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\title{Mat 404 CC2 }
\date{26/03/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2022}

\begin{center}
Examen du 27 juin, 11h45-13h45.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
Ce sujet est compos\'e de 4 exercices sur 2 pages (bar\^eme indicatif non
contractuel : 2, 4, 6, 8).}
\end{center}

\section{Question de cours}
Que peut-on dire des coefficients de Fourier d'une fonction paire~?
Justifier votre r\'eponse.

\section{Forme quadratique}
Soit $q$ la forme quadratique de $\mathbb{R}^3$ de matrice dans la base canonique~:
$$
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 &-4&8\\
-4&7&4\\
8&4&1\end{array}\right] $$
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $q(x,y,z)$.
\item D\'eterminer une base $q$-orthogonale.
\item $q$ est-il un produit scalaire~?
%\item 
\end{enumerate}

\section{Produit scalaire}
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ \`a
valeurs r\'eelles muni du produit scalaire
$$ \langle f|g\rangle = \int_{-1}^1 f(t) g(t) \ dt $$
On notera $e_1 \in E$ la fonction constante \'egale \`a 1 sur
$[-1,1]$, $e_2 \in E$ la fonction d\'efinie par $e_2(t)=t$, $e_3 \in
E$ la fonction d\'efinie par $e_3(t)=\cos(t)$. Vous pouvez utiliser
1, $t$ et $\cos(t)$ pour d\'esigner $e_1$, $e_2$ et $e_3$ (abus
de notation).
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $e_1 \perp e_2$, d\'eterminer la norme de $e_1$
  et $e_2$
\item D\'eterminer la projection orthogonale de $e_3$ sur
l'espace vectoriel $F$ engendr\'e par $e_1$ et $e_2$
\item Quelle est la distance de $e_3$ \`a $F$~?
\item Soit $G$ l'espace vectoriel engendr\'e par $e_1,e_2,e_3$. Quelle est la dimension de $G$~?
\item D\'eterminer une base orthonormale de $G$.
\end{enumerate}



\section{S\'erie de Fourier}

% Pour $x\in \mathbb R$, on pose $f(x)=|\sin(x)|$.
Pour $x\in [-\pi,\pi]$, on pose $f(x)=|\sin(x)|$.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier la parit\'e de $f$.
\item \`A l'aide d'une double int\'egration par partie, \'etablir pour
  tout $n>1$, 
$$\int_0^\pi \sin(x)\cos(nx)dx = -\frac{1+(-1)^n}{n^2-1}$$
\item Calculer les coefficients de Fourier de $f$ et donner sa s\'erie de Fourier $S(f)$.
\item Pour quels points $x\in ]-\pi,\pi[$ la s\'erie $S(f)(x)$
  converge t-elle~? 
Quelle est sa limite~? (on justifiera les r\'eponses).
\item En \'evaluant $f$ et $S(f)$ en des points convenables, calculer
$$
\sum_{n\geq 1} \frac{1}{4n^2-1}, \quad \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{4n^2-1}
$$
% =\frac{1}{2,  =\frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}
\item Sous quelle condition peut-on appliquer le th\'eor\`eme de
  Parseval~? 
% {\color{red} question a enlever si laisse la question de cours}
\item Calculer
$$
\sum_{n\geq 1} \frac{1}{(4n^2-1)^2}
$$
% =\frac{\pi^2}{16}-\frac{1}{2}
\end{enumerate}




\end{document}

\section{Matrice de sym\'etrie}
{\color{red} Je vais probablement prendre la matrice sans le $-1/9$ et demander une r\'eduction de Gauss}

Soit $\phi$ l'application lin\'eaire de $\IR^3$ dans lui-m\^eme
de matrice dans la base canonique
$$
A=\frac{-1}{9}\left[\begin{array}{ccc} 1 &-4&8\\
-4&7&4\\
8&4&1\end{array}\right] $$
{\em Attention au coefficient $\frac{-1}{9}$ en facteur de la matrice}
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que 1 et -1 sont valeurs propres de $A$.
\item D\'eterminer une base orthonormale de vecteurs propres de $\phi$
\item {\em Bonus}~: Montrer que $\phi$ est une sym\'etrie orthogonale par
rapport \`a une droite que l'on d\'eterminera.
\end{enumerate}

\section{S\'eries}
{\color{red} Cet exo sera trop dur pour MAT408}
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in \IR$. D\'eterminer la nature de la s\'erie 
$$ \sum_{n \geq 0} \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
Indication~: comparer la valeur absolue du terme g\'en\'eral avec
$1/n^2$.
\item Pour $x\in \IR$, on pose 
$$S_N(x)= \sum_{n =0}^N \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'eries de Fourier de $S_N$ sur $[-\pi,\pi]$.
\item Pour $x\in \IR$, on pose 
$$f(x)= \sum_{n =0}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
Conjecturer le d\'eveloppement en s\'eries  de Fourier de $f$ sur $[-\pi,\pi]$.
\end{enumerate}








%\vspace{0.5cm}

% \section{Exercice}
% Soit $f$ l'application de $\IR[X]\times \IR[X]$ dans $\IR[X]$ d\'efinie par
% $$
% \forall P,Q\in \IR[X],\ f(P,Q) = P(0)Q'(1) + P'(1)Q(0) + P'(0)Q'(0).
% $$
% \begin{enumerate}
% \item Montrer que $f$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
% \item Soit $F = \{ P \in \IR[X];\ P(0) + P(1) = 0 \}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\IR[X]$.
% \item On se restreint \`a $\IR_2[X]$, on pourra donc \'ecrire les \'el\'ements de cet espace vectoriel sous la forme $a+bX+cX^2$, avec $a,b,c\in \IR$. Quelle est la dimension de $F$ dans $\IR_2[X]$~? (on explicitera une base en la justifiant).
% \item Calculer la matrice de $f$ dans la base canonique de $\IR_2[X]$.
% \item Calculer $F^\perp = \{P\in \IR_2[X]; \ \forall Q\in F,\ f(P,Q)=0\}$.
% \end{enumerate}

 
On consid\`ere dans $\IR^4$ muni du produit scalaire canonique
le vecteur $u(1,2,1,0)$, le sous-espace vectoriel $W$ d'\'equation
$x+y+z-t=0$ et le vecteur $n(1,1,1,-1)$.
On note $W^\perp $ l'orthogonal de $W$ pour le produit scalaire
canonique et on rappelle que $W \oplus W^\perp=\IR^4$.
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $n \in W^\perp$. En d\'eduire une base
  orthonormale de  $W^\perp$ 
\item Soit $p$ la projection orthogonale sur $W^\perp$.
D\'eterminer $p(u)$.
\item Soit $v \in \IR^4$, montrer que $v-p(v) $ est le projet\'e
orthogonal de $v$ sur $W$.
\item D\'eterminer la distance de $u$ \`a $W$.
\end{enumerate}

\section{Question de cours}
Soit $f$ une fonction sur $[-\pi,\pi]$ telle que
$f(x)=-f(-x)$. Quelle(s) hypoth\`ese(s) faut-il faire sur $f$ 
pour appliquer le th\'eor\`eme de Parseval~? Donner alors
la valeur de $\int_{0}^{\pi} f^2(t) \ dt $ en fonction des
coefficients de Fourier de $f$.

\section{Lin\'earisation et s\'erie de Fourier}

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\cos^3(x)$ comme combinaison lin\'eaire de $\cos(x), \cos(2x),
 \cos(3x)$ (indication~: d\'evelopper $\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^3$).
\item Calculer simplement les coefficients de Fourier de la fonction $f(x)=\cos^3(x)$ d\'efinie pour $x\in [-\pi,\pi]$.

\end{enumerate}