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\begin{document}
{\Large \noindent Mat249 \hfill TP3: Séries entières  \hfill 2007/8}

\vspace{5mm}

{\bf Exercice 1.} 
\begin{enumerate}
\item Rappeler le développement de Taylor $T_{2n}(x)$ 
  au voisinage de $x=0$ de $f(x)=\cos(x)$ à l'ordre $2n$.
\item Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions $f$ et
  $T_2, T_4, T_6, T_8$
\item 
  Graphiquement on voit que $T_8(x)$ approche $\cos(x)$ : sur quel intervalle 
  cette approximation vous para\^{\i}t-elle acceptable ?
\item
  Donner une majoration du reste $R_{2n}(x)$ du développement
  de Taylor de $f$ à l'ordre $2n$, où $f(x)=T_{2n}(x)+R_{2n}(x)$.
\item
  On prend $T_8(x)$ comme valeur approchée de $\cos(x)$ pour $x \in [-1,1]$. 

  Donner une majoration indépendante de $x$ de l'erreur commise.

  (A titre d'illustration, tracer la différence $T_8(x)-\cos(x)$.)
\item
  En déduire un encadrement de $\cos(1)$.
\end{enumerate}

\vspace{3mm}

{\bf Exercice 2.} 
On veut approcher $\sin(x)$ à \verb|1e-6| près 
en utilisant des développements en séries entières.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus petit $k$ tel que:
  \[ T_{2k+1}(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^{j}\frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!} \]
  réalise cette approximation sur $[0,\pi/4]$.
\item
  Écrire une fonction qui calcule une valeur approchée à 
  \verb|1e-6| de $\sin(x)$ sur $[-100,100]$ en justifiant et en effectuant les
  étapes suivantes:
  \begin{itemize}
  \item on retire un multiple entier de $\pi$ (obtenu par arrondi de $x/\pi$)
    pour se ramener à l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2]$ (on discutera sur
    l'erreur commise)
  \item si $x$ est négatif, on remplace $x$ par $-x$ (que devient $\sin(x)$?)
  \item lorsque $x \in [0,\pi/4]$, on utilise le 
    développement en séries ci-dessus.
  \item lorsque $x \in [\pi/4,\pi/2]$, on se ramène au développement
    de l'exercice précédent en appliquant la formule $\sin(x)=\cos(\pi/2-x)$.
  \end{itemize}
\item 
  Afin de tester votre fonction $f$ et d'attraper d'éventuelles erreurs grossières,
  faites afficher le graphe de $f$, disons sur l'intervalle $[-10,10]$, puis le graphe 
  de la différence $f-\sin$ où $\sin$ est la fonction déjà implémentée dans Xcas.
\end{enumerate}

\vspace{3mm}

{\bf Exercice 3} 
\begin{enumerate}
\item Pour $x>0$ exprimer $\arctan(-x)$ en fonction de $\arctan(x)$. 
  Calculer la dérivée de $\arctan(x)+\arctan(1/x)$, 
  en déduire $\arctan(1/x)$ en fonction de $\arctan(x)$ pour $x>0$.
  Montrer que le calcul de $\arctan(x)$ sur $\R$
  peut se ramener au calcul de $\arctan(x)$ sur $[0,1]$.
\item
  Rappeler le développement en séries entières de $\arctan(x)$ en $x=0$,
  et son rayon de convergence.  Soit $\alpha \in [0,1]$, montrer que
  \[ \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} - \frac{\alpha^7}{7}
  \leq \arctan(\alpha) \leq \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} 
  \]
  en déduire que la méthode de Newton appliquée à 
  l'équation $\tan(x)-\alpha=0$ avec comme valeur initiale
  $\alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5}$ 
  est une suite décroissante qui converge vers $\arctan(\alpha)$.
\item
  Déterminez par cette méthode une valeur approchée 
  à \verb|1e-8| près de $\pi/4= \arctan(1)$.
\item
  On pourrait calculer $\pi/4$ avec la
  même précision en utilisant le développement en séries
  de la formule de Machin
  \[ \frac{\pi}{4} = 4 \arctan(\frac{1}{5}) - \arctan(\frac{1}{239}) \]
  Combien de termes faudrait-il calculer dans le développement des
  deux arctangentes?
\end{enumerate}


{\bf Exercice 4} 
\begin{enumerate}
\item
  Écrire le développement en séries entières  au voisinage de $x=0$ de:
  \[ g(x)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}-1}{x} \]
\item
  On veut calculer une valeur approchée de
  \[ I=\int_0^1 g(x) \ dx \]
  En utilisant le développement de $g$,
  écrire $I$ sous la forme d'une série $\sum_{j=0}^\infty v_j$.
  % de terme général $v_j$.
\item
  Soit $R_n=\sum_{j=n+1}^\infty v_j$ le reste de cette série.
  Donner une majoration de $|R_n|$.
\item En déduire un encadrement
  de $I$ faisant intervenir $\sum_{j=0}^n v_j$. 
  Calculer explicitement cet encadrement lorsque $n=10$.
\end{enumerate}

\vspace{3mm}

{\bf Exercice 5} \\
Cet exercice reprend les calculs de $\ln(x)$ et $\exp(x)$ discutés en cours
dans l'objectif de les illustrer par vos propres expériences sur ordinateur.
\begin{enumerate}
\item
  La série alternée $s_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k}$ 
  tend vers $\ln 2$, et les termes consécutifs donnent 
  des encadrements $s_{2m+1} < \ln 2 < s_{2m}$.
  Jusqu'à quel rang faut-il aller afin de garantir un encadrement 
  à $10^{-5}$ près?  Calculer cette approximation de $\ln 2$ 
  avec Xcas.  Même question pour $10^{-10}$.  Qu'observez-vous?

  On considère ensuite la série $\ln 2 = \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{(2k+1) 3^{2k+1}}$.
  Jusqu'à quel rang faut-il aller afin de garantir une approximation 
  à $10^{-5}$ près?  Calculer cette approximation de $\ln 2$ avec Xcas.
  Même question pour $10^{-10}$.  Conclusion?

\item
  On se propose d'approcher $\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$
  pour $x = -32$.  Avant de se lancer dans ce calcul, estimer l'ordre de grandeur 
  de $\exp(-32)$ puis l'ordre de grandeur des plus grands termes dans la somme.

  Jusqu'à quel rang faut-il aller afin de garantir une approximation à $10^{-20}$ près?  
  Calculer cette approximation de $\exp(-32)$ avec Xcas, d'abord
  en utilisant la précision standard de 53 bits, soit 16 décimales.
  Quel problème observez-vous?  On pourra augmenter la précision 
  des nombres flottants utilisés: quelle précision est nécessaire, 
  environ, pour raisonnablement effectuer ce calcul?

  Est-ce que ces problèmes se posent pour l'approximation de $a_0 = \exp(-1)$?
  Comment en déduire une approximation de $\exp(-32)$ avec un minimum d'opérations?
  % Une fois cette valeur calculée, on peut en déduire
  % $a_1 = a_0^2$, $a_2 = a_1^2$, \dots, $a_5 = a_4^2$
  % avec seulement $5$ multiplications et avec une bonne précision.
\end{enumerate}

\end{document}