Les rectangles et les trapèzes

Sur une subdivision [$\alpha$,$\beta$], on approche la fonction par un segment. Pour les rectangles, il s'agit d'une horizontale : on peut prendre f ($\alpha$), f ($\beta$) (rectangle à droite et gauche) ou f (($\alpha$ + $\beta$)/2) (point milieu), pour les trapèzes on utilise le segment reliant [$\alpha$, f ($\alpha$)] à [$\beta$, f ($\beta$)].

Exemple : calcul de la valeur approchée de $\int_{0}^{1}$t³dt (on en connait la valeur exacte 1/4 = 0.25) par ces méthodes en subdivisant [0, 1] en 10 subdivisions (pas h = 1/10), donc $\alpha$ = j/10 et $\beta$ = (j + 1)/10 pour j variant de 0 à 9. Pour les rectangles à gauche, on obtient sur une subdivision f ($\alpha$) = (j/10)³ que l'on multiplie par la longueur de la subdivision soit h = 1/10 :

$${\frac{{1}}{{10}}}$$$$\sum_{{j=0}}^{9}$$($${\frac{{j}}{{10}}}$$)³ = $${\frac{{81}}{{400}}}$$ = 0.2025

Pour les rectangles à droite, on obtient

$${\frac{{1}}{{10}}}$$$$\sum_{{j=1}}^{{10}}$$($${\frac{{j}}{{10}}}$$)³ = $${\frac{{121}}{{400}}}$$ = 0.3025

Pour le point milieu f (($\alpha$ + $\beta$)/2) = f ((j/10 + (j + 1)/10)/2) = f (j/10 + 1/20)

$${\frac{{1}}{{10}}}$$$$\sum_{{j=0}}^{9}$$($${\frac{{j}}{{10}}}$$ + $${\frac{{1}}{{20}}}$$)³ = 199/800 = 0.24875

Enfin pour les trapèzes, l'aire du trapèze délimité par l'axe des x, les verticales y = $\alpha$, y = $\beta$ et les points sur ces verticales d'ordonnées respectives f ($\alpha$) et f ($\beta$) vaut

h$${\frac{{f(\alpha)+f(\beta)}}{{2}}}$$

donc

$${\frac{{1}}{{10}}}$$$$\sum_{{j=0}}^{9}$$$$\left(\vphantom{ (\frac{j}{10})^3 +(\frac{j+1}{10})^3 }\right.$$($${\frac{{j}}{{10}}}$$)³ + ($${\frac{{j+1}}{{10}}}$$)³$$\left.\vphantom{ (\frac{j}{10})^3 +(\frac{j+1}{10})^3 }\right)$$ = $${\frac{{101}}{{400}}}$$ = 0.2525

Dans la somme des trapèzes, on voit que chaque terme apparait deux fois sauf le premier et le dernier.

Plus générallement, les formules sont donc les suivantes :

$$\sum_{{j=0}}^{{n-1}}$$ rectangle gauche = (7)

$$\sum_{{j=1}}^{{n}}$$ rectangle droit = (8)

$$\sum_{{j=0}}^{{n-1}} {\frac{{h}}{{2}}}$$ point milieu = (9)

$$\left(\vphantom{\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{j=1}^{n-1} f(a+jh) }\right. {\frac{{f(a)+f(b)}}{{2}}} \sum_{{j=1}}^{{n-1}} \left.\vphantom{\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{j=1}^{n-1} f(a+jh) }\right)$$ trapezes = (10)

où h = (b - a)/n est le pas de la subdivision, n le nombre de subdivisions.

On observe sur l'exemple que le point milieu et les trapèzes donnent une bien meilleure précision que les rectangles. Plus généralement, la précision de l'approximation n'est pas la même selon le choix de méthode. Ainsi pour les rectangles à gauche (le résultat est le même à droite), si f est continument dérivable, de dérivée majorée par une constante M₁ sur [a, b], en faisant un développement de Taylor de f en $\alpha$, on obtient

|$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$f (t)dt - $$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$f ($$\alpha$$)dt| = |$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$f'($$\theta_{t}^{}$$)(t - $$\alpha$$)dt| $$\leq$$ M₁$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$(t - $$\alpha$$)dt = M₁$${\frac{{(\beta-\alpha)^2}}{{2}}}$$

Ainsi dans l'exemple, on a M₁ = 3, l'erreur est donc majorée par 0.015 sur une subdivision, donc par 0.15 sur les 10 subdivisions.

Pour le point milieu, on fait le développement en ($\alpha$ + $\beta$)/2 à l'ordre 2, en supposant que f est deux fois continument dérivable :

$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}} \int_{{\alpha}}^{{\beta}} {\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}} \int_{{\alpha}}^{{\beta}} {\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}} {\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}}$$ =

$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}} {\frac{{f'{'}(\theta_t)}}{{2}}} {\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}}$$

$$\leq {\frac{{M_2}}{{2}}} \int_{{\frac{\alpha+\beta}{2}}}^{{\beta}} {\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}}$$

$$\leq {\frac{{(\beta-\alpha)^3}}{{24}}}$$

Dans l'exemple, on a M₂ = 6, donc l'erreur sur une subdivision est majorée par 0.25e - 3, donc sur 10 subdivisions par 0.25e - 2 = 0.0025.

Pour les trapèzes, la fonction g dont le graphe est le segment reliant [$\alpha$, f ($\alpha$)] à [$\beta$, f ($\beta$)] est f ($\alpha$) + (t - $\alpha$)/($\beta$ - $\alpha$)f ($\beta$), c'est en fait un polynome de Lagrange, si f est deux fois continument dérivable, on peut donc majorer la différence entre f et g en utilisant (6), on intègre la valeur absolue ce qui donne

|$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$f (t)dt - $$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$g(t)dt| $$\leq$$ $$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$|$${\frac{{f'{'}(\xi_x)}}{{2}}}$$(x - $$\alpha$$)(x - $$\beta$$)| $$\leq$$ M₂$${\frac{{(\beta-\alpha)^3}}{{12}}}$$

où M₂ est un majorant de | f''| sur [a, b].

Lorsqu'on calcule l'intégrale sur [a, b] par une de ces méthodes, on fait la somme sur n = (b - a)/h subdivisions de longueur $\beta$ - $\alpha$ = h, on obtient donc une majoration de l'erreur commise sur l'intégrale :

• pour les rectangles à droite ou gauche nM₁h²/2 = M₁h(b - a)/2
• pour le point milieu M₂h²(b - a)/24
• pour les trapèzes M₂h²(b - a)/12.

Lorsque h tend vers 0, l'erreur tend vers 0, mais pas à la même vitesse, plus rapidement pour les trapèzes et le point milieu que pour les rectangles. Plus on approche précisément la fonction sur une subdivision, plus la puissance de h va être grande, plus la convergence sera rapide lorsque h sera petit, avec toutefois une contrainte fixée par la valeur de M_k, borne sur la dérivée k-ième de f (plus k est grand, plus M_k est grand en général). Nous allons voir dans la suite comment se comporte cette puissance de h en fonction de la facon dont on approche f.