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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Universit\'e Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Ann\'ee 2009/2010           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Math\'ematique assist\'ees par ordinateur} \\
  Examen du jeudi 17 juin 2010, de 14h15 \`a 17h15. \\
  \it Documents, calculatrices et ordinateurs ultraportables (netbooks) autoris\'es.\\
  Ce sujet comporte 2 pages. \\
{\bf Les netbooks emprunt\'es devront \^etre rendus en B118
  \`a l'issue de l'examen.}
\end{center}


\vspace{0.5cm}

\section{Exercice}
Soit $A$ la matrice 
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
-48 & -70 & 86 \\
-70 & 144 & 54 \\
86 & 54 & 8  \\
\end{array}\right) 
\]
Soit $v_0$ un vecteur al\'eatoire de $\R^3$. Calculer
les vecteurs $v_1=Av_0$, $v_2=Av_1$, $v_3=Av_2$,
déterminer l'ensemble des relations linéaires entre $v_0, v_1, v_2, v_3$
et en déduire le polynôme caractéristique de $A$.

\section{Exercice}
Donner le développement en séries entières en $x=0$ de 
\[ f(x)=\frac{\cos(x)-1}{x^2}\]
En déduire celui de
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \ dt \]
Donner une majoration du reste $R_N$ à l'ordre $N>0$ pour $x \in [-1,1]$. En déduire
une valeur approchée de $F(1)$ à $1e-10$ près. 

\section{Probl\`eme}
Le but de ce probl\`eme est de calculer pour $x \in [0,1]$ donn\'e une
approximation de l'int\'egrale d\'efinie par~:
\[ (E) \quad \quad \quad
 F(x)=  \int_0^x  \exp(\exp(t)) \ dt  
\]
o\`u $\exp$ d\'esigne la fonction exponentielle, on notera~:
\[ f(t)=\exp(\exp(t)) \]
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment, sauf 
la dernière question de la 2ème partie.

\subsection{Valeur approch\'ee de $F(x)$ par int\'egration num\'erique.}
\begin{enumerate}
\item Calculer la d\'eriv\'ee quatri\`eme de $f$. 
Déterminer la valeur du maximum
de $|f^{[4]}(t)|$ pour $t\in [0,1]$, que l'on notera $M_4$.
\item D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions qui assure que
la m\'ethode de Simpson donne une valeur approch\'ee de $F(1)$ 
\`a $1e-4$ pr\`es et \`a $1e-8$ pr\`es.
Calculer une valeur approch\'ee de $F(1)$ \`a $1e-8$ pr\`es.
\item Soit $x \in [0,1]$.
D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions qui assure que
la m\'ethode de Simpson donne une valeur approch\'ee de $F(x)$
\`a $1e-8$ pr\`es, on exprimera $N$ en fonction de $x$.
\item Pourrait-on calculer une valeur approch\'ee de $F(x)$
par un d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres~? Si oui, indiquez
comment proc\'eder, si non, expliquez pourquoi.
\end{enumerate}

\subsection{Calcul approch\'e de $F$ par interpolation de Lagrange.}
On suppose connu (à une précision suffisante) la valeur de $F$ en 
certains points, par exemple 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1,
on pourra déterminer numériquement la valeur de $F$ en ces points
avec Xcas~:
\begin{center}
\verb|F(x):=int(exp(exp(t)),t=0..x);F(0.5);|
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de $F'$ en fonction de $f$.
\item Calculer la dérivée 5-ième de $F$, déterminer son maximum sur $[0,1]$, en déduire
une majoration de l'erreur commise si on approche $F$ sur $[0,1]$ par son polynôme
de Lagrange en 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1. Donner une valeur approchée de $F(0.9)$ et
une majoration de l'erreur par cette méthode.
\item On décompose l'intervalle $[0,1]$ en 50 subdivisions. 
Sur chaque subdivision, on approche $F$ par son polynôme de Lagrange 
obtenu par interpolation aux 2 points extrémités 
et au point milieu de la subdivision (le polyn\^ome obtenu
sur chaque subdivision est donc de degr\'e au plus 2). 
Donner une majoration de l'erreur commise
et donner le nombre d'opérations élémentaires nécessaires pour obtenir la
valeur approchée de $F$.
\item D\'eterminer le nombre $N$ de valeurs de $x$ o\`u il
faut calculer au pr\'ealable
la valeur de $F(x)$ pour pouvoir faire l'approximation ci-dessus.
Quelle serait la majoration de l'erreur commise si on appliquait 
l'interpolation de Lagrange globalement sur $[0,1]$ 
avec ces $N$ valeurs de $x$ et $F(x)$ (donc avec un
polyn\^ome de degr\'e au plus $N-1$)~? Est-ce judicieux~?
\item Peut-on approcher $F$ par interpolation de Lagrange de manière 
plus précise que pr\'ec\'edemment, en utilisant les mêmes $N$
valeurs de $x$ et $F(x)$ mais avec
un autre choix de nombre de subdivisions et de degr\'e 
maximal des polyn\^omes d'interpolations sur chaque subdivision~?
\item Comparer les avantages et inconvénients de l'approximation de 
$F$ par calcul approché direct d'intégrale par la méthode de Simpson 
et par approximation de Lagrange en termes de nombre 
d'opérations et de précision.
\end{enumerate}

\end{document}