\documentclass{article}
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\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
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\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}

\begin{document}
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Mat249 \hfill TP4: Polyn\^omes  \hfill 2007/8


%\section{Exercices}
{\bf Exercice 1} \\
Donner le d\'etail des calculs avec B\'ezout de la d\'ecomposition
en \'el\'ements simples de~:
\[ f(x)=\frac{1}{(x^2-4)(x-1)}\]
en d\'eduire~:
\begin{itemize}
\item une primitive de $f$
\item le coefficient de $x^n$ du d\'eveloppement en s\'eries
enti\`eres de cette fraction en 0.
\end{itemize}

{\bf Exercice 2}\\ 
Factoriser en mode réel et complexe 
le polyn\^ome
$P(x)=x^6+x^4+x^3+x^2+x+1$. Quels sont les degr\'es des facteurs ?
Même question mais en remplacant $P$ par \verb|evalf(P)|.
En regroupant les racines de $P$, retrouver la factorisation exacte
de $P$ dans $\R$ et $\C$.

{\bf Exercice 3}\\
Trouver une racine du polyn\^ome $P$ ci-dessus en appliquant
la m\'ethode de Newton, \'eliminer cette racine par division
euclidienne, chercher une autre racine, etc. jusqu'\`a obtenir
la factorisation compl\`ete de $P$. Comparer la valeur de $P$
et celle obtenue en d\'eveloppant le produit des $X-$racine.\\
Pour les fili\`eres infos et info-maths~:
\'Ecrire une fonction qui cherche une racine d'un polyn\^ome
en utilisant la m\'ethode de Newton. Ajouter un test pour
\^etre sur que la racine du polyn\^ome est simple.
Tester avec le polyn\^ome $P$ ci-dessus.
Bonus~: modifier la fonction ci-dessus pour trouver toutes
les racines (lorsqu'on trouve une racine, on divise le polyn\^ome 
par $X-\alpha$, et on relance la recherche de racines sur le
polyn\^ome obtenu).

{\bf Exercice 4}\\
\'Ecrire une fonction qui d\'etermine les racines rationnelles 
d'un polyn\^ome $P$ \`a coefficients entiers (elles sont
de la forme $p/q$ o\`u $q$ divise le coefficient
dominant de $P$ et $\pm p$ divise son coefficient de plus bas degr\'e).
Tester avec le polyn\^ome $P=12x^5+10x^4-6x^3+11x^2-x-6$.

{\bf Exercice 5}\\
En utilisant les suites de Sturm, d\'eterminer le nombre
de racines du polyn\^ome $P$ ci-dessus sur l'intervalle
$[-3,0]$. M\^eme question sur $\R$ tout entier.

{\bf Exercice 6}\\
Repr\'esenter sur un m\^eme graphe $\cos(x)$ et
son polyn\^ome interpolateur de Lagrange
en utilisant les 7 points d'abscisses équidistantes $\{0,\pi/6,...,\pi\}$.
Donner une majoration de l'erreur entre ce polynome et la fonction
$\cos$ en un réel $x$, représenter graphiquement
cette erreur pour $x \in [0,\pi]$. O\`u l'erreur est-elle
la plus grande~?

{\bf Exercice suppl\'ementaire} \\
\'Ecrire un programme calculant les coefficients du
polyn\^ome d'interpolation de Lagrange par l'algorithme des
diff\'erences divis\'ees.


\end{document}

{\bf Exercice 7}\\
En utilisant le r\'esultant, \'eliminer successivement $a$ et $b$ 
du syst\`eme~:
\[
\left\{\begin{array}{rcl}
a^{3}+b^{3}+c^{3} & = & 8 \\
a^{2}+b^{2}+c^{2} & = & 6 \\
a+b+2c & = & 4
\end{array}\right.
\]
puis trouver les racines du polyn\^ome en $c$, puis calculer les
valeurs de $b$ puis $a$ correspondantes (en cherchant les racines
du PGCD des 2 puis 3 \'equations en $b$ puis $a$ apr\`es remplacement
de $c$ puis $b$ par leurs valeurs).


\section{Logiciels.}
\subsection{xcasnew}
\begin{itemize}
\item \verb|coeff| coefficient(s) d'un polyn\^ome, 
\item \verb|coeffs| liste des coefficients d'un polyn\^ome
(\`a d\'evelopper auparavant, en mupad on utilise \verb|coeff|)
\item \verb|partfrac| ou
\verb|convert(.,parfrac)|~: d\'ecomposition en \'el\'ements simples
\item \verb|degree| degré (\verb|ldegree|: valuation)
\item \verb|divide| division euclidienne, \verb|quo|, \verb|rem| 
quotient et reste euclidien
\item \verb|factor|: factorisation,
\verb|convert(.,sqrfree)|~:
d\'ecomposition en facteurs n'ayant pas de racine multiples
\item \verb|gcd| PGCD, \verb|gcdex| identit\'e de B\'ezout, 
\item \verb|interp|~: interpolation de Lagrange
\item \verb|lcoeff|~: coefficient dominant d'un polyn\^ome
(\verb|tcoeff| pour le plus bas degr\'e)
\item \verb|resultant|~: 
calcule le r\'esultant de 2 polyn\^omes par rapport \`a une variable.
\item \verb|sturm| ou/et \verb|sturmseq|~: suites de Sturm
\end{itemize}

\subsection{HP49}
Les commandes arithm\'etiques sont dans le menu \verb|ARIT|, les
principales sont: \verb|DIV2| (division euclidienne), \verb|GCD|
(PGCD), \verb|EGCD| (B\'ezout), 
\verb|FACTOR| factorisation, \verb|FACTORS| (liste
des facteurs alternant avec leur multiplicit\'e), \verb|DIVIS|
(liste des diviseurs),
\verb|PARTFRAC| (d\'ecomposition en \'el\'ements simples),
\verb|HORNER| (\'evaluation d'un polyn\^ome par la m\'ethode
de Horner), \verb|LAGRANGE| (interpolation de Lagrange),
\verb|STURM| et \verb|STURMAB| (suites de Sturm). Utilisez
l'aide en ligne pour une courte description et un exemple
(touche TOOL, NXT puis HELP du bandeau).

\subsection{TI89/92}
Les instructions d'arithm\'etique fournies sont moins nombreuses
et il faut souvent les programmer soi-meme. Les TI89, 92 et la
Casio Classpad disposent d'une instruction \verb|gcd| pour calculer
le pgcd mais d'entiers uniquement, \verb|factor| permet de factoriser
un entier ou un polyn\^ome. \verb|peval| permet d'\'evaluer un
polyn\^ome en un point.

Sur les TI89 et 92 on peut calculer le pgcd de 2 polynomes $p$
et $q$ par~: \verb|p/getnum(p/q)| (\verb|getnum(p/q)| renvoie le num\'erateur
de la fraction $p/q$ simplifi\'ee). Pour la division euclidienne
des polyn\^omes, on peut se servir de l'instruction \verb|propfrac|
(\`a condition que $p$ et $q$ soient premiers entre eux).

Pour disposer d'autres fonctions sur les polyn\^omes, 
on peut installer le programme\\
\verb|http://www.ticalc.org/pub/89/basic/math/mathtools.zip|.
