<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt, english]{article}
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\title{Mat 406 }
\date{}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat406 \hfill 2025}

\begin{center}
Examen du 10 mars, 8h30-10h30.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ 
%T\'el\'ephones portables, ordinateurs,  ... interdits.\\
On pourra justifier le rÃ©sultat de tout calcul fait Ã&nbsp; la calculatrice 
en indiquant sur la copie la commande utilisÃ©e.\\
Ce sujet comporte deux pages (barÃªme indicatif non contractuel~: 7, 6, 7).
}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}

\section{\'Equation}
On souhaite rÃ©soudre l'Ã©quation
$$ (E) \quad x \sin(x)=1$$
On note 
$$f(x)=\frac{1}{\sin(x)}, \quad g(x)=x\sin(x)-1 $$
Les deux parties 1.1 et 1.2 peuvent Ãªtre traitÃ©es indÃ©pendamment.

\subsection{Point fixe}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ vÃ©rifie
les hypothÃ¨ses du thÃ©orÃ¨me du point fixe sur l'intervalle $I=[1,\pi/2]$.
On notera $s$ l'unique solution de $(E)$ sur $I$.
\item DÃ©terminer 
le nombre d'itÃ©rations nÃ©cessaires pour obtenir
une valeur approchÃ©e de $s_1$ Ã&nbsp; $\epsilon$ prÃ¨s, pour $\epsilon&gt;0$.
\item Donner une valeur approchÃ©e de $s_1$ Ã&nbsp; $\epsilon=$\verb|1e-3|
prÃ¨s en justifiant cette prÃ©cision.
\item Donner une valeur approchÃ©e Ã&nbsp; la calculatrice
de $f'(s_1)$. Cette mÃ©thode de rÃ©solution est-elle plus
efficace qu'une rÃ©solution par dichotomie~?
\item On se place maintenant dans l'intervalle $J=[5\pi/6,\pi]$.
Montrer que $x=f(x)$ admet une solution unique $s_2$ sur $J$
(on pourra Ã©tudier $g$ sur $J$).
\item Peut-on dÃ©terminer $s_2$ en appliquant la mÃ©thode du point 
fixe Ã&nbsp; $f$~? Justifiez.
\end{enumerate}

\subsection{Newton}
\begin{enumerate}
\item Donner la suite $(u_n)$ de la mÃ©thode
de Newton appliquÃ©e Ã&nbsp; la rÃ©solution de $g(x)=0$.
\item DÃ©terminer le signe de $g'$ et
$g'{'}$ sur  $J=[5\pi/6,\pi]$.
\item En dÃ©duire une valeur initiale $u_0$ de la suite de Newton
pour laquelle on peut certifier la convergence de $u_n$ vers
l'unique solution $s_2$ de $g(x)=0$ sur $J$.
\item Calculer $u_3$ et donner une majoration de $|u_3-s_2|$.
\end{enumerate}


\section{PrÃ©cision}
Dans cet exercice on calcule une valeur approchÃ©e de 
$\sin(7)$ en utilisant le dÃ©veloppement en sÃ©ries entiÃ¨res
de $\sin(x)$ en $x=0$ dont le rayon de convergence est $+\infty$.
On pose
$$ u_j(x)=\frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!} \ ,\quad 
S_n(x)=\sum_{j=0}^\infty (-1)^j u_j(x) \ ,\quad
\sin(x)=\sum_{j=0}^\infty (-1)^j u_j(x) 
$$
\begin{enumerate}
\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste 
$$ R_n(7)=\sum_{j=n+1}^{\infty} (-1)^j u_j(7)  $$
en fonction de $n \geq 3$. Indication~: on pourra utiliser
le critÃ¨re des sÃ©ries alternÃ©es ou le reste du dÃ©veloppement de Taylor
\item DÃ©terminer un ordre $N$ Ã&nbsp; partir duquel on peut certifier
que $|R_N(7)| \leq$\verb|1e-2|.
\item DÃ©terminer Ã&nbsp; la calculatrice la valeur exacte de $S_N(7)$
en dÃ©duire une valeur approchÃ©e . Comparer avec la valeur
de $S_N(7.0)$. On indiquera les commandes utilisÃ©es Ã&nbsp; la 
calculatrice, il est conseillÃ© d'utiliser la commande \verb|sum|.
\item DÃ©terminer le maximum des valeurs de $u_j(7)$.
En comparant avec $S_N(7.0)$, expliquez le rÃ©sultat ci-dessus.
\item Proposer une mÃ©thode permettant d'obtenir plus efficacement
et plus prÃ©cisÃ©ment une valeur approchÃ©e de $\sin(7)$.
\end{enumerate}


\end{document}

</pre></body></html>