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\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}

\begin{document}
\noindent Mat249 \hfill DS, 4 mars 2005 \hfill 17h-19h

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\em
Documents et calculatrices autoris\'es.\\
Les exercices 1 et 2 sont ind\'ependants, une partie de
l'exercice 2 n\'ecessite l'usage d'une calculatrice faisant du calcul exact.
}
\end{center}

\vspace{0.5cm}


{\bf Exercice 1}\\
On veut déterminer une valeur approchée de la racine quatri\`eme
d'un nombre r\'eel positif. 
On commence par chercher une valeur approch\'ee de $y=(1+x)^{1/4}$
pour $x \geq 0$.
\begin{enumerate}
\item 
On suppose que $x=1$ (donc $y=2^{1/4}$).\\
Donner un polyn\^ome $P(X)$ de degr\'e 4, \`a coefficients entiers
et tel que $P(y)=0$. Donner la suite 
$u_{n+1}=f(u_n)$ obtenue en appliquant la méthode de Newton à $P$.\\
Donner une valeur $u_0$ pour laquelle la suite $u_n$ converge
vers $y$ (justifier la convergence de la suite $(u_n)$ pour cette
valeur de $u_0$).\\
Calculer $u_4$, en déduire un encadrement de $2^{1/4}$.\\
Peut-on appliquer la même méthode pour $x \geq 0$
quelconque?
\item Donner le développement de Taylor 
de $(1+x)^{1/4}$ en $x=0$ \`a l'ordre $n$ sous forme d'un polyn\^ome
$S_n(x)$ (de degr\'e $n$) et d'un reste $R_n(x)$.\\
Donner une majoration du reste
$R_n(x)$ pour $n=4$ et $x=1/2$, en d\'eduire
un encadrement de $(3/2)^{1/4}$.\\
Déterminer une valeur de $n$ pour que $S_n$
soit une valeur approchée de $y$ à $10^{-5}$ près
pour tout $x \in [0,1/2]$.\\
Peut-on faire de m\^eme pour calculer $y$ lorsque $x > 1/2$?
\item On suppose qu'on a calcul\'e $2^{1/4}$ \`a $10^{-16}$ pr\`es.
Proposer une méthode permettant de calculer une valeur
approchée de $x^{1/4}$ pour $x \geq 0$,
en utilisant l'écriture mantisse-exposant de $x$ 
en base 2~:
\[ x = 2^e (1+m), \quad e \in \Z, m \in [0,1[ \]
et en utilisant l'une des méthodes ci-dessus.
Discuter la précision de l'approximation obtenue.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

{\bf Exercice 2}\\
D\'eterminer la valeur et le signe de la fraction rationnelle 
\[ F(x,y)= \frac{1335}{4} y^6 + x^2 (11x^2 y^2-y^6 -121y^4-2) + 
\frac{11}{2} y^8 + \frac{x}{2y}\]
en $x=77617$ et $y=33096$ en faisant deux calculs, l'un en mode approché et 
l'autre en mode exact. Que pensez-vous de ces résultats?


\end{document}
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