Approximation polynomiale

Étant donné la facilité de manipulation qu'apportent les polynomes, on peut chercher à approcher une fonction par un polynôme. La méthode la plus naturelle consiste à chercher un polynôme de degré le plus petit possible égal à la fonction en certains points x₀,..., x_n et à trouver une majoration de la différence entre la fonction et le polynôme. Le polynome interpolateur de Lagrange répond à cette question.

Soit donc x₀,..., x_n des réels distincts et y₀,..., y_n les valeurs de la fonction à approcher en ces points (on posera y_j = f (x_j) pour approcher la fonction f). On cherche donc P tel que P(x_j) = y_i pour j $\in$ [0, n].

Commencons par voir s'il y a beaucoup de solutions. Soit P et Q deux solutions distinctes du problème, alors P - Q est non nul et va s'annuler en x₀,..., x_n donc possède n + 1 racines donc est de degré n + 1 au moins. Réciproquement, si on ajoute à P un multiple du polynome A = $\prod_{{j=0}}^{n}$(X - x_j), on obtient une autre solution. Toutes les solutions se déduisent donc d'une solution particulière en y ajoutant un polynome de degré au moins n + 1 multiple de A.

Nous allons maintenant construire une solution particulière de degré au plus n. Si n = 0, on prend P = x₀ constant. On procède ensuite par récurrence. Pour construire le polynôme correspondant à x₀,..., x_n+1 on part du polynoôme P_n correspondant à x₀,..., x_n et on lui ajoute un multiple réel de A

P_n+1 = P_n + $$\alpha_{{n+1}}^{}$$$$\prod_{{j=0}}^{n}$$(X - x_j)

Ainsi on a toujours P_n+1(x_j) = y_j pour j = 0,..n, on calcule maintenant $\alpha_{{n+1}}^{}$ pour que P_n+1(x_n+1) = y_n+1. En remplacant avec l'expression de P_n+1 ci-dessus, on obtient

P_n(x_n+1) + $$\alpha_{{n+1}}^{}$$$$\prod_{{j=0}}^{n}$$(x_n+1 - x_j) = y_n+1

Comme tous les x_j sont distincts, il existe une solution unique :

$$\alpha_{{n+1}}^{}$$ = $${\frac{{y_{n+1}-P_n(x_{n+1})}}{{\prod_{j=0}^n (x_{n+1}-x_j)}}}$$

On a donc prouvé le :

Théorème 13   Soit n + 1 réels distincts x₀,..., x_n et n + 1 réels quelconques y₀,..., y_n. Il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n, appelé polynome de Lagrange, tel que :

P(x_i) = y_i

Exemple : déterminons le polynome de degré inférieur ou égal à 2 tel que P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 1. On commence par P₀ = 1. Puis on pose P₁ = P₀ + $\alpha_{{1}}^{}$X = 1 + $\alpha_{{1}}^{}$X. Comme P(1) = 2 = 1 + $\alpha_{{1}}^{}$ on en tire $\alpha_{{1}}^{}$ = 1 donc P₁ = 1 + X. Puis on pose P₂ = P₁ + $\alpha_{{2}}^{}$X(X - 1), on a P₂(2) = 3 + 2$\alpha_{{2}}^{}$ = 1 donc $\alpha_{{2}}^{}$ = - 1, finalement P₂ = 1 + X - X(X - 1).

Reste à estimer l'écart entre une fonction et son polynome interpolateur, on a le :

Théorème 14   Soit f une fonction n + 1 fois dérivable sur un intervalle I = [a, b] de $\mathbb {R}$, x₀,..., x_n des réels distincts de I. Soit P le polynome de Lagrange donné par les x_j et y_j = f (x_j). Pour tout réel x $\in$ I, il existe un réel $\xi_{x}^{}$ $\in$ [a, b] (qui dépend de x) tel que :

$${\frac{{f^{[n+1]}(\xi_x)}}{{(n+1)!}}} \prod_{{j=0}}^{n}$$ (6)

Ainsi l'erreur commise dépend d'une majoration de la taille de la dérivée n + 1-ième sur l'intervalle, mais aussi de la disposition des points x_j par rapport à x. Par exemple si les points x_j sont équidistribués, le terme |$\prod_{{j=0}}^{n}$(x - x_j)| sera plus grand près du bord de I qu'au centre de I.

Preuve du théorème : Si x est l'un des x_j l'égalité est vraie. Soit

C = (f (x) - P(x))/$$\prod_{{j=0}}^{n}$$(x - x_j)

on considère maintenant la fonction :

g(t) = f (t) - P(t) - C$$\prod_{{j=0}}^{n}$$(t - x_j)

elle s'annule en x_j pour j variant de 0 à n ainsi qu'en x suite au choix de la constante C, donc g s'annule au moins n + 2 fois sur l'intervalle contenant les x_j et x, donc g' s'annule au moins n + 1 fois sur ce même intervalle, donc g'' s'annule au moins n fois, etc. et finalement g^[n+1] s'annule une fois au moins sur cet intervalle. Or

g^[n+1] = f^[n+1] - C(n + 1)!

car P est de degré inférieur ou égal à n et $\prod_{{j=0}}^{n}$(x - x_j) - xⁿ⁺¹ est de degré inférieur ou égal à n. Donc il existe bien un réel $\xi_{x}^{}$ dans l'intervalle contenant les x_j et x tel que

C = $${\frac{{f^{[n+1]}(\xi_x)}}{{(n+1)!}}}$$

Calcul efficace du polynôme de Lagrange.
Avec la méthode de calcul précédent, on remarque que le polynôme de Lagrange peut s'écrire à la Horner sous la forme :

$$\alpha_{0}^{} \alpha_{1}^{} \alpha_{n}^{}$$ P(x) =

$$\alpha_{0}^{} \alpha_{1}^{} \alpha_{2}^{} \alpha_{{n-1}}^{} \alpha_{n}^{}$$ =

ce qui permet de le calculer rapidement une fois les $\alpha_{i}^{}$ connus. On observe que

$$\alpha_{0}^{}$$ = f (x₀),    $$\alpha_{1}^{}$$ = $${\frac{{f(x_1)-f(x_0)}}{{x_1-x_0}}}$$

On va voir que les $\alpha_{k}^{}$ peuvent aussi se mettre sous forme d'une différence. On définit les différences divisées d'ordre n par récurrence

f[x_i] = f (x_i),    f[x_i,..., x_k+i+1] = $${\frac{{f[x_{i+1},...,x_{k+i+1}]-f[x_i,...,x_{k+i}]}}{{x_{k+i+1}-x_i}}}$$

On va montrer que $\alpha_{k}^{}$ = f[x₀,..., x_k]. C'est vrai au rang 0, il suffit donc de le montrer au rang k + 1 en l'admettant au rang k. Pour cela on observe qu'on peut construire le polynôme d'interpolation en x₀,..., x_k+1 à partir des polynômes d'interpolation P_k en x₀,..., x_k et Q_k en x₁,..., x_k+1 par la formule :

P_k+1(x) = $${\frac{{(x_{k+1}-x)P_k + (x-x_0)Q_k}}{{x_{k+1}-x_0}}}$$

en effet on vérifie que P_k+1(x_i) = f (x_i) pour i $\in$ [1, k] car P_k(x_i) = f (x_i) = Q_k(x_i), et pour i = 0 et i = k + 1, on a aussi P_k+1(x₀) = f (x₀) et P_k+1(x_k+1) = f (x_k+1). Or $\alpha_{{k+1}}^{}$ est le coefficient dominant de P_k+1 donc c'est la différence du coefficient dominant de Q_k et de P_k divisée par x_k+1 - x₀, c'est-à-dire la définition de f[x₀,..., x_k+1] en fonction de f[x₁,..., x_k+1] et f[x₀,..., x_k].

Exemple : on reprend P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 1. On a

xi	f[xi]	f[xi, xi+1]	f[x0, x1, x2]
0	$$\framebox{1}$$
		(2 - 1)/(1 - 0) = $$\framebox{1}$$
1	2		(- 1 - 1)/(2 - 0) = $$\framebox{-1}$$
		(1 - 2)/(2 - 1) = - 1
2	1

donc P(x) = $\framebox{1}+(x-0)(\framebox{1}+(x-1)(\framebox{-1}))=1+x(2-x)$.

On peut naturellement utiliser l'ordre que l'on souhaite pour les x_i, en observant que le coefficient dominant de P ne dépend pas de cet ordre, on en déduit que f[x₀,..., x_k] est indépendant de l'ordre des x_i, on peut donc à partir du tableau ci-dessus écrire P par exemple avec l'ordre 2,1,0, sous la forme

P(x) = 1 + (x - 2)(- 1 + (x - 1)(- 1)) = 1 + (x - 2)(- x)