les modélisateurs.
Des exemples simples seront donnés. Dans le domaine des
perturbations singulières (comme dans beaucoup d’autres), je
voudrais montrer l’intérêt d’une telle excursion. C’est le
prix à payer pour éviter de se noyer dans une trop grande
technicité, tout en préservant la rigueur scientifique.
Imme van den Berg : Nombres et
points externes
L’analyse nonstandard
permet de distinguer sous-ensembles d’ensembles standard appelés
ensembles externes, qui échappent à la mathématique
classique. Ainsi R contient des sous-groupes convexes
différents de zéro et R lui-même. Ce sont des sortes de zéros généralisés, appelés
neutrices. Un nombre externe est la somme d’un nombre réel
et d’une neutrice. La structure des nombres externes a beaucoup des
lois d’algèbre et d’analyse en commun avec la structure
des nombres réels, mais quelques-unes doivent être
adaptées. Dans Rn on distingue des points
externes. Nous en étudions quelques propriétés
algébriques et topologiques. Les nombres et points externes
peuvent être vus comme modèles mathématiques du
flou et de l’imprécis.
Nicolas Bouleau :
Sur quelles bases philosophiques
et dans quelles circonstances peut-il y avoir excès de mathématisation du monde
?
Cette question est posée
de façon récurrente à propos de l'économie. D'une part les étudiants se
plaignent que son enseignement ne fait pas une place suffisante aux réflexions
de fond sur les enjeux, noyées dans un formalisme abstrait, d'autre part la
puissance politique des marchés financiers et les crises rendent suspectes les
mathématiques ésotériques qui y sont maintenant d'usage courant. Il est
vrai que l'économie, science sociale mathématisée, présente des aspects qui la
mettent dans une position particulière tant en ce qui concerne ses modes de
fabrication de connaissance que pour sa performativité. Au demeurant la plupart
des débats autour de cette question se sont bornés à énoncer des conséquences fâcheuses
de l'excès de maths en économie et en finance, qui sont en effet nombreuses et
préoccupantes, mais n'ont pas su réellement dégager de perspectives claires
pour sortir de l'entre deux d'un peu de mathématiques mais pas trop.
Pour élucider cette question
nous l'abordons dans un champ plus large que seulement l'économie, pour la
connaissance en général. Le cas de l'économie s'en trouve grandement éclairci
quoiqu'il reste à cette discipline des spécificités qui méritent des
distinctions plus fines.
Nous analysons quand et
comment on peut diagnostiquer une mathématisation excessive et ce que cela veut
dire. Ceci nous conduit à poser la question : pourquoi la science normale et
les à-coups des révolutions? Pourquoi l'économie orthodoxe et les crises?
Pierre Cartier : Qui sont les nombres réels "naturels" ?
De quelle nature sont les nombres réels "naturels", en ce sens
qu'on peut en donner une définition algorithmique ? La question, du
point de vue logique, conduit à des variantes du paradoxe de Richard,
ce qui interdit de considérer L'ENSEMBLE de tels nombres (dénombrable
ou non ?). On ne peut séparer de cette question une interrogation
analogue pour les fonctions cette fois. Les deux sont évidemment liés.
Je donnerai plusieurs réponses, fondées sur les travaux récents de
Konsevich, Zagier, Deligne, etc ... qui donnent les rudiments d'une
nouvelle théorie de Galois étendue aux nombres transcendants. Par
ailleurs, la théorie "standard" des nombres réels est-elle adaptée à la
modélisation du monde physique ? Que sont des constantes courantes,
comme on les considère dans la physique des hautes énergies ?
Jean-Louis Cathelineau :
Remarques sur les plans projectifs
Les plans projectifs
forment une vaste classe d’objets géométriques, en particulier
dans le cas fini non desarguien, pour lesquels il semble que l’on
ait une connaissance limitée des problèmes d’existence et de
classification. On discutera pour ces objets d’invariants naïfs,
de nature discrète mais inspirés de la topologie.
Jean-Paul Delahaye : Limites logiques et mathématiques
Démontrer que quelque chose est impossible est souvent
utile en mathématiques. De l'Antiquité (avec l'irrationalité de la racine de 2)
à la logique moderne (avec l'incomplétude de Gödel) on trouve de nombreux
exemples de preuves d'impossibilité. Elles sont bien sûr troublantes, mais
elles sont aussi riches d'idées et de compréhensions nouvelles.
L'exposé est destiné à un public assez large de personnes aimant les
mathématiques. Il commencera par des questions élémentaires et se
terminera par l'évocation des résultats récents de Leonid Levin qui
donnent une nouvelle vision du phénomène de l'incomplétude logique.
Jean-Pierre Françoise :
Oscillations et tourbillons
La bifurcation de
Poincaré-Andronov-Hopf est ubiquitaire dans les applications en
association avec l’émergence de phénomènes oscillatoires. Dans
le prolongement des premiers travaux sur la bifurcation de Hopf
dynamique (retard à la bifurcation, tourbillons), on propose de
faire le point sur les récents progrès obtenus dans les
bifurcations des systèmes multi-échelles.
Jean-Michel Kantor : Quelques
remarques sur la psychologie de l’invention mathématique
En 1943, le célèbre
mathématicien Jacques Hadamard donna à New-York une
série de conférences sur l’invention en
mathématiques.
Peu d’éléments sont venus
compléter son étude, et les processus individuels
restent mystérieux et fascinants.
Nos remarques, issues
d’exemples anciens et modernes, de Descartes à Perelman,
visent à replacer les facteurs psychologiques dans le cadre de
l’influence extérieure aux mathématiques sur leur
genèse.
Claude Lobry : Evolution d'une
population de bactéries dans un chémostat
La croissance de
populations de bactéries est définie par un taux de croissance et
un environnement (la quantité de substrat disponible). Deux
populations qui ont des taux de croissance différents ne peuvent
coexister dans un même environnement. C'est ce qu'on appelle "l'exclusion compétitive". Mais les choses sont différentes
quand l'environnement est variable et lorsque les taux de croissance
évoluent (à la suite de mutations). Un modèle mathématique
(minimal) constitué d'un grand nombre d'équations différentielles
est analysé.
Henri Lombardi : Le
mystère de la structure du continu
Poincaré disait que le continu mathématique n'avait rien à voir avec
l'intuition que l'on pouvait avoir du continu physique.
Le continu mathématique comme ensemble (ordonné) de points est a priori une
aberration. On accepte cela comme on a accepté l'attraction universelle
instantanée, ou la mécanique quantique: on n'y comprend rien, mais cela marche
! Positivons donc !
Y a-t-il un espoir d'avoir un continu sans points ? et les mathématiques
constructives peuvent-elles nous aider dans ce projet ?
Jean Petitot : Un
modèle d’ANS en neurogéométrie
Je partirai d'un résultat
que j'ai exposé à La Rochelle en février 2007. L'architecture
fonctionnelle de l'aire visuelle primaire V1 implémente neuralement
la structure de contact K de l'espace V des 1-jets des courbes du
plan visuel R. Cela explique la remarquable capacité qu'a le système
visuel d'intégrer des détections locales de bords en bords globaux.
Mais cette implémentation d'un espace abstrait de dimension 3
s'effectue dans des couches neuronales de dimension 2, à travers ce
que l'on appelle une structure en "pinwheels" (roues
d'orientation). Une façon de modéliser cet écrasement dimensionnel
pourrait être d'utiliser l'ANS à la Robinson et de considérer (1.)
que (V,K) s'obtient en éclatant en parallèle tous les points du
plan R et (2.) que l'éclatement d'un point x de R revient à prendre
un cercle infinitésimal autour de ce point. J'aimerais discuter ce
que devient ce modèle dans le cadre de l'ANS finitiste développée
par le groupe de Guy Wallet.
Jean-Pierre Reveillès :
Reconnaissance d'objets discrets : voiles d'Arnold-Klein et
quasi-polynômes d'Ehrhart
Les idées et travaux
strasbourgeois de Reeb et Harthong dans la première moitié
des années 80 ont permis de construire quelques passerelles
entre les mathématiques et l'informatique comme le Calcul en
Nombres Entiers, la Géométrie Discrète ou, plus
récemment à la droite d'Harthong-Reeb. L'informatique y
a gagné la réponse à plusieurs problèmes
inverses : retrouver les paramètres d'objets connus uniquement
par les coordonnées entières de quelques points. Le
rôle de médium arithmético-géométrique
des fractions continues (en particulier multidimensionnelles suivant
Klein et Arnold) sera mis en évidence et la construction d'un
cadre théorique général, fondé sur les
quasi-polynômes d'Ehrhart, sera proposé.
Francis Sergeraert : Calculs Constructifs
Les méthodes standards de «calcul» en Topologie
Algébrique ne sont pas constructives. Les rendre constructives est bien intéressant.
Un
exemple didactique hors Topologie Algébrique est utilisé pour
faire
comprendre la nature du problème. Les grandes lignes de la
solution baptisée «Topologie Algébrique Constructive» sont
expliquées. Une
petite démo machine donne un exemple de groupe d'homologie ainsi rendu
accessible.
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