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\newtheorem{defn}{Definition}

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\begin{document}
\noindent Mat249 \hfill Examen, 2 mai 2005 \hfill 13h-16h

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\em
Documents et calculatrices autoris\'es.\\
Les exercices 1 et 2 sont ind\'ependants.\\
N.B.: Les calculatrices emprunt\'ees devront \^etre rendues \`a la fin de 
l'examen ou lors de la consultation de copies (le 3 juin \`a 9h) en salle
B118.
}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

{\bf Exercice 1}\\
Dans cet exercice, on d\'etermine un polyn\^ome d'interpolation de 
Lagrange en r\'esolvant un syst\`eme lin\'eaire. Soit
\[ x_0=0, x_1=1, x_2=2, x_3=4, \quad y_0=7, y_1=3, y_2=-4, y_3=6,
\quad P(x)=ax^3+bx^2+cx+d \]
\'Ecrire le syst\`eme lin\'eaire \'equivalent aux 4 \'equations
$P(x_i)=y_i, i= 0..3$. \\
R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire, en d\'eduire $P$.

\vspace{0.5cm}

{\bf Exercice 2}\\
On souhaite calculer une valeur approch\'ee de~:
\[ F(x)=\int_0^x e^{-t^2} \ dt, \quad x \in [0,1] \]
par un d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres ou par 
la m\'ethode de Simpson.
\begin{enumerate}
\item D\'eveloppement en s\'eries~:\\
Donner le d\'eveloppement en s\'eries de $e^{t}$, en d\'eduire
celui de $e^{-t^2}$, puis de $F(x)$ en int\'egrant terme \`a terme. Montrer que
la s\'erie obtenue est altern\'ee (ne pas oublier de v\'erifier que
le terme g\'en\'eral d\'ecroit en valeur absolue vers 0). 
En d\'eduire une valeur de $k$ telle
que la somme partielle jusque $k$ de la s\'erie soit
une valeur approch\'ee de $F(1)$ \`a $10^{-4}$ pr\`es. Calculer cette
valeur approch\'ee. 
\item M\'ethode de Simpson pour $x=1$~:\\
D\'eterminer la valeur approch\'ee de l'int\'egrale obtenue par 
la m\'ethode de Simpson en subdivisant $[0,1]$ en 1 puis en 10 intervalles
(donner une r\'eponse litt\'erale sous forme de somme puis une valeur
num\'erique).
\item On veut d\'eterminer une majoration de l'erreur des valeurs
approch\'ees ci-dessus. Soit $S(h)$ la valeur approch\'ee de l'int\'egrale
obtenue par la m\'ethode de Simpson avec un pas de $h$ (ci-dessus $h=1$ 
pour 1 intervalle et $h=0.1$ pour 10 intervalles). 
On rappelle la majoration (pour $x=1$)~:
\[ |F(1)- S(h)| \leq \frac{1}{2880} |f^{[4]}(\xi)| h^4 \]
o\`u $f^{[4]}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee quatri\`eme de $f(t)=e^{-t^2}$ 
et $\xi \in [0,1]$.\\
Calculer les d\'eriv\'ees quatri\`emes et cinqui\`emes de $f$, 
montrer qu'elles s'\'ecrivent sous la forme 
$P(t^2) e^{-t^2}$ et $ t Q(t^2) e^{-t^2}$ o\`u  
$P$ et $Q$ sont des polyn\^omes de degr\'e 2 
(montrer que $P(x)=4(4x^2-12x+3)$ et d\'eterminer $Q$).
\item D\'eterminer les racines de $Q$. 
En d\'eduire le signe de $f^{[5]}$.
\item Donner le tableau
de variations de $f^{[4]}$ sur $[0,1]$ puis une majoration de
$|f^{[4]}(\xi)|$. En d\'eduire une majoration de $|F(1)- S(h)|$ en fonction
de $h$.
\item Donner une estimation de l'erreur des deux valeurs approch\'ees
$S(1)$ et $S(0.1)$. Pour quelle valeur de $h$ a-t-on 
$|F(1)- S(h)|<10^{-4}$? 
\item Donner une valeur de $h$ telle que la m\'ethode de Simpson
sur $[0,x]$ de pas $h$ soit une valeur approch\'ee de $F(x)$ \`a $10^{-4}$
pr\`es pour tout $x \in [0,1]$. M\^eme question pour une valeur
approch\'ee \`a $10^{-12}$ pr\`es.
\item Laquelle des deux m\'ethodes vous parait la plus efficace pour
trouver une valeur approch\'ee de $F(x)$?
\end{enumerate}

\end{document}
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