TP de mathématiques.

Licence 2-Mat 249

2011/12

Table of Contents

• 1  Introduction
• 2  Déroulement d'une session.
  • 2.1  Lancement de Xcas
  • 2.2  Aide en ligne
• 3  Les objets du calcul formel
  • 3.1  Les nombres
  • 3.2  Les caractères et les chaînes
  • 3.3  Les variables
  • 3.4  Les expressions
    • 3.4.1  Définition
    • 3.4.2  Développer et simplifier une expression
  • 3.5  Les fonctions
    • 3.5.1  Fonctions usuelles
    • 3.5.2  Fonctions algébriques définies par l'utilisateur
    • 3.5.3  Distinguer expression et fonction
    • 3.5.4  Opérations sur les fonctions
  • 3.6  Listes, séquences, ensembles
  • 3.7  Algèbre et analyse
  • 3.8  Instructions graphiques
  • 3.9  Temps de calcul, place mémoire
• 4  Programmation
  • 4.1  Tests
  • 4.2  Boucles
  • 4.3  Fonctions (non algébriques)
  • 4.4  Exécuter en pas à pas et mettre au point
• 5  TP de prise en main
• 6  TP1: Suites récurrentes
• 7  TP2: Types. Calcul exact et approché. Algorithmes de bases
• 8  TP3: Séries entières
• 9  TP4: Polynômes
• 10  TP5: Intégration
• 11  TP6: Algèbre linéaire
  • 11.1  Méthode du pivot
  • 11.2  Réduction des endomorphismes.

1  Introduction

• Sur ordinateur :
  Les logiciels les plus utilisés aujourd'hui sont probablement Maple et Mathematica. Ce sont des logiciels commerciaux, vous devez payer une licence d'utilisation si vous les utilisez chez vous. Il existe d'autres logiciels de calcul formel, ceux disponibles à l'agrégation de mathématiques sont Axiom (libre), Gap (libre, spécialisé), Giac/Xcas (libre), Mupad (commercial), Maxima (libre), Pari-GP (libre, spécialisé), Sage (libre).
  
  Nous utiliserons Xcas qui est libre (donc gratuit) et de plus compatible avec Maple (pour ceux ayant déjà utilisé Maple, vous pourrez la plupart du temps utiliser les mêmes instructions et le même langage de programmation). Vous pouvez le télécharger à l'URL
  www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html
• Sur calculatrices
  Les modèles suivants sont capables de faire du calcul formel
  Casio Graph 100 (incomplet), Casio Classpad, HP 40G(S), HP49G(+), HP50G, TI89 (Titanium), TI 92(+), TI Voyage 200, TI Nspire CAS.

2  Déroulement d'une session.

2.1  Lancement de Xcas

• Sous Windows en installation locale, on clique sur l'icone xcasfr du bureau.
• Sous Linux avec Gnome, on clique sur Xcas du menu Education. Sinon, ouvrir un terminal et taper xcas &.
• sur Mac, cliquez sur Xcas dans le menu Applications du Finder.
• en salle B118 :
  1. Si votre PC est éteint, commencez par appuyer sur les boutons ''power'' de l'écran et de la tour et patientez une bonne minute.
     
     
  2. Si vous ne voyez pas un écran en mode graphique, tapez simultanément sur les touches Control, Alt et F7. Vous devez maintenant voir une fenêtre de login. Entrez votre login et votre mot de passe.
     
     
  3. Si vous n'avez pas de fenêtre de commandes (Konsole ou xterm), essayez d'en faire apparaitre une :
     • en cliquant sur une icône représentant un écran (vers le milieu des icônes en bas)
     • en cliquant avec le bouton droit, sélectionnez ``Exécuter une commande'' taper alors xterm.
     • en cherchant dans les menus une application Terminal (dans Applications ou Système, Shells ou Accessoires...)
     Dans la suite, lorsqu'on demande de taper une commande, il faut saisir la commande puis valider en tapant sur la touche Entree (ou Enter sur un clavier qwerty).
     
     
  4. Tapez la commande
     xcas &

• · une barre de menu gris cliquable : Fich, Edit, Cfg, Aide, CAS, Tableur, Graphe, Geo,...
• · un onglet indiquant le nom de la session, ou Unnamed si la session n'a pas encore été sauvegardée,
• · une zone de gestion de la session avec un bouton ? pour ouvrir l'index de l'aide un bouton Save pour sauvegarder la session, un bouton Config: exact real ... affichant la configuration et permettant de la modifier, un bouton STOP permettant d'interrompre un calcul trop long, un bouton Kbd pour faire apparaitre un clavier ressemblant à celui d'une calculatrice, qui peut faciliter vos saisies, et un bouton x pour fermer la session
• · une zone rectangulaire blanche numérotée 1 (première ligne de commande) dans laquelle vous pouvez taper votre première commande (cliquez si nécessaire pour faire apparaitre le curseur dans cette ligne de commande) : 1+1, suivi de la touche "Entrée" ("Enter" ou "Return" selon les claviers). Le résultat apparaît au-dessous, et une nouvelle ligne de commande s'ouvre, numérotée 2.

1/3+1/4
sqrt(2)^5
resoudre(x+3=1,x)
50!

1/3+3/4
sqrt(5)^2
resoudre(2*x+3=0)
500!

• pour effacer une ligne de commande, on clique dans le numéro de niveau à gauche de la ligne de commande, qui apparait alors en surbrillance. On appuie ensuite sur la touche d'effacement. On peut aussi déplacer une ligne de commande avec la souris.
• Le menu Edit vous permet de préparer des sessions plus élaborées qu'une simple succession de commandes. Vous pouvez créer des groupes de lignes de commandes (sections), ajouter des commentaires ou fusionner des niveaux en un seul niveau.
• Le menu Prg contient la plupart des instructions utiles pour programmer.

2.2  Aide en ligne

• soit l'index de l'aide s'ouvre à la commande sélectionnée (par exemple pour les commandes du menu CAS). Cliquez sur le bouton Details pour afficher la page du manuel correspondant à la commande dans votre navigateur.
• soit une boite de dialogue s'ouvre vous permettant de spécifier les arguments de la commande (par exemple pour tracer une courbe depuis le menu Graphic)
• soit la commande est recopiée dans la ligne de commande. Pour connaitre la syntaxe de cette commande, appuyez sur le bouton ? en haut à gauche, ou faites afficher la zone de Messages (en utilisant le menu Cfg,). Vous pouvez aussi configurer Xcas (menu Cfg puis Configuration generale puis cocher la case Aide HTML automatique) pour que la page correspondante du manuel s'ouvre automatiquement dans votre navigateur.

3  Les objets du calcul formel

3.1  Les nombres

sqrt(2)
evalf(sqrt(2))
sqrt(2)-evalf(sqrt(2))
exact(evalf(sqrt(2)))*10^9
exact(evalf(sqrt(2)*10^9))

evalf(sqrt(2),50)
evalf(pi,100)

Digits:=50
evalf(pi)
evalf(exp(pi*sqrt(163)))

(1+2*i)^2
(1+2*i)/(1-2*i)
e^(i*pi/3)

1/0; (1/0)^2; -(1/0)^2 

3.2  Les caractères et les chaînes

s:="azertyuiop"
size(s)
s[0]+s[3]+s[size(s)-1]
concat(s[0],concat(s[3],s[size(s)-1]))
head(s)
tail(s)
mid(s,3,2)
l:=asc(s)
ss:=char(l)
string(123)
expr(123)
expr(0123)

3.3  Les variables

• · le signe := qui désigne l'affectation
• · le signe == qui désigne une égalité booléenne : c'est une opération binaire qui retourne 1 ou 0 (1 pour true qui veut dire Vrai et 0 pour false qui veut dire Faux)
• · le signe = utilisé pour définir une équation.

a==b
a:=b
a==b
solve(a=b,a)
solve(2*a=b+1,a)

sqrt(a^2)
assume(a<0)
sqrt(a^2)
assume(n,integer)
sin(n*pi)

subst(a^2+1,a=1)
subst(a^2+1,a=sqrt(b-1))
a^2+1

3.4  Les expressions

3.4.1  Définition

(a-2)*x^2+a*x+1
a:=2
(a-2)*x^2+a*x+1

• · les opérations sur les entiers et sur les fractions, y compris la mise sous forme irréductible
• · les simplifications triviales comme x+0=x, x-x=0, x¹=x...
• · quelques formes trigonométriques : cos(-x)=cos(x), cos(p/4)=2/2, tan(p/4)=1...

3.4.2  Développer et simplifier une expression

• · expand : développe une expression en tenant compte uniquement de la distributivité de la multiplication sur l'addition et du développement des puissances entières.
• · normal et ratnormal : d'un bon rapport temps d'exécution-simplification, elles écrivent une fraction rationnelle (rapport de deux polynômes) sous forme de fraction irréductible développée; normal tient compte des nombres algébriques (par exemple comme sqrt(2)) mais pas ratnormal. Les deux ne tiennent pas compte des relations entre fonctions transcendantes (par exemple comme sin et cos).
• · factor : un peu plus lente que les précédentes, elle écrit une fraction sous forme irréductible factorisée.
• · simplify : elle essaie de se ramener à des variables algébriquement indépendantes avant d'appliquer normal. Ceci est plus coûteux en temps et "aveugle" (on ne contrôle pas les réécritures intermédiaires). Les simplifications faisant intervenir des extensions algébriques (par exemple des racines carrées) nécessitent parfois deux appels et/ou des hypothèses (assume) pour enlever des valeurs absolues avant d'obtenir la simplification souhaitée.
• · tsimplify essaie de se ramener à des variables algébriquement indépendantes mais sans appliquer normal ensuite.

b:=sqrt(1-a^2)/sqrt(1-a)
ratnormal(b)
normal(b)
tsimplify(b)
simplify(b)
simplify(simplify(b))
assume(a<1)
simplify(b)   
simplify(simplify(b))

convert(exp(i*x),sincos)
convert(1/(x^4-1),partfrac)
convert(series(sin(x),x=0,6),polynom)

3.5  Les fonctions

3.5.1  Fonctions usuelles

3.5.2  Fonctions algébriques définies par l'utilisateur

f(x):= x^2-1
f:=x->x^2-1
f:=unapply(x^2-1,x)
f(2); f(a^2)

3.5.3  Distinguer expression et fonction

E:=x^2-1
diff(E)
f:=unapply(E,x)
diff(f(x))
f1:=function_diff(f)

3.5.4  Opérations sur les fonctions

f:=x->x^2-1
f1:=f@sin
f2:=f@f
f3:=f@@3
f1(a)
f2(a)
f3(a)

3.6  Listes, séquences, ensembles

• · les listes (entre crochets)
• · les séquences (entre parenthèses)
• · les ensembles (entre pourcentage-accolades)

liste:=[1,2,4,2]
sequence:=(1,2,4,2)
ensemble:=%{1,2,4,2%}

se:=(1,2,4,2)
li:=[se]
op(li)
nop(se)
nops(se)
%{se%}
size([se])
size(%{se%})

1$5
k^2 $ (k=-2..2)
seq(k^2,k=-2..2)
seq(k^2,k,-2..2)
[k^2$(k=-2..2)]
seq(k^2,k,-2,2)
seq(k^2,k,-2,2,2)
makelist(x->x^2,-2,2)
seq(k^2,k,-2,2,2)
makelist(x->x^2,-2,2,2)

se:=NULL; se:=se,k^2$(k=-2..2); se:=se,1
li:=[1,2]; (li:=append(li,k^2))$(k=-2..2)
li[0],li[1],li[2]

3.7  Algèbre et analyse

3.8  Instructions graphiques

3.9  Temps de calcul, place mémoire

4  Programmation

4.1  Tests

4.2  Boucles

• Boucle définie
  for(init;condition;incrementation){ instructions }
for ... from ... to ... do ... od
  Exemple, calcul de 10!
  f:=1; for (j:=1;j<=10;j++){ f:=f*j; }
f:=1; for j from 1 to 10 do f:=f*j; od;
  Attention, vous ne pouvez pas utiliser i comme indice de boucle, car i est prédéfini (comme -1)
• Boucle indéfinie
  while (...) { ... }
  Exemple, algorithme d'Euclide
  while (b!=0){ r:=irem(a,b); a:=b; b:=r;}

4.3  Fonctions (non algébriques)

pgcd(a,b):={
  local r;
  while (b!=0){ 
    r:=irem(a,b);
    a:=b;
    b:=r;
  }
  return a;
}

4.4  Exécuter en pas à pas et mettre au point

carres(n):={
  local j,k;
  k:=0;
  for (j:=1;j<n+1;j++) {
    k:=k+j^2;
  }
  return k;
}:;

5  TP de prise en main

1. Écrire le polynôme (x+3)⁷ × (x-5)⁶ selon les puissances décroissantes de x.
   
   
2. Simplifier les expressions suivantes:

   3+22,

   1+2 1+22

   ,    eip/6,    4atan(

   1 5

   )-atan(

   1 239

   )

   
   
   
3. Factoriser :
   x⁸-3x⁷-25x⁶+99x⁵+60x⁴-756x³+1328x²-960x+256
   x⁶-2x³+1,    (-y+x)z²-xy²+x²y
   
   
   
4. Calculez les intégrales et simplifiez le résultat:

   ó õ

   1 ex-1

   dx,

   ó õ

   1 xln(x)

   ln(ln

   (x)) dx,

   ó õ

   ex2 dx,

   ó õxsin(x)ex dx

   Vérifiez en dérivant les expressions obtenues.
   
   
5. Déterminer la valeur de:

   ó õ

   2 1

   1 (1+x2)3

   ,

   ó õ

   2 1

   1 x3+1

   dx

   
   
   
6. Calculer les sommes suivantes

   N å k=1

   k,

   N å k=1

   k2,

   ¥ å k=1

   1 k2

   
   
   
7. Développer sin(3x), linéariser l'expression obtenue et vérifier qu'on retrouve l'expression initiale.
   
   
8. Calculer le développement de Taylor en x=0 à l'ordre 4 de:

   ln(1+x+x2),

   exp(sin(x))-1 x+x2

   ,    1+ex,

   ln(1+x) exp(x)-sin(x)

   
   
   
9. Trouver les entiers n tels que le reste de la division euclidienne de 123 n par 256 soit 17.
   
   
10. Déterminer la liste des diviseurs de 45768.
    Factoriser 100!
    
    
11. Résoudre le système linéaire:

    ì í î

    x + y + az = 1 x + a y + z = 2 ax + y + z = 3

    
    
    
12. Déterminer l'inverse de la matrice :

    A=

    æ ç ç ç è

    1 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 1

    ö ÷ ÷ ÷ ø

6  TP1: Suites récurrentes

1. En utilisant le tableur de Xcas (menu Tableur), représenter les premiers termes de la suite u_n+1=2+u_n avec u₀=0.1 ou u₀=1/10 (menu Math->suite récurrente du tableur).
2. Calculer ensuite en mode exact et approché les 10 premiers termes de la suite : vous pouvez définir la cellule A1 par =sqrt(2+A0), puis déplacer la souris vers la partie situé en bas à droite de la cellule A1 (le curseur souris change de forme), puis appuyer sur le bouton de la souris et relâcher à la fin de la zone où vous voulez copier la formule définissant A1.
3. Quels sont les avantages et inconvénients d'utiliser une valeur initiale exacte ou approchée?

• |u_n+1-u_n|<
• le nombre d'itérations dépasse N.

1. Donner une suite itérative obtenue par la méthode de Newton convergeant vers 7.
2. Montrer que la fonction f R₊ ® R₊ définie par

   f(x)=

   7x+7 x+7

   admet 7 pour point fixe. Trouver un intervalle I contenant 7 sur lequel les hypothèses du théorème du point fixe sont satisfaites et expliciter une constante de contractance k.
3. Comparer au tableur la vitesse de convergence des 10 premiers termes des deux suites (calculez les avec par exemple 100 chiffres significatifs et faites les différence entre 2 termes successifs).
4. En utilisant la fonction iter, trouver un encadrement de 7 à 1e-6 près par les deux méthodes (on pourra prendre une valeur initiale approchée puis entière exacte pour avoir une valeur numérique approchée puis une fraction). Combien d'itérations sont nécessaires?

7  TP2: Types. Calcul exact et approché. Algorithmes de bases

1. Utiliser la commande type pour déterminer la représentation utilisée par le logiciel pour représenter une fraction, un nombre complexe, un flottant en précision machine, un flottant avec 100 décimales, la variable x, l'expression sin(x)+2, la fonction x->sin(x), une liste, une séquence, un vecteur, une matrice. Essayez d'accéder aux parties de l'objet pour les objets composites (en utilisant op par exemple).
   
   
2. Déterminer le plus petit entier n tel que (1.0+2^-n)-1.0 renvoie 0 sur PC avec la précision par défaut puis avec Digits:=30 (on pourra au préalable mettre epsilon à 0 dans la configuration du CAS). Même question sur votre calculatrice si vous en avez une.
   
   
3. Calculer la valeur de a:=exp(p 163) avec 30 chiffres significatifs, puis sa partie fractionnaire. Proposez une commande permettant de décider si a est un entier.
   
   
4. Déterminer la valeur et le signe de la fraction rationnelle

   F(x,y)=

   1335 4

   y6 + x2 (11x2 y2-y6 -121y4-2) +

   11 2

   y8 +

   x 2y

   en x=77617 et y=33096 en faisant deux calculs, l'un en mode approché (F(77617.0,33096.0)) et l'autre en mode exact. Que pensez-vous de ces résultats? Combien de chiffres significatifs faut-il pour obtenir un résultat raisonnable en mode approché?
   
   
5. À quelle vitesse votre logiciel multiplie-t-il des grands entiers (en fonction du nombre de chiffres)? On pourra tester le temps de calcul t(n) (time(a*(a+1))[0]) du produit de a × (a+1) pour a=10ⁿ avec n=10000,20000,40000. Comment évolue le temps de calcul lorsque le nombre de décimales double ?
   
   
6. Comparer le temps de calcul de aⁿ (mod m ) par la fonction powmod et la méthode ``prendre le reste modulo m après avoir calculé aⁿ'' (vous pouvez aussi programmer la méthode rapide et la méthode lente, cf. par exemple l'article exponentation rapide de wikipedia).
   
   
7. Programmation de la méthode de Horner
   Il s'agit d'évaluer efficacement un polynôme
   P(X) = a_n Xⁿ + ... + a₀
   en un point. On pose b₀=P(a ) et on écrit :
   P(X)-b₀=(X-a )Q(X)
   où :
   Q(X) = b_n X^n-1 + ... +b₂ X + b₁
   On calcule alors par ordre décroissant b_n, b_n-1, ..., b₀.
   1. Donner b_n en fonction de a_n puis pour i£ n-1, b_i en fonction de a_i et b_i+1. Indiquez le détail des calculs pour P(X)=X³-2X+5 et une valeur de a entière non nulle.
   2. Écrire un fonction horn effectuant ce calcul: on donnera en arguments le polynôme sous forme de la liste de ces coefficients (dans l'exemple [1,0,-2,5]) et la valeur de a et le programme renverra P(a ). (On pourra aussi renvoyer les coefficients de Q).
   3. En utilisant cette fonction, écrire une fonction qui calcule le développement de Taylor complet d'un polynôme en un point.

8  TP3: Séries entières

1. Rappeler le développement de Taylor T_2n+1(x) au voisinage de x=0 de f(x)=sin(x) à l'ordre 2n.
2. Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions f et T₁, T₃, T₅, T₇
3. Graphiquement on voit que T₇(x) approche sin(x) : sur quel intervalle cette approximation vous paraît-elle acceptable ?
4. Donner une majoration du reste R_2n+1(x) du développement de Taylor de f à l'ordre 2n+1, où f(x)=T_2n+1(x)+R_2n+1(x).
5. On prend T₇(x) comme valeur approchée de sin(x) pour x Î [-1,1].
   
   Donner une majoration indépendante de x de l'erreur commise.
   
   (A titre d'illustration, tracer la différence T₇(x)-sin(x).)
6. En déduire un encadrement de sin(1).

1. Déterminer le plus petit k tel que:

   T2k(x)=

   k å j=0

   (-1)j

   x2j (2j)!

   réalise cette approximation sur [0,p/4].
2. Écrire une fonction qui calcule une valeur approchée à 1e-6 de cos(x) sur [-100,100] en justifiant et en effectuant les étapes suivantes:
   • on retire un multiple entier de p (obtenu par arrondi de x/p) pour se ramener à l'intervalle [-p/2,p/2] (on discutera sur l'erreur commise)
   • si x est négatif, on remplace x par -x (que devient cos(x)?)
   • lorsque x Î [0,p/4], on utilise le développement en séries ci-dessus.
   • lorsque x Î [p/4,p/2], on se ramène au développement de l'exercice précédent en appliquant la formule sin(x)=cos(p/2-x).
3. Afin de tester votre fonction f et éviter d'éventuelles erreurs grossières, faites afficher le graphe de f, disons sur l'intervalle [-10,10], puis le graphe de la différence f-cos où cos est la fonction déjà implémentée dans Xcas.

1. Pour x>0 exprimer arctan(-x) en fonction de arctan(x). Calculer la dérivée de arctan(x)+arctan(1/x), en déduire arctan(1/x) en fonction de arctan(x) pour x>0. Montrer que le calcul de arctan(x) sur R peut se ramener au calcul de arctan(x) sur [0,1].
2. Rappeler le développement en séries entières de arctan(x) en x=0, et son rayon de convergence. Soit a Î [0,1], montrer que

   a-

   a3 3

   +

   a5 5

   -

   a7 7

   £ arctan(a) £ a-

   a3 3

   +

   a5 5

   en déduire que la méthode de Newton appliquée à l'équation tan(x)-a=0 avec comme valeur initiale a-a³/3+a⁵/5 est une suite décroissante qui converge vers arctan(a).
3. Déterminez par cette méthode une valeur approchée à 1e-8 près de p/4= arctan(1).
4. On pourrait calculer p/4 avec la même précision en utilisant le développement en séries de la formule de Machin

   p 4

   = 4 arctan(

   1 5

   ) - arctan(

   1 239

   )

   Combien de termes faudrait-il calculer dans le développement des deux arctangentes?

1. Écrire le développement en séries entières au voisinage de x=0 de:

   g(x)=

   e-x-1 x

2. On veut calculer une valeur approchée de

   I=

   ó õ

   1 0

   g(x) dx

   En utilisant le développement de g, écrire I sous la forme d'une série å_j=0^¥v_j.
3. Soit R_n=å_j=n+1^¥v_j le reste de cette série. Donner une majoration de |R_n|.
4. En déduire un encadrement de I faisant intervenir å_j=0ⁿ v_j. Calculer explicitement cet encadrement lorsque n=10.

1. La série alternée s_n = å_k=1ⁿ (-1)^k+1 1/k tend vers ln2, et les termes consécutifs donnent des encadrements s_2m+1 < ln2 < s_2m. Jusqu'à quel rang faut-il aller afin de garantir un encadrement à 10^-5 près? Calculer cette approximation de ln2 avec Xcas. Même question pour 10^-10. Qu'observez-vous?
   
   On considère ensuite la série ln2 = å_k=0^¥2/(2k+1) 3^2k+1. Jusqu'à quel rang faut-il aller afin de garantir une approximation à 10^-5 près? Calculer cette approximation de ln2 avec Xcas. Même question pour 10^-10. Conclusion?
   
   
2. On se propose d'approcher exp(x) = å_k=0^¥x^k/k! pour x = -32. Avant de se lancer dans ce calcul, estimer l'ordre de grandeur de exp(-32) puis l'ordre de grandeur des plus grands termes dans la somme.
   
   Jusqu'à quel rang faut-il aller afin de garantir une approximation à 10^-20 près? Calculer cette approximation de exp(-32) avec Xcas, d'abord en utilisant la précision standard de 53 bits, soit 16 décimales. Quel problème observez-vous? On pourra augmenter la précision des nombres flottants utilisés: quelle précision est nécessaire, environ, pour raisonnablement effectuer ce calcul?
   
   Est-ce que ces problèmes se posent pour l'approximation de a₀ = exp(-1)? Comment en déduire une approximation de exp(-32) avec un minimum d'opérations?

1. Donner un développement en séries entières de la fonction Si, ainsi que le rayon de convergence, et une majoration du reste en fonction de x.
2. Lorsque x>1, on a le problème de la série qui ``commence par diverger'' (comme pour l'exponentielle de l'exercice 5.2), mais sans possibilité de ``réduire l'argument''. Combien de chiffres significatifs perd-on lorsqu'on calcule Si(x) par la série entière ? (En pratique, on calculera la série avec ce nombre de chiffres significatifs en plus).
3. Lorsque x est grand, on préfère utiliser le développement asymptotique de la fonction Si. On admettra que

   ó õ

   +¥ 0

   sin(t) t

   dt =

   p 2

   On calcule alors Si en faisant des intégrations par parties successives, en intégrant la fonction trigonométrique et en dérivant la fraction rationnelle. Les termes tout intégré donnent le développement asymptotique, et l'intégrale le reste. Par exemple, calculer le développement asymptotique à l'ordre 10 et une majoration du reste pour |x| ³ 100. En déduire une valeur approchée de Si(100).
4. En calculant Si(100) à l'aide du développement en séries entières, en déduire une valeur approchée de p.

9  TP4: Polynômes

• une primitive de f
• le coefficient de xⁿ du développement en séries entières de cette fraction en 0.

10  TP5: Intégration

11  TP6: Algèbre linéaire

11.1  Méthode du pivot

1. Choisissez 5 vecteurs aléatoires exacts dans R³, trouvez deux relations linéaires indépendantes entre ces 5 vecteurs en calculant le noyau d'une application linéaire.
   
   
2. Déterminez le temps mis par votre logiciel pour résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues à coefficients aléatoires numériques puis exacts de taille n=5,10,20,40. Commentez.
   
   
3. Soit M une matrice carrée aléatoire de taille 3 à coefficients entiers, on lui accolle à droite la matrice identité de même taille puis on applique la fonction de réduction sous forme échelonnée, soit N la partie droite de la matrice réduite. Calculez M * N. Écrire une fonction gaussinv réalisant ce calcul pour une matrice carrée M quelconque.

11.2  Réduction des endomorphismes.

1. Polynôme caractéristique par interpolation
   Soit B une matrice carrée aléatoire de taille n=20. Calculez A=B ^t B puis det(A-l I) pour l=0,...,n puis le polynôme caractéristique de B par interpolation de Lagrange. Factorisez le polynôme en mode approché, puis comparez avec les valeurs propres numériques de A=B ^t B (obtenues par la fonction de calcul de valeurs propres du logiciel).
   Bonus : Écrire une fonction qui calcule le polynôme caractéristique d'une matrice par cette méthode.
   
   
2. Polynôme caractéristique par puissances
   Soit A une matrice carrée aléatoire de taille n=5 et v un vecteur aléatoire de taille 5. Calculez la matrice dont les colonnes sont v,Av,A²v,...,A⁵v puis une base de son noyau. En déduire le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de A.
   
   
3. Écrire un programme mettant en oeuvre la méthode de la puissance. Utilisez ce programme pour trouver une valeur approchée de la valeur propre de norme maximale par la méthode de la puissance de B ^t B où B est une matrice aléatoire.
   
   
4. En utilisant la méthode des itérations inverses, trouvez la plus petite valeur propre de la matrice précédente.
   
   
5. (bonus)
   Pour trouver les autres valeurs propres/vecteurs propres, on élimine la valeur propre trouvée en remplacant A par A'=A-l₁ w₁ ^t w₁. Une fois une valeur propre de A' trouvée, on peut améliorer la précision en utilisant des itérations inverses sur la matrice A. Trouvez toutes les valeurs propres de la matrice :

   D=

   æ ç ç è

   9 -1 2 -1 5 -2 2 -2 -7

   ö ÷ ÷ ø

   
   
   
6. Couple de complexe conjugué de module maximal
   Trouver le couple de valeurs propres de plus grand module de la matrice :

   E=

   æ ç ç ç è

   -3 -8 -3 4 7 8 6 5 -1 4 -4 1 7 -4 -5 7

   ö ÷ ÷ ÷ ø

   Faites de même pour le couple de plus petit module.

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