Méthode de la puissance

Elle permet de déterminer la plus grande valeur propre en valeur absolue d'une matrice diagonalisable lorsque celle-ci est unique. Supposons en effet que les valeurs propres de A soient x₁,..., x_n avec | x₁| $\leq$ | x₂| $\leq$ ... $\leq$ | x_n-1| < | x_n| et soient e₁,..., e_n une base de vecteurs propres correspondants. On choisit un vecteur aléatoire v et on calcule la suite v_n = Av_n-1 = Aⁿv. Si v a pour coordonnées V₁,..., V_n) dans la base propre, alors

v_n = $$\sum_{{j=1}}^{n}$$V_jx_jⁿe_j = x_nⁿw_n,    w_n = $$\sum$$V_j$$\left(\vphantom{\frac{x_j}{x_n}}\right.$$$${\frac{{x_j}}{{x_n}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{x_j}{x_n}}\right)^{n}_{}$$e_j

L'hypothèse que x_n est l'unique valeur propre de module maximal entraine alors que $\lim_{{n \rightarrow +\infty}}^{}$w_n = V_ne_n puisque la suite géométrique de raison x_j/x_n converge vers 0. Autrement dit, si V_n $\neq$ 0 (ce qui a une probabilité 1 d'être vrai pour un vecteur aléatoire), v_n est équivalent à V_nx_nⁿe_n. Lorsque n est grand, v_n est presque colinéaire au vecteur propre e_n (que l'on peut prendre comme v_n divisé par sa norme), ce que l'on détecte en testant si v_n+1 et v_n sont presques colinéaires, et de plus le facteur de colinéarité entre v_n+1 et v_n est presque x_n, la valeur propre de module maximal.

Exercice : tester la convergence de Aⁿv vers l'espace propre associé à $\lambda$ = 3 pour la matrice [[1,-1],[2,4]] et le vecteur (1, 0).

Lorsqu'on applique cette méthode a une matrice réelle, il peut arriver quíl y ait deux valeurs propres conjuguées de module maximal. Le même type de raisonnement montre que pour n grand, v_n+2 est presque colinéaire à l'espace engendré par v_n et v_n+1, la relation v_n+2 + xv_n+1 + x²v_n = 0 permet de calculer les valeurs propres.

La convergence est de type série géométrique, on gagne le même nombre de décimales à chaque itération.