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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Universit\'e Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Ann\'ee 2009/2010           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Math\'ematique assist\'ees par ordinateur} \\
  Examen du 21 mai 2010, de 8h \`a 11h. \\
  \it Documents, calculatrices et ordinateurs ultraportables (netbooks) autoris\'es.\\
  Ce sujet comporte 2 pages. \\
{\bf Les netbooks emprunt\'es devront \^etre rendus en B118
  \`a l'issue de l'examen.}
\end{center}


\vspace{0.5cm}

\section{Exercice}
Soit $A$ la matrice 
\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
-48 & -70 & 86 & -114 \\
-70 & 144 & 54 & 107 \\
86 & 54 & 8 & 82 \\
-114 & 107 & 82 & 192
\end{array}\right) 
\]
Soit $v_0$ un vecteur al\'eatoire de $\R^4$, et la suite
de vecteurs d\'efinie par r\'ecurrence par 
\[ v_{n+1}=Av_n \] 
Calculer une valeur approch\'ee de $v_{n}/||v_{n}||$ pour $n=20$,
en d\'eduire une valeur approch\'ee de la plus grande valeur propre
en valeur absolue de $A$.


\section{Probl\`eme}
Le but de ce probl\`eme est de calculer pour $x$ donn\'e une
approximation de l'int\'egrale d\'efinie par~:
\[ (E) \quad \quad \quad
 F(x)=  \int_0^x  \exp(t-t^2) \ dt  
\]
o\`u $\exp$ d\'esigne la fonction exponentielle et de r\'esoudre
l'\'equation $F(x)=\alpha$ pour $\alpha \geq 0$.
On notera~:
\[ f(t)=\exp(t-t^2) \]
Les trois parties sont ind\'ependantes, sauf la derni\`ere question
de la troisi\`eme partie.

\subsection{M\'ethode de Newton}

Dans cette partie, on suppose qu'on dispose d'un logiciel de
calcul capable de d\'eterminer une valeur approch\'ee 
de $F(x)$, par exemple avec Xcas~:
\begin{center}
\verb|F(x):=int(exp(t-t^2),t=0..x);|\\
\verb|F(0.5); evalf(limit(F(x),x=+infinity));|
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $F'(x)$ pour $x\geq 0$~? D\'eterminer le nombre
de solutions de $F(x)=1$. M\^eme question pour $F(x)=\alpha$ pour $\alpha \geq 0$
(on pourra comparer $\alpha$ et  $F_\infty=\int_0^{+\infty} \exp(t-t^2) \ dt $,
on admettra que $F_\infty$ a bien un sens).
\item \'Etudier le signe de $F'{'}$ pour $x\geq 0$.
\item Rappeler l'expression de la suite r\'ecurrente $(u_n)$
de la m\'ethode de Newton pour 
r\'esoudre $F(x)-\alpha=0$. 
\item D\'eterminer une valeur initiale $u_0$ pour laquelle on peut affirmer que
la suite pr\'ec\'edente converge vers une solution $r$ de 
$F(x)=1$. Montrer qu'il existe $\theta \in [u_n,r]$ tel que
\[ (u_n-r) = \frac{F(u_n)-F(r)}{F'(\theta)} \]
en déduire une majoration de $|u_n-r|$ en fonction de $1-F(u_n)$ et $F'(r)$.
Donner une valeur approch\'ee de la solution de $F(x)=1$
\`a $1e-8$ pr\`es (on indiquera l'indice $n$ utilis\'e, la valeur de $u_n$ 
correspondante et
une justification que l'erreur commise est inf\'erieure \`a $1e-8$).
\item
D\'eterminer en fonction de $\alpha$ ($0\leq \alpha <F_\infty$),
une valeur initiale $u_0$ pour laquelle on peut affirmer que
la suite pr\'ec\'edente converge vers une solution de 
$F(x)=\alpha$.
\end{enumerate}

\subsection{Valeur approch\'ee de $F(x)$ par int\'egration num\'erique.}
\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de $F'$ en fonction de $f$.
\item Calculer la d\'eriv\'ee seconde et troisi\`eme de $f$. 
En d\'eduire la valeur du maximum
de $|f'{'}(t)|$ pour $t\geq 0$, que l'on notera $M_2$. 
\item D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions qui assure que
la m\'ethode du point milieu donne une valeur approch\'ee de $F(\frac{1}{2})$ 
\`a $1e-4$ pr\`es et \`a $1e-8$ pr\`es~?
Calculer une valeur approch\'ee de $F(\frac{1}{2})$ \`a $1e-4$ pr\`es.
\item  D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions qui assure que
la m\'ethode du point milieu donne une valeur approch\'ee de $F(x)$
\`a $1e-8$ pr\`es, on exprimera $N$ en fonction de $x$.
\item Calculer la d\'eriv\'ee quatri\`eme et cinqui\`eme de $f$. 
En d\'eduire la valeur du maximum
de $|f^{[4]}(t)|$ pour $t\geq 0$, que l'on notera $M_4$.
\item D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions qui assure que
la m\'ethode de Simpson donne une valeur approch\'ee de $F(\frac{1}{2})$ 
\`a $1e-4$ pr\`es et \`a $1e-8$ pr\`es~?
Calculer une valeur approch\'ee de $F(\frac{1}{2})$ \`a $1e-8$ pr\`es.
%% \item  D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions qui assure que
%% la m\'ethode de Simpson donne une valeur approch\'ee de $F(x)$
%% \`a $1e-8$ pr\`es, on exprimera $N$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\subsection{Calcul approch\'e de $F$ par d\'eveloppement en s\'eries.}
\begin{enumerate}
\item On effectue le changement de variables $t=u+\frac{1}{2}$
dans l'int\'egrale d\'efinissant $F$.
D\'eterminer l'expression correspondante de $F$ en fonction de
\[ G(x)=\int_0^x \exp(-u^2) \ du\]
\item D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'eries de $G$ en $x=0$
\`a l'ordre $2N+1$, ainsi qu'une majoration du reste $|R_{2N+1}(x)|$
en fonction de $N$ et de $x$.
\item Pour quelle valeur de $N$ peut-on assurer que 
$|R_N(\frac{1}{2})| \leq 0.3e-8$~? M\^eme question pour $R_N(-\frac{1}{2})$.
En d\'eduire une valeur approch\'ee de $F(\frac{1}{2})$ \`a $1e-8$ pr\'es.
M\^eme question pour une pr\'ecision de $1e-12$.
\item D\'eterminer une valeur de $N$ telle que 
$|R_N(x)| \leq 0.3e-8$ pour tout $x \in [0,2]$.
\item On reprend la m\'ethode de Newton
de la premi\`ere partie pour r\'esoudre l'\'equation $F(x)=1$
mais pour calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$
on calcule une valeur approchée de $F$ par l'une des
m\'ethodes des deuxi\`eme et troisi\`eme partie.
Discuter la pr\'ecision de la solution.
\end{enumerate}

\end{document}