\documentclass[11pt,amsfonts,amsmath]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{times} \usepackage{amssymb} \textheight 25.6cm \textwidth 16.9cm \oddsidemargin 0pt \evensidemargin 0pt \def\bbox#1{\mbox{\boldmath{$#1$}}} %Changes by Kay Wiese the 22.4.1994 \setlength{\topmargin}{0cm} \setlength{\hoffset}{-0.6cm} \setlength{\voffset}{-.5cm} \setlength{\headsep}{0cm} \setlength{\headheight}{0cm} \setlength{\topskip}{0cm} %Personnal definitions of D. Spehner, 21.10.02 %%%%%%%%%% 1. ensemble numeriques \newcommand{\integer}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\pinteger}{{\mathbb{N}}} \newcommand{\spinteger}{{\mathbb{N}}^\star} \newcommand{\real}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\preal}{{\mathbb{R}}_+} \newcommand{\complex}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\rational}{{\mathbb{Q}}} \newcommand{\tr}{{\rm tr}} \newcommand{\D}{{\rm d}} \newcommand{\I}{{\rm i}\,} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\be}{\begin{enumerate}} \newcommand{\ee}{\end{enumerate}} \newcommand{\bc}{\begin{center}} \newcommand{\ec}{\end{center}} \newcommand{\ul}{\underline} \newcommand{\ba}{\begin{tabular}} \newcommand{\ea}{\end{tabular}} \newcommand{\ns}{\normalsize} \newcounter{exercice} \newcommand{\exercice } {\noindent \textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1} \arabic{exercice}.} } \setcounter {exercice}{0} \begin{document} \noindent% L2-M249, 2009-2010 \hfill Travaux Dirigés \hfill Universit\'e J. Fourier\\ \section{Point fixe et Newton} \exercice {\bf Point fixe} Soit \[ f(x)=\cos(\frac{1}{x+1})\] définie sur l'intervalle $[0,1]$. \be \item Faire le tableau de variations de $f$. \item Donner un majorant $k$ de $|f'|$ sur $[0,1]$. \item Montrer que $f$ satisfait aux hypothèses du théorème du point fixe et en déduire une suite récurrente convergeant vers l'unique solution de $\cos(1/(l+1))=l$ sur $[0,1]$. \item Combien de termes de la suite faut-il calculer pour être sur d'obtenir une valeur approchée à $1e-3$ près de $l$~? Même question pour avoir une valeur approchée à $1e-6$ près. Faites le calcul du nombre de termes de deux manières~: sans calculer les termes de la suite (estimation à priori, uniquement avec la valeur de $k$ et indépendamment de $u_0 \in [0,1]$), ou en estimant $|u_n-l|$ en fonction de $|u_{n+1}-u_n|$ (estimation à postériori dépendant du $u_0$ choisi). \ee \vspace{2mm} \exercice {\bf Points fixes instables.} On veut r\'esoudre l'\'equation \begin{equation} \label{eq1} e^u -2=u \mbox{ , } u>0 \end{equation} par la m\'ethode du point fixe. \be \item La fonction $f(u)=e^u -2$ est-elle contractante sur $[0,\infty[$~? Tracer sur le graphe de $f$ les premi\`eres valeurs de la suite it\'er\'ee $u_n = f^n (u_0)$ pour une valeur initiale $u_0>0$. La suite converge-t-elle~?\\ En consid\'erant la fonction r\'eciproque $f^{-1}$, trouver une m\'ethode de point fixe pour r\'esoudre ~(\ref{eq1}) num\'eriquement.\\ Justifier la convergence et donner une majoration th\'eorique de l'erreur. \\ Donner la solution approch\'ee et le nombre d'it\'erations n\'ecessaires pour avoir une pr\'ecision de $10^{-6}$ en prenant $u_0=1$. \item Utiliser la m\^eme m\'ethode pour r\'esoudre num\'eriquement l'\'equation $$ \tan(u)=u \mbox{ , } \pi/20$. Justifier la convergence et donner une majoration th\'eorique de l'erreur. \\ Combien d'it\'erations sont-elles n\'ecessaires pour avoir une pr\'ecision de $1e-6$ en prenant $x_0=1$ (comparer avec le r\'esultat de l'exercice 2)~? Peut-on choisir $x_0=0$~? \vspace{2mm} \exercice {\bf Newton (2)} On veut résoudre par la méthode de Newton l'équation \[ x=\cos(\frac{1}{x+1}), \quad x \in [0,1] \] \'Ecrire cette équation sous la forme $f(x)=0$, étudier la convexité de $f$, en déduire une valeur de $u_0$ pour laquelle on peut affirmer que la suite $(u_n)$ de la méthode de Newton converge vers $l$ tel que $f(l)=0$. Calculer $u_2$ puis donner un encadrement de $|u_2-l|$. \exercice {\bf Probl\`emes de convergence~?} Soit $g(u)=\arctan(u)$. On note $(x_n)_{n \in \pinteger}$ la suite it\'er\'ee obtenue en appliquant la m\'ethode de Newton \`a l'\'equation $g(r)=0$ en partant de $x_0$. \be \item D\'eterminer num\'eriquement une valeur $a>0$ telle que si $x_0=a$, la suite $(x_n)_{n \in \pinteger}$ oscille entre les deux valeurs $\pm a$ de part et d'autre de la solution exacte $r=0$. \\ { \it Indication~:} On pourra par exemple chercher $a$ par une m\'ethode de point fixe sur un intervalle bien choisi. \item D\'eterminer {\it graphiquement} le comportement de $(x_n)_{n \in \pinteger}$ quant $n \rightarrow \infty$ pour $\vert x_0 \vert < a$ et pour $\vert x_0 \vert > a$. \ee \section{Représentation des entiers et des réels.} \exercice {\bf Entiers en base 2 et en base 16.} \be \item Soit $n_1$ l'entier s'\'ecrivant $1234$ en base $16$. Donner $n_1$ en base $10$. \item Soit $n_2$ l'entier s'\'ecrivant $6000$ en base $10$. \'Ecrire $n_2$ en base $16$ puis en base $2$. \ee \vspace{2mm} \exercice {\bf Op\'erations en base 2.} Donner les tables d'addition et de multiplication en base $2$. Calculer la somme, la diff\'erence et le produit des 2 entiers s'\'ecrivant $1101$ et $1011$ en base $2$ en utilisant l'algorithme ``\'ecole primaire'' en base $2$. V\'erifiez vos r\'esultats en les comparant \`a ceux obtenus en base $10$. \vspace{2mm} \exercice {\bf Fractions en base 2.} \'Ecrire les nombres d\'ecimaux $0.25$, $0.1875$ et $0.3$ en base $2$. Comment ces nombres sont-ils cod\'es sur un ordinateur disposant de $52$ bit pour la mantisse et de $11$ bit pour l'exposant~? Le codage est-il exact~? Que donne le calcul de $0.3-3*0.1$ effectu\'e avec xcas? Expliquer. \vspace{2mm} \exercice {\bf (Examen Juin 2006)} Comparer les valeurs de $$ \sqrt{10^{11}+1}-\sqrt{10^{11}} \textrm{ et } \frac{1}{\sqrt{10^{11}+1}+\sqrt{10^{11}}} $$ en calcul exact et en calcul approch\'e. En calcul approch\'e, laquelle de ces deux valeurs vous parait-elle plus proche de la valeur exacte correspondante? \vspace{2mm} \exercice {\bf Erreur relative pour l'inverse.} Donner l'erreur relative de $1/x$ par rapport \`a $1/x_0$ en fonction de l'erreur relative $\epsilon = \vert x-x_0 \vert / \vert x_0 \vert$ de $x$ par rapport \`a $x_0$ (on pourra se limiter au plus bas ordre en $\epsilon$). \vspace{2mm} \exercice {\bf M\'ethode de Horner (1).} Il s'agit d'\'evaluer efficacement un polyn\^ome en un point. On note $P(x)=a_nx^n+\dots+a_0$, on pose $b_0=P(\alpha )$ et on \'ecrit~: \[ P(X)-b_0=(X-\alpha )Q(X) \] o\`u~: \[ Q(X) = b_n X^{n-1} + ... +b_2 X + b_1 \; . \] On calcule alors par ordre d\'ecroissant $b_n$, $b_{n-1}$, ..., $b_0$. \be \item Donner $b_n$ en fonction de $a_n$ puis $b_i$ en fonction de $a_i$ et $b_{i+1}$ pour $i = n-1, n-2, \ldots , 1$. \item Appliquer la m\'ethode ci-dessus pour calculer $P(\alpha )$ pour $P(X)=X^3+7X^2+7X$ et $\alpha=16$. \item M\^eme question pour $P(X)=X^5+4 X^4+3 X^3$ et $\alpha=5$. En d\'eduire l'\'ecriture en base $10$ de l'entier s'\'ecrivant $143000$ en base $5$. \ee \vspace{2mm} \exercice {\bf M\'ethode de Horner (2).} Pour calculer tous les coefficients du d\'eveloppement de Taylor du polyn\^ome $P(X)$ en un point, on pose $P_0(X)=P(X)$ et on r\'ep\`ete l'algorithme de l'exercice pr\'ec\`edent pour calculer successivement les coefficients des polyn\^omes $P_0(X), P_1(X), \ldots , P_n(X)$ d\'efinis par~: \begin{eqnarray*} P_0(X) & = & ( X - \alpha ) P_1(X) + P_0 ( \alpha ) \\ P_1(X) & = & ( X - \alpha ) P_2(X) + P_1 ( \alpha ) \\ ... & & \\ P_{n-1}(X) & = & ( X - \alpha ) P_n (X) + P_{n-1} ( \alpha ) \end{eqnarray*} jusqu'\`a ce que l'on obtienne un polyn\^ome de degr\'e z\'ero, $P_n(X)=const$. \be \item Montrer que $$ P(X)= (X-\alpha)^n P_n ( \alpha) + (X-\alpha)^{n-1} P_{n-1}( \alpha)+ \cdots (X-\alpha) P_1 ( \alpha) + P_0 ( \alpha ) \; . $$ Comment sont reli\'es $P_i(\alpha)$ et la $i$-i\`eme d\'eriv\'ee $P^{[i]} (\alpha)$ de $P$ au point $\alpha$~? \item Utiliser cette m\'ethode pour calculer $P^{[i]} (\alpha)$, $i=0,1,2,3$, pour $P(X)=X^3 - 2 X + 5$ et $\alpha=39$. \ee \section{Taylor, s\'eries enti\`eres.} \exercice {\bf Calcul de l'exponentielle.} On veut calculer $e^8$ avec une pr\'ecision relative de $2^{-52}$. Si on utilise une somme partielle de la s\'erie $e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$, combien de termes doit-on prendre? Qu'en est-il si on calcule plut\^ot $((e^2)^2)^2$? \vspace{0.2cm} \exercice {\bf Calcul de $x^{1/4}$.} On veut d\'eterminer une valeur approch\'ee de la racine quatri\`eme d'un nombre r\'eel positif. On commence par chercher une valeur approch\'ee de $y=(1+x)^{1/4}$ pour $x \geq 0$. \begin{enumerate} \item On suppose que $x=1$ (donc $y=2^{1/4}$).\\ Donner un polyn\^ome $P(X)$ de degr\'e 4, \`a coefficients entiers et tel que $P(y)=0$. Donner la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ obtenue en appliquant la m\'ethode de Newton \`a $P$.\\ Donner une valeur $u_0$ pour laquelle la suite $u_n$ converge vers $y$ (justifier la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \pinteger}$ pour cette valeur de $u_0$).\\ Calculer $u_4$, en d\'eduire un encadrement de $2^{1/4}$.\\ Peut-on appliquer la m\^eme m\'ethode pour $x \geq 0$ quelconque? \item On suppose que l'on a calcul\'e $2^{1/4}$ \`a $10^{-16}$ pr\`es. Proposer une m\'ethode permettant de calculer une valeur approch\'ee de $x^{1/4}$ pour $x \geq 0$, en utilisant l'\'ecriture mantisse-exposant de $x$ en base 2~: \[ x = 2^e (1+m), \quad e \in \integer, m \in [0,1[ \] et en utilisant la m\'ethode ci-dessus. Discuter la pr\'ecision de l'approximation obtenue. \end{enumerate} \exercice {\bf Racine quatri\`eme.} Donner le d\'eveloppement de Taylor de $(1+x)^{1/4}$ en $x=0$ \`a l'ordre $n$ sous forme d'un polyn\^ome $T_n(x)$ de degr\'e $n$ et d'un reste $R_n(x)$.\\ Donner une majoration du reste $R_n(x)$ pour $n=4$ et $x=1/2$, en d\'eduire un encadrement de $(3/2)^{1/4}$.\\ D\'eterminer une valeur de $n$ pour que $T_n(x)$ soit une valeur approch\'ee de $(1+x)^{1/4}$ \`a $10^{-5}$ pr\`es pour tout $x \in [0,1/2]$. Comparer l'efficacit\'e de cette m\'ethode \`a celle de la m\'ethode de Newton (exercice~11, feuille~1). \exercice Donner les d\'eveloppements en s\'eries enti\`eres (en $x=0$) des fonctions suivantes, leurs rayons de convergence et une majoration du reste de la série lorsque $|x| \leq 1/2$~: \be \item $f_1 (x) = \cos (x)$ \item $f_2(x) = \sin (x)$ \item $f_3 (x) = (1+x^2)^{-1}$ \item $f_4(x) = \arctan(x)$ (Indication~: int\'egrer termes \`a termes le d\'eveloppement de $f_3(x)$) \item $f_5(x) = (1+x)^{-1/2}$. \ee \exercice Comparer la précision de la valeur approchée de $e^{-4}$ obtenue en calculant le développement de Taylor de l'exponentielle en $0$ à l'ordre 10 en $x=-4$ ou en prenant l'inverse du développement de Taylor à l'ordre 10 en $x=4$. \exercice On souhaite calculer une valeur approchée de \[ F(x)=\int_0^x e^{-t^2} \ dt \] pour $x\in[0,1]$. Déterminer le développement en séries entières de $e^{-t^2}$ en $t=0$, son rayon de convergence, en déduire le développement en séries entières de $F$ en $x=0$. Déterminer une majoration du reste de la série pour $x\in [0,1]$. En déduire l'ordre auquel on peut s'arrêter en étant sur d'avoir une valeur approchée de $F$ à $1e-8$ près. \exercice Même question pour \[ F(x)=\int_0^x \frac{e^{t^2}-1}{t} \ dt \] \vspace{2mm} \exercice \noindent{\bf Exercice 3 du TP 3.} \be \item Soit $\alpha>0$, exprimer $\arctan(-\alpha)$ et $\arctan(1/\alpha)$ en fonction de $\arctan(\alpha)$. En d\'eduire que le calcul de $\arctan(\alpha)$ sur $\real$ peut se ramener au calcul de $\arctan(\alpha)$ sur $[0,1]$. \item Soit donc $\alpha \in [0,1]$, montrer que \[ \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} - \frac{\alpha^7}{7} \leq \arctan(\alpha) \leq \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} \, . \] \item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que la m\'ethode de Newton appliqu\'ee \`a l'\'equation $\tan(x)-\alpha=0, -\pi/2 < x < \pi/2$ avec comme valeur initiale $x_0=\alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5}$ est une suite d\'ecroissante qui converge vers $\arctan(\alpha)$. D\'eterminez de cette mani\`ere une valeur approch\'ee \`a $10^{-8}$ pr\`es de $\pi=4 \arctan(1)$. \ee %\vspace{2mm}% % %\exercice {\bf Fonction de Bessel.} %On veut calculer une valeur approch\'ee de %\[ J_0(x)= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \exp( -\I x \cos (t)) \ d t \] %pour $x \in \complex, | x | \leq 1$. %\be %\item %En int\'egrant termes \`a termes le %d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere au voisinage de $x=0$ de %$\exp( -\I x \cos (t))$, %d\'eterminer la s\'erie enti\`ere de $J_0(x)$ en $x=0$, %$$ %J_0(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\;. %$$ % %\item Montrer que $a_n=0$ si $n$ est impair. %\item Soit $n \geq 2$. Montrer que $a_{n} = - a_{n-2}/n^{2}$.\\ %{\it Indication~:} On pourra utiliser %$$ %\int_0^{2\pi} (\cos(t))^{n} d t % = \int_0^{2\pi} (\cos(t))^{n-2} d t - \int_0^{2\pi} (\cos(t))^{n-2} % \sin (t) \sin(t) \, d t %$$ %puis %int\'egrer par parties la seconde int\'egrale. % %\item Montrer que $a_{n}= (-1)^p/(2^p p!)^2$ si $n=2p$ est pair. %\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste %\[ R_N(x)=\sum_{n=N+1}^\infty a_n x^n \] %pour $x \in \complex, |x|\leq 1$. %D\'eterminer une valeur approch\'ee de $J_0 ( 1)$ et de $J_0(\I)$ %\`a $10^{-8}$ pr\`es. %\ee \end{document}