Sous-variétés.

 

 

Exemples:

• Tout ouvert d'une variété M est une sous-variété de M.
• la sphère Sⁿ est une sous-variété de . On prend comme carte locale de sur l'ouvert:

  

  la fonction:

  

  et sur on prend la carte identité. On recouvre bien et l'image par de est:

  

 

Si on se donne deux variétés M et M' de dimensions m et m', le produit cartésien est encore une variété de dimension m+m'.

On peut ainsi construire de nombreux exemples de variétés. Un énoncé permet de justifier la structure de variétés de base:

 

Par exemple, le cercle est une sous-variété de comme image réciproque de 1 par:

Par contre, le dessin à gauche de la figure 1 n'est pas une ligne de niveau d'une fonction de rang constant car df=0 au point double.

Un théorème dû à Whitney affirme en outre que toute variété de dimension n peut être vue comme une sous-variété de .