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\def\bbox#1{\mbox{\boldmath{$#1$}}}
%Changes by Kay Wiese the 22.4.1994
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%Personnal definitions of D. Spehner, 21.10.02
%%%%%%%%%% 1. ensemble numeriques
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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{\noindent \textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
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\begin{document}

\noindent%
L2-M249, 2009-2010 \hfill  Travaux Dirigés \hfill Universit\'e J. Fourier\\ 

\section{Point fixe et Newton}

\exercice {\bf Point fixe} 
Soit 
\[ f(x)=\cos(\frac{1}{x+1})\]
définie sur l'intervalle $[0,1]$. 
\be
\item Faire le tableau de variations de $f$. 
\item Donner un majorant $k$ de $|f'|$ sur $[0,1]$.
\item Montrer que $f$ satisfait aux hypothèses du
théorème du point fixe et en déduire une suite récurrente
convergeant vers l'unique solution de $\cos(1/(l+1))=l$ sur $[0,1]$. 
\item Combien de termes de la suite faut-il calculer
pour être sur d'obtenir une valeur approchée à $1e-3$ près
de $l$~? Même question pour avoir une valeur approchée à $1e-6$ près. 
Faites le calcul du nombre de termes de deux manières~: sans
calculer les termes de la suite (estimation à priori, uniquement
avec la valeur de $k$ et indépendamment de $u_0 \in [0,1]$), ou en estimant
$|u_n-l|$ en fonction de $|u_{n+1}-u_n|$ (estimation à postériori
dépendant du $u_0$ choisi).
\ee

\vspace{2mm}

 
\exercice {\bf Points fixes instables.}
On veut r\'esoudre l'\'equation 
\begin{equation} \label{eq1}
e^u -2=u \mbox{ , } u>0
\end{equation}
 par la m\'ethode du
point fixe.
\be
\item La fonction $f(u)=e^u -2$ est-elle contractante sur
  $[0,\infty[$~?  Tracer sur le graphe de $f$ les premi\`eres valeurs
  de la suite it\'er\'ee $u_n = f^n (u_0)$ pour une valeur initiale
  $u_0>0$.
  La suite converge-t-elle~?\\
  En consid\'erant la fonction r\'eciproque $f^{-1}$, trouver une
  m\'ethode de point fixe
  pour r\'esoudre ~(\ref{eq1}) num\'eriquement.\\
  Justifier la convergence et donner une majoration th\'eorique de l'erreur. \\
  Donner la solution approch\'ee et le nombre d'it\'erations
  n\'ecessaires pour avoir une pr\'ecision de $10^{-6}$ en prenant
  $u_0=1$.
\item Utiliser la m\^eme m\'ethode  pour r\'esoudre num\'eriquement
l'\'equation
$$
\tan(u)=u \mbox{ , }
\pi/2<u<3 \pi/2\;.
$$
\item \'Etant donn\'ee une fonction  non contractante quelconque
$f:[a,b]\rightarrow \real$,
sous quelles conditions sur $f$ 
votre m\'ethode est-elle applicable~?
\ee

 
\vspace{2mm}


\exercice {\bf Du point fixe à Newton (MATHS).} Soit $f:[a,b] \rightarrow
[a,b]$ une contraction, c'est-\`a-dire qu'il existe $k < 1$ tel que
$\vert f(u)-f(v)\vert \leq k \vert u-v \vert$ pour tout $u,v \in
[a,b]$. On rappelle qu'il existe alors un unique point fixe pour $f$,
que l'on note $\ell$, et que pour tout $u_0\in[a,b]$, la suite
$(u_n)$ d\'efinie par $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\ell$.
\be
\item Montrer que le nombre de d\'ecimales de 
$u_n$ co\"{\i}ncidant avec celles du point fixe 
$\ell = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} u_n$
augmente (au moins) proportionnellement \`a $n$ quand $n$ cro\^{\i}t
({\it convergence lin\'eaire}).     
\item Si l'on suppose de plus que $f$ est de classe 
$C^2([a,b])$ et que $f'(\ell)=0$,  montrer que   
le nombre de d\'ecimales de 
$u_n$ co\"{\i}ncidant avec celles de $\ell$
augmente beaucoup plus rapidement avec $n$~: (au moins) 
comme $2^n$ 
({\it convergence exponentielle}).\\
{ \it Indication~:} Utiliser la formule de Taylor avec reste \`a
l'ordre 2.
\ee

\exercice {\bf Newton (1).} Utiliser la m\'ethode de Newton
pour r\'esoudre l'\'equation (\ref{eq1}) $e^u -2=u \mbox{ , } u>0$.
Justifier la convergence et donner une majoration th\'eorique de
l'erreur. \\
Combien d'it\'erations
sont-elles n\'ecessaires pour avoir une pr\'ecision de $1e-6$ en 
prenant $x_0=1$ (comparer avec le r\'esultat de l'exercice 2)~?
Peut-on choisir $x_0=0$~?

\vspace{2mm}

\exercice {\bf Newton (2)}
On veut résoudre par la méthode de Newton l'équation
\[ x=\cos(\frac{1}{x+1}), \quad x \in [0,1] \]
\'Ecrire cette équation sous la forme $f(x)=0$, 
étudier la convexité de $f$, en déduire une valeur de $u_0$ pour
laquelle on peut affirmer que
la suite $(u_n)$ de la méthode de Newton converge vers $l$ tel
que $f(l)=0$.
Calculer $u_2$ puis donner un encadrement de $|u_2-l|$.

\exercice {\bf Probl\`emes de convergence~?}
Soit $g(u)=\arctan(u)$. On note $(x_n)_{n \in
  \pinteger}$ la suite it\'er\'ee obtenue en appliquant 
la m\'ethode de Newton \`a
l'\'equation
$g(r)=0$ en
partant de $x_0$.
\be
\item
D\'eterminer
num\'eriquement
une valeur $a>0$ telle que si $x_0=a$, la suite $(x_n)_{n \in
  \pinteger}$
oscille entre les deux valeurs $\pm a$ de part et d'autre de la solution 
exacte $r=0$. \\
{ \it Indication~:} On pourra par exemple chercher $a$ par une
m\'ethode de point fixe sur un intervalle bien choisi.
\item
D\'eterminer {\it graphiquement} 
le comportement de $(x_n)_{n \in  \pinteger}$ quant $n \rightarrow
\infty$ pour $\vert x_0 \vert < a$ et pour $\vert x_0 \vert > a$.
\ee

\section{Représentation des entiers et des réels.}

\exercice {\bf Entiers en base 2 et en base 16.}  
\be
\item
Soit $n_1$ l'entier s'\'ecrivant $1234$ en base $16$. Donner 
$n_1$ en base $10$.
\item
Soit $n_2$ l'entier s'\'ecrivant $6000$ en base $10$. 
\'Ecrire $n_2$ en base $16$ puis en base $2$.

\ee
 
\vspace{2mm}

\exercice  {\bf Op\'erations en base 2.}
Donner les tables d'addition et de multiplication en base $2$.
Calculer la somme, la diff\'erence et le produit des 
2 entiers s'\'ecrivant $1101$ et $1011$ en base $2$
en utilisant l'algorithme ``\'ecole primaire'' en base $2$.
V\'erifiez vos r\'esultats en les comparant \`a ceux obtenus en base $10$.    

\vspace{2mm}

\exercice {\bf Fractions en base 2.}  \'Ecrire les nombres d\'ecimaux
$0.25$, $0.1875$ et $0.3$ en base $2$. Comment ces nombres sont-ils
cod\'es sur un ordinateur disposant de $52$ bit pour la mantisse et de
$11$ bit pour l'exposant~? Le codage est-il exact~? Que donne le
calcul de $0.3-3*0.1$ effectu\'e avec xcas? Expliquer.
 
\vspace{2mm}

\exercice {\bf (Examen Juin 2006)} Comparer les valeurs de
$$
\sqrt{10^{11}+1}-\sqrt{10^{11}} \textrm{ et } \frac{1}{\sqrt{10^{11}+1}+\sqrt{10^{11}}}
$$
en calcul exact et en calcul approch\'e. En calcul approch\'e, laquelle de
ces deux valeurs vous parait-elle plus proche de la valeur exacte
correspondante?

\vspace{2mm}

\exercice {\bf Erreur relative pour l'inverse.}
Donner l'erreur relative de $1/x$ par rapport \`a $1/x_0$ en fonction
de l'erreur relative $\epsilon = \vert x-x_0 \vert / \vert x_0 \vert$
de $x$ par rapport \`a $x_0$ (on pourra se limiter au plus bas ordre 
en $\epsilon$).

\vspace{2mm}

\exercice {\bf M\'ethode de Horner (1).}  Il s'agit d'\'evaluer
efficacement un polyn\^ome en un point.  On note
$P(x)=a_nx^n+\dots+a_0$, on pose $b_0=P(\alpha )$ et on \'ecrit~:
\[ P(X)-b_0=(X-\alpha )Q(X) \]
o\`u~:
\[ Q(X) = b_n X^{n-1} + ... +b_2 X + b_1 \; . \]
On calcule alors par ordre d\'ecroissant $b_n$, $b_{n-1}$, ..., $b_0$.
\be
\item
Donner $b_n$ en fonction de $a_n$ puis $b_i$
en fonction de $a_i$ et $b_{i+1}$ pour $i = n-1, n-2,
\ldots , 1$. 
\item 
Appliquer la m\'ethode ci-dessus pour calculer $P(\alpha )$ pour
$P(X)=X^3+7X^2+7X$ et $\alpha=16$. 

\item M\^eme question pour $P(X)=X^5+4 X^4+3 X^3$ et $\alpha=5$. En d\'eduire
  l'\'ecriture en base $10$ de l'entier s'\'ecrivant $143000$ en base $5$. 
\ee
 
\vspace{2mm}

\exercice {\bf M\'ethode de Horner (2).}
Pour calculer tous les coefficients du d\'eveloppement de Taylor du
polyn\^ome $P(X)$ en un point, on pose $P_0(X)=P(X)$ et on r\'ep\`ete
l'algorithme de l'exercice pr\'ec\`edent pour calculer successivement
les coefficients des polyn\^omes $P_0(X), P_1(X), \ldots , P_n(X)$
d\'efinis par~:
\begin{eqnarray*}
P_0(X) & = & ( X - \alpha ) P_1(X) + P_0 ( \alpha ) \\
P_1(X) & = & ( X - \alpha ) P_2(X) + P_1 ( \alpha ) \\
 ... & & \\
P_{n-1}(X) & = & ( X - \alpha ) P_n (X) + P_{n-1} ( \alpha )
\end{eqnarray*}
jusqu'\`a ce que l'on obtienne un polyn\^ome de degr\'e z\'ero,
$P_n(X)=const$.
\be
\item Montrer que 
$$
P(X)= (X-\alpha)^n P_n ( \alpha) + (X-\alpha)^{n-1} P_{n-1}( \alpha)+
\cdots (X-\alpha) P_1 ( \alpha) + P_0 ( \alpha ) \; .
$$
Comment sont reli\'es $P_i(\alpha)$ et la $i$-i\`eme d\'eriv\'ee 
$P^{[i]} (\alpha)$ de $P$ au point $\alpha$~?

\item Utiliser cette m\'ethode pour calculer $P^{[i]} (\alpha)$,
  $i=0,1,2,3$,
pour $P(X)=X^3 - 2 X + 5$ et $\alpha=39$.
\ee

\section{Taylor, s\'eries enti\`eres.}

\exercice {\bf Calcul de l'exponentielle.}
On veut calculer $e^8$ avec une pr\'ecision relative de $2^{-52}$. Si on
utilise une somme partielle de la s\'erie $e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$,
combien de termes doit-on prendre? Qu'en est-il si on calcule plut\^ot
$((e^2)^2)^2$?

\vspace{0.2cm}

\exercice {\bf Calcul de $x^{1/4}$.}
On veut d\'eterminer une valeur approch\'ee de la racine quatri\`eme
d'un nombre r\'eel positif.
On commence par chercher une valeur approch\'ee de $y=(1+x)^{1/4}$
pour $x \geq 0$.
\begin{enumerate}
\item
On suppose que $x=1$ (donc $y=2^{1/4}$).\\
Donner un polyn\^ome $P(X)$ de degr\'e 4, \`a coefficients entiers
et tel que $P(y)=0$. Donner la suite
$u_{n+1}=f(u_n)$ obtenue en appliquant la m\'ethode de Newton \`a $P$.\\
Donner une valeur $u_0$ pour laquelle la suite $u_n$ converge
vers $y$ (justifier la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \pinteger}$ pour cette
valeur de $u_0$).\\
Calculer $u_4$, en d\'eduire un encadrement de $2^{1/4}$.\\
Peut-on appliquer la m\^eme m\'ethode pour $x \geq 0$
quelconque?
\item On suppose que l'on a calcul\'e $2^{1/4}$ \`a $10^{-16}$ pr\`es.
Proposer une m\'ethode permettant de calculer une valeur
approch\'ee de $x^{1/4}$ pour $x \geq 0$,
en utilisant l'\'ecriture mantisse-exposant de $x$
en base 2~:
\[ x = 2^e (1+m), \quad e \in \integer, m \in [0,1[ \]
et en utilisant la m\'ethode ci-dessus.
Discuter la pr\'ecision de l'approximation obtenue.
\end{enumerate}

\exercice {\bf Racine quatri\`eme.} 
Donner le d\'eveloppement de Taylor 
de $(1+x)^{1/4}$ en $x=0$ \`a l'ordre $n$ sous forme d'un polyn\^ome
$T_n(x)$ de degr\'e $n$ et d'un reste $R_n(x)$.\\
Donner une majoration du reste
$R_n(x)$ pour $n=4$ et $x=1/2$, en d\'eduire
un encadrement de $(3/2)^{1/4}$.\\
D\'eterminer une valeur de $n$ pour que $T_n(x)$
soit une valeur approch\'ee de $(1+x)^{1/4}$ \`a $10^{-5}$ pr\`es
pour tout $x \in [0,1/2]$.
Comparer l'efficacit\'e de cette m\'ethode \`a celle de
la m\'ethode de Newton (exercice~11, feuille~1).


\exercice 
Donner les  d\'eveloppements en s\'eries enti\`eres (en $x=0$)
des fonctions suivantes, leurs rayons de convergence et une
majoration du reste de la série lorsque $|x| \leq 1/2$~:
\be
\item $f_1 (x) = \cos (x)$
\item $f_2(x) = \sin (x)$
\item $f_3 (x) = (1+x^2)^{-1}$
\item $f_4(x) = \arctan(x)$ (Indication~: int\'egrer termes \`a termes
 le  d\'eveloppement de $f_3(x)$)
\item $f_5(x) = (1+x)^{-1/2}$.
\ee

\exercice
Comparer la précision de la valeur approchée de $e^{-4}$ obtenue
en calculant le développement de Taylor de l'exponentielle en $0$
à l'ordre 10 en $x=-4$ ou en prenant l'inverse du développement
de Taylor à l'ordre 10 en $x=4$.

\exercice
On souhaite calculer une valeur approchée de 
\[ F(x)=\int_0^x e^{-t^2} \ dt \]
pour $x\in[0,1]$. Déterminer le développement en séries entières
de $e^{-t^2}$ en $t=0$, son rayon de convergence, en déduire
le développement en séries entières de $F$ en $x=0$. Déterminer
une majoration du reste de la série pour $x\in [0,1]$. En
déduire l'ordre auquel on peut s'arrêter en étant sur
d'avoir une valeur approchée de $F$ à $1e-8$ près.

\exercice
Même question pour
\[ F(x)=\int_0^x \frac{e^{t^2}-1}{t} \ dt  \]

\vspace{2mm}

\exercice
\noindent{\bf Exercice 3 du TP 3.} 
\be
\item
Soit $\alpha>0$, exprimer $\arctan(-\alpha)$ et $\arctan(1/\alpha)$ en fonction de
$\arctan(\alpha)$. En d\'eduire que le calcul de $\arctan(\alpha)$ sur $\real$
peut se ramener au calcul de $\arctan(\alpha)$ sur $[0,1]$. 
\item 
Soit donc $\alpha \in [0,1]$, montrer que
\[ \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} - \frac{\alpha^7}{7}
\leq \arctan(\alpha) \leq \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} 
\, . \]
\item
D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que la m\'ethode de Newton appliqu\'ee \`a 
l'\'equation $\tan(x)-\alpha=0, -\pi/2 < x < \pi/2$ avec comme valeur initiale
$x_0=\alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5}$ 
est une suite d\'ecroissante qui converge vers $\arctan(\alpha)$.
D\'eterminez de cette mani\`ere une valeur approch\'ee 
\`a $10^{-8}$ pr\`es de $\pi=4 \arctan(1)$.
\ee


%\vspace{2mm}%
%
%\exercice {\bf Fonction de Bessel.}
%On veut calculer une valeur approch\'ee de
%\[ J_0(x)= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \exp( -\I x \cos (t)) \ d t \]
%pour $x \in \complex, | x | \leq 1$.
%\be
%\item
%En int\'egrant termes \`a termes le 
%d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere  au voisinage de $x=0$ de
%$\exp( -\I x \cos (t))$, 
%d\'eterminer la s\'erie enti\`ere de $J_0(x)$ en $x=0$, 
%$$
%J_0(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\;.
%$$
%
%\item Montrer que $a_n=0$ si $n$ est impair.
%\item Soit $n \geq 2$. Montrer que $a_{n} = - a_{n-2}/n^{2}$.\\
%{\it Indication~:} On pourra utiliser 
%$$
%\int_0^{2\pi}  (\cos(t))^{n} d t 
% = \int_0^{2\pi} (\cos(t))^{n-2} d t - \int_0^{2\pi}  (\cos(t))^{n-2}
% \sin (t) \sin(t) \, d t
%$$
%puis
%int\'egrer par parties la seconde int\'egrale.
% 
%\item Montrer que $a_{n}= (-1)^p/(2^p p!)^2$ si $n=2p$ est pair.  
%\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste
%\[ R_N(x)=\sum_{n=N+1}^\infty a_n x^n \]
%pour $x \in \complex, |x|\leq 1$.
%D\'eterminer une valeur approch\'ee de $J_0 ( 1)$ et de $J_0(\I)$
%\`a $10^{-8}$ pr\`es.
%\ee

 

\end{document}
