Arithmétique des polynomes: Bézout et applications

On considère les polynômes à une variable à coefficients dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ ou $\mathbb {Q}$. Les algorithmes de base déjà évoqués sont l'évaluation en un point (méthode de Horner), l'addition, la soustraction, la multiplication et la division euclidienne de A par B $\neq$ 0 :

A = BQ + R,    deg(R) < deg(B)

A l'aide de la division euclidienne, on peut calculer le PGCD de deux polynômes par l'algorithme d'Euclide. Nous allons présenter l'algorithme d'Euclide étendu (ou de Bézout)

Théorème 7   Étant donnés 2 polynômes A et B, il existe deux polynômes U, V tels que

AU + BV = pgcd(A, B),    deg(U) < deg(B),deg(V) < deg(A)

Algorithme :
On construit en fait 3 suites (U_n), (V_n) et (R_n) telles que :

AU_n + BV_n = R_n

• on initialise U₀ = 1, V₀ = 0, R₀ = A et U₁ = 0, V₁ = 1, R₁ = B
• on calcule les indices n + 2 en fonction de n et n + 1 en effectuant la division euclidienne de R_n par R_n+1
  R_n = Q_nR_n+1 + R_n+2,    U_n+2 = U_n - Q_nU_n+1, V_n+2 = V_n - Q_nV_n+1

• on s'arrête au dernier reste non nul

Exemple :
A = x³ -1, B = x² + 1, les rangs 0 et 1 sont donnés ci-dessus. Au rang 2, Q₀ est le quotient euclidien de A par B (fonction quo) donc x, d'où

U₂ = 1, V₂ = - x, R₂ = - x - 1

Puis on divise x² + 1 par - x - 1, quotient - x + 1, donc

U₃ = x - 1, V₃ = 1 + x(- x + 1) = 1 + x - x², R₃ = 2

Preuve de l'algorithme :
On montre facilement par récurrence que la relation AU_n + BV_n = R_n est conservée. Comme R_n est la suite des restes, le dernier reste non nul est bien le pgcd de A et B. D'autre part, examinons les degrés des V_k. Supposons que deg(A) $\geq$ deg(B) (sinon on échange A et B). Au rang n = 0, V₀ = 0 donc V₂ = - Q₀V₁, aux rangs suivants le degré de Q_n est non nul (car le degré de R_n+1 est strictement inférieur au degré de R_n) On montre donc par récurrence que la suite des degrés de V_n est croissante et que :

deg(V_n+2) = deg(Q_n) + deg(V_n+1)

Comme deg(Q_n)=deg(R_n)-deg(R_n+1), on en déduit que

deg(V_n+2) + deg(R_n+1) = deg(V_n+1) + deg(R_n) = ... = deg(V₁) + deg(R₀) = deg(A)

Donc si n + 2 est le rang du dernier reste non nul, V_n+2 = V et degV=degA-degR_n+1 est donc strictement inférieur au degré de A (car R_n+1, l'avant-dernier reste non nul, est de degré plus grand ou égal à 1). On en déduit enfin que le degré de U est strictement inférieur au degré de B, car AU = R - BV, le degré de BV est strictement inférieur à celui de B plus celui de A.

L'identité de Bézout permet de résoudre plus générallement une équation du type

Au + Bv = C

où A, B, C sont trois polynômes donnés, à condition que C soit divisible par le pgcd de A et B. L'ensemble des solutions s'obtient à partir d'une solution particulière U, V de Bézout, notons c = C/gcd(A, B), on a alors

A(cU) + B(cV) = c gcd(A, B) = C

et l'ensemble des solutions est donné par u = cU - PB, v = cV + PA où P est un polynôme quelconque. Si le degré de C est plus petit que le degré de A plus le degré de B, il existe une solution ``priviligiée'', on prend pour u le reste de la division euclidienne de cU par B, v est alors le reste de la division euclidienne de cV par A pour des raisons de degré.

Exemple : si on veut résoudre

(x³ -1)u + (x² +1)v = 2x²

on multiplie U = x - 1 et V = 1 + x - x² par x² ce qui donne une solution

u = x²(x - 1),    v = x²(1 + x - x²)

l'ensemble des solutions est de la forme

u + P(x² +1),    v - P(x³ - 1)

et la solution priviligiée (de degrés minimaux) est

- x + 1 = rem(x²(x - 1), x² +1),    x² - x + 1 = rem(x²(1 + x - x²), x³ - 1)

L'identité de Bézout intervient dans de nombreux problèmes en particulier la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. Si le dénominateur D d'une fraction se factorise en produit de 2 facteurs D = AB premiers entre eux, alors il existe deux polynômes u et v tels que N = Au + Bv, donc

$${\frac{{N}}{{D}}}$$ = $${\frac{{Au+Bv}}{{AB}}}$$ = $${\frac{{u}}{{B}}}$$ + $${\frac{{v}}{{A}}}$$

Si de plus N/D est une fraction propre (degré de N plus petit que celui de D), alors u/B et v/A sont encore des fractions propres (en calculant le reste de la division euclidienne pour u et v comme expliqué ci-dessus).

Par exemple :

$${\frac{{2x^2}}{{(x^3-1)(x^2+1)}}}$$ = $${\frac{{(-x+1)(x^3-1)+(x^2-x+1)(x^2+1)}}{{(x^3-1)(x^2+1)}}}$$ = $${\frac{{-x+1}}{{x^2+1}}}$$ + $${\frac{{x^2-x+1}}{{x^3-1}}}$$

Les applications sont diverses, citons

• le calcul de primitive de fraction rationnelles (et tout ce qui s'y ramène), par exemple
  $$\int$$$${\frac{{2x^2}}{{(x^3-1)(x^2+1)}}}$$ = = $$\int$$$${\frac{{-x+1}}{{x^2+1}}}$$ + $$\int$$$${\frac{{x^2-x+1}}{{x^3-1}}}$$
  Puis on fait apparaitre la dérivée du dénominateur au numérateur pour éliminer les x, 2x = (x² + 1)'
  

  $$\int {\frac{{-x+1}}{{x^2+1}}} {\frac{{1}}{{2}}} \int {\frac{{(x^2+1)'}}{{x^2+1}}} \int {\frac{{1}}{{x^2+1}}} \int {\frac{{x^2-x+1}}{{x^3-1}}}$$ =

  $${\frac{{1}}{{2}}} \int {\frac{{x^2-x+1}}{{x^3-1}}}$$ =

  
  pour faire le calcul complet, il faut aussi décomposer la fraction restante (exercice!)
• le calcul de transformée de Laplace inverse de fractions rationnelles, l'idée est la même, sauf qu'on remplace l'intégrale par la transformée de Laplace inverse (et les formules donnant la transformée inverse de 1/(x - p), 1/(x² + p²), p/(x² + p²) respectivement exp(px), sin(xp)/p, cos(px)) (calcul non exigible à l'examen)
• le calcul du terme d'ordre n du développement de Taylor en 0 d'une fraction rationnelle. On décompose, et on se ramène à des séries dont le terme général est connu, comme (a + x)^-n. Par exemple pour connaitre le développement de 1/(x² - 3x + 2), on factorise le dénominateur 1/((x - 1)(x - 2)), on décompose
  $${\frac{{1}}{{(x-1)(x-2)}}}$$ = $${\frac{{-1}}{{x-1}}}$$ + $${\frac{{1}}{{x-2}}}$$ = $${\frac{{1}}{{1-x}}}$$ - $${\frac{{1}}{{2}}}$$$${\frac{{1}}{{1-\frac{x}{2}}}}$$
  et on développe, le terme d'ordre n est donc 1 - (1/2)ⁿ⁺¹.

Il faut néanmoins savoir factoriser un polynôme, ce dont nous parlerons dans la section suivante.

Exercice : Calculer l'intégrale

$$\int$$$${\frac{{1}}{{(x-1)(x^2+1)}}}$$

en utilisant l'identité de Bézout pour décomposer la fraction rationnelle. Trouver à l'aide de cette décomposition le terme d'ordre n du développement de Taylor de la fraction à intégrer, vérifier avec un logiciel de calcul formel que les termes d'ordre 0 à 3 sont corrects.

Una autre application est l'élimination dans les systèmes polynomiaux, par exemple considérons le système de 2 équations à 2 inconnues (intersection d'une ellipse et d'un cercle) :

x² + y² -9 = 0, x² +2y² - 2xy - 7 = 0

En calculant les coefficients de Bézout des 2 polynômes en x x² + y² - 9 et x² +2y² - 2xy - 7 et en multipliant au besoin par le PPCM (plus grand commun multiple) des dénominateurs, on obtient à droite de l'équation de Bézout un polynôme ne dépendant que de y et qui s'annule aussi aux solutions du système, on peut alors résoudre en y (en factorisant) puis en x. Ici par exemple ce polynome est 5y⁴ -32y² + 4. Cette méthode se systématise, le polynome obtenu par élimination d'une variable est appelé résultant.