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Polynome minimal

Définition 5   Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.

Preuve:
D'abord M divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, car si R désigne le reste de la division de P par M alors R(A) = (P - QM)(A) = P(A) - Q(A)M(A) = 0, donc R est nul car son degré est plus petit que celui de M.

En particulier le polynome minimal divise le polynome caractéristique C, car C(A) = 0 (on peut montrer que C(A) = 0 en faisant le produit de la matrice A - $ \lambda$I par sa comatrice, on obtient le déterminant fois l'identité, soit C($ \lambda$)I. Comme C($ \lambda$)I - C(A) peut se factoriser par $ \lambda$I - A en appliquant (13) à chaque monome de C, on en déduit que C(A) se factorise par $ \lambda$I - A, donc C(A) = 0 en regardant les termes de plus haut degré de ces polynomes en $ \lambda$ à coefficients matriciels).

Montrons enfin que les racines du polynome caractéristique sont racines du polynome minimal. En effet soit $ \lambda$ une racine du polynome caractéristique alors A - $ \lambda$I n'est pas inversible. Or M(A) - M($ \lambda$)I se factorise par A - $ \lambda$I car

Ak - $\displaystyle \lambda^{k}_{}$I = (A - $\displaystyle \lambda$I)$\displaystyle \sum_{{j=0}}^{{k-1}}$$\displaystyle \lambda^{{k-1-j}}_{}$Aj (13)

donc M(A) - M($ \lambda$)I ne peut pas être inversible. Comme M(A) = 0 on en déduit que M($ \lambda$)I n'est pas inversible donc M($ \lambda$) = 0, $ \lambda$ est une racine de M. Donc si le polynome caractéristique n'a pas de racines multiples, il est égal au polynome minimal.

Pour calculer M, on peut chercher une relation de degré minimal entre les puissances de A, en les voyant comme des vecteurs à n2 composantes (ce qui revient à aplatir en un long vecteur tous les coefficients de la matrice). Cela revient à calculer le noyau de l'application linéaire dont les colonnes sont les coefficients des puissances de A (de 0 à n), en gardant le premier vecteur obtenu par l'algorithme calcul du noyau ci-dessus.

Cette méthode est toutefois couteuse, car il faut réduire une matrice ayant n2 lignes et n + 1 colonnes. Il existe une autre méthode moins couteuse et qui marche presque toujours. Elle consiste à calculer le polynome minimal de A par rapport à un vecteur v c'est-à-dire le polynome de degré minimal (et coefficient dominant 1) tel que Mv(A)v = 0. Comme M(A) = 0, on a M(A)v = 0, donc Mv divise M qui divise le polynome caractéristique. Si par chance, on trouve que Mv est de degré n, alors Mv sera égal à M et au polynome caractéristique. On fait donc le calcul du noyau de l'application linéaire dont les colonnes sont les Ajv pour j variant de 0 à n. Si l'on trouve un espace de dimension 1, alors Mv est de degré n et on a simultanément le polynome minimal et caractéristique avec le polynome correspondant à ce vecteur du noyau. Si le degré n'est pas n, on peut essayer un ou quelques autres vecteurs, et faire le PPCM des polynomes minimaux obtenus. Si on obtient un polynome de degré n on conclut, sinon on peut tester si ce polynome évalué en A est nul, ce sera alors le polynome minimal.

Exemple, on reprend la matrice [[1,-1],[2,4]], et comme vecteur aléatoire v = (1, 0), on a Av = (1, - 1) et A(Av) = (- 1, - 5). On calcule donc le noyau de la matrice [[1,1,-1],[0,-1,-5]] (on écrit en colonnes v, Av, A2v), on trouve que (- 6, 5, - 1) engendre le noyau, donc le polynome minimal relatif au vecteur v est (au signe près) -6 + 5x - x2. Comme il est de degré maximal 2, c'est le polynome minimal et caractéristique.


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