Polynome caractéristique

On peut le calculer en développant le déterminant det A - $\lambda$I, mais il est plus efficace de le calculer par interpolation. Soit A une matrice carrée de taille n, on sait que son polynome caractéristique est un polynome de degré n, il suffit de connaitre sa valeur en n + 1 points distincts, on calcule donc n + 1 déterminants det A - $\lambda$I en remplaçant $\lambda$ par sa valeur (il y a plus de déterminants à calculer mais ce sont des déterminants sans paramètre $\lambda$ donc beaucoup plus simple à calculer), ce qui permet de reconstruire le polynome caractéristique par interpolation de Lagrange.

Exercice : pour [[1,-1],[2,4]], calculer det (A - $\lambda$I) en $\lambda$ = 0, 1, 2 puis le polynome d'interpolation, vérifier que c'est bien le polynome caractéristique.

Il faut effectuer n + 1 calculs de déterminants, ce qui nécessite O(n⁴) opérations. Il existe des méthodes plus efficaces, par exemple le calcul du polynome minimal probabiliste présenté plus bas (O(n³) opérations).