Cas où il y un couple de complexe conjugué de module maximal.

Soit $(\lambda,\overline{\lambda})$ le couple de valeurs propres correspondant au couple de vecteurs propres $(w,\overline{w})$. Montrer que $v_k$ s'approche de l'espace vectoriel engendré par $w$ et $\overline{w}$. En déduire que $A^2v_{k}$ est approximativement combinaison linéaire à coefficients réels de $Av_k$ et $v_{k}$ lorsque $k$ est grand :

$$v_{k+2}=av_{k+1}+bv_k , \mbox{ avec } \lambda^2=a \lambda +b$$

Exercice 6 (à rendre au plus tard le jour de l'examen)
Trouver le couple de valeurs propres de plus grand module de la matrice :

$$E= \left(\begin{array}{rrrr} -3 & -8 & -3 & 4 \\ 7 & 8 & 6 & 5 \\ -1 & 4 & -4 & 1 \\ 7 & -4 & -5 & 7 \end{array}\right)$$

Faites de même pour le couple de plus petit module.