Points de hauteur bornée

1. Hauteur d'un point sur un espace projectif

Si x, point de l'espace projectif de dimension n sur le corps des rationnels Q, a pour coordonnées homogènes (xo,...,xn), où les xi sont des entiers premiers entre eux, on définit sa hauteur par la formule h(x) = sup(|xo|,..,|xn|) On s'intéresse alors à l'ensemble des points dont la hauteur est majorée par un nombre réel donné. Le premier dessin est une représentation graphique d'un ensemble de ce type.

Le cas de l'espace projectif

Ensemble des x=(1:x1:x2) du plan projectif tels que
h(x)<30, |x1|<1 et |x2|<1.

2. Extension à d'autres variétés projectives

Si V est une variété projective sur Q, elle se plonge alors dans un espace projectif. Si on fixe un tel plongement on obtient alors par restriction une hauteur sur la variété V. Le produit de deux droites projectives peut ainsi se plonger dans une espace projectif de dimension trois par l'application ((x0:x1), (y0:y1))-> (x0y0:x0y1:x1y0:x1y1)

Le cas du produit de deux droites projectives

Ensemble des (x,y)=((1:x1),(1:y1)) du produit tels que
h(x,y)<30, |x1|<1 et |y1|<1.

Le plan projectif éclaté en un point P peut être décrit comme l'ensemble des paires (Q,L) où Q est un point du plan projectif et L une droite projective contenant P et Q. Le plan projectif éclaté en trois points P1, P2 et P3 se décrit de manière similaire à l'aide de quadruplets (Q,L1,L2,L3).

Le cas du plan projectif éclaté en trois points

Le cas de la droite projective sur Q(i)