Utilisation de la moyenne de Césaro

Définition
Soit (u_n)_{n $\in$ $\mathbb {N}$} une suite, on pose

S_k = $$\sum_{i=0}^{k}$$u_i

On dit que la série $\sum$u_n converge vers $\sigma$ au sens de Césaro si la suite :

$$\sigma_{n}^{}$$ = $${\frac{1}{n}}$$$$\sum_{k=0}^{n-1}$$S_k

tend vers $\sigma$. On pose :

$$\sigma_{n}^{}$$(f )= $${\frac{1}{n}}$$$$\sum_{k=0}^{n-1}$$SF_k(f )

Théorème
La suite $\sigma_{n}^{}$(f )(x) converge vers f (x) en tous les points de continuité de f.

Exercice 4 (à rendre au début du TP11)
On observe que la convergence au sens de Césaro permet de régulariser la convergence, donc d'éliminer le phénomène de Gibbs.
Déterminer $\sigma_{n}^{}$(f )(x) pour la fonction f de l'exercice 1. Tracer sur un même graphique SF₆(f )(x) et $\sigma_{7}^{}$(f )(x).