Factorisation dans $\mathbb {C}$.

Reste maintenant à trouver des racines! On a le :

Théorème 9 (d'Alembert)  
Soit P un polynome de degré non nul, alors P admet au moins une racine complexe.

On peut alors factoriser P par X - r si r est la racine, et recommencer avec le quotient, d'où le corollaire.

Théorème 10   Soit P un polynome de degré n non nul, alors P admet n racines complexes (comptées avec multiplicité) x₁,..., x_n, on a donc :

$$\prod_{{j=1}}^{n}$$ (4)

où a_n est le coefficient dominant de P.

Démonstration du théorème de d'Alembert :
On va montrer que le minimum de la valeur absolue de P est atteint en un nombre complexe puis que ce minimum est forcément nul. Soit

P(x) = a_nxⁿ + ... + a₀,    a_n $$\neq$$ 0

Lorsque | x| tend vers l'infini, | P(x)| tend vers l'infini, en effet

P(x) = a_nxⁿ(1 + $${\frac{{a_{n-1}}}{{a_n}}}$$$${\frac{{1}}{{x}}}$$ + ... + $${\frac{{a_0}}{{a_n}}}$$$${\frac{{1}}{{x^n}}}$$) $$\approx_{{\vert x\vert\rightarrow \infty}}^{}$$ a_nxⁿ

plus précisément il existe R > 0 tel que si | x| > R alors | P(x)| > | a_n|| x|ⁿ/2. Quitte à augmenter R on peut donc supposer que | P(x)| > | P(0)| si | x| > R, donc il existe un complexe x₀ qui réalise le minimum de | P| sur $\mathbb {C}$ (ce minimum est en fait le minimum pour | x| $\leq$ R). On va montrer par l'absurde que ce minimum est nul (donc que x₀ est la racine cherchée). Supposons donc que P(x₀) $\neq$ 0. On fait le développement de Taylor de P en x₀ à l'ordre n=degré de P, donc le développement n'a pas de reste :

P(x) - P(x₀) = (x - x₀)P'(x₀) + .. + (x - x₀)ⁿ$${\frac{{P^{[n]}(x_0)}}{{n!}}}$$

Comme P n'est pas constant, l'un des termes du membre de droite est non nul, soit k l'indice du premier terme non nul, on a alors :

P(x) = P(x₀) + (x - x₀)^k$${\frac{{P^{[k]}(x_0)}}{{k!}}}$$ + o((x - x₀)^k)

Comme P(x₀) $\neq$ 0, on peut le factoriser en :

P(x) = P(x₀)(1 + (x - x₀)^k$${\frac{{P^{[k]}(x_0)}}{{P(x_0) k!}}}$$ + o((x - x₀)^k)

on pose alors x = x₀ + tw où w est une racine k-ième (cela existe dans $\mathbb {C}$) de

$$\left(\vphantom{\frac{-P^{[k]}(x_0)}{P(x_0) k!} }\right.$$$${\frac{{-P^{[k]}(x_0)}}{{P(x_0) k!}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{-P^{[k]}(x_0)}{P(x_0) k!} }\right)^{{-1}}_{}$$

on a alors :

P(x) = P(x₀)(1 - t^k + o(t^k+1))

lorsque t est positif, suffisamment petit, on a 0 < 1 - t^k + o(t^k+1 < 1, donc | P(x)| < | P(x₀)|, ce qui est absurde (x₀ réalisant le minimum de P sur $\mathbb {C}$).

Remarque :
Si on développe la relation (4), on obtient des relations entre les coefficients du polynome et les racines, par exemple :

a_n-1 = a_n$$\sum$$j=1ⁿ(- x_j),...,    a₀ = a_n$$\prod_{{j=1}}^{n}$$(- x_j),