\documentclass{article}
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\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}

\begin{document}
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%\textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt
Maths MIAS2 \hfill
TP4: Les s\'eries enti\`eres et les s\'eries de Fourier \hfill 2003

%\maketitle
\vskip 0.2cm
\section{Rappel de quelques commandes utiles}
\subsection{Fonctions et int\'egrales}
\subsubsection{Avec {\tt MuPAD} ou {\tt maple}}
On d\'efinit par exemple la fonction $\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$ 
en tapant :\\
${\tt f2:=x->(x-x^3/3!);}$ \\
On calcule la valeur de  l'int\'egrale $I=\int_0^1 f_2(x)dx$ en tapant :\\
{\tt float(int(f2(x),x=0..1));} (MuPAD) ou {\tt evalf(int(f2(x),x=0..1));} 
(maple)\\
Si $f_2$ n'admet pas de primitive continue sur $[0;1]$:\\
{\tt float(hold(int(f2(x),x=0..1)));}/{\tt evalf(Int(f2(x),x=0..1));}\\
on effectue ainsi directement l'int\'egrale par une m\'ethode num\'erique 
({\tt hold} emp\^eche l'\'evaluation en mupad, et {\tt Int} est la forme
inerte (non \'evalu\'ee) de l'int\'egrale en maple, on
\'evite ainsi la recherche d'une primitive de $f_2$).

\subsubsection{Avec la {\tt HP49G}}
On d\'efinit par exemple la fonction $\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$ 
en tapant :\\
${\tt DEFINE(F2(X)=X-X^3/3!)}$, puis {\tt ENTER}  
({\tt DEFINE} s'obtient avec {\tt shift-bleu 2 (DEF)})

On calcule la valeur de l'int\'egrale $I=\int_0^1 f_2(x)dx$ en tapant 
dans l'\'editeur d'\'equations ({\tt EQW}):\\
${\tt \int_0^1 F2(X)dX}$, puis {\tt ENTER}, puis 
{\tt shift-rouge ENTER (NUM)}.

On peut aussi avec {\tt DEFINE} d\'efinir une fonction par morceaux.
Par exemple pour d\'efinir $f(x)=x$ pour $x<\pi$ et
$f(x)=2\pi-x$ pour $x \geq \pi$
on tape :\\
${\tt DEFINE(F(X)=IFTE(X<\pi,X,2\pi-X))}$, puis {\tt ENTER}.

\subsubsection{Avec la {\tt TI89/92}}
On d\'efinit par exemple la fonction $\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$ 
en tapant :\\
${\tt Define\ f2(X)=X-X^3/3!}$, puis {\tt ENTER}.\\
On calcule la valeur de l'int\'egrale $I=\int_0^1 f_2(x)dx$ en tapant
${\tt \int(f2(X),X,0,1)}$, puis ${\tt \diamond ENTER}$.\\
On peut aussi avec {\tt definr} d\'efinir une fonction par morceaux.
Par exemple pour d\'efinir $f(x)=x$ pour $x<\pi$ et
$f(x)=2\pi-x$ pour $x \geq \pi$
on tape :\\
${\tt Define \ f(X)=when(X<\pi,X,2\pi-X)}$ , puis {\tt ENTER}.

\subsection{Representation graphique}
\subsubsection{Avec {\tt MuPAD}}
 On utilise la commande  {\tt plotfunc2d}.
 Par exemple pour avoir le trac\'e simultan\'e de $y=\sin(x)$ et de $y=x$
 on tape:\\
{\tt plotfunc2d(sin(x),x,x=0..4);}\\
ou si on veut pr\'eciser la fen\^etre :\\
{\tt plotfunc2d(sin(x),x,x=0..4,y=-2..2);}

\subsubsection{Avec {\tt maple}}
On utilise la commande  {\tt plot}.
Par exemple pour avoir le trac\'e simultan\'e de $y=\sin(x)$ et de $y=x$
on tape:\\
{\tt plot([sin(x),x],x=0..4);}\\
ou si on veut pr\'eciser la fen\^etre :\\
{\tt plot([sin(x),x],x=0..4,y=-2..2);}

\subsubsection{Avec la {\tt HP49G}}
On r\'egle la dimension de la fen\^etre graphique  
({\tt shift-bleu F2 (WIN)}), puis on donne l'\'equation des fonctions \`a 
tracer ({\tt shift-bleu F4 (2D/3D)}) en remplissant {\tt EQ} avec par exemple 
{\tt \{sin(x),x\}} pour avoir le trac\'e simultan\'e de $y=\sin(x)$ et 
de $y=x$.

\subsection{S\'eries de Fourier}

\subsubsection{Avec la {\tt HP49G}}
La commande {\tt FOURIER} a deux param\`etres une fonction $f(x)$ et un 
entier $n$. {\tt FOURIER} renvoie le coefficient de Fourier $c_n$ de la 
fonction $f(x)$
consid\'er\'ee comme une fonction sur [0;T] et p\'eriodique de   p\'eriode T.
(T est le contenu de la variable {\tt PERIOD}). C'est \`a vous de trouver les
valeurs particuli\`eres de $n$ pour lesquelles le calcul g\'en\'eral de $c_n$ 
n'est pas valable.

\subsubsection{Avec d'autres logiciels}
Il n'y a pas d'instructions sp\'ecifiques, il faut donc entrer
soi-m\^eme l'int\'egrale \`a calculer.

\section{Les s\'eries enti\`eres}
\subsection{Rappels du cours}
D\'efinition :\\
On dit qu'une fonction $f$ d\'efinie sur $]-\alpha;\alpha[$, est 
d\'eveloppable en s\'eries enti\`eres au voisinage de $x=0$ si il 
existe $a_n $ pour $ n \in \mathbb N$ et $R \leq \alpha$ v\'erifiant~:
\[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \mbox{ pour }|x|<R \ (R>0) \]
Si $f$ est ind\'efiniment d\'erivable alors les $a_n$ sont d\'efinis par~:
\[ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \]
Dans les exercices qui suivent quand on demande d'\'ecrire le d\'eveloppement 
en s\'eries enti\`eres au voisinage de $x=x_0$ de $f(x)$, vous devez 
d\'eterminer $a_n $ pour $ n \in \mathbb N$ et $R$ v\'erifiant~:
\[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \mbox{ pour }|x-x_0|<R \]

\subsection{Exercices}
{\bf Exercice 1} (� rendre � la fin de la 1�re s�ance de ce TP)\\
\'Ecrire $S(x)$, le d\'eveloppement en 
s\'eries enti\`eres au voisinage de $x=0$ de $\cos(x)$.\\
Tracer sur un m\^eme graphique les graphes des fonctions suivantes~:
\begin{eqnarray*}
 f(x)&=&\cos(x), \\
f_1(x)&=&1,\\
f_2(x)&=&1-\frac{x^2}{2!} \\
f_3(x)&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} \\
f_4(x)&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}
\end{eqnarray*}
Graphiquement on voit que $f_4(x)$ approche $\cos(x)$ : sur quel intervalle 
cette approximation vous para\^{\i}t-elle acceptable ?\\
Donner une majoration du reste $R_4(x)$ de cette s\'erie $S(x)$.
De fa\c{c}on plus pr\'ecise, $f_4(x)$ approche $\cos(x)$ pour $x \in [-1,1]$ 
avec quelle erreur~?\\
En d\'eduire  un encadrement de $\cos(1)$.

\vspace{0.3cm}

\noindent{\bf Exercice 2} (� rendre � la fin de la 1�re s�ance de ce TP)\\
On veut approcher  sur l'intervalle $[0;\pi]$ $\cos(x)$ \`a $10^{-6}$ pr\`es 
par son d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$.
D\'eterminer le plus petit $k$ pour que :
\[ f_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^{j}\frac{x^{2j}}{(2j)!} \]
r\'ealise cette approximation.\\
Calculer avec cette m\'ethode $\cos(3)$, puis calculer $-\cos(\pi-3)$ en 
utilisant une valeur approch\'ee de $\pi$ \`a $10^{-10}$ pr\`es.\\
Comparez les approximations obtenues.
%Quelle est la meilleure approximation de $\sin(3)$~? \\


\subsection{D'autres applications}
\noindent{\bf Exercice 3} (� rendre au d�but du TP5)\\
On veut calculer 
\[ I=\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} \ dx \]
\'Ecrire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$ de~:
\[ g(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
\'Ecrire $I$ sous la forme d'une s\'erie de terme g\'en\'eral $v_j$.\\
Soit $R_n$ le reste de cette s\'erie~:
\[ R_n=\sum_{j=n+1}^\infty v_j \]
trouver une majoration de $|R_n|$.
Quelle est l'aproximation obtenue pour  la valeur de $I$ lorsqu'on utilise 
comme approximation de $I,\ \sum_{j=0}^k v_j$? Donner un encadrement
de $I$ obtenu en prenant $k=10$.

{\bf Exercice 4} (� rendre au d�but du TP5)\\
On veut calculer 
\[ I=\int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{(1+x^4)^{1/3}}dx \]
\'Ecrire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$ de :
\[ g(x)=\frac{1}{(1+x^4)^{1/3}} \]
\'Ecrire $I$ sous la forme d'une s\'erie de terme g\'en\'eral $v_n$.\\
En d\'eduire une valeur de $I$ \`a $10^{-6}$ pr\`es.\\

{\bf Exercice 5} (� rendre au d�but du TP5)\\
\'Ecrire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$ de :
\[ \theta(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\int_0^x e^{-t^2} dt \]
En d\'eduire une valeur de $\theta (1)$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.

\section{Les s\'eries de Fourier}
\subsection{Rappels du cours}
On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, $2\pi$-p\'eriodique et
int\'egrable sur tout intervalle ferm\'e born\'e, sont d\'efinis pour 
$n \in \mathbb Z$ et pour $\alpha \in \mathbb R$ par :
\[ c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)e^{-int}dt \]
et que la s\'erie de Fourier associ\'ee \`a $f$ est :
\[ SF(f)(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{inx} \]
On peut aussi d\'efinir les coefficients de Fourier r\'eels pour 
$n \in \mathbb N$ et pour $\alpha \in \mathbb R$ par :
\begin{eqnarray*}
 a_n(f) &=& \frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\cos(nt)dt \\
 b_n(f) &=&\frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\sin(nt)dt
\end{eqnarray*}
On a alors :
\[ SF(f)(x)=\frac{a_0(f)}{2}+
           \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx))\]
{\bf Th\'eor\`eme de Dirichlet}\\
Si au point $x_0$, $f$ admet une limite \`a droite et une limite \`a gauche 
(que l'on note
$f(x_0+0)$ et $f(x_0-0)$), ainsi qu' une d\'eriv\'ee \`a droite et une 
d\'eriv\'ee \`a gauche, alors la  s\'erie $SF(f)(x_0)$ converge vers 
$\frac{1}{2}(f(x_0-0)+f(x_0+0))$.\\
 En particulier si $f$ est d\'erivable pour tout $x$, $SF(f)(x)$ converge vers 
$f(x)$.

\vspace{0.3cm}

{\bf Exercice 6} (� rendre � la fin de la 2�me s�ance du TP4)\\
Trouver le d\'eveloppement 
\[ SF(f)(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx) \]
en s\'eries de Fourier de la fonction $f$ 
p\'eriodique de p\'eriode $2 \pi$  d\'efinie  par :
\[ f(x)=x \mbox{ pour }x \in ]- \pi;\ \pi[, \quad f(\pi)=0.\]
On note~:
\[ SF(f)_n(x)= \sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx) \]
Donner la valeur et tracer sur un m\^eme graphique et pour $x\in[-4;4]$ 
les graphes des fonctions suivantes~:
\[ f(x), SF(f)_1(x), SF(f)_2(x), SF(f)_3(x), SF(f)_4(x), SF(f)_5(x),
SF(f)_6(x) \]

\subsection{Ph\'enom\`ene de Gibbs}
Les graphes des fonctions $SF(f)_n$ poss\`ede un maximum ayant comme 
coordonn\'ees $x_n,y_n$. Pour la fonction $f$ de l'exercice 6, 
quand $n$ tend vers $+\infty $, on va montrer que~:
\[ x_n \rightarrow \pi, \quad
y_n \rightarrow \alpha=2 \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt \]
Le calcul approch\'e de $\alpha $ (cf exercice 3) montre que  
$\alpha>3.7 > \pi$.
Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuit\'e s'appellent le
ph\'enom\`ene de Gibbs.

\vspace{0.3cm}

{\bf Exercice 7} (� rendre au d�but du TP5)\\
Observation et d\'emonstration de ce ph\'enom\`ene :\\
On cherche la limite de $y_n=SF(f)_n(x_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$
\begin{enumerate}
\item de fa\c{c}on empirique\\
D\'eterminer les coordonn\'ees $x_n,y_n$ du  maximum de :\\
$SF(f)_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$
pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6

\item de fa\c{c}on th\'eorique
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la valeur de $x_n$
\item Montrer que~:
\[ SF(f)_n(x)=2\sum_{k=1}^n \ (-1)^{k+1} \frac{\sin(kx)}{k} \]
\item Montrer que~:
\begin{eqnarray*} 2\sin(\frac{x+\pi}{2})\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} \cos(kx)
&=&-2\sin(\frac{x+\pi}{2})\sum_{k=1}^n \cos(k(x+\pi))\\
&=&\sin(\frac{x+\pi}{2})-\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})
\end{eqnarray*}
et en d�duire que :
\[ SF(f)_n'(x)=\frac{\sin(\frac{x+\pi}{2})-
\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})}{\sin(\frac{x+\pi}{2})} \]
\item En d\'eduire que~:
\[ SF(f)_n(x)=x-\pi-\int_\pi^x \frac{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}
{\sin(\frac{t+\pi}{2})}dt \]
\item En faisant un changement de variables montrer que~:
\[ SF(f)_n(x)=x-\pi+2\int_0^{\frac{\pi-x}{2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt\]
\item Prouver que~:
\[ y_n=SF(f)_n(x_n)=-\frac{\pi}{n+1}
+2\int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt\]
\item
On d�finit la fonction $g$ par~:
\[ g(0)=0, \quad  g(x)=\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x} \]
Montrer que $g$ est continue, en d�duire~:
\[ \lim_{n\rightarrow +\infty}
\int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\sin((2n+1)t)(\frac{1}{\sin(t)}
-\frac{1}{t})dt\]
\item Montrer que $y_n$ tend vers  $\alpha=2 \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt$ 
quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Utilisation de la moyenne de C\'esaro}
{\bf D\'efinition} \\
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite, on pose 
\[ S_k=\sum_{i=0}^{k}u_i \]
On dit que la s\'erie $\sum u_n$ converge vers $\sigma$ au sens 
de C\'esaro si la suite~:
\[ \sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_k \]  
tend vers $\sigma$. On pose~:
\[ \sigma_n(f)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}SF_k(f) \]

{\bf Th\'eor\`eme}\\
La suite $\sigma_n(f)(x)$ converge vers $f(x)$ en tous les points 
de continuit\'e de $f$.\\

{\bf Exercice 8} (� rendre au d�but du TP5)\\
On observe que la convergence au sens de C\'esaro permet de r\'egulariser 
la convergence, donc d'\'eliminer le ph\'enom\`ene de Gibbs.\\
Calculer $\sigma_n(f)(x)$ pour la fonction $f$ 
p\'eriodique de p\'eriode $2 \pi$  d\'efinie  par :\\
$f(x)=x$ sur $]-\pi;\ \pi[$\\
$f(\pi)=0$.\\
Tracer sur un m\^eme graphique $SF_6(f)(x)$ et  $\sigma_7(f)(x)$.

%Calculer $\sigma_n(g)(x)$ pour la fonction $g$ 
%p\'eriodique de p\'eriode $2 \pi$  d\'efinie  par :\\
%$g(-x)=g(x)$ pour tout $x \in \mathbb R$.\\
%$g(x)=x$ sur $]0;\ \pi[$\\


\end{document}











