suivant: Valeur d'un polynôme en
monter: miastp1
précédent: miastp1
Arithmétique des polynômes.
Comme pour les entiers, on peut faire la division euclidienne de deux
polynômes
et
de degrés
et
, on obtient le quotient
de degré
(si
) et le reste
de degré
strictement inférieur à
vérifiant l'égalité :
L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux polynômes
exactement comme pour calculer le PGCD de deux entiers.
Algorithme de Bézout (dit aussi PGCD étendu): lorsque
deux polynômes
et
ont comme PGCD le polynôme
,
il existe deux polynômes
et
tels que :
Exercice 1 (à rendre à la fin de la 1ère séance de TP) :
Application à la recherche de racines multiples.
Rappel : Si
est une racine de mulitplicité
de
, alors
est une racine de multiplicté
de
,
de
,
etc. En particulier si
et
sont premiers entre eux,
toutes les racines de
sont de multiplicité 1.
On considère le polynôme
Calculer avec un logiciel de calcul formel
et
, le PGCD de
et
et le PGCD de
et
. En déduire que
admet un facteur
de multiplicité 3 et un facteur de multiplicité 2.
Exercice 2 (à rendre à la fin de la 1ère séance de TP) :
Application au calcul de l'intégrale :
On factorise le dénominateur de la fraction sous la forme
. Déterminer avec un logiciel de calcul
formel deux polynômes
et
tels que :
en déduire que l'intégrale de départ vaut :
calculer ces intégrales en expliquant quels calculs intermédiaires
vous avez effectués avec le logiciel.
Exercice 3 (à rendre au début de la 3ème séance de TP) :
Application au calcul de l'intégrale
Effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur
pour se ramener à l'intégrale d'une fraction dont le
numérateur
est de degré inférieur au dénominateur.
Soit
, calculer
et le PGCD de
et
, en déduire
qu'il existe des polynômes
et
tels que:
calculer ces deux polynômes avec un logiciel.
On décompose alors l'intégrale en deux morceaux :
Faites une intégration par parties sur le deuxième terme
et en déduire la valeur de l'intégrale du départ.
suivant: Valeur d'un polynôme en
monter: miastp1
précédent: miastp1
2003-02-19