\documentclass[10pt]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,a4,epsfig} \usepackage[pdftex]{hyperref} \bibliographystyle{abbrv} \newcommand{\atan}{\mbox{atan}} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \newtheorem{defi}{D{\'e}finition} \newtheorem{lemme}{Lemme} \newtheorem{prop}{Proposition} \newtheorem{rem}{Remarque} \newtheorem{coro}{Corollaire} \newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me} \newtheorem{exem}{Exemple}[section] \begin{document} \title{Construction $BKW$ en fonds de puits, cas particuliers (Schr\"odinger, Dirac avec champ magn\'etique).} \author{Bernard Parisse\\ Institut Fourier, Grenoble \\ {\tt parisse@fourier.ujf-grenoble.fr}} %\date{} % mp_arc CONFIRMING: xwJdq \maketitle \abstract{We study the spectral properties of pseudo-differential operators in the semi-classical limit at energies near a non degenerate minimum of the principal symbol $p$. We give precise asymptotics of the non resonant energy levels for a scalar holomorphic $p$, we get explicit expressions in dimension 2. Precise asymptotics are also derived for the Schr\"odinger and Dirac operator with electro-magnetic field in dimension 2 and 3 (and we give the transport equation of the first term of the $WKB$ expansion of the associated eigenfunction). Then we study the Schr\"odinger and Dirac equation under rotational invariance hypothesis (in dimension 2), and prove that the holomorphic assumption of $p$ can be replaced by $C^\infty $ assumption on the fields. Moreover we prove that there is an associated effective Agmon distance and obtain decay properties of eigenfunctions similar to the case of Schr\"odinger or Dirac operator without magnetic field. On \'etudie ici les propri\'et\'es spectrales d'op\'erateurs pseudo-diff\'erentiels en limite semi-classique pour des \'energies voisines d'un minimum non d\'eg\'en\'er\'e du symbole principal $p$. On donne des asymptotiques pr\'ecises des niveaux d'\'energie non r\'esonants pour un $p$ scalaire et holomorphe, ces asymptotiques sont explicites en dimension 2. On traite aussi le cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger et de l'op\'erateur de Dirac avec champ \'electrique et magn\'etique en dimension 2 et 3 (on donnera dans ce cas l'\'equation de transport du premier terme du d\'eveloppement $WKB$ de la fonction propre associ\'ee). Pour l'\'equation de Schr\"odinger ou Dirac en dimension 2, on montre aussi que sous des hypoth\`eses d'invariance par rotation, on peut remplacer l'hypoth\`ese d'analyticit\'e de $p$ par des hypoth\`eses $C^\infty $ sur les champs et on caract\'erise la d\'ecroissance des fonctions propres par une distance d'Agmon effective, comme en l'absence de champ magn\'etique.} \vfill Mot clefs: semi-classique, puits ponctuel non d\'eg\'en\'er\'e, construction $BKW$, distance d'Agmon, Schr\"odinger, Dirac Classification AMS: 35P20, 81Q05, 81Q20 \pagebreak \section{Introduction} \label{sec:intro} On s'int\'eresse ici en limite semi-classique aux propri\'etes spectrales d'op\'erateurs pseudodiff\'erentiels dont le (d\'eterminant du) symbole admet un minimum non d\'eg\'en\'er\'e en un point de l'espace des phases pour des \'energies proches de la valeur en ce minimum. Le cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger et de l'op\'erateur de Dirac avec champ magn\'etique, en particulier dans le cas radial, seront \'etudi\'es plus en d\'etails. Dans le cas g\'en\'eral, on s'int\'eresse \`a un op\'erateur scalaire $P$ tel que: \[ P =\mbox{Op}_W^h(p(x,\xi)) \] on suppose que $p$ est au moins $C^\infty $ (en g\'en\'eral il faut supposer $p$ holomorphe), admet un minimum non d\'eg\'en\'er\'e $E_0$ en un point $M_0$ tel que $E_0< \liminf_{x,\xi \rightarrow \infty }p$. On s'int\'eresse alors au spectre de $P$ dans une zone $[E_0,E_0+Ch]$ dans l'esprit de Helffer-Sj\"ostrand pour l'op\'erateur de Schr\"odinger (\cite{HS}). Martinez et Sordoni (\cite{MaSo}) d\'ecrivent ce spectre mais ils ne donnent pas une asymptotique explicite des valeurs propres/fonctions propres en fonction de $p$. La nouveaut\'e de ce travail r\'eside ici dans un calcul explicite des asymptotiques des valeurs propres et vecteurs propres en particulier en dimension 2 (th\'eor\`eme \ref{th:pquelconque}): il s'agit en fait de la g\'en\'eralisation de la m\'ethode directe de \cite{699.35205} effectu\'ee par Helffer et Sj\"ostrand pour l'op\'erateur de Schr\"odinger avec champ magn\'etique (on n'effectue pas de transformation de FBI). S'il y a plusieurs puits $M_k$ correspondant \`a la m\^eme valeur de l'\'energie $E_0$, on pourrait chercher \`a estimer la taille de l'effet tunnel dans l'esprit de \cite{HS} mais cela est beaucoup plus difficile (sauf si le champ magn\'etique est faible: cf. \cite{699.35205}) et la question est encore ouverte dans le cas g\'en\'eral. Les cas particuliers consid\'er\'es seront l'\'equation de Schr\"odinger dans $\R^n$ avec potentiel \'electrique et magn\'etique: \[ P= \sum _{k=1}^n (\frac{h}{i} \partial_k - A_k(x) )^2 + V(x) \] on rappelle que le potentiel magn\'etique $A$ est 1-forme diff\'erentielle: \[ A=\sum _{k=1}^n A_k(x) dx_k \] et $B=dA$ est la 2-forme diff\'erentielle champ magn\'etique, o\`u les $A_k$ et $V$ sont suppos\'es holomorphes dans un voisinage des puits et $C^\infty $ ailleurs et l'op\'erateur de Dirac dans $L^2(\R^2,\C^2)$ et $L^2(\R^3,\C^4)$ pour $n=2$ et $n=3$ sous les m\^emes hypoth\`eses: \begin{eqnarray} D_3(h)&=&\sum _{j=1}^2 (\frac{h}{i} \partial_j -A_j) \sigma _j + \sigma _3 + V(x) I_2, \\ D_2(h)&=&\sum _{j=1}^3 (\frac{h}{i} \partial_j -A_j) \alpha _j + \alpha _4 + V(x). I_4, \end{eqnarray} o\`u les $\sigma _j$ sont les matrices de Pauli: \[ \sigma _1=\left(\begin{array}{cc} 0 &1 \\ 1 &0 \end{array}\right), \quad \sigma _2=\left(\begin{array}{cc} 0 &-i \\ i &0 \end{array}\right), \quad \sigma _3=\left(\begin{array}{cc} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{array}\right), \] et v\'erifient si $(j,k,l)$ est dans l'ordre direct: \[ \sigma _j\sigma _k = i \sigma _l , j\neq k, \sigma _j^2 = I_2 \] et les $\alpha _k$ sont les matrices de Dirac: \[ \alpha _j=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma _j \\ \sigma _j & 0 \end{array}\right), \ j=1..3, \quad \alpha _4 =\left(\begin{array}{cc} I_2 &0 \\ 0 & -I_2 \end{array}\right) \] qui v\'erifient: \[ \alpha _j \alpha _k = -\alpha _k \alpha _j, \ j \neq k, \quad \alpha _j^2=I_4 \] Si l'on ne fait pas d'hypoth\`eses suppl\'ementaires sur les potentiels, on explicitera \`a la section \ref{sec:bkw} le calcul de l'asymptotique $O(h^\infty )$ des \'energies et des fonctions propres au puits, en particulier pour les op\'erateurs de Schr\"odinger et Dirac (on montrera par exemple qu'en dimension 3 le spin 1/2 de la particule d\'ecrite par l'op\'erateur de Dirac interagit avec le champ magn\'etique et modifie l'asymptotique des valeurs propres: cf. l'\'equation (\ref{eq:e1})). Lorsque les potentiels poss\`edent la sym\'etrie sph\'erique, l'hypoth\`ese d'analyticit\'e du potentiel n'est plus n\'ecessaire et on montrera qu'on peut d\'efinir une distance d'Agmon effective avec des propri\'et\'es de d\'ecroissance des fonctions propres analogues \`a celle qu'on obtient pour l'op\'erateur de Schr\"odinger et Dirac sans champ magn\'etique: cf. le th\'eor\`eme \ref{th:radial_poids}. Malheureusement, cela r\'eduit le champ d'\'etude \`a la dimension 2, et il n'est pas possible dans ce cas d'\'etudier l'effet tunnel puisque seule l'origine peut alors \^etre un puits! Outre les travaux de Helffer-Sj\"ostrand et Martinez, signalons quelques autres travaux sur des sujets connexes: \begin{itemize} \item dans \cite{851.58046}, Helffer et Mohamed s'int\'eressent au cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger avec champ magn\'etique lorsque le potentiel \'electrique est nul, \item dans \cite{Mat}, Matsumoto et Ueki effectuent des calculs explicites de g\'en\'eralisations de l'oscillateur harmonique et calculent le permier terme du d\'eveloppement en puissances de $h$ de Schr\"odinger avec champ \'electrique et magn\'etique. \item dans \cite{NaIHP}, Nakamura \'etudie un cas particulier d'effet tunnel dans l'espace des phase (qui se ram\`ene par transformation canonique \`a un mod\`ele de type Schr\"odinger sans champ magn\'etique). Cf. \cite{Na} pour une \'etude plus g\'en\'erale inspir\'ee des travaux de Martinez, et \cite{NaPDE} pour une \'etude de d\'ecroissance des fonctions propres de l'op\'erateur de Schr\"odinger en dimension 2 et 3 avec champ magn\'etique constant. \end{itemize} \section{R\'esolution pr\`es d'un puits.} \label{sec:puits} On cherche \`a appliquer les m\'ethodes de Helffer-Sj\"ostrand. La premi\`ere \'etape consiste \`a montrer des in\'egalit\'es ``\`a poids'' exponentiel $e^{-\phi/h} $, pour cela il faut d'abord savoir r\'esoudre l'\'equation \'eiconale: \begin{equation} \label{eq:eiconale} p(x,i \nabla \phi )=E_0 \quad \mbox{ou} \quad \frac{1}{2} (i \nabla \phi - A(x) )^2 + V(x)=V_0 \end{equation} au voisinage d'un puits $M_k$ puis le long de ``trajectoires'' issues d'un voisinage d'un puits. Cette construction faite dans \cite{699.35205} est rappel\'ee et illustr\'ee par deux exemples o\`u les calculs se simplifient dans la section \ref{sec:eiconale}. Dans cette section, on se place pr\`es d'un puits non d\'eg\'en\'er\'e du potentiel $M_k$ qu'on supposera \^etre l'origine pour all\'eger les notations. \subsection{Cas de Schr\"odinger et Dirac.} \label{sec:eiconale} Dans le cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger, si on suppose que $\liminf_{|x|\rightarrow \infty }V(x)=V_\infty \in \R$, alors on montre que $P$ est essentiellement auto-adjoint sur $L^2(\R^n)$. Supposons que $V(x)$ admette un minimum local $V_0> 0 \] On s'int\'eresse aux propri\'et\'es spectrales de $P$ dans l'intervalle d'\'energie $[V_0, V_0+Ch]$ dans la limite semi-classique $h\rightarrow 0$. On notera aussi $\tilde{V}(x)=V(x)-V_0$. Pour l'op\'erateur de Dirac en dimension 3, l'analogue des hypoth\`eses faites ci-dessus est: \begin{itemize} \item $\liminf_{|x|\rightarrow \infty } V(x)=V_i \in \R$, $\limsup_{|x|\rightarrow \infty } V(x)=V_s \in \R$ sont tels que $V_s-V_i<2$. \item Soit on suppose que $V$ admet un minimum local non d\'eg\'en\'er\'e $V_0$ tel que $V_s-2 < V_0 < V_i$ et dans ce cas la r\'egion de spectre consid\'er\'ee sera $[V_0+1,V_0+1+Ch]$ (puits de particule) \item Soit on suppose que $V$ admet un maximum local non d\'eg\'en\'er\'e $V_0$ tel que $V_i+2 > V_0 > V_s$ et la r\'egion de spectre consid\'er\'ee sera $[V_0-1-Ch, V_0-1]$. \end{itemize} L'\'equation \'eiconale s'obtient ici en demandant que le noyau de \[ d(x,i\nabla \varphi ) -(V_0 \pm 1) .I_4 = \sum _{j=1}^3 (i \partial_j \phi-A_j)\alpha _j+ \alpha _4 + (V(x)-(V_0 \pm 1)).I_4 \] ne soit pas r\'eduit au vecteur nul, donc que l'une de ces deux valeurs propres doubles soit nulle: \[ \pm \sqrt{1+(i\nabla \phi -A)^2} + V(x)-(V_0\pm 1) =0 \] ce qui revient \`a \[ 1+(i \nabla \phi -A)^2 - (V(x) -(V_0 \pm 1))^2 =0 \] qui est une \'equation du m\^eme type que (\ref{eq:eiconale}). On laisse au lecteur le soin de v\'erifier que l'\'equation eiconale pour l'op\'erateur de Dirac en dimension 2 est du m\^eme type. On consid\`ere les solutions complexes de l'\'evolution hamiltonienne de: \[ H(x,\xi)=\frac{1}{2} (\xi+iA)^2-\tilde{V}(x) \] C'est-\`a-dire qu'on r\'esout: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dx}{dt} & =& (\xi +iA(x)) \\ \frac{d\xi}{dt} &=& \nabla_x ( V(x)-\frac{1}{2} (\xi +i A(x))^2 ) \quad \quad \quad \quad (S) \end{array}\right. \] pour $t$ param\`etre r\'eel mais $x$ et $\xi$ {\em complexes} (on utilise ici le fait que $V$ et $A$ sont holomorphes). On va construire la vari\'et\'e stable \`a l'origine en suivant de tr\`es pr\`es Sj\"ostrand (\cite{Sj83}). L'id\'ee est la suivante: Soit $\Omega _C$ un voisinage complexe de l'origine et $\xi_0$ la solution sortante du probl\`eme lin\'earis\'e en l'origine. \`A un instant $t>0$, on regarde les solutions $(x(t),\xi(t)$ de $(S)$ issues \`a l'instant $t=0$ des points $(x,\xi)$ avec $x\in \Omega _C$ et $\xi=\xi_0(x)$. On s'int\'eresse seulement aux solutions telles que $x(t)$ est rest\'e dans $\Omega _C$ depuis l'instant $t=0$. On d\'efinit alors la fonction $\xi_t(x)$ par $\xi_t(x)=\xi(t)$ si $x=x(t)$. Ensuite on montre que la famille $\xi_t$ converge vers une fonction $\xi(x)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Enfin on montre que la solution de $(S)$ issue de $(x,\xi(x))$ \`a l'instant $t=0$ converge vers le point fixe lorsque $t$ tend vers $-\infty $. \subsubsection{\'Etude du lin\'earis\'e.} \label{sec:linearise} On se place dans une jauge telle que \[ A(x)=-B(0)x/2 + O(x^2) \] o\`u $B(0)$ d\'esigne le champ magn\'etique \`a l'origine. \`A l'ordre 2, le hamiltonien vaut: \[ \frac{1}{2} (\xi -i \frac{B(0)}{2} x)^2 - \frac{1}{2} \ ^t x V'{'}(0) x \] Comme $B(0)$ est antisym\'etrique: \[ \partial_{x_i}( (B(0)x).\xi)= \partial_{x_i}( \sum_{j,k}B_{jk}x_k\xi_j) =\sum_{j}B_{ji}\xi_j=- (B(0) \xi)_i \] Le lin\'earis\'e de $(S)$ \`a l'origine est donc: \[ \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x \\ \xi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\frac{ iB(0)}{2} & I_n \\ V - \frac{B(0)^2}{4} & -\frac{ iB(0)}{2} \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ \xi \end{array}\right) \quad \quad \quad \quad (S0) \] On montre ais\'ement que $\lambda $ est valeur propre de $(S0)$ si et seulement si: \begin{equation} \label{eq:vp} \left(- V'{'}(0) +i\lambda B(0) + \lambda ^2 \right) x=0 , \quad \xi = (\lambda +i\frac{B}{2}) x \end{equation} Si on fait le produit scalaire hermitien de (\ref{eq:vp}) avec $x$, on obtient: \[ -(x|V'{'}(0)x) + \lambda (x|iB(0)x) + \lambda ^2 (x|x)=0 \] Cette \'equation est \`a coefficients r\'eels puisque $B(0)$ est antisy\'metrique et $V'{'}(0)$ est sym\'etrique. Son discriminant est: \[ (x|iB(0)x)^2+4 (x|V'{'}(0)x) (x|x) \] donc est strictement positif car $V'{'}(0)$ est d\'efinie positive. Les valeurs propres de $(S0)$ sont donc r\'eelles et non nulles. En fait un calcul trivial montre que si $(x,\xi)$ est vecteur propre de $(S0)$ associ\'e \`a $\lambda $ alors $(\overline{x},-\overline{\xi})$ est vecteur propre associ\'e \`a $-\lambda $. On va pouvoir suivre la preuve de Sj\"ostrand \cite{Sj83} point par point, en en modifiant juste les quelques d\'etails qui diff\`erent. \subsubsection{Construction de la vari\'et\'e stable.} \label{sec:stable} On peut donc trouver des coordonn\'ees analytiques complexes $(x'{'},y'{'})$ sur $\Omega _C$ telles que le champ hamiltonien soit donn\'e par: \[ H_q= D x'{'} \partial_{x'{'}} - D y'{'} \partial_{y'{'}} + O(||(x'{'},y'{'})||^2)(\partial_{x'{'}},\partial_{y'{'}})\] o\`u $D$ est une matrice diagonale \`a coefficients r\'eels strictement positifs. Attention, ce syst\`eme de coordonn\'ees n'est pas hermitien, mais la norme $\sum |z_i|^2$ dans ce syst\`eme de coordonn\'ees est \'equivalente \`a la norme hermitienne. On restreint $\Omega _C$ \`a \[ \{ (x'{'}, y'{'}) / ||y'{'}|| \leq ||x'{'}|| \leq \delta \} \] ($\delta >0$ assez petit) tel que l'\'evolution le long d'une courbe int\'egrale de $H_q$ restant dans $\Omega _C$ v\'erifie: \begin{equation} \label{eq:C} (H_q+H_q*) ( ||x'{'}||) > C || x'{'} ||, \quad (H_q+H_q*) ( || y'{'} ||) < -C || y'{'} || \mbox{ si } ||y'{'}||=||x'{'}|| \end{equation} On en d\'eduit que pour tout point $\rho \in \Omega _C$, $\Phi _t(\rho )=\exp t H_q(\rho )$ reste dans $\Omega _C$ pour $0\leq t \leq T(\rho )$ et reste en dehors de $\Omega _C$ pour $T(\rho )\leq t \leq T(\rho )+\frac{1}{C}$ (avec la m\^eme constante $C$ que dans (\ref{eq:C}), ind\'ependente de $\rho $). L'\'evolution le long d'une trajectoire de $H_q$ d'un vecteur tangeant est alors donn\'ee par le syst\`eme \cite[(A.4)]{Sj83}: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{d}{dt} \delta _{x'{'}} & =& D \delta _{x'{'}} + O((x'{'},y'{'}) (\delta _{x'{'}},\delta _{y'{'}}) \\ \frac{d}{dt} \delta _{y'{'}} & =& -D \delta _{y'{'}} + O((x'{'},y'{'}) (\delta _{x'{'}},\delta _{y'{'}}) \end{array} \right. \] La r\'egion: \begin{equation} \label{eq:stable} || \delta _{y'{'}} || \leq \varepsilon ||\delta _{x'{'}} || \end{equation} est donc stable le long d'une courbe int\'egrale de $H_q$ de $\Omega _C$ lorsque le temps augmente. Soit ${\cal T}_0$ le sous-ensemble de $\Omega _C$ d'\'equation $y'{'}=0$, on d\'efinit pour $t>0$ ${\cal T}_t=\Phi _t({\cal T}_0)\cap \Omega _C$. L'\'equation (\ref{eq:stable}) montre qu'on peut appliquer le th\'eor\`eme des fonctions implicites pour exprimer $y'{'}$ en fonciton de $x'{'}$ sur ${\cal T}_t$, il existe une fonction $g_t$, holomorphe, telle que $y'{'}=g_t(x'{'})$. Comme de plus $g_t$ est born\'e par exemple par $||x'{'}||$, par compacit\'e, la suite $g_t$ admet une sous-suite convergente $g_{t_j} \rightarrow g$ dans l'espace des fonctions holomorphes. Soit $\rho _t$ une courbe int\'egrale de $H_q$ contenue dans $\Omega _C$ et $t_0>0$ fix\'e. Supposons que $\rho _{t_0}$ ne soit pas dans ${\cal T}_{t_0 }$, et montrons que $\rho _t$ s'approche exponentiellement vite de ${\cal T}_t$. En effet, le segment $\gamma _{t_0}$ r\'ealisant le minimum de la distance de $\rho _{t_0}$ \`a ${\cal T}_{t_0}$ est orthogonal \`a l'espace tangeant \`a ${\cal T}_{t_0}$ au point de croisement, sa composante $||x'{'}||$ est donc n\'egligeable devant sa composante $||y'{'}||$ car les vecteurs de l'espace tangeant sont dans la zone v\'erifiant (\ref{eq:stable}) (ceci ne d\'epend pas du fait que le syst\`eme de coordonn\'ees ne soit pas hermitien). Dans cette r\'egion le flot est contractant donc: \[ \frac{d}{dt} ||\gamma _t|| \leq -C ||\gamma _t|| \] A fortiori: \[ \frac{d}{dt} d(\rho _t,{\cal T}_t) \leq -C d(\rho _t,{\cal T}_t). \] En prenant $\rho _t=\Phi_{t+s}(x)$, on obtient: \[ ||g_{t+s} - g_t|| \leq C e^{-\frac{t}{C} }, \quad s\geq 0, t \geq 0 \] quitte \`a augmenter $C$. On en d\'eduit que $g_t$ converge vers $g$ exponentiellement vite puis que \[ \frac{d}{dt} d(\rho _t,{\cal T}_+ ) \leq -C d(\rho _t,{\cal T}_+ ), \quad {\cal T}_+=\{ (x'{'},g(x'{'}))/ x'{'}\in \Omega _C \} \] et que ${\cal T}_+$ est la vari\'et\'e stable de $H_q$ \`a l'origine. Notons $Y$ les coordonn\'ees dans une base propre du lin\'earis\'e de $(S)$, alors l'\'evolution d'un point de la vari\'et\'e stable est donn\'e par: \[ \frac{dY}{dt} =\Lambda Y + O(Y^2)\] o\`u $\Lambda $ d\'esigne la matrice diagonale form\'ee des valeurs propres r\'eelles positives du syst\`eme lin\'earis\'e. Si $P$ d\'esigne la matrice de passage de cette base propre, alors \begin{equation} \label{eq:lin} X=PY \mbox{ donc } \frac{dX}{dt}=P \Lambda P^{-1} X +O(X^2) =(\nabla \phi + i A ) \end{equation} On en d\'eduit ais\'ement le premier terme du d\'eveloppement de Taylor de $\phi$ en 0: c'est la forme quadratique de matrice la partie sym\'etrique de $P\Lambda P^{-1}/2$. \subsubsection{Projection sur le r\'eel.} \label{sec:projection} On s\'epare la partie r\'eelle et la partie imaginaire de $\phi=\varphi +i\psi $ ce qui transforme (\ref{eq:eiconale}) en: \begin{eqnarray} (\nabla \varphi )^2 &=& 2\tilde{V}+|g|^2 \label{eq:couple} \\ g&=&A+\nabla \psi \label{eq:g1} \\ (g| \nabla \varphi)&=&0 \label{eq:g2} \end{eqnarray} On a vu \`a la section pr\'ec\'edente qu'au voisinage d'un puits $M_k$, $\varphi $ et $g$ sont connus. \begin{rem} \label{rem:jauge} Le passage de $A$ \`a $g$ est un changement de jauge puisque $g= A + \nabla \psi $. On peut donc choisir un potentiel vecteur tel que la solution de l'\'equation \'eiconale soit r\'eelle sur le r\'eel, dans ce cas le champ de gradient de la solution (r\'eelle) de l'\'equation \'eiconale est orthogonal au potentiel vecteur. Attention, la solution du syst\`eme hamiltonien $(S)$ reste complexe. \end{rem} On remarque que les \'equations (\ref{eq:g1}) et (\ref{eq:g2}) admettent une solution explicite lorsque $\varphi $ est connue, donn\'ee pour $x\neq 0$ par: \begin{equation} \label{eq:psi} g = i(\nabla \varphi ) \left[ \int _{-\infty }^{0} \Phi_t^* (B) \ dt \right] \end{equation} o\`u $i(\nabla \varphi )$ d\'esigne le produit int\'erieur du champ de vecteur $\nabla \varphi $ par la 2-forme diff\'erentielle $\int _{-\infty }^{0} \Phi_t^* (B) \ dt$ et o\`u $\Phi_t$ d\'esigne le flot de $\nabla \varphi $ \`a l'instant $t$ (qui tend vers le point fixe $M_k$ lorsque $t$ tend vers $-\infty $). En effet, comme $d$ commute avec $\Phi_t^*$ et $dB=0$, en appliquant la formule de Cartan, on obtient: \[ dg= {\cal L}_{\nabla \varphi}\left[ \int _{-\infty }^{0} \Phi_t^* (B) \ dt \right] \] o\`u ${\cal L}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee de Lie. Donc $dg=B=dA $ et il existe $\psi $ telle que $g=A+\nabla \psi $. R\'eciproquement, si $g$ est connu, $\varphi $ est la solution d'une \'equation \'eiconale ``classique'' (la m\^eme que celle que l'on r\'esout pour l'op\'erateur de Schr\"odinger sans champ magn\'etique). En examinant (\ref{eq:couple}), on s'apercoit que la d\'ecroissance exponentielle optimale que l'on peut esp\'erer pour les fonctions propres en pr\'esence d'un champ magn\'etique devrait \^etre plus grande qu'en absence de champ mang\'etique, puisqu'elle serait associ\'ee \`a une ``distance d'Agmon'' $V+|g|^2$ au lieu de $V$ (mais il n'y a pas de concept de distance d'Agmon dans le cas magn\'etique g\'en\'eral car le calcul de $g$ n\'ecessite la connaissance des trajectoires). \begin{rem} \label{rem:Cinfiny} Une id\'ee pour prolonger $\phi$ avec hypoth\`eses $C^\infty $:\\ \'Etant donn\'e un chemin $\gamma $ de classe $C^1$ et une 1 forme diff\'erentielle $g(x_0)$ en son origine, on choisit un prolongement continu de $d\gamma $ \`a un voisinage de $\gamma $ et on note $\Phi _t$ le flot associ\'e, on d\'efinit alors la longueur du chemin $\gamma $ par: \[ l(\gamma )=\int _\gamma (|g|^2+2V) |d\gamma | \] o\`u: \[ g(x)=g(x_0)+ i( d\gamma (x) ) \left[ \int_{x_0}^{x} \Phi _t ^* (B) \ d\gamma \right] \] Pour prolonger $\varphi $, l'id\'ee serait alors de minimiser $l (\gamma )$ sur l'espace des chemins. Mais la longueur $l$ d\'epent du choix de $\Phi _t$... \end{rem} \subsubsection{Le cas radial.} \label{sec:radial} On suppose dans cette section que $V$ et $A$ sont invariants par rotation: \[ V(Rx)=V(x), \quad [R,A.\nabla] =0 \mbox{ si } RR^t=I \] Montrons d'abord qu'on peut choisir $A$ non trivial uniquement en dimension 2. En effet en dimension 3 en utilisant les coordonn\'ees sph\'eriques, les rotations sont engendr\'ees par exemple par $\partial_\varphi $ et $\sin\varphi \partial_\theta + \frac{\cos \theta }{\sin \theta } \cos \varphi \partial_\varphi $. On \'ecrit la partie non radiale de $A.\nabla$ sous la forme $A^\varphi \partial_\varphi + A^\theta \partial_\theta $. En faisant commuter avec $\partial_\varphi $ on obtient que $A^\varphi $ et $A^\theta $ sont ind\'ependants de $\varphi $. Puis en faisant commuter avec l'autre g\'en\'erateur on obtient que: \[ (\sin \varphi \partial_\theta A^\theta - \cos\varphi A^\varphi ) \partial_\theta + (\sin \varphi \partial_\theta A^\varphi + \frac{\cos \theta }{\sin \theta } \sin \varphi A^\varphi + \frac{1}{\sin ^2 \theta } \cos \varphi ) \partial_\varphi =0 \] donc $\sin \varphi \partial_\theta A^\theta - \cos\varphi A^\varphi =0$ ce qui entraine $A^\varphi =0$ et $A^\theta =C$ puisque $A^\varphi $ et $A^\theta $ sont ind\'ependantes de $\varphi $. La nullit\'e du coefficient de $\partial_\varphi $ permet alors de conclure que $A^\theta =0$ donc que $A$ est radial dont trivial puisqu'on peut annuler la partie radiale par changement de jauge. On choisit une jauge telle que la partie radiale de $A$ soit nulle, ce qui est possible puisque la partie radiale de $A$ poss\`ede l'invariance par rotation et est donc le gradient d'un potentiel radial. La solution $\phi$ est alors \'egalement radiale dans une jauge adapt\'ee car on a alors: \[ A \nabla \phi=0 \] donc $\psi =0$ et $g=A$ et $\phi $ est la solution d'une \'equation \'e\"iconale de type ``classique'' (sans champ magn\'etique mais avec un potentiel \'electrique effectif $V+A^2/2$). Autrement dit, si $V$ et $B$ sont invariants par rotation, il n'y a pas besoin d'hypoth\`ese d'analyticit\'e. \subsubsection{Quelques cas particuliers pour le lin\'earis\'e.} \label{sec:caspart} On suppose dans cette section que $M_k=0$ pour simplifier les notations ce qui n'enl\`eve rien \`a la g\'en\'eralit\'e. Si $B(0)$ commute avec $V'{'}(0)$, alors les espaces propres $E_k$ communs aux deux (associ\'es aux valeurs propres $v_k$ et $ib_k$) sont aussi espaces propres du lin\'earis\'e et (\ref{eq:vp}) devient pour $x\in E_k$: \[ -v_k - \lambda _k b_k + \lambda _k^2 =0, \quad \xi=(\lambda _k-\frac{b_k}{2}) x \] La valeur propre positive correspondante est: \[ \lambda _k= \frac{ b_k+\sqrt{b_k^2+4v_k}}{2} \] Notons ici que si $ib_k$ non nul est valeur propre, alors $-ib_k$ l'est aussi et le sous-espace propre correspondant est sous-espace propre associ\'e \`a $v_k$. En dimension 2, on peut aussi donner des formules pour diagonaliser le lin\'earis\'e. On prend une base propre de $V'{'}$, alors: \[ \left( \begin{array}{cc} -v_1 + \lambda ^2 & ib\lambda \\ -ib\lambda & -v_2 + \lambda ^2 \end{array} \right)x=0 \] les valeurs propres s'obtiennent en r\'esolvant l'\'equation bicarr\'ee: \[ (-v_1 + \lambda ^2)(-v_2 + \lambda ^2)-b^2\lambda ^2=0 \] soit, en posant $\mu=\lambda ^2$: \[ \mu^2 - (b^2+v_1+v_2) \mu +v_1v_2 =0 \] Les deux valeurs propres positives sont donc: \begin{equation} \label{eq:caspart} \frac{ \sqrt{ v_1+v_2+b^2 \pm \sqrt{(b^2+v_1+v_2)^2-4v_1v_2}}}{2} \end{equation} \subsection{R\'esolution de l'\'equation eiconale dans le cas d'un hamiltonien g\'en\'erique.} \label{sec:pgeneric} Soit $p(x,\xi)$ un hamiltonien, r\'eel sur le r\'eel, et qui admet un minimum (nul) non d\'eg\'en\'er\'e en un point que l'on prendra comme origine. On cherche \`a r\'esoudre l'\'equation \'eiconale: \begin{equation} \label{eq:defq} q(x,\nabla \phi )=0 \quad q(x,\xi)=-p(x,i\xi) \end{equation} (On chosit cette convention pour que la partie r\'eelle de $\phi$ repr\'esente la d\'ecroissance exponentielle). A l'ordre 1, le champ hamiltonien est donn\'e en 0 par: \[ H_q=\left(-i\frac{\partial^2 p}{\partial x \partial \xi} x + \frac{\partial^2 p}{\partial \xi^2} \xi\right) \frac{\partial}{\partial x} + \left( \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} x + i \frac{\partial^2 p}{\partial\xi \partial x} \right) \frac{\partial}{\partial \xi} + O(x^2+\xi^2) (\frac{\partial}{\partial x} ,\frac{\partial}{\partial \xi} ) \] La matrice du lin\'earis\'e est donc de la forme: \begin{equation} \label{eq:defM} M=\left(\begin{array}{cc} -i A & B \\ C & i A^t \end{array}\right), \quad A= \partial_{x \xi}p, \ B=\partial_{\xi \xi}p, \ C=\partial_{xx} p \end{equation} Comme $B$ est d\'efinie positive, on peut poser $\Lambda =B^{-1/2}$: \[ \Lambda B \Lambda^t =I \] On commence par conjuguer la matrice du lin\'earis\'e par la matrice: \[ N=\left(\begin{array}{cc} B^{-1/2} & 0 \\ 0 & B^{1/2} \end{array}\right) \] ce qui donne: \[ \tilde{M}=N M N^{-1}=\left(\begin{array}{cc} -i \tilde{A} & I \\ \tilde{C} & i \tilde{A}^t \end{array}\right), \quad \tilde{A}=B^{-1/2} A B^{1/2}, \tilde{C}= B^{1/2} C B^{1/2} \] On est donc ramen\'e au probl\`eme pr\'ec\'edent mais avec $\tilde{B}=I$. Notons au passage que la matrice $\tilde{C}-\tilde{A}^t\tilde{A}$ est d\'efinie positive: en effet, la matrice de la hessienne de $p$ \`a l'origine est: \[ p'{'}=\left( \begin{array}{cc} C & A^t \\ A & B \end{array} \right), \] on effectue le produit ${\cal D} p'{'} {\cal D}^t$ o\`u: \[ {\cal D}=\left(\begin{array}{rlc} I & D \\ 0 & I \end{array}\right), \quad D=-A^t B^{-1} \] ce qui annule les sous-matrices non diagonales et donne la matrice \[ \left( \begin{array}{cc} C - A^t B^{-1} A & 0 \\0 & B \end{array}\right) \] qui est encore d\'efinie positive donc ses sous-matrices diagonales le sont aussi, donc $C -A^t B^{-1} A$ est d\'efinie positive donc: \begin{equation} \label{eq:v1v2} \tilde{C}- \tilde{A}^t\tilde{A}=B^{1/2}(C-A^t B^{-1} A)B^{1/2} \end{equation} est d\'efinie positive. On peut alors conjuguer la matrice $\tilde{M}$ par \[ U=\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ -iE \tilde{A}^t & E \end{array}\right) \Rightarrow U^{-1}=\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ i \tilde{A}^t & E^{-1} \end{array}\right), \quad E=(\tilde{C}- \tilde{A}^t \tilde{A})^{-1/2} \] Le conjugu\'e de $\tilde{M}$ est alors une matrice hermitienne: \begin{equation} \label{eq:hermitienne} U \tilde{M} U^{-1} = \left( \begin{array}{cc} -i\tilde{A}+i \tilde{A}^t& E^{-1}\\ E^{-1} & 0 \end{array}\right) \end{equation} qui est inversible. $M$ est donc diagonalisable et ses valeurs propres sont r\'eelles. Si on souhaite utiliser (\ref{eq:hermitienne}), rappelons que: \begin{eqnarray} \tilde{A}=B^{-1/2} A B^{1/2}, \ \tilde{C}=B^{1/2}C B^{1/2}, \ E^{-1}=(\tilde{C}-\tilde{A}^t \tilde{A}) ^{1/2}, \\ A=\nabla_{x\xi}p, \ B=\nabla_{\xi \xi }p, \ C=\nabla_{xx} p \end{eqnarray} On v\'erifie encore que si $(x,\xi)$ est vecteur propre de $M$ correspondant \`a la valeur propre $\lambda $, alors $(\overline{x},-\overline{\xi})$ est vecteur propre correspondant \`a $-\lambda $. On est donc dans la m\^eme situation qu'\`a la section pr\'ec\'edente. D'o\`u le: \begin{theo} \label{th:pquelconque} Soit $p(x,\xi)$ un hamiltonien analytique dans un voisinage de $(0,0)$, r\'eel sur le r\'eel, et qui admet un minimum non d\'eg\'en\'er\'e $p(0,0)=0$ sur le r\'eel. Alors l'\'equation \'eiconale $p(x,i\nabla \phi)=0$ admet deux solutions analytiques dans un voisinage de $(0,0)$ donn\'ees par les vari\'et\'es stables et instable du hamiltonien $H_q$ ($q(x,\xi)=-p(x,i\xi)$). La vari\'et\'e stable (respectivement instable) de $H_q$ a pour espace tangeant \`a l'origine la somme des sous-espaces propres correspondants aux valeurs propres n\'egatives (respectivement positives) de $M$ d\'efinie \`a l'\'equation (\ref{eq:defM}). \end{theo} Comme dans le cas de Schr\"odinger avec champ magn\'etique, il est possible d'\'ecrire (\ref{eq:vp}) sous la forme: \[ ( \tilde{C} + (i \tilde{A}^t -\lambda )(i \tilde{A}+ \lambda ) ) x=0 \] ce qui permet en dimension deux d'effectuer facilement le calcul formel des valeurs propres du lin\'earis\'e puisque ces $\lambda $ annulent le d\'eterminant de la matrice: \[ \left( \begin{array}{ll} \lambda ^2 - v_1 & i b \lambda \\ -ib \lambda & \lambda ^2 -v_2 \end{array} \right) \] o\`u on s'est plac\'e dans la base propre de $\tilde{C}$, $v_1$ et $v_2$ d\'esignent les valeurs propres de la matrice d\'efinie positive $\tilde{C}-\tilde{A}\tilde{A}^t$ (cf. (\ref{eq:v1v2})) et $b$ est le coefficient sup\'erieur droit de la matrice antisym\'etrique \[ \tilde{A}-\tilde{A}^t = B^{-1/2} ( A - A^t) B^{1/2} \] dans cette base. On continue alors comme \`a la section (\ref{sec:caspart}), les valeurs propres sont donn\'ees par (\ref{eq:caspart}). \section{Prolongement de solutions de l'\'equation \'eiconale.} \label{sec:couple} On peut bien entendu prolonger la vari\'et\'e stable issue d'un puits pr\`es de $x$ r\'eel tant qu'on dispose d'hypoth\`ese d'analyticit\'e de $V$ et $A$ (ou de $p$ dans le cas d'un hamiltonien g\'en\'erique). %Nous allons voir qu'on peut \'egalement prolonger %la construction de $\phi $ avec des hypoth\`eses $C^\infty $ %en utilisant un analogue de la distance d'Agmon. \section{Construction $BKW$} \label{sec:bkw} La connaissance du spectre \`a l'ordre $O(h^\infty )$ ne n\'ecessite que des informations locales pr\`es des puits. Elle se fait en deux temps: on montre d'abord que le spectre de l'op\'erateur $P$ est en bijection avec celui de son approximation quadratique \`a l'origine, la bijection v\'erifiant $b(\mu )-\mu =O(h^{3/2})$, ceci est d\'emontr\'e dans \cite[Proposition 3.3]{MaSo} sur le mod\`ele de \cite[Proposition 5.1, 5.2]{HS} si l'op\'erateur est scalaire, l'adaptation \`a l'op\'erateur de Dirac se fait comme dans Wang (\cite{Wang}). Ensuite, on construit pour chaque valeur du spectre un quasi-mode d'ordre $O(h^\infty )$ dans les cas non-r\'esonant. On montre aussi que le quasimode approche la vraie fonction propre \`a l'ordre $O(h^\infty )$ et m\^eme gr\^ace aux hypoth\`eses d'analyticit\'e \`a $O(e^{-\varepsilon /h})$ pour un $\varepsilon >0$ (cf. \cite[Theorem 3.4]{MaSo}) \subsection{Schr\"odinger avec champ magn\'etique.} \label{sec:schr_bkw} Soit \`a r\'esoudre: \begin{equation} \label{eq:bkw} \left(\frac{1}{2}\sum _j(\frac{h}{i} \partial_j -A_j(x))^2 +V(x)-hE(h)\right) (a(x,h)e^{-\phi (x)/h})= O(h^\infty ) e^{-\phi (x)/h}) \end{equation} En regardant le terme d'ordre 0, on obtient que $\phi $ est la solution de l'\'equation \'eiconale, et (\ref{eq:bkw}) devient: \begin{equation} \label{eq:bkw2} 2h (\nabla \phi + iA).\nabla a + h(-2E(h)+\nabla.(\nabla \phi +iA))a - h^2 \Delta a=O(h^\infty ) \end{equation} En \'ecrivant un d\'eveloppement semi-classique de $a$ et $E$ en puissances croissantes de $h$, on peut r\'esoudre (\ref{eq:bkw2}): pour chaque puissance de $h$, l'\'equation qui d\'etermine $a_k$ est une \'equation de transport le long des courbes int\'egrales du syst\`eme hamiltonien (S) dont le second membre d\'epend des $a_j$ pour $j0$: \begin{equation} \label{eq:diracbkwm} P_{V,A} v_m + Q (u_{m-1} +v_{m-1}) = \sum _{n=1}^m e_n (u_{m-n}+v_{m-n}) \end{equation} Dans (\ref{eq:diracbkwm}) les inconnues \`a d\'eterminer sont $v_m$, $u_{m-1}$ et $e_m$. Pour poursuivre les calculs, il faut effectuer quelques manipulations alg\'ebriques sur les matrices $\alpha $: \begin{lemme} \label{le:diracbkw} \begin{itemize} \item $P_{V,A}+P_{-V,A}^*= 2 \alpha _A = P_{-V,A}+P_{V,A}^*$. \item $\alpha _A^2= (1+A^2).I_4$. Donc $\alpha _A$ est inversible, d'inverse $(1+A^2)^{-1} \alpha _A$. \item $\alpha _A$ anticommute avec $\sum _{j=1}^3 \alpha _j \varphi_j $ (car deux $\alpha _j$ distincts anticommutent et $\nabla \varphi $ est orthogonal \`a $A$). \item $P_{V,A}^* \alpha _A = \alpha _A P_{V,A} $ (cons\'equence imm\'ediate du r\'esultat pr\'ec\'edent) \item $P_{V,A} P_{-V,A}=0$ (par l'\'equation \'eiconale) \item Ker~$P_{V,A}=$~Im~$P_{-V,A}$ (d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede et pour des raisons de dimension). \item (Ker~$P_{V,A})^\perp$=~Ker~$P_{-V,A}^*$. \item \[ P_{-V,A} Q + Q P_{V,A} = \sum _{j=1}^3 \left[ \frac{1}{i} \partial_j V \alpha _j + B_j \left(\begin{array}{ll} \sigma _j & 0 \\0 & \sigma _j \end{array}\right) \right] + 2 \sum _{j=1}^3 (\varphi _j + i A_j ) \partial_j + \nabla. (\nabla \varphi +iA) \] \end{itemize} \end{lemme} Comme $v_m \in $~Ker~$P_{-V,A}^*$, on a $P_{V,A}v_m=2\alpha _A v_m$. On peut donc calculer $v_m$ dans (\ref{eq:diracbkw}): \[ v_m= \frac{1}{2(1+A^2)} \alpha _A \left[ \sum _{n=1}^m e_n (u_{m-n }+v_{m-n}) -Q (u_{m-1}+v_{m-1})\right] \] et se ramener en une \'equation sur les inconnues $e_m$ et $u_{m-1}$ en \'ecrivant que $P_{-V,A}^* v_m=0$ qu'on simplifie en commutant $P_{-V,A}^*$ avec $\alpha _A$ en: \begin{equation} \label{eq:diracbkwm2} P_{-V,A} \left[ \sum _{n=1}^m e_n(u_{m-n}+v_{m-n}) - Q (u_{m-1}+v_{m-1}) \right] =0 \end{equation} Pour $m=1$, (\ref{eq:diracbkwm2}) s'\'ecrit en utilisant la derni\`ere identit\'e du lemme: \[ \left[ 2 V e_1 + \sum _{j=1}^3 \left[ \frac{1}{i} \partial_j V \alpha _j + B_j \left(\begin{array}{ll} \sigma _j & 0 \\0 & \sigma _j \end{array}\right) \right] + 2 \sum _{j=1}^3(\varphi _j+iA_j) \partial_j + \nabla.(\nabla \varphi + iA) \right] u_0=0 \] En $x=0$ si $u_0(x) \approx x^s u_0^0$ ($x^s=x_1^{s_1} x_2^{s_2} x_3^{s_3}$ dans des coordonn\'ees adapt\'ees au lin\'earis\'e du hamiltonien \`a l'origine), avec $u_0^0 \in $~Ker~$P_{V(0),0}$ (donc les deux derni\`eres composantes de $u_0^0$ sont nulles si $V(0)=-1$ ou les deux premi\`eres si $V(0)=1$) on obtient: \begin{equation} \label{eq:diracbkwen0} \left[ 2 V(0) e_1 + 2 \sum _{j=1}^3 \lambda _j s_j + \sum _{j=1}^3 \lambda _j + \sum _{j=1}^3 B(0)_j \left(\begin{array}{ll} \sigma _j & 0 \\0 & \sigma _j \end{array}\right) \right] u_0^0 = 0 \end{equation} o\`u les $\lambda _j$ sont les valeurs propres positives de (\ref{eq:vp}). Si $B(0)\neq 0$, l'\'equation pr\'ec\'edente admet deux couples (espaces de dimension 1,valeurs de $e_1$) solutions distinctes correspondant \`a: \begin{equation} \label{eq:e1} e_1=\sum _{j=1}^3 (s_j+\frac{1}{2}) \lambda _j \pm \frac{||B(0)||}{2} \end{equation} On continue la r\'esolution des puissances successives de $h$. Comme la matrice de (\ref{eq:diracbkwen0}) admet deux valeurs propres distinctes, on peut d\'ecomposer $u_m^0$ dans la base form\'ee des deux vecteurs propres associ\'es, le choix de $e_m$ permet alors d'annuler la composante de $u_m^0$ correspondant au vecteur propre de valeur propre associ\'ee nulle, et comme l'autre valeur propre est non nulle on peut d\'eterminer la seconde composante de $u_m^0$. Remarquons aussi que le choix des $u_m(x)$ au voisinage de 0 doit \^etre fait en sorte que $u_m(x) \approx x^s u_m^0$, sinon on aurait la somme de deux fonctions $BKW$, la deuxi\`eme \'etant de norme $O(h^m)$ fois la premi\`ere et ne correspondant pas \`a la m\^eme valeur propre ce qui est exclus. D'o\`u le: \begin{theo} \label{th:diracbkw} Si $B(0) \neq 0$ et s'il existe un unique triplet $s$ tel que (\ref{eq:e1}) alors la construction pr\'ec\'edente permet de r\'esoudre (\ref{eq:diracbkw}). \end{theo} Si $B(0)=0$, alors la premi\`ere puissance de $h$ ne fixe pas la droite vectorielle \`a laquelle appartient $u_0^0$ et la recherche simultan\'ee de $u_m^0$ et $e_m$ n'est plus triviale car elle n\'ecessite que $e_m$ soit valeur propre d'un endomorphisme. Il faut alors peut \^etre g\'en\'eraliser l'argument de commutation avec l'op\'erateur de Kramers qui permettait de conclure dans \cite{Pa:dirac}. \subsection{Dirac avec champ magn\'etique en dimension 2.} \label{sec:dirac_bkw2d} L'\'etude est tr\`es similaire \`a celle de la section pr\'ec\'edente. On cherche $a(x,h)\in \C^2$ et $E(h)$ tels que: \begin{equation} \label{eq:diracbkw2d} \left( \sum (\frac{h}{i} \partial_j -A_j)\sigma _j + \sigma _3 + (V(x)-hE(h)).I_2 \right) (a(x,h) e^{-\frac{\varphi(x) }{h} })= O(h^\infty ) e^{-\frac{\varphi(x) }{h} } \end{equation} On pose ici: \begin{eqnarray} Q &=& \sum _{j=1}^2 \frac{1}{i} \partial_j \sigma _j\\ \varphi_j &=& \partial_j \varphi, \\ \sigma _A &=& \sigma _3 - \sum _{j=1}^2 \sigma _j A_j, \\ P_{V,A} &=& i \sum _{j=1}^2 \sigma _j \varphi_j + \alpha _A +V(x).I_4 \end{eqnarray} on obtient ainsi (\ref{eq:diracbkwm}) avec la d\'ecomposition de $\C^2$ en somme directe de Ker~$P_{V,A}$ et de son orthogonal, chacun de dimension un ici. Le lemme \ref{le:diracbkw} reste vrai en rempla\c{c}ant les matrices $\alpha $ par les matrices $\sigma $ et la derni\`ere identit\'e par: \[ P_{-V,A} Q + Q P_{V,A} = \sum _{j=1}^2 \sigma _j \frac{1}{i} \partial_j V + \sigma _3 B + 2 \sum _{j=1}^2 (\varphi _j + i A_j ) \partial_j + \nabla. (\nabla \varphi +iA) \] On poursuit l'\'etude de la section pr\'ec\'edente, et on obtient l'\'equivalent de (\ref{eq:diracbkwen0}): \begin{equation} \label{eq:diracbkw2den0} \left[ 2 V(0) e_1 + 2 \sum _{j=1}^2 \lambda _j s_j + \sum _{j=1}^2 \lambda _j + B(0) \sigma _3 \right] u_0^0 = 0 \end{equation} avec $u_0^0$ ayant sa deuxi\`eme composante nulle si $V(0)=-1$ ou sa premi\`ere composante nulle si $V(0)=1$. Il n'est pas n\'ecessaire de supposer que $B(0) \neq 0$ ici, l'effet du champ magn\'etique est de shifter de $\pm B(0)/2$ la valeur propre selon qu'il s'agit d'un puits de particule ou d'antiparticule et le th\'eor\`eme \ref{th:diracbkw} reste vrai sans la restriction sur $B(0)$, mais contrairement \`a la dimension 3, le spin ne prend qu'une valeur pour chaque type de particule. \subsection{Cas d'un hamiltonien g\'en\'erique.} \label{sec:generic_bkw} L'\'equation de transport s'obtient comme dans le cas d'une phase imaginaire pure, pour le terme de puissance $h^1$ on obtient ainsi: \[ \frac{1}{i} \nabla_\xi p (x,i \varphi '). \nabla u_0 + \frac{1}{2i} (\sum _j \partial_j (\partial_{\xi_j} p (x, i \varphi ')). u_0 - e_1 u_0 = 0 \] si $p$ n'a pas de sous-principal, sinon il faut rajouter $p_{sub} u_0$, o\`u on rappelle que si $p=p_0+hp_1+...$: \[ p_{sub}=p_1+ \frac{1}{2i} \sum _j \frac{\partial^2 p_0 }{\partial x_j \partial \xi_j} \] \section{In\'egalit\'es \`a poids.} \label{sec:estimations} Dans cette section, on cherche des estimations \`a priori sur la d\'ecroissance des fonctions propres de l'op\'erateur $P$ quantifi\'e de Weyl de $p$. \subsection{Schr\"odinger et Dirac avec champ magn\'etique.} \label{sec:magnetique_apoids} Les estimations de d\'ecroissance pour ces deux op\'erateurs s'obtiennent \`a partir des \'egalit\'es suivantes (\cite[Th\'eor\`eme 1.1]{699.35205} pour Schr\"odinger et \cite[(2.15)]{MoPa}): si $\Omega $ est un domaine born\'e de $\R^n$ ($n=3$ pour Dirac) de fronti\`ere $C^2$, $V$ un potentiel continu, $\varphi $ une fonction lipschitzienne \`a valeur r\'eelle et $u$ une fonction $C^2$ s'annulant au bord de $\Omega $ alors: \begin{equation} \int _\Omega || (\nabla + iA)( e^\frac{\varphi }{h} u)||^2 \ dx + \int _\Omega (V-|\nabla \varphi|^2 ) e^\frac{2\varphi }{h} ||u||^2 \ dx = \Re \int _\Omega e^\frac{2\varphi }{h} (P_{A,V}u|u) \ dx \end{equation} pour Schr\"odinger ($P_{A,V}$) alors que pour Dirac ($D_{A,V}$) on a: \begin{eqnarray} \int _\Omega || (\nabla.\alpha + iA.\alpha )( e^\frac{\varphi }{h} u)||^2 \ dx + \int _\Omega (V-|\nabla \varphi|^2 ) e^\frac{2\varphi }{h} ||u||^2 \ dx \\ = \int _\Omega e^\frac{2\varphi }{h} (\Re ( D_{A,V} u|D_{A,-V}u) -\Im (D_{A,V}u|\nabla \varphi .\alpha u)\ dx \end{eqnarray} o\`u $\alpha =(\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3)$ en dimension 3 et $\alpha =(\sigma _1,\sigma _2)$ en dimension 2 d\'esigne le vecteur form\'e par les matrices de Dirac. \subsubsection{Le cas radial.} \label{sec:radial_apoids} On commence par montrer que les fonctions propres poss\'edant aussi la sym\'etrie sph\'erique d\'ecroissent effectivement comme si on n'avait pas de champ magn\'etique mais un potentiel \'electrique effectif, signalons qu'en dimension 2, ceci a \'et\'e fait pour l'op\'erateur de Dirac par N. Suzuki (\cite{Suzu}). En dimension 2 pour Schr\"odinger, si $u$ est une fonction radiale, le d\'eveloppement de la partie gradient des in\'egalit\'es \`a poids donne: \[ || (\frac{h}{i} \nabla + A) (e^\frac{\phi}{h} u)|| ^2 = || \frac{h}{i} \nabla (e^\frac{\phi}{h} u)|| ^2 + || A e^\frac{\phi}{h} u ||^2 \] car $A$ est orthogonal au gradient d'une fonction radiale. Pour les fonctions non radiales il faut rajouter un terme d'erreur: \[ 2 h \Im \left( \int e^\frac{2\phi}{h} u (A.\nabla)u \right) \] pour que l'\'egalit\'e ci-dessus reste vraie. Soit $u$ une fonction propre de l'op\'erateur de Schr\"odinger dont l'\'energie est dans l'intervalle $[0,Ch]$. Alors la partie non radiale de la fonction propre $u$ est born\'ee au sens o\`u $\partial_\theta u= m u$ avec $m$ born\'e par une borne d\'ependant de $C$ mais ind\'ependante de $h$, cela ne change pas les propri\'et\'es de d\'ecroissance puisque la d\'erivation dans la direction de $A$ porte sur la partie $\theta $, le terme d'erreur est donc d'ordre $Ch|u|^2$ et peut \^etre absorb\'e dans le terme $\int e^\frac{2\phi}{h} (V-|\nabla \varphi |^2) |u|^2$. On peut faire le m\^eme raisonnement pour l'op\'erateur de Dirac. D'o\`u l'analogue de \cite[Th\'eor\`eme 5.8]{HS}: \begin{theo} \label{th:radial_poids} Soit $C>0$ fix\'e. Quitte \`a modifier l\'eg\`erement $C$, on suppose que $Ch$ n'est pas valeur propre de l'approximation quadratique de l'op\'erateur de Schr\"odinger (Dirac) avec champ magn\'etique. On suppose que $V$ et $A$ sont radials et $C^\infty $. Il existe $h_0>0$ tel que pour $h