Autres applications

On peut calculer certaines intégrales de la même manière, par exemple

$$\int_{0}^{{1/2}}$$$${\frac{{1}}{{\sqrt{1+x^3}}}}$$

On peut aussi appliquer les techniques ci-dessus pour calculer des solutions de certaines équations différentielles dont les solutions ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles, on remplace dans l'équation la fonction inconnue par son développement en séries et on cherche une relation de récurrence entre a_n+1 et a_n. Si on arrive à montrer par exemple qu'il y a une solution ayant un développement alternée, ou plus générallement, si on a une majoration | a_n+1/a_n| < C, alors le reste de la série entière est majoré par | a_nxⁿ|/(1 - | Cx|) lorsque | x| < 1/C, on peut alors calculer des valeurs approchées de la fonction solution à la précision souhaitée en utilisant le développement en séries entières.

Exemple : les fonctions de Bessel. Soit m un entier positif fixé, on considère l'équation différentielle

x²y'' + xy' + (x² - m²)y = 0

dont on cherche une solution série entière y = $\sum_{{k=0}}^{\infty}$a_kx^k. En remplacant dans l'équation, si x est dans le rayon de convergence de la série (rayon supposé non nul), on obtient

$$\sum_{{k=0}}^{\infty}$$k(k - 1)a_kx^k + $$\sum_{{k=0}}^{\infty}$$ka_kx^k + $$\sum_{{k=0}}^{\infty}$$(x² - m²)a_kx^k = 0

soit encore

$$\sum_{{k=0}}^{\infty}$$ 0 =

$$\sum_{{k=2}}^{\infty}$$ =

Par exemple, prenons le cas m = 0. On a alors a₀ quelconque, a₁ nul et pour k $\geq$ 2

a_k = - $${\frac{{a_{k-2}}}{{k^2}}}$$

Donc tous les a d'indice impair sont nuls. Les pairs sont non nuls si a₀ $\neq$ 0, et ils sont de signe alterné. Soit x fixé, on observe que pour 2k > | x|,

| a_2kx^2k| < | a_2k-2x^2k-2|

donc la série $\sum_{{k=0}}^{\infty}$a_kx^k est alternée à partir du rang partie entière de | x| plus un. Donc elle converge pour tout x (le rayon de convergence de y est + $\infty$) et le reste de la somme jusqu'à l'ordre 2n est inférieur en valeur absolue à :

| R_2n(x)| $$\leq$$ | a_2n+2x²ⁿ⁺²|

Par exemple, pour avoir une valeur approchée à 1e - 10 près de y(x) pour a₀ = 1 et | x| $\leq$ 1, on calcule y = $\sum_{{k=0}}^{{2n}}$a_kx^k, on s'arrête au rang n tel que

| a_2n+2x²ⁿ⁺²| $$\leq$$ | a_2n+2| $$\leq$$ 10^-10

On remarque que :

a_2n = $${\frac{{(-1)^n}}{{2^2 4^2 ... (2n)^2}}}$$ = $${\frac{{(-1)^n}}{{2^{2n} n!^2}}}$$

donc n = 7 convient.

Pour m $\neq$ 0, on peut faire un raisonnement analogue (les calculs sont un peu plus compliqués).

On a ainsi trouvé une solution y₀ de l'équation différentielle de départ dont on peut facilement calculer une valeur approchée (aussi facilement que par exemple la fonction sinus pour | x| $\leq$ 1), on peut alors trouver toutes les solutions de l'équation différentielle (en posant y = y₀z et en cherchant z).