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\newtheorem{defn}{Definition}

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\begin{document}
\noindent Mat249 \hfill Examen du 15 juin  \hfill 16h45-19h45

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\em
Documents et calculatrices autoris\'es.\\
Les exercices 1 et 2 sont ind\'ependants.\\
}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

{\bf Exercice 1}\\
On considère le polyn\^ome à coefficients approchés~:
\[ P(x)=(x-1.234)(x-2.99999)(x-3.00001) \]
On cherche à déterminer la vitesse de convergence de la méthode de
Newton appliquée à la recherche des racines de $P$.
Soit $Q$ la forme développée de $P$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les racines de $P$?
\item Déterminez $Q$. Donnez la formule de récurrence 
\begin{equation} \label{eq:}
x_{n+1}=g(x_n)
\end{equation}
obtenue lorsqu'on applique
la méthode de Newton pour calculer une racine de $P$.
\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction $P$ est-elle convexe~?
concave~? (Vous pouvez tracer le graphe de $P$ pour v\'erifier)
\item Montrez que la suite définie par (\ref{eq:}) et $x_0<1.234$
converge et déterminer sa limite. Calculez les 5 premiers termes
de la suite pour $x_0=1.0$.
\item Montrez que la suite définie par (\ref{eq:}) et $x_0>3.00001$
converge et déterminez sa limite. Calculez les 10 premiers
termes de la suite pour $x_0=3.2$.
\item Que constatez-vous pour les vitesses de convergence de ces 2 suites 
($x_0=1.0$ et $x_0=3.2$)~?
\item Calculez la valeur de la dérivée de $P$ en $1.234$ et
$3.00001$. Quelle relation peut-il y avoir avec l'observation de la
question précédente~?
\item Soit $R$ le polynôme obtenu à partir de $P$ en arrondissant
les coefficients à l'entier le plus proche. Quelles sont les racines
de $R$ et leur multiplicité~? Pour quelles racines de $R$ la méthode
de Newton s'applique-t-elle~?
\item Soit $S$ un polyn\^ome à coefficients entiers.
Comment peut-on déterminer si les racines de $S$ sont de multiplicité
1 sans les calculer~?
\end{enumerate}

{\bf Exercice 2}\\
Soit la matrice \`a coefficients exacts~:
\[ A=
\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\
-2 & 0 & 4 \\
4 & 1 & 2
\end{array}\right) 
\]
\begin{enumerate}
\item Soit $v=(1,0,0)$. Calculer $Av$, $A^2v$, $A^3v$ puis
déterminer les relations linéaires existant entre $v$, $Av$, $A^2v$
et $A^3v$. En déduire le polyn\^ome caractéristique $P$ de $A$.
\item En appliquant le théorème de Cayley-Hamilton ($P(A)=0$),
montrer que~:
\[ A(A^2-2A-10I)=-22 I \]
où $I$ désigne la matrice identité de taille 3.
\item En déduire que $A$ est inversible et exprimer
l'inverse de $A$ en fonction de $I$, $A$ et $A^2$
puis calculez sa valeur.
\item Que pensez-vous de cette méthode de calcul de l'inverse
d'une matrice par rapport à la méthode du pivot de Gauss~?
\end{enumerate}

\end{document}
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