Symétrisation.

  Si on compose un tenseur covariant (ou contravariant) avec une permutation des l espaces vectoriels T_mM sur le produit desquels il agit, on obtient un nouveau tenseur. On peut donc construire un tenseur symétrique à partir d'un tenseur quelconque en faisant agir tout le groupe des permutations de l éléments:

les parenthèses signifient par convention que l'on a symétrisé le tenseur. Le coefficient 1/l! assure que le symétrisé d'un tenseur symétrique est égal à lui-même.

Par exemple, le tenseur métrique est un tenseur symétrique de type (0,2). Il est à la base de la géométrie riemannienne.

La dimension de l'espace des tenseurs symétriques covariants d'ordre l est

(on rajoute i-1 à chacun des b_i pour avoir des inégalités strictes d'où le résultat).