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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2005/2006, 2nd semestre           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Mathématique assistées par ordinateur} \\
%  Contrôle continu du 14 mars 2006, de 7h30 à 9h30. \\
Examen du 01 juin 2006, de 10h à 12h. \\
  \it Documents et calculatrices autorisés.
  Les trois exercices sont indépendants.
\end{center}



\section{Nombres approchés et arctangente}
Soit $x$ un réel tel que $|x| \leq 2^{-26}$.
Sur un ordinateur représentant les nombres approchés 
avec une précision relative de $2^{-53}$ (en base 2), par quoi
est représenté $1-x^2/3$? $x-x^3/3$? 
Un programme de calcul de $\arctan(x)$ sur cet ordinateur
teste si $|x| \leq 2^{-26}$ et dans ce cas il renvoie $x$, cela
vous parait-il correct? (justifier votre réponse).

\section{Lagrange et Taylor}
On souhaite approcher la fonction $f(x)=e^x$ sur l'intervalle $[0,2]$
par un polynôme de degré 2, en choisissant entre
le développement de Taylor $T_2$ de $f$ à l'ordre 2 en $x=0$
et le polynome de Lagrange $L_2$ de degré 2 dont le graphe
passe par les points d'abscisses $x_0=0, x_1=1, x_2=2$.
Donner la valeur de $T_2(x)$. Montrer que
\[ L_2(x)= 1+(e-1) x + \frac{e^2-2e+1}{2} x(x-1)\]
En observant les 3 graphes sur votre calculatrice sur l'intervalle 
$[0,2]$, lequel de $T_2$ et $L_2$ vous parait-il le plus approprié
pour approcher $f$? Donner une majoration de $|f-T_2|$ et de $|f-L_2|$
et justifiez les observations précédentes.

\section{Méthode de Newton}
Dans cet exercice on considère la fonction
\[
f \colon \R \to \R, \qquad f(x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} - 4 x + 8 .
\]

\begin{exo}
  Déterminer trois entiers $k$ tels que 
  $f(k)$ et $f(k+1)$ ne sont pas de même signe.  
  (Vous pouvez utiliser la calculatrice pour déterminer 
  la valeur de $f(k)$, vous pouvez aussi représenter le graphe de $f$ 
  sur la calculatrice pour trouver des valeurs de $k$ pertinentes.)
  En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions réelles
  distinctes, que l'on notera $a,b,c \in \R$ avec $a < b < c$, 
  et encadrer chacune de ces solutions par un intervalle ${]k,k+1[}$ 
  avec $k$ entier.
\end{exo}

\begin{exo}
  On veut appliquer la méthode de Newton pour approcher
  les racines $a$, $b$, $c$ avec plus de précision.
  \begin{enumerate}
  \item
    Sur quels intervalles la fonction $f$ est-elle croissante/décroissante? \\ 
    Sur quels intervalles est-elle concave/convexe?
  \item
    Déterminer une valeur initiale entière $u_0 \in \Z$ 
    pour laquelle vous pouvez garantir que la méthode de Newton donne 
    une suite récurrente $(u_n)_{n \in \N}$ qui converge vers la racine $c$.
    Justifiez votre choix. 
  \item
    Même question pour les deux autres racines $a$ et $b$.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item
  Calculer des valeurs approchées $\hat{a}$, $\hat{b}$, $\hat{c}$
  des trois racines $a$, $b$, $c$ par la méthode de Newton, comme préparée 
  ci-dessus, en effectuant pour chacune des 3 suites 3 it\'erations.
\item
  Donner une majoration de l'écart $|c-\hat{c}|$.
\item 
   Vérifier vos approximations en développant
   $3(x-\hat{a})(x-\hat{b})(x-\hat{c})$.
   Obtient-on $f(x)$ exactement? 

\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}
  Exhiber une valeur initiale $u_0$ pour laquelle la méthode 
  de Newton donne une suite $(u_n)_{n \in \N}$ qui ne converge pas.
  Pourquoi ceci ne met pas en cause le théorème
  du cours garantissant la convergence?
\end{exo}

\end{document}

\section{Théorème du point fixe}
Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par
\[ f(x) = \frac{\exp(-x)}{2} \]
vérifie les hypothèses du théorème du point fixe,
et calculer la constante $k$ de contraction.  
Calculer les $5$ premiers termes d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0 \in 
I$.
Déterminer un encadrement à $10^{-2}$ près de la solution de $f(x)=x$
sur cet intervalle (on justifiera la précision de cette approximation).

\section{Calcul exact et calcul approché}
Comparer les valeurs de
\[ 
\sqrt{10^{11}+1}-\sqrt{10^{11}} 
\quad\text{ et }\quad
\frac{1}{\sqrt{10^{11}+1}+\sqrt{10^{11}}},
\]
en calcul exact et en calcul approché. 
En calcul approché, laquelle de ces deux valeurs vous parait-elle
plus proche de la valeur exacte correspondante ? Justifier rapidement.

\section{Développement binaire}
\'Ecrire le rationnel un tiers (dont l'ecriture en base
10 est 0.3333...) comme un nombre \`a virgule en base 2
 (obtenu par division de 1 par 3 en base 2).
Quelle est la période du développement obtenu?