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Recherche de vecteurs propres
On suppose que le polynôme minimal
est sans facteur carré
(square-free) ce qui se vérifie en cherchant le pgcd
de
avec sa dérivée.
À l'aide du polynôme minimal, il est facile de déterminer les
vecteurs propres de
correspondant aux racines de
que l'on
sait déterminer car si
on a :
En effet puisque
on a :
et
sont premiers entre eux car
est sans facteur carré donc d'après Bézout,
il existe deux polynômes
et
tels que :
on a donc :
donc :
Lorsque le polynôme minimal n'est pas square-free, l'identité
de Bézout donne les projecteurs sur les espaces caractéristiques
(
envoie
sur Ker
lorsque
est
d'ordre
).
Exercice 2 (ŕ rendre au plus tard le jour de l'examen)
Montrer que
est diagonalisable et
trouver une base de vecteurs propres de la matrice
de l'exercice 1
en utilisant la méthode ci-dessus.
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2003-02-19