\documentclass{article}
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\textheight 23cm
\textwidth 17cm 
\oddsidemargin 5 mm
\evensidemargin 5 mm

\begin{document}
% \columnsep 10pt \columnseprule 0pt
Mat249 \hfill TP5/6  \hfill 2006/7

\section{Int\'egration}
{\bf Exercice 1}\\
Calculer une valeur approch\'ee de
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\]
par la m\'ethode des rectangles, du point milieu et des trap\`ezes
en utilisant un pas de $1/10$ et de $1/100$ (vous pouvez la fonction
\verb|plotarea| ou utiliser le
tableur ou écrire un programme effectuant ce calcul avec comme arguments
la fonction, la borne inférieure, la borne supérieure et le nombre
de subdivision). Observez numériquement
la différence entre les valeurs obtenues et la valeur exacte de 
l'int\'egrale.

{\bf Exercice 2} \\
Calculer le polyn\^ome interpolateur $P$ de Lagrange de $f(x)=\frac{1}{1+x}$
aux points d'abscisse $\frac{j}{4}$ pour $j$ variant de 0 \`a 4.
Donner un majorant de la diff\'erence entre $P$ et $f$ en un point
$x \in [0,1]$. Repr\'esenter graphiquement ce majorant.
Calculer une majoration de l'erreur entre l'int\'egrale de $f$
et l'int\'egrale de $P$ sur $[0,1]$.
En d\'eduire un encadrement de $\ln(2)$.

{\bf Exercice 3}\\
On reprend le calcul de $\int_0^1 \frac{dx}{1+x}$ mais en utilisant
un polyn\^ome interpolateur de degré 4 sur $N$ subdivisions de $[0,1]$
(de pas $h=1/N$). Déterminer une valeur de $N$ telle que la valeur
approchée de l'intégrale ainsi calculée soit proche à $10^{-8}$ près
de $\ln(2)$. En d\'eduire une valeur approch\'ee \`a $10^{-8}$ de
$\ln(2)$. \\
M\^eme question pour $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$
et $\pi/4$ (pour majorer la dérivée $n$-ième de $\frac{1}{1+x^2}$,
on pourra utiliser une décomposition en éléments simples sur $\C$).


\section{Alg\`ebre lin\'eaire}

\subsection{Instructions}
\subsubsection{Xcas} \label{sec:xcas}
\begin{enumerate}
\item {\tt charpoly(A,x)}: polyn\^ome caract\'eristique
\item {\tt det(A)}: d\'eterminant d'une matrice $A$,
\item {\tt dotprod(A,B)}: 
produit scalaire des deux vecteurs $A$ et $B$,
\item {\tt eigenvals(A)}~:
valeurs propres de la matrice $A$. Si vous voulez
des valeurs num\'eriques (et si $A$ est \`a valeurs num\'eriques) 
\'ecrivez au moins un des coefficients de $A$ comme nombre r\'eel ou
complexe.
\item {\tt eigenvects(A)}: vecteurs propres de $A$,
\item {\tt ker(A)}: noyau de $A$
\item {\tt linsolve(A,b)}: 
r\'esout l'\'equation lin\'eaire $Ax=b$,
\item {\tt ludecomp(A)} ou {\tt lu(A)}: donne la d\'ecomposition $LU$ de $A$.
\item {\tt f:=(j,k)->(1/(j+k+1));matrix(2,2,f)}:
pour cr\'eer une matrice dont le coefficient ligne $j$, colonne $k$
est $f(j,k)$ (les indices d\'ebutent \`a 0 en mode Xcas).
\item {\tt idn(n)} cr\'ee la matrice identit\'e de taille $n$
\item \verb|nrows(A), ncols(A)|: nombre de lignes/colonnes d'une matrice,
\item \verb|normalize(v)|: renvoie $v/||v||$
\item \verb|trace(A)|: trace de $A$
\item {\tt transpose(A)}: transpos\'ee de $A$
\end{enumerate}


\subsubsection{Commandes de la HP49} \label{sec:hp49}
Pour entrer une matrices $A$ vous pouvez utiliser le MatrixWriter 
(\verb|MTRW| sur le clavier) ou directement le clavier
(par exemple \verb|[[1,2],[3,4]]|). On peut aussi cr\'eer une matrice
dont l'\'el\'ement $m_{i,j}$ est donn\'e par une fonction
$(i,j) \rightarrow m_{i,j}$ \`a l'aide de \verb|LC2M|. Quelques commandes~:
\begin{itemize}
\item \verb|EGV|, \verb|EGVL|~: vecteurs propres et valeurs propres
d'une matrice
\item \verb|IDN(n)|, (resp. \verb|RANM(n,m)|)~: crée une matrice identité
(resp. matrice aléatoire)
\item \verb|JORDAN|~: réduction sous forme de Jordan d'une matrice
\item \verb|KER|~: noyau de la matrice
\item \verb|LU|~: factorisation LU d'une matrice (numérique uniquement)
\item \verb|RREF|~: réduction sous forme échelonnée
\end{itemize}

\subsubsection{TI92/89, Casio Classpad} \label{sec:ti}
Pour entrer une matrice, on peut utiliser l'éditeur statistique
ou directement au clavier (par exemple \verb|[[1,2][3,4]]|).
Quelques commandes~:
\begin{itemize}
\item  \verb|egv| (non disponible sur la 92)~: 
valeurs propres/vecteurs propres. Attention, le calcul est num\'erique 
uniquement.
\item \verb|identity(n)| et \verb|randmat(n,m)| pour cr\'eer 
des matrices identit\'e et al\'eatoire
\item \verb|lu|, décomposition LU
\item  \verb|rref| : r\'eduction de Gau\ss\
\item On peut calculer le polynome
caract\'eristique avec \verb|det(A-xI)| ou $I$ d\'esigne la matrice
identit\'e, puis factoriser avec \verb|factor| et calculer les vecteurs
propres \`a la main en r\'esolvant le syst\`eme.
\end{itemize}

%\pagebreak

\subsection{Exercices}

\subsubsection{Méthode du pivot}
\begin{enumerate}
\item Choisissez 5 vecteurs aléatoires exacts dans $\R^3$,
trouvez deux relations linéaires ind\'ependantes 
entre ces 5 vecteurs en calculant
le noyau d'une application linéaire.

\item Déterminez le temps mis par votre logiciel pour résoudre
un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues 
à coefficients aléatoires numériques puis exacts
de taille $n=5,10,20,40$. Commentez.

\item Soit $M$ une matrice carr\'ee aléatoire de taille 3
\`a coefficients entiers, on lui accolle 
à droite la matrice identité de m\^eme taille puis on applique
la fonction de réduction sous forme échelonnée, soit $N$ la partie
droite de la matrice réduite. Calculez {\tt M * N}.
\'Ecrire une fonction {\tt gaussinv} r\'ealisant ce calcul pour
une matrice carr\'ee $M$ quelconque.
\end{enumerate}

\subsubsection{Réduction des endomorphismes.} 
\begin{enumerate}

\item Polyn\^ome caractéristique par interpolation\\
Soit $B$ une matrice carr\'ee al\'eatoire de taille $n=20$.
Calculez $A=B \ ^t B $ puis $\det(A-\lambda I)$ pour $\lambda=0,...,n$
puis le polyn\^ome caract\'eristique de $B$ par interpolation
de Lagrange. 
Factorisez le polyn\^ome en mode approch\'e, puis comparez avec les valeurs
propres numériques de $A=B \ ^t B $ (obtenues par la fonction
de calcul de valeurs propres du logiciel).\\
Bonus~: \'Ecrire une fonction qui calcule le polyn\^ome caractéristique
d'une matrice par cette m\'ethode.

\item Polyn\^ome caractéristique par puissances\\
Soit $A$ une matrice carr\'ee al\'eatoire de taille $n=5$
et $v$ un vecteur al\'eatoire de taille 5. 
Calculez la matrice dont les colonnes sont
$v,Av,A^2v,...,A^5v$ puis une base de son noyau. En d\'eduire
le polyn\^ome minimal et le polyn\^ome caract\'eristique de $A$.


\item \'Ecrire un programme mettant en oeuvre la méthode de la
puissance.  Utilisez ce programme pour trouver une valeur approch\'ee 
de la valeur propre de norme maximale par la m\'ethode
de la puissance de $B \ ^t B$ où $B$ est une matrice aléatoire.

\item
En utilisant la méthode des itérations inverses,
trouvez la plus petite valeur propre de la matrice précédente.


\end{enumerate}


\end{document}

\item (bonus)\\
Pour trouver les autres valeurs propres/vecteurs propres,
on \'elimine la valeur propre trouv\'ee en remplaçant
$A$ par $A'=A-\lambda_1 w_1 \ ^t w_1$. Une fois une valeur
propre de $A'$ trouvée, on peut améliorer
la précision en utilisant des itérations inverses sur 
la matrice $A$.
Trouvez toutes les valeurs propres de la matrice~:
\[D= \left(\begin{array}{rrr}
 9 & -1 & 2  \\
 -1 & 5 & -2  \\
 2 & -2 & -7 
\end{array}\right) \]
