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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Universit\'e Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Ann\'ee 2009/2010           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Math\'ematique assist\'ees par ordinateur} \\
  Contr\^ole continu du 23 mars 2010, de 14h \`a 16h. \\
  {\it Documents, calculatrices et ordinateurs ultraportables (``netbooks'') 
d\'econnect\'es du r\'eseau autoris\'es.\\
  Les deux exercices sont ind\'ependants.}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

\section{M\'ethode du point fixe et de Newton}
Dans cet exercice, on va r\'esoudre l'\'equation
\begin{equation} \label{eq:1}
 2x-\ln(x^2+1)-3=0, \quad x \in [0,3] 
\end{equation}
par la m\'ethode du point fixe, puis par la m\'ethode de Newton.
On pose~:
\[ f(x)=\ln(x^2+1)/2+3/2 \]

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'$, $f$ est-elle contractante sur l'intervalle
$[0,3]$? 
\item Montrer qu'il existe une unique solution $r$ \`a l'\'equation
(\ref{eq:1}) sur $[0,3]$. 
\item Combien de termes de la suite r\'ecurrente $u_{n+1}=f(u_n)$
faut-il calculer pour \^etre
s\^ur d'avoir une valeur approch\'ee de $r$ \`a une pr\'ecision
donn\'ee $\epsilon$ pour tout $u_0\in [0,3]$~?
Donner une valeur approch\'ee de $r$ \`a ${\tt 1e-8}$ pr\`es.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On r\'e\'ecrit l'\'equation (\ref{eq:1})
sous la forme $g(x)=0$ o\`u $g(x)= 2x-\ln(x^2+1)-3$.
\begin{enumerate}
\item Donner une suite r\'ecurrente permettant de r\'esoudre $g(x)=0$
par la m\'ethode de Newton.
\item Calculer $g'{'}$ et \'etudier son signe sur $[0,3]$.
\item Donner une valeur de $u_0$ telle que la suite d\'efinie ci-dessus
converge vers $r$ (on justifiera la convergence en montrant que
les hypoth\`eses de l'un des th\'eor\`emes du cours s'appliquent).
\item Calculer $u_3$ pour cette valeur de $u_0$, puis donner
une majoration de $|u_3-r|$ en utilisant une valeur approch\'ee
de $f(u_3)$.
\item Si on fait le m\^eme calcul pour $u_4$ en pr\'ecision machine (12 chiffres
significatifs), que trouve-t-on pour $f(u_4)$~? Peut-on en d\'eduire
une majoration de l'erreur $|u_4-r|$~? Expliquez ce ph\'enom\`ene.
Refaites le calcul de $u_4$ \`a partir de $u_0$ 
avec 30 chiffres significatifs, et d\'eduisez-en
une majoration de $|u_4-r|$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{0.3cm}

\section{S\'eries enti\`eres}
On souhaite d\'eterminer une valeur approch\'ee de $\cos(8)$ sans
utiliser une valeur approch\'ee de $\pi$ (on n'utilisera donc pas les 
propri\'et\'es de p\'eriodicit\'e de cosinus)
\begin{enumerate}
\item Rappeler le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de $\cos(x)$ en $x=0$,
expliciter le reste $R_n(x)$ et donner une majoration de $|R_n(x)|$. 
A quel ordre faut-il s'arr\^eter
pour assurer que $|R_n(8)|$ est plus petit que $1e-6$~?
\item On se propose d'utiliser la formule 
\[ \cos(2x)=2\cos(x)^2-1\]
pour r\'eduire l'argument avant d'appliquer un d\'eveloppement en s\'eries.\\
Calculer une valeur approch\'ee de $\cos(1)$ \`a $1e-8$ pr\`es en utilisant
le d\'eveloppement en s\'eries, en d\'eduire une valeur approch\'ee
de $\cos(2)$, puis de $\cos(4)$ et de $\cos(8)$. Que peut-on dire
de la pr\'ecision de la valeur approch\'ee de $\cos(2)$ puis 
de $\cos(8)$ obtenue de cette mani\`ere~? Cette m\'ethode vous parait-elle
int\'eressante pour calculer $\cos(8)$~? Est-elle g\'en\'eralisable~?
\end{enumerate}


\end{document}

\section{S\'eries enti\`eres}
\begin{enumerate}
\item Donner le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres
de $(1-x^2)^{-1/2}$ en $x=0$. Montrer que tous les coefficients
du d\'eveloppement sont inf\'erieur ou \'egaux \`a 1 en valeur absolue.
\item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction arcsinus (\verb|asin|),
en d\'eduire son d\'eveloppement en s\'eries en $x=0$, montrer que
tous les coefficients du d\'eveloppement sont inf\'erieur ou \'egaux \`a 1 
en valeur absolue.
\item On approche $\arcsin(1/2)$ par $S_{2n+1}(1/2)$ 
son d\'eveloppement en s\'eries \`a l'ordre $2n+1$. 
Donner une majoration de l'erreur commise, puis la valeur de $n$
qui assure une valeur approch\'ee de $\pi/6$ \`a $1e-3$ pr\`es, puis
la valeur de $S_{2n+1}(1/2)$ correspondante.
\end{enumerate}