Méthode de Gauss

Exercice Q4 (à rendre à la fin de la séance 9)
On souhaite écrire une fonction gaussdecomp(q,x) prenant en argument une forme quadratique q et la liste de variables x dont elle dépend et renvoyant une expression égale à q écrite comme somme/différence de carrés indépendants. On va le faire récursivement.
Si x est de longueur 0 ou 1, que faut-il renvoyer?
Sinon, on calcule a_ii = ${\frac{1}{2}}$$\partial^{2}_{}$q/$\partial$x_i² pour tous les x_i de la liste x:

• Si on en trouve un a_ii non nul, on va s'en servir pour former un carré. On calcule b_i = ${\frac{1}{2}}$$\partial$q/$\partial$x_i. En utilisant $\partial$b_i/$\partial$x_i = a_ii, montrer que q' = q - ${\frac{1}{a_{ii}}}$b_i² ne dépend pas de x_i. On renvoie alors ${\frac{1}{a_{ii}}}$b_i² + gaussdecomp(q', x') où x' est la liste x dont on a supprimé le i-ième élément (vous pouvez utiliser la fonction simplify pour simplifier l'expression de q' avant l'appel récursif).
• Si tous les a_ii sont nuls, il n'y a pas de termes carrés, on cherche alors un a_ij = ${\frac{1}{2}}$$\partial^{2}_{}$q/$\partial$x_i$\partial$x_j non nul (s'il n'y en a pas, q est nul et on renvoie 0). Construire alors une différence de deux carrés qui élimine les variables x_i et x_j de q (on pourra utiliser a_ij, b_i et b_j).

Écrire la fonction gaussdecomp.

Exercice Q5 (à rendre à la fin de la séance 9)
Tester le programme précédent pour trouver une base orthogonale relativement à q lorsque :
q(x) = x₁² + 4x₁x₂ + 2x₁x₃ - 2x₂x₃ pour x = (x₁, x₂, x₃) $\in$ $\mathbb {R}$³

Exercice Q6 (à rendre au début de la séance 10)
Soit pour a $\in$ $\mathbb {R}$ la forme quadratique définie par :
q_a(x) = x₁² + 3x₂² + ax₃² - 2x₁x₂ + 2x₁x₃ pour x $\in$ $\mathbb {R}$³
a/ Écrire la matrice M_a de q_a relativement à la base canonique de $\mathbb {R}$³.
b/ Utiliser le programme précédent pour décomposer q_a comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
Expliciter les formes linéaires trouvées.
Pour quelles valeurs de a, q_a est-elle : non dégénérée ? définie positive ?
c/ Dans le cas où q_a est définie positive, montrer qu'il existe une matrice carrée d'ordre 3 S_a telle que : M_a =  ^tS_aS_a