Jean-Etienne Rombaldi

Leçons pour l’agrégation de mathématiques

D'après le rapport de jury 2010

Les leçons proposées ne sont certainement pas des modèles (il faut les lire de façon critique). Chacun pourra y puiser des idées pour constituer son propre plan, à exposer en temps limité, en fonction de ses connaissances et de ses goûts.

Ces leçons, avec leurs nombreux exercices, sont également destinées à la préparation aux épreuves écrites.

Pour certaines leçons, il y a beaucoup de résultats proposés (en prévision de questions que pourrait poser le jury). Comme il n'est pas possible de tout exposer, le lecteur fera un choix en fonction de ses connaissances.

Le lien à un numéro de leçon renvoie à un exposé détaillé et le lien « Plan » renvoie à un plan « minimal ».

Un grand merci à Eric Langer qui a corrigé quelques erreurs et coquilles.

Quelques références. (Modifié le 03/02/2012)

Voir ICI la liste officielle des leçons (rapport 2011).

Algèbre et géométrie                                                                      Leçons d’analyse et probabilités

100 Notions de base sur les groupes	(Modifié le 12/01/2011)
101 Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples	Plan (Modifié le 12/01/2011)
102 Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications	Plan (Modifié le 09/01/2012)
103 Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications	Plan (Modifié le 12/01/2011)
104 Nombres premiers	Plan  (Modifié le 20/01/2012)
105 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Algorithmes et applications	Plan  (Modifié le 12/01/2011)
106 pgcd dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications	Plan  (Modifié le 31/10/2011)
107 Écriture décimale d'un nombre réel ; cas des nombres rationnels	Plan  (Modifié le 12/01/2011)
108 Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d'une famille de vecteurs
109 Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. Exemples	Plan  (Modifié le 21/01/2012)
110 Polynômes d'endomorphismes en dimension finie. Applications	Plan  (Modifié le 30/01/2012)
111 Changements de bases en algèbre linéaire. Applications
112 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications	Plan  (Modifié le 13/02/2012)
113 Déterminants. Applications
114 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal	(Modifié le 25/02/2012)
115 Orientation d'un espace euclidien de dimension 3. Produit mixte, produit vectoriel. Applications	(Modifié le 12/01/2011)
116 Homothéties-translations. Applications
118 Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3	Plan  (Modifié le 21/03/2012)
120 Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie). Applications	Plan  (Modifié le 01/12/2011)
122 Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien de dimension finie. Applications géométriques	Plan  (Modifié le 02/02/2012)
123 Utilisation des nombres complexes en géométrie	Plan  (Modifié le 02/02/2012)
125 Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications
126 Isométries de l'espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites
127 Géométrie du triangle
128 Barycentres. Applications	(Modifié le 11/01/2012)
130 Droites et plans dans l'espace
131 Applications affines en dimension finie
137 Droites et cercles dans le plan affine euclidien
140 Division euclidienne	Plan  (Modifié le 08/01/2012)
142 Utilisation des groupes en géométrie
143 Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes	Plan  (Modifié le 31/10/2011)
144 Différentes notions de rang en algèbre linéaire
145 Utilisation des transformations en géométrie
146 Coniques	Plan  (Modifié le 08/01/2012)
147 Courbes planes paramétrées
148 Angles
149 Équations et géométrie
150 Diverses factorisation de matrices	(Modifié le 18/02/2012)
151 Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications	Plan (Modifié le 25/02/2012)
154 Trigonométrie
155 Systèmes linéaires
156 Valeurs propres. Recherche et utilisation	Plan (Modifié le 01/01/2012)
157 Arithmétique dans Z	Plan (Modifié le 12/01/2011)
158 Actions de groupes. Exemples et applications	Plan (Modifié le 12/01/2011)
159 Algorithme d'Euclide dans Z. Calcul de pgcd et de coefficients de Bézout. Applications
160 Algorithmes du pivot de Gauss. Applications	(Modifié le 13/02/2012)
161 Étude métrique des courbes planes
162 Rang d'une matrice ; déterminations, algorithmes de calcul

Analyse et probabilités                                                                 Leçons d'algèbre et géométrie

201 Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications
202 Séries à termes réels positifs. Applications	Plan (Modifié le 12/01/2011)
203 Séries à termes réels ou complexes: convergence absolue, semi-convergence (les résultats relatifs aux séries termes réels positifs étant supposés connus)	Plan (Modifié le 12/01/2011)
204 Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes	Plan (Modifié le 21/02/2012)
205 Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Application à l'approximation des fonctions	Plan (Modifié le 15/01/2011)
206 Parties compactes de Rⁿ. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications
207 Théorème des valeurs intermédiaires. Applications en analyse, en analyse numérique	Plan (Modifié le 09/03/2011)
208 Théorème du point fixe. Applications
209 Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples
210 Séries entières de la variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples	Plan (Modifié le 30/11/2011)
212 Série de Fourier d'une fonction périodique ; propriétés de la somme. Exemples	Plan (Modifié le 30/11/2011)
213 Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nombre π	(Modifié le 12/01/2012)
215 Comparaison d'une série et d'une intégrale. Applications
216 Théorèmes des accroissements finis pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles. Applications
217 Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications
218 Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications
219 Fonction réciproque d'une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples
220 Méthodes de calcul approché d'une intégrale. Majoration ou estimation de l'erreur	Plan (Modifié le 12/01/2011)
221 Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de R (l'intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples	(Modifié le 18/02/2012)
222 Intégrale d'une fonction numérique continue par morceaux sur un intervalle compact. Propriétés
223 Intégrale d’une fonction dépendant d'un paramètre. Propriétés, exemples et applications
224 Équations différentielles linéaires d'ordre deux : x′′+a(t)x′+b(t)x=c(t), où a,b,c sont des fonctions continues sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes	Plan (Modifié le 20/10/2011)
225 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants ; écriture matricielle. Exemples	(Modifié le 12/01/2011)
227 Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité. Fonctions composées. Fonctions de classe C¹. Exemples	(Modifié le 18/02/2012)
228 Recherche d’extremums pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles
229 Suites de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi binomiale. Approximations de cette loi
230 Probabilité conditionnelle et indépendance. Variables aléatoires indépendantes. Variance, covariance
231 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres	(Modifié le 11/01/2012)
232 Variables aléatoires possédant une densité. Exemples
233 Méthodes d’approximation d'un nombre réel, exemples
234 Équations différentielles non linéaires du premier ordre
235 Fonction exponentielle de la variable réelle, complexe, matricielle, …
236 Continuité, dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
237 Intégrales et primitives
238 Le nombre π
240 Problèmes d'extremums pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles
241 Diverses notions de convergence. Exemples
242 Suites de nombres réels	Plan (Modifié le 12/03/2012)
243 Différentiabilité d'une fonction numérique de deux variables réelles, gradient ;  applications
244 Égalités et inégalités. Par exemple Cauchy-Schwarz, Parseval, convexité, ...	(Modifié le 08/02/2012)
245 Exemples d’équations fonctionnelles	(Modifié le 18/02/2012)
246 Applications de l'analyse au calcul des grandeurs (longueur, aire, volume, ...)
247 Limites à l'infini
248 Mouvement à accélération centrale
249 Loi normale en probabilités
250 Algorithmes de résolution approchée d'une équation numérique
251 Algorithmes de calcul du terme général d'une suite numérique et de la somme partielle d'une série numérique
252 Algorithmes de calcul approché d'intégrales
253 Algorithmes d'approximation des solutions d'une équation différentielle
254 Algorithmes d'approximation d'un nombre réel
255 Algorithmes d'approximation de π
256 Vitesse de convergence, accélération de convergence	Plan  (Modifié le 12/01/2011)
257 Écriture décimale d’un nombre réel ; cas des nombres rationnels