Multiplicité des racines.

On dit que r est une racine de multiplicité k de P si P(x) = (x - r)^kQ et Q(r) $\neq$ 0.

En faisant le développement de Taylor de P en r à l'ordre degré de P, on voit que cela équivaut à :

P(r) = P'(r) = ... = P^[k-1](r) = 0,    P^[k](r) $$\neq$$ 0

En particulier si P(r) = 0, on peut factoriser P par X - r.

On peut donc détecter les racines de multiplicité supérieure à 1 en cherchant un facteur commun à P et P', en effet x - r divisera P et P'.

Théorème 8   Si P et P' sont premiers entre eux (pgcd = 1), alors les racines de P sont simples (de multiplicité 1).

Il existe un algorithme (dû à Yun) qui permet d'écrire un polynome quelconque comme produit de polynômes dont les racines sont simples en effectuant uniquement des calculs de PGCD de polynomes.

yun(P):= { 
  local W,Y,G,res; 
  W:=P;  
  Y:=diff(W,x);  
  res:=NULL;  
  while(true){ 
    if (Y==0) { 
      return res[1..size(res)-1],W;  
    };  
  G:=gcd(Y,W);  
  res:=res,G;  
  W:=normal(W/G);  
  Y:=normal(Y/G-diff(W,x));  
  };  
}

L'instruction squarefree ou équivalente de votre logiciel de calcul formel effectue cette décomposition.