%\makeindex
\documentclass{article}
\newcommand{\norme}[1]{ \left\| {#1} \right\| }
\newcommand{\tr}{\mbox{tr\,}}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage[pdftex]{hyperref}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large TP5: R\'eduction des formes quadratiques}\\
\end{center}

Attention, pour tenir compte de l'avancement du cours,  il y aura un
changement d'ordre des s\'eances de TP~:\\ 
s\'eance 1: TP4 s\'eries enti\`eres, s\'eances 2 et 3: TP5 formes 
quadratiques, s\'eance 4: TP4 s\'eries de Fourier.

% $A=^t P D P$
\section{\'Ecriture de la matrice d'une forme quadratique}
{\bf Exercice Q1} (\`a rendre fin de la s\'eance 2)\\
\'Ecrire une fonction qui v\'erifie qu'une fonction de plusieurs variables 
est une forme quadratique et renvoie alors sa matrice ou renvoie
0 sinon.
Les param\`etres de la fonction seront
l'expression {\tt q} de la forme quadratique et la liste {\tt x} 
des variables (par exemple {\tt $q:=x1^2+2*x1*x2$; x:=[x1,x2];}).\\ 
{\em Indication\/}:
On remarquera qu'une expression est quadratique en {\tt x:=[x1,...,xn]; }
si elle vaut z\'ero en $x=0$, si sa diff\'erentielle vaut z\'ero en 
$x=0$ et si les d\'eriv\'ees partielles d'ordre 2 sont des constantes 
(i.e. les d\'eriv\'ees partielles d'ordre 3 sont nulles)\\
{\em Rappels}~:
\begin{itemize} 
\item La fonction {\tt subs(q,x[i]=0)} (MuPAD) ou {\tt subs(x[i]=0,q)} 
(maple) permet de remplacer {\tt xi} par 0 dans {\tt q}.
\item La fonction {\tt diff(q,x[i])} permet de d\'eriver {\tt q} par 
rapport \`a {\tt xi}.
\end{itemize}

\noindent
{\bf Application: exercice Q2} (\`a rendre fin de la s\'eance 2)\\
On consid\`ere dans $\mathbb R^4$ la forme quadratique :\\
$q(x)=2x_1^2+3x_2^2-x_4^2+6x_1x_2-2x_1x_3+5x_1x_4+x_2x_4+2x_3x_4$\\
\'Ecrire la forme bilin\'eaire sym\'etrique $f$ forme polaire de $q$ .\\
\'Ecrire la matrice associ\'ee  \`a $f$ dans la base canonique.\\
Tester votre fonction avec $q$, $q+1$ et $x1^3$.

\section{Noyau et vecteurs isotropes}
{\bf Exercice Q3} (\`a rendre au d\'ebut de la s\'eance 4)\\
On consid\`ere dans $\mathbb R^3$ la forme quadratique :\\
$q(x)=x_1^2+2x_2x_3+x_3^2$\\
D\'eterminer tous les vecteurs $x$ isotrope relativement \`a $q$ 
(ie v\'erifiant $q(x)=0$) et en donner une repr\'esentation.\\
D\'eterminer le noyau de  $q$ (ie 
$\{x\in \mathbb R^3\ \forall  y\in\mathbb R^3\ f(x,y)=0 \}$)\\ 

\section{M\'ethode de Gauss}
{\bf Exercice Q4} (\`a rendre \`a la fin de la s\'eance 3)\\
On souhaite \'ecrire une fonction {\tt gauss(q,x)}
prenant en argument une forme quadratique 
$q$ et la liste de variables $x$ dont elle d\'epend et renvoyant
une expression \'egale \`a $q$ \'ecrite comme somme/diff\'erence
de carr\'es ind\'ependants. On va le faire r\'ecursivement.\\
Si $x$ est de longueur 0 ou 1, que faut-il renvoyer?\\
Sinon, on calcule $a_{ii}=\frac{1}{2} \partial^2 q/\partial x_i^2$ pour tous
les $x_i$ de la liste $x$:
\begin{itemize}
\item
Si on en trouve un $a_{ii}$ non nul,
on va s'en servir pour former un carr\'e. On calcule 
$b_i=\frac{1}{2} \partial q/\partial x_i$. En utilisant
$\partial b_i/\partial x_i=a_{ii}$, montrer que 
$q'=q-\frac{1}{a_{ii}} b_i^2$ ne d\'epend pas de $x_i$. On renvoie alors 
$\frac{1}{a_{ii}} b_i^2+\mbox{gauss}(q',x')$ 
o\`u $x'$ est la liste $x$ dont on a supprim\'e le $i$-i\`eme \'el\'ement
(vous pouvez utiliser
la fonction {\tt simplify} pour simplifier l'expression de $q'$ avant
l'appel r\'ecursif).
\item Si tous les $a_{ii}$ sont nuls, il n'y a pas de termes carr\'es, on
cherche alors un $a_{ij}=\frac{1}{2}\partial^2 q/\partial x_i \partial x_j$ 
non nul
(s'il n'y en a pas, $q$ est nul et on renvoie 0). Construire alors
une diff\'erence de deux carr\'es qui \'elimine les variables $x_i$ et $x_j$
de $q$ (on pourra utiliser $a_{ij}$, $b_i$ et $b_j$).
\end{itemize}
\'Ecrire la fonction {\tt gauss}

{\bf Exercice Q5} (\`a rendre \`a la fin de la s\'eance 3)\\
Tester le programme pr\'ec\'edent pour trouver une base orthogonale 
relativement \`a $q$ lorsque :\\
$q(x)=x_1^2+2x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3$ pour $x \in \mathbb R^3$\\

{\bf Exercice Q6} (\`a rendre au d\'ebut de la s\'eance 4)\\
Soit pour $a \in \mathbb R$ la forme quadratique d\'efinie par :\\
$q_a(x)=x_1^2+5x_2^2+ax_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3$ pour  $x \in \mathbb R^3$\\
a/ \'Ecrire la matrice $M_a$ de $q_a$ relativement \`a la base canonique de 
$\mathbb R^3$.\\
b/ Utiliser le programme pr\'ec\'edent pour d\'ecomposer $q_a$ en combinaison 
lin\'eaire de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes.\\
Expliciter les formes lin\'eaires trouv\'ees.\\
Pour quelles valeurs de $a$, $q_a$ est-elle : non d\'eg\'en\'er\'ee ? d\'efinie
positive ? \\ 
c/ Dans le cas o\`u $q_a$ est d\'efinie positive,  montrer qu'il existe une matrice carr\'ee d'ordre 3 $S_a$ telle que :
$M_a=\,^tS_aS_a$  

\end{document}