Le point fixe

Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] de $\mathbb {R}$, et à valeurs dans I (attention à bien choisir I pour que l'image de I par f reste dans I). On s'intéresse à la suite

$$\in$$ (1)

Supposons que u_n converge vers une limite l $\in$ I lorsque n $\rightarrow$ + $\infty$, alors la limite doit vérifier

f (l )= l

puisque f est continue. On dit que l est un point fixe de f. Ceci amène à l'idée d'utiliser ces suites pour résoudre numériquement l'équation f (x) = x. Nous allons donner un théorème permettant d'assurer que la suite (1) converge, et que la limite est l'unique solution de f (l )= l sur I.

Définition 3   On dit que f est contractante de rapport k < 1 sur I si

$$\forall$$x, y $$\in$$ I,    | f (y) - f (x)| $$\leq$$ k| y - x|

En pratique, les fonctions f que l'on considèrera seront continument dérivables, donc d'après le théorème des accroissements finis

f (y) - f (x) = f'($$\theta$$)(y - x),    $$\theta$$ $$\in$$ [x, y]

ainsi pour vérifier que f est contractante, on étudie la valeur absolue de f' sur I, il suffit de montrer que cette valeur absolue est strictement inférieure à un réel k < 1 pour conclure (il faut donc chercher le maximum de | f'| sur I. Attention, il s'agit du maximum de | f'| et pas du maximum de f', ce qui revient à chercher le maximum de f' et de - f').

On a alors le

Théorème 1 (du point fixe)  
si f est contractante de I = [a, b] dans I de rapport k alors la suite (1) converge vers l'unique solution de f (l )= l dans I. On a de plus les encadrements :

$$\leq \leq {\frac{{\vert u_{n+1}-u_n\vert}}{{1-k}}}$$ (2)

Démonstration : Tout d'abord si f est contractante, on montre à partir de la définition de la continuité que f est continue. Soit g(x) = f (x) - x, alors g est continue, positive en a et négative en b, il existe donc l $\in$ [a, b] tel que g(l )= 0 (théorème des valeurs intermédiaires). Soit u_n une suite définie par (1). On a alors pour tout n

| u_n+1 - l| = | f (u_n) - f (l )| $$\leq$$ k| u_n - l|

Donc par une récurrence évidente :

| u_n - l| $$\leq$$ kⁿ| u₀ - l|

ce qui entraine d'ailleurs que | u_n - l| $\leq$ kⁿ| a - b|. Comme k $\in$ [0, 1[, la suite géométrique kⁿ converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini, donc u_n tend vers l. Notons que l est unique car si l' est une autre solution alors | l - l'| = | f (l )- f (l')| $\leq$ k| l - l'| donc (1 - k)| l - l'| $\leq$ 0, or 1 - k > 0 et | l - l'| $\geq$ 0 donc | l - l'| doit être nul. Passons à la preuve de la majoration (2) qui est importante en pratique car elle donne un test d'arrêt de calcul des termes de la suite récurrente, on écrit pour m > 0 :

u_n - l = u_n - u_n+1 + u_n+1 - u_n+2 + ... + u_n+m-1 - u_n+m + u_m - l

puis on majore avec l'inégalité triangulaire

| u_n - l| $$\leq$$ $$\sum_{{j=0}}^{{m-1}}$$| u_n+j - u_n+j+1| + | u_m - l|

puis on applique le fait que f est contractante de rapport k

| u_n - l| $$\leq$$ $$\sum_{{j=0}}^{{m-1}}$$k^j| u_n - u_n+1| + | u_m - l|

soit

| u_n - l| $$\leq$$ $${\frac{{1-k^m}}{{1-k}}}$$| u_n - u_n+1| + | u_m - l|

On fait alors tendre m vers l'infini d'où le résultat.

Exemples : Cherchons une valeur approchée de $\sqrt{{2}}$ par cette méthode. Il faut d'abord trouver une fonction f dont $\sqrt{{2}}$ est un point fixe, par exemple

f (x) = $${\frac{{x+2}}{{x+1}}}$$

On vérifie que f ($\sqrt{{2}}$) = $\sqrt{{2}}$), puis que f' = - 1/(x + 2)² donc f décroit. On va voir si les hypothèses du théorème du point fixe s'appliquent sur par exemple [1, 2]. Comme f est décroissante f ([1, 2]) = [f (2), f (1)] = [4/3, 3/2] qui est bien inclus dans [1, 2]. De plus f' est comprise entre -1/(1 + 1)² = - 1/4 et -1/(2 + 1)² = - 1/9 donc | f'| < 1/4, f est contractante de rapport 1/4. On peut donc itérer la suite à partir par exemple de u₀ = 1 et on va converger vers $\sqrt{{2}}$ (en s'en rapprochant à chaque cran d'un rapport inférieur à 1/4).

Considérons l'équation en x

x - e sin(x) = t,    e $$\in$$ [0, 1[

c'est l'équation du temps utilisée en astronomie pour trouver la position d'une planète sur son orbite elliptique (e étant l'excentricité de l'ellipse). Il n'y a pas de formule exacte permettant de calculer x en fonction de t. Si on a une valeur numérique pour t, on peut trouver une valeur numérique approchée de x par la méthode du point fixe, en réécrivant l'équation sous la forme

f (x) = t + e sin(x) = x

On observe que f envoie $\mathbb {R}$ dans [t - e, t + e] donc on peut prendre I = [t - e, t + e], de plus | f'| $\leq$ e < 1, f est contractante de rapport e $\in$ [0, 1[, le théorème s'applique, il suffit de prendre une valeur initiale dans [t - e, t + e] et d'itérer la suite jusqu'à obtenir la précision désirée. Par exemple si on veut une valeur approchée de x à 10^-6 près, il suffira que la différence entre deux termes successifs de la suite u_n vérifie

| u_n+1 - u_n| $$\leq$$ 10^-6(1 - e)

on aura alors bien :

| u_n - x| $$\leq$$ $${\frac{{\vert u_{n+1}-u_n\vert}}{{1-e}}}$$ $$\leq$$ 10^-6

Cette méthode n'est pas toujours optimale, car la vitesse de convergence vers la limite l est dite ``linéaire'' (le temps de calcul pour avoir n décimales est proportionnel à n car il faut effectuer un nombre proportionnel à n itérations, chaque itération faisant gagner en précision de l'ordre du rapport k de contractance). Il existe une méthode plus rapide lorsqu'on est proche de la racine ou lorsque la fonction a des propriétés de convexité, c'est la méthode de Newton.