Noyau

On réduit la matrice sous forme échelonnée. Puis on introduit des lignes de 0 afin que les 1 en tête de ligne se trouvent sur la diagonale de la matrice. On enlève ou on rajoute des lignes de 0 à la fin pour obtenir une matrice carrée. Une base du noyau est alors formée en prenant chaque colonne correspondant à un 0 sur la diagonale, en remplaçant ce 0 par -1. On vérifie qu'on obtient bien 0 en faisant le produit de ce vecteur par la matrice réduite. De plus les vecteurs créés sont clairement linéairement indépendants (puisqu'ils sont échelonnés), et il y en a le bon nombre (théorème noyau-image).

Exemple : calcul du noyau de [[1,2,3,4],[1,2,7,12]], on réduit la matrice avec rref, ce qui donne [[1,2,0,-2],[0,0,1,2]], on ajoute une ligne de 0 entre ces 2 lignes pour mettre le 1 de la 2ème ligne sur la diagonale ce qui donne [[1,2,0,-2],[0,0,0,0],[0,0,1,2]], puis on ajoute une ligne de 0 à la fin pour rendre la matrice carrée. On obtient ainsi le système équivalent de matrice [[1,2,0,-2],[0,0,0,0],[0,0,1,2],[0,0,0,0]]. La 2ème colonne donne le premier vecteur de la base du noyau, (2, - 1, 0, 0), la 4ème colonne donne le deuxième vecteur (- 2, 0, 2, - 1), on vérifie aisément que ces 2 vecteurs forment une famille libre du noyau, donc une base car la dimension du noyau est égale à 2 (dimension de l'espace de départ moins le rang de la matrice, c'est-à-dire le nombre de lignes non nulles de la matrice réduite).