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Arithmétique des polynomes: Bézout et applications

On considère les polynômes à une variable à coefficients dans $ \mathbb {R}$ ou $ \mathbb {C}$ ou $ \mathbb {Q}$. Les algorithmes de base déjà évoqués sont l'évaluation en un point (méthode de Horner), l'addition, la soustraction, la multiplication et la division euclidienne de A par B $ \neq$ 0 :

A = BQ + R,    deg(R) < deg(B)

A l'aide de la division euclidienne, on peut calculer le PGCD de deux polynômes par l'algorithme d'Euclide. Nous allons présenter l'algorithme d'Euclide étendu (ou de Bézout)

Théorème 7   Étant donnés 2 polynômes A et B, il existe deux polynômes U, V tels que

AU + BV = pgcd(A, B),    deg(U) < deg(B),deg(V) < deg(A)

Algorithme :
On construit en fait 3 suites (Un), (Vn) et (Rn) telles que :

AUn + BVn = Rn

Exemple :
A = x3 -1, B = x2 + 1, les rangs 0 et 1 sont donnés ci-dessus. Au rang 2, Q0 est le quotient euclidien de A par B (fonction quo) donc x, d'où

U2 = 1, V2 = - x, R2 = - x - 1

Puis on divise x2 + 1 par - x - 1, quotient - x + 1, donc

U3 = x - 1, V3 = 1 + x(- x + 1) = 1 + x - x2, R3 = 2

Preuve de l'algorithme :
On montre facilement par récurrence que la relation AUn + BVn = Rn est conservée. Comme Rn est la suite des restes, le dernier reste non nul est bien le pgcd de A et B. D'autre part, examinons les degrés des Vk. Supposons que deg(A) $ \geq$ deg(B) (sinon on échange A et B). Au rang n = 0, V0 = 0 donc V2 = - Q0V1, aux rangs suivants le degré de Qn est non nul (car le degré de Rn+1 est strictement inférieur au degré de Rn) On montre donc par récurrence que la suite des degrés de Vn est croissante et que :

deg(Vn+2) = deg(Qn) + deg(Vn+1)

Comme deg(Qn)=deg(Rn)-deg(Rn+1), on en déduit que

deg(Vn+2) + deg(Rn+1) = deg(Vn+1) + deg(Rn) = ... = deg(V1) + deg(R0) = deg(A)

Donc si n + 2 est le rang du dernier reste non nul, Vn+2 = V et degV=degA-degRn+1 est donc strictement inférieur au degré de A (car Rn+1, l'avant-dernier reste non nul, est de degré plus grand ou égal à 1). On en déduit enfin que le degré de U est strictement inférieur au degré de B, car AU = R - BV, le degré de BV est strictement inférieur à celui de B plus celui de A.

L'identité de Bézout permet de résoudre plus générallement une équation du type

Au + Bv = C

A, B, C sont trois polynômes donnés, à condition que C soit divisible par le pgcd de A et B. L'ensemble des solutions s'obtient à partir d'une solution particulière U, V de Bézout, notons c = C/gcd(A, B), on a alors

A(cU) + B(cV) = c gcd(A, B) = C

et l'ensemble des solutions est donné par u = cU - PB, v = cV + PAP est un polynôme quelconque. Si le degré de C est plus petit que le degré de A plus le degré de B, il existe une solution ``priviligiée'', on prend pour u le reste de la division euclidienne de cU par B, v est alors le reste de la division euclidienne de cV par A pour des raisons de degré.

Exemple : si on veut résoudre

(x3 -1)u + (x2 +1)v = 2x2

on multiplie U = x - 1 et V = 1 + x - x2 par x2 ce qui donne une solution

u = x2(x - 1),    v = x2(1 + x - x2)

l'ensemble des solutions est de la forme

u + P(x2 +1),    v - P(x3 - 1)

et la solution priviligiée (de degrés minimaux) est

- x + 1 = rem(x2(x - 1), x2 +1),    x2 - x + 1 = rem(x2(1 + x - x2), x3 - 1)

L'identité de Bézout intervient dans de nombreux problèmes en particulier la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. Si le dénominateur D d'une fraction se factorise en produit de 2 facteurs D = AB premiers entre eux, alors il existe deux polynômes u et v tels que N = Au + Bv, donc

$\displaystyle {\frac{{N}}{{D}}}$ = $\displaystyle {\frac{{Au+Bv}}{{AB}}}$ = $\displaystyle {\frac{{u}}{{B}}}$ + $\displaystyle {\frac{{v}}{{A}}}$

Si de plus N/D est une fraction propre (degré de N plus petit que celui de D), alors u/B et v/A sont encore des fractions propres (en calculant le reste de la division euclidienne pour u et v comme expliqué ci-dessus).

Par exemple :

$\displaystyle {\frac{{2x^2}}{{(x^3-1)(x^2+1)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(-x+1)(x^3-1)+(x^2-x+1)(x^2+1)}}{{(x^3-1)(x^2+1)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{-x+1}}{{x^2+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{x^2-x+1}}{{x^3-1}}}$

Les applications sont diverses, citons

Il faut néanmoins savoir factoriser un polynôme, ce dont nous parlerons dans la section suivante.

Exercice : Calculer l'intégrale

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{1}}{{(x-1)(x^2+1)}}}$

en utilisant l'identité de Bézout pour décomposer la fraction rationnelle. Trouver à l'aide de cette décomposition le terme d'ordre n du développement de Taylor de la fraction à intégrer, vérifier avec un logiciel de calcul formel que les termes d'ordre 0 à 3 sont corrects.

Una autre application est l'élimination dans les systèmes polynomiaux, par exemple considérons le système de 2 équations à 2 inconnues (intersection d'une ellipse et d'un cercle) :

x2 + y2 -9 = 0, x2 +2y2 - 2xy - 7 = 0

En calculant les coefficients de Bézout des 2 polynômes en x x2 + y2 - 9 et x2 +2y2 - 2xy - 7 et en multipliant au besoin par le PPCM (plus grand commun multiple) des dénominateurs, on obtient à droite de l'équation de Bézout un polynôme ne dépendant que de y et qui s'annule aussi aux solutions du système, on peut alors résoudre en y (en factorisant) puis en x. Ici par exemple ce polynome est 5y4 -32y2 + 4. Cette méthode se systématise, le polynome obtenu par élimination d'une variable est appelé résultant.


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