\documentclass{article}
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 \fi

\newtheorem{rem}{Remarque}
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\faux}{$\square\;$}
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%\newcommand{\vrai}{$\boxtimes\;$}
%\newcommand{\item}{\item \faux}
%\newcommand{\item}{\item \faux}

\newtheorem{exo}{Exercice}[section]

\title{TP de math\'ematiques.}

\author{Licence 2-Mat 115}
\date{2013/4}

\makeindex

\begin{document}
\topmargin -1 cm
\textheight 23cm
\textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt

%\maketitle
\noindent Mat115 \hfill {\bf TP} \hfill UJF

%\tableofcontents

\section{Introduction}
Un logiciel de calcul formel permet de faire des manipulations
alg\'ebriques sans avoir \`a effectuer d'approximation num\'erique,
par exemple calculer la d\'eriv\'ee ou une des primitives d'une fonction,
r\'esoudre certaines \'equations diff\'erentielles, etc. Il permet
\'egalement de faire des calculs num\'eriques, ainsi que des repr\'esentations
graphiques, de la g\'eom\'etrie, ....
Au DLST, nous utiliserons Xcas qui est un logiciel libre (donc gratuit),
chez vous vous pouvez l'utiliser depuis votre navigateur (sur PC/Mac/tablette)\\
\verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html|\\
ou le t\'el\'echarger sur PC/Mac depuis l'URL\\
\verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html|\\
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{demarr1}
\end{center}
Pour lancer Xcas au DLST~: allumez le PC et l'\'ecran si n\'ecessaire.
Connectez-vous sur Windows, session E (choix par défaut) puis entrez
votre {\tt nom\_d\_utilisateur\_ujf} suivi de votre {\tt
  mot\_de\_passe}
puis cliquez sur l'icone \verb|Xcas| du bureau.\\
% {\bf Remarque}: certaines commandes peuvent provoquer un bug dans la 
% version install\'ee au DLST, on peut le contourner par la commande
% \verb|autosimplify(nop)|
% \begin{itemize}
% \item Sous Windows (en installation locale), 
% on clique sur l'icone \verb|xcasfr| du bureau.
% \item Sous Linux, on clique sur Xcas du menu
% Education (ou sur l'icone de Xcas si elle apparait). 
% Sinon, ouvrir un terminal et taper \verb|xcas &|.
% \item sur Mac, cliquez sur Xcas dans le menu Applications puis
%   \verb|/usr/bin| du Finder.
% \end{itemize}
Lors de la
premi\`ere utilisation, choisissez {\tt Xcas} lorsqu'on vous demande
de choisir une syntaxe (sauf si vous connaissez le langage Maple).
Vous pouvez ensuite cliquer sur Oui pour faire 
apparaitre le tutoriel dans le navigateur, ou le retrouver
depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel.


\section{TP 1}
Si le tutoriel n'est pas charg\'e dans le navigateur, 
vous pouvez l'ouvrir depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel.
Suivez les instructions donn\'ees dans la section Pour commencer
et la section Les objets du calcul formel.
Ensuite vous pouvez continuer la lecture du tutoriel ou passer 
aux exercices du TP, en revenant au tutoriel ou en consultant
le menu Outils, le menu Cmds, ou l'aide
de Xcas pour trouver les bonnes commandes. 
{\bf Si vous devez
r\'e-utiliser un r\'esultat}, donnez-lui un nom de variable
(par exemple \verb|a:=...|). 
Pour lib\'erer une variable de son contenu, utiliser \verb|purge()|.

\begin{enumerate}
\item Simplifier les expressions suivantes:
\[ \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}},
\quad \frac{1+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}, \quad
e^{i\pi/6}, 
\quad \frac{e^{2\ln(x)+ln(3)}}{6x}, \quad
\frac{\tan(3x)}{\tan(x)}-1
%\quad 4\mbox{atan}(\frac{1}{5})-\mbox{atan}(\frac{1}{239}) 
\]

\item Calculer les sommes suivantes 
\[\sum_{k=1}^N k,\ \sum_{k=1}^N k^2,\ \sum_{k=1}^N q^k \]

\item Faire afficher le polyn\^ome $(x+3)^7 \times (x-5)^6$ selon les puissances
d\'ecroissantes de $x$ puis selon les puissances croissantes (il faudra
modifier la configuration du CAS pour influencer la sortie de la
commande \verb|normal| ou \verb|expand|).

\item Calculer les d\'eriv\'ees d'ordre 5 des fonctions (indication~:
  utiliser la commande \verb|diff| avec 3 arguments)
\[ \sin(x^2), \ e^{\sin(x)}, \ \frac{\sin(x)}{\cos(x)-e^x} \]

\item Cr\'eer une figure dans le plan (menu Geo, nouvelle
figure 2-d).
Repr\'esenter dans le plan les points $A(1,2)$ et $B(-1,3)$
(\verb|A:=point(1,2)|, voir le menu \verb|Geo| pour les
autres commandes),
la droite $D=(AB)$, d\'eterminer l'\'equation de $D$ puis
les coordonn\'ees du point d'intersection de $D$ et de la
droite d'\'equation $y=3x$, puis le projet\'e orthogonal
(menu Transformations) de $O(0,0)$ sur $D$, le sym\'etrique de $O$ par la sym\'etrie
d'axe $D$.\\
M\^eme question dans l'espace (menu Fich, nouvelle session, puis Geo, figure 3-d)
avec $A(1,2,-1)$ et $B(-1,3,3)$
et le plan $P$ d'\'equation $z=x+2y+1$ et le projet\'e orthogonal
de $O(0,0,0)$ sur $D$ puis sur $P$, le sym\'etrique de $O$ par
rapport \`a $P$.

\item Soit $a$ un r\'eel. D\'eterminez
l'aire du parall\'elogramme construit sur les vecteurs 
$u=(a,1),v=(2,a)$. La famille $\{ u,v \}$ est-elle libre~? 
Indication pour la repr\'esentation graphique~: cr\'eer une figure 2d,
puis ajouter un param\`etre (menu Edit), utiliser 
\verb|u:=vecteur(a,1)|, de m\^eme pour \verb|v|, puis
\verb|parallelogramme(0,u,u+v)|.\\
M\^eme question dans l'espace pour les vecteurs 
$\{ u=(1,a+1,a), v=(a,a,1), w=(-2,a,a+2)\}$ et le
parall\'el\'epip\`ede
construit sur  les vecteurs $u, v$ et $w$. 
Indication pour la repr\'esentation graphique~: cr\'eer une figure 3d,
puis ajouter le param\`etre \verb|a| (menu Edit), utiliser 
\verb|u:=vecteur(1,a+1,a)|, de m\^eme pour \verb|v,w|, puis
\verb|parallelepipede([0,0,0],u,v,w)|.

\item Soit $a$ un r\'eel. D\'eterminer le produit mixte
des vecteurs $u=(1,1,a), v=(1,a,1), w=(a,1,1)$. Pour quelles valeurs
de $a$ ces 3 vecteurs forment-ils une famille libre~? Discuter
selon la valeur de $a$ s'ils engendrent une droite, un plan ou 
$\R^3$, dans ce dernier cas donnez les composantes de
$(1,2,3)$ dans la base $\{u,v,w\}$.
D\'eterminer l'intersection des trois plans d'\'equation~:
\[ \left\{ \begin{array}{lllllll}
 x &+& y &+& az&=&1\\
 x & +& a y&+& z&=&2 \\
 ax & +&y &+& z&=&3 
\end{array}\right. \]
%On pourra calculer le d\'eterminant pour mener la discussion selon les valeurs de $a$.

\item Compl\'etez la famille $\{ (1/2,1/2,\sqrt{2}/2), (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \}$ 
en une base orthonorm\'ee directe $B$, et indirecte $C$. Calculer la matrice
de passage $M$ de la base orthonorm\'ee canonique \`a la base $B$. Soit
le vecteur $v(1,2,3)$, d\'eterminez les composantes de $v$ dans $B$ en
utilisant le produit scalaire, v\'erifier le r\'esultat.

\item Soit $D$ la droite passant par $A(1,1,0)$ de vecteur directeur
  $u(1,1,1)$, $D'$ la droite passant par $B(1,1,1)$ et $C(2,0,1)$,
d\'eterminez la distance entre $D$ et $D'$. On pourra
calculer un vecteur directeur $v$ de la perpendiculaire commune,
puis l'intersection du plan passant par $A$ de vecteurs directeurs
$u$ et $v$ avec $D'$... La commande \verb|distance| permet
de v\'erifier le r\'esultat final. Illustrer par une figure dans l'espace.

\item Factoriser~:
\[ x^8-3x^7-25x^6+99x^5+60x^4-756x^3+1328x^2-960x+256 \]
\[ x^6-2x^3+1, \quad x^{4}+x^{3}-2x^{2}-3 x-3  \quad x^5+3x+1
%\quad (-y+x)z^2-xy^2+x^2y 
\]
D\'eterminer les racines dans $\R$ et dans $\C$ 
des trois premiers polyn\^omes et leurs
multiplicit\'es.

\item Trouver les solutions des \'equations suivantes dans $\R$~
\[ x^3-2x+1=0, \ \ln(x)+\ln(x+1)=2\]
R\'esoudre dans $\C$:
\[ z+\overline{z}=3, z^2+(1+i)z+1-i=0\]
D\'eterminer la valeur approch\'ee des racines complexes du polyn\^ome
$x^5+2x+1$.

\item Effectuer la division euclidienne du polyn\^ome $R_0=x^7+x^5+5x-3$
par $R_1=x^3+x^2+3x+2$ et appeler le reste $R_2$. Recommencer en
divisant $R_1$ par $R_2$ (reste $R_3$) puis $R_2$ par $R_3$ (reste
$R_4$). Quel est le dernier reste non nul? (C'est l'algorithme
d'Euclide qui permet de calculer le PGCD des polyn\^omes $R_0$ et
$R_1$). Peut-on simplifier la fraction rationnelle $R_0/R_1$~?

\item D\'evelopper $\sin(3x)$, lin\'eariser l'expression obtenue
et v\'erifier qu'on retrouve l'expression initiale. En d\'eduire une
primitive de $\sin(x)^3$. Retrouver le r\'esultat en d\'eveloppant
$((e^{ix}-e^{-ix})/(2i))^3$.

\item Suite g\'eom\'etrique dans $\C$\\
Soit $u_n$ la suite d\'efinie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=qu_n$.
Repr\'esentez les 10 premiers termes de la suite lorsque
$q=1+i,i,(1-i)/3$. Donner la repr\'esentation
polaire de $u_n$ en fonction de $n$ et expliquez le graphique.

\item Soit $r$ la rotation de centre l'origine, et d'angle
  $\pi/6$. Calculer les images $U$ et $V$ des vecteurs $u=(1,0)$ et $v=(0,1)$,
en d\'eduire $M$, la matrice de passage de la base $\{u,v\}$ 
\`a la base $\{ U,V\}$. Calculez l'inverse de $M$ et comparer avec
la matrice de passage de $\{u,v\}$ vers la base $\{U',V'\}$
o\`u $U'$ et $V'$ s'obtiennent \`a partir de $u$ et $v$ 
par rotation de centre l'origine et d'angle  $-\pi/6$.

\item Soit $s$ la similitude de centre l'origine, de rapport 2 
et d'angle $\pi/6$ qui au point d'affixe $z$ associe
le point d'affixe
\[ z'=2e^{i\pi/6} z\]
Calculer les images $U$ et $V$ des vecteurs $u=(1,0)$ et $v=(0,1)$,
en d\'eduire $M$, la matrice de passage de la base $\{u,v\}$ 
\`a la base $\{ U,V\}$. Calculez l'inverse de $M$ et comparer avec
la matrice de passage de $\{u,v\}$ vers la base $\{U',V'\}$
o\`u $U'$ et $V'$ s'obtiennent \`a partir de $u$ et $v$ 
par similitude de centre l'origine, de rapport 1/2 et d'angle  $-\pi/6$.


\item Tracer sur une m\^eme figure le graphe de la fonction $\tan$
sur $]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2[$, le graphe de la fonction $\arctan$ et
la premi\`ere bissectrice (d'\'equation $y=x$), et orthonormalisez la
repr\'esentation. V\'erifiez avec la commande \verb|symetrie|
que les deux graphes sont sym\'etriques par rapport \`a la
premi\`ere bissectrice.


\item Calculer les int\'egrales et simplifiez le r\'esultat:
\[ \int \frac{1}{e^x-1} \ dx, \quad \int \ln(2x+1) \ dx,
\quad \int  \frac{1}{x\ln(x)} \ln(\ln(x)) \ dx, 
\quad \int x\sin(x)e^{x} \ dx,
\quad \int \sin(x)^{10}\cos(x)^4 \ dx \]
V\'erifiez en d\'erivant les expressions obtenues.
Interpr\'etez les r\'eponses du logiciel pour~:
\[
\int e^{-x^2} \ dx,
\quad \int e^{x^2} \ dx,
\]

\item En utilisant la commande \verb|ibpu| ou \verb|ibpdv|
(cf. l'aide en ligne de ces commandes dans le menu Index)
d\'etaillez les \'etapes du calcul de
\[ \int x^3 \ln(x)^2 \ dx,  \quad \int_1^2 x^2 \ln(x), \quad \int_0^3 x^2 \ln(x^2+1) \ dx\]
Calculez aussi les deux premi\`eres int\'egrales en utilisant le changement de
variables $x=e^t$ (commande \verb|subst(Int(...),x=exp(t))|)

\item D\'eterminer la valeur de:
\[\int _1^2\frac{1}{(1+x^2)^3} \ dx, \quad  \int _1^2 \frac{1}{x^3+1} \
dx \]
En utilisant la commande \verb|partfrac|, d\'etaillez le deuxi\`eme calcul.

\item Soit $G$ la parabole d'\'equation $y=x^2$. Repr\'esenter $G$,
puis un point $M$ sur $G$, puis la tangente $T$ \`a la parabole au point
$M$, puis la droite verticale $D$ passant par $M$, puis la droite
$R$ sym\'etrique de $D$ par rapport \`a $T$, puis l'intersection $I$
de $R$ avec l'axe $Oy$. Faites bouger le point $M$, qu'observe-t-on pour $I$~?
En faire une preuve en utilisant le calcul formel (on pourra d\'efinir
un param\`etre formel $a$ depuis le menu Edit, d\'efinir $M$ comme 
le point d'abscisse $a$ et d\'eterminer
l'ordonn\'ee de $I$ en fonction de $a$). Pourquoi appelle-t-on foyer
le point $I$~? (Penser \`a un rayon incident selon $D$ se
r\'eflechissant sur un miroir parabolique selon $G$).

\item R\'esoudre les \'equations diff\'erentielles suivantes~:
\[ y'+5y=t e^{-t}\sin(t); \
y'+5y=te^{-5t};\
y'{'}-3y'+y=0;\
y'{'}+y=\cos(t)
\]

\item Trouver l'unique solution des \'equations diff\'erentielles~:
\[ y'+5y=t e^{-t}, y(0)=1;\
y'{'}+2y'+y=0, y(0)=1, y'(0)=1;\
y'{'}-3y'+y=\cos(t), y(0)=0,y'(0)=0
\]

\item Tracer sur une m\^eme figure les solutions de l'\'equation
diff\'erentielle $y'=2y$ pour $y(0)=1,2,3$. Quel est leur
comportement lorsque $x$ croit~? M\^eme question
pour les solutions de $y'=-2y$. \\
M\^eme question pour les solutions de $y'{'}+y=0$ v\'erifiant
$y(0)=1, 2, 3$ et $y'(0)=0$. M\^eme question pour les
solutions de $y'{'}-8y'+10=0$ et de $y'{'}-8y'-10=0$. 


\end{enumerate}

\section{TP2: \'evaluation}
Exercices tir\'es au sort du type des exercices ci-dessus
ou d'un controle continu,
avec des calculs parfois plus compliqu\'es, 
les \'etudiants peuvent poser des questions 
comme dans un TP normal pendant
la premi\`ere partie de la s\'eance, 
\`a la fin de la s\'eance, l'enseignant regarde
la session r\'ealis\'ee par le bin\^ome (graphes, scripts)
et pose \'eventuellement
des questions.
Au vu du d\'eroulement de la s\'eance, l'enseignant
peut donner un bonus de 0.5 \`a 3 points \`a ajouter \`a l'une des notes
de controle continu, ce bonus peut \^etre diff\'erent entre les
deux \'etudiants d'un bin\^ome d\'es\'equilibr\'e.

Pour vous entrainer vous pouvez aussi v\'erifier le r\'esultats des exercices
donn\'es en TD.
%\end{document}
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%\printindex

%\tableofcontents

\end{document}
\item D\'eterminer l'expression en fonction de $n$ des suites r\'ecurrentes v\'erifiant
\[ \ u_{n+1}=2u_n+3, v_{n+1}=\frac{1}{2} v_n-3\]
D\'eterminer la limite de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $u_0$ et $v_0$.

\item Soit $M$ le point du plan d'affixe $1+2i$, et $r$ la similitude
du plan de centre $M$, de rapport 2 et d'angle $\pi/4$~: l'affixe
$z_r$ de l'image par $r$ du point d'affixe $z$ est donn\'ee par
\[ z_r-z_M=2e^{i\frac \pi 4} (z-z_M) \]
Calculer
l'image de la droite $y=2x$ par cette similitude. Repr\'esentez
la figure correspondante.

\item (Probl\`eme) \\
Soit un carré direct $ABCD$ o\`u $A$ est l'origine, de côté 1. 
Soit $I$ le centre du carr\'e et $J$ le milieu de $IB$. 
On construit le carré direct $IJKL$. Faire la figure.
Trouver le centre, le rapport et l’angle de la similitude qui transforme
$A$ en $I$,
$B$ en $J$,
$C$ en $K$ et
$D$ en $L$.
